Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng

nói đầu Quyển sách này được soạn ra trên cơ sở nhiều năm dạy lí thuyết và bài tập môn Phương trình vi phân của anh em cán bộ nhóm Phương trình vi phân ở khoa Toán Cơ Trường Đại học Tự nhiên Hà Nội. Nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi : sinh viên các trường đại học tự nhiên, các trường đại học kĩ thuật, đại học sư phạm, các lớp học tại chức, hàm thụ... các bài tập ở trong quyển sách này được chọn ra ồ những mức độ khó, dễ khác nhau và nhiều dạng khác nhau. Để các bạn sử dụng sách được dễ dàng, trong mỗi tiết của mỗi chương chúng tôi trịnh bày tóm tắt những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất để giải phần lớn các bài tập trong tiết đó. Những phần lí thuyết không trình bày ờ đây bạn đọc có thể xem ở các tài liệu tham khảo 6, 7, 11 hoặc 3. Các bài tập tương đối khó được đánh thêm dấu () ở trên số thứ tự. Riêng các bài tập trong chương V phần lớn là tương đối khó nên chúng tôi không đánh thêm dấu (). Phần lớn các bài tập trong quyển sách này được chọn từ các cuốn sách được nêu ra ở Tài liệu tham khảo, từ các kì thỉ tuyển chọn nghiên cứu sinh ở Việt Nam và các kì thi vô địch sinh viên giỏi toán toàn Liên Xô. Trong phần đáp số, hướng dẫn và lời giải chúng tôi đã giải hầu hết các bài tập có tính chất lí thuyết và các bài tập khác đều có đáp số. Cần nói rằng một số lời giải ở đây mang tính chất gợi ý

Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CĨ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ Là pt có dạng : y " ay ' by  f ( x) (1) với : a, b : số Pt liên kết : y " ay ' by  (2) Cách tìm nghiệm đltt pt : y " ay ' by  Gọi pt : k  ak  b  (*) pt đặc trưng (2) , pt (*) có :   a  4b có trường hợp sau : a Nếu   : pt (*) có nghiệm phân biệt : k1,2  a   pt (2) có nghiệm đltt : y1  e k1x y2  e k2 x VD : Giải : y " y ' y  Bài giải : - Pt đặc trưng : k  5k    k1  2, k2  - nghiệm đltt pt : y1  e x y2  e3 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x  C2 e3 x , (C1 , C2  ) b Nếu   : pt (*) có nghiệm kép : k1  k2  a pt (2) có nghiệm đltt : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html a x y1  e y2  xe VD : Giải : y " y ' y  a x Bài giải : - Pt đặc trưng : k  4k    k1  k2  2 - nghiệm đltt pt : y1  e 2 x y2  xe 2 x - Nghiệm tổng quát pt cho :  y  C1e 2 x  C2 xe 2 x , (C1 , C2  ) y  e 2 x (C1  C2 x ) , (C1 , C2  ) c Nếu   : pt (*) khơng có nghiệm thực, (*) có nghiệm phức : k1,2  a  i  a   i 2 pt (2) có nghiệm đltt : y1  e a x sin  x y1  e a x cos  x VD : Giải : y " y ' 10 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :  '   10  9 k  2k  10  pt có nghiệm phức : k1,2  1  3i - nghiệm đltt pt :  y1  e  x sin x y2  e  x cos x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e  x sin x  C2 e  x cos x , (C1 , C2  ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html  y  e  x (C1 sin x  C2 cos x) , (C1 , C2  ) VD : Giải : y " y ' 12 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :    48  39  k  3k  12  pt có nghiệm phức : k1,2  3  39i 39   i 2 - nghiệm đltt pt : y1  e  x  x 39 39 sin x y2  e sin x 2 - Nghiệm tổng quát pt cho :  x   x 39 39 y  C1e sin x  C2 e cos x , (C1 , C2  ) 2  x 39 39 y  e (C1 sin x  C2 cos x) , (C1 , C2  ) 2 Vậy : ptvptt cấp có hệ số số LN có nghiệm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT y " ay ' by  f ( x) (1) x f ( x )  e P ( x ) , ( P ( x ) đa thức ) a Nếu  không nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x Q ( x) , ( Q ( x) đa thức bậc Q ( x) = bậc P ( x ) ) VD : Giải : y " y ' y  e ( x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  2k    '    4 k1,2  1  2i - nghiệm đltt pt : y1  e  x sin x y2  e  x cos x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e x ( Ax  Bx  C ) - Có :  y '  2e x ( Ax  Bx  C )  e x (2 Ax  B ) y '  e x (2 Ax  Ax  Bx  B  2C )  y "  2e x (2 Ax  Ax  Bx  B  2C )  e x (4 Ax  A  B ) y "  e x (4 Ax  Ax  Bx  A  B  4C ) - Thế vào pt : y " y ' y  e ( x  1) 2x    e x (13 Ax  12 Ax  13Bx  A  B  13C )  e x ( x  1) 13 A   12 A  13B   A  B  13C  1 12 215 A B C  13 169 2197  nghiệm riêng pt cho : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html 12 215 y  e2 x ( x  x ) 13 169 2197 - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e  x sin x  C2 e  x cos x  e x ( (C1 , C2  ) b Nếu 12 215 x  x ) 13 169 2197  nghiệm đơn pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x xQ ( x) , ( Q ( x) đa thức bậc Q ( x) = bậc P ( x ) ) VD : Giải : y " y ' y  e (2 x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :    25  24  k1  2, k2  k  5k   - nghiệm đltt pt : y1  e x y2  e3 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e x x( Ax  B )  y  e x ( Ax  Bx)  y '  2e x ( Ax  Bx)  e x (2 Ax  B ) y '  e x (2 Ax  Ax  Bx  B ) - Có : y "  2e x (2 Ax  Ax  Bx  B)  e x (4 Ax  A  B)  y "  e x (4 Ax  Ax  Bx  A  B ) 2x - Thế vào pt : y " y ' y  e (2 x  1)  e x (2 Ax  A  B )  e x (2 x  1)  2 A   A  B   A  1  B   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html  nghiệm riêng pt cho : y  e x (1x  x) - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x  C2 e3 x  e x ( x  x ) , (C1 , C2  ) c Nếu  nghiệm kép pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x 2Q ( x ) , ( Q ( x) đa thức bậc Q ( x) = bậc P ( x ) ) VD : Giải : y " y ' y  e 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  '  k1  k2  k  4k   - nghiệm đltt pt : y1  e x y2  xe x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x x A - Có : y '  Ae x x  Ae x x y '  e x (2 Ax  Ax) y "  2e x (2 Ax  Ax)  e x (4 Ax  A)  y "  e x (4 Ax  Ax  A) 2x - Thế vào pt : y " y ' y  e  e2 x A  e2 x  2A  1  A  nghiệm riêng pt cho :  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html y 2x e x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x  C2 xe x  e x x , (C1 , C2  ) y  e x ( x  C2 x  C1 ) , (C1 , C2  )  x f ( x )  e a Nếu  P1 ( x) sin  x  P2 ( x) cos  x  , ( P1 ( x), P2 ( x) đa thức )    i không nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x Q1 ( x) sin  x  Q2 ( x) cos  x  ( Q1 ( x ), Q2 ( x ) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x ), P2 ( x ) ) VD : Giải : y " y  sin x Bài giải : - Pt liên kết : y " y  - Pt đặc trưng :   '  1 k1,2  i k 1  - nghiệm đltt pt : - Có :   y1  sin x y2  cos x y " y  sin x  e0 x 1sin x  cos x    0 3    i   3i  3i  k1,2 - nghiệm riêng pt cho có dạng :  - Có : y  e0 x  A sin x  B cos x  y  A sin x  B cos x y '  A cos x  3B sin x y "  9 A sin x  B cos x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html - Thế vào pt : y " y  sin x    8 A sin x  B cos x  sin x 8 A    B  A B0  nghiệm riêng pt cho : y   sin x  cos x  y   sin x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1 sin x  C2 cos x  sin x , (C1 , C2  ) b Nếu    i nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x Q1 ( x ) sin  x  Q2 ( x ) cos  x  ( Q1 ( x ), Q2 ( x ) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x ), P2 ( x ) ) VD : Giải : y " y ' 10 y  e cos x x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' 10 y  - Pt đặc trưng :   '  9 k1,2   3i k  2k  10  - nghiệm đltt pt : y1  e x sin x y2  e x cos x y " y ' 10 y  e x cos x  e1x  0sin x  1cos x  - Có :     1      i   3i  k1 - nghiệm riêng pt cho có dạng : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html y  e x x  A sin x  B cos x   y  e x  Ax sin x  Bx cos x  - Có :  y '  e x ( Ax sin x  Bx cos x)  e x ( A sin x  Ax cos x  B cos x  3Bx sin x) y '  e x ( Ax sin x  Bx cos x  A sin x  Ax cos x  B cos x  3Bx sin x) y "  e x ( Ax sin x  Bx cos x  A sin x  Ax cos x  B cos x  3Bx sin x)  e x ( A sin x  Ax cos x  B cos x  3Bx sin x  A cos x  A cos x 9 Ax sin x  3B sin x  3B sin x  Bx cos x)  y "  e x (8 Ax sin x  Bx cos x  A sin x  Ax cos x 2 B cos x  Bx sin x  A cos x  B sin x) - Thế vào pt : y " y ' 10 y  e cos x x    e x A cos x  e x B sin x  e x cos x A   6B  A B0  nghiệm riêng pt cho : y  e x x sin x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x sin x  C2 e x cos x  e x CuuDuongThanCong.com x sin x , (C1 , C2  ) https://fb.com/tailieudientucntt Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html VỀ BÀI THI - Cấu trúc : + Trắc nghiệm : 70% + Tự luận : 30%  Tốn kinh tế (cực trị tồn cục)  Giải ptvp tuyến tính cấp – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp (các dạng đặc biệt) Trao đổi trực tuyến tại: http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... e 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  '  k1  k2  k  4k   - nghiệm đltt pt : y1  e x y2  xe x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x x A - Có : y '  Ae x... ' y  e (2 x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :    25  24  k1  2, k2  k  5k   - nghiệm đltt pt : y1  e x y2  e3 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y... e ( x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  2k    '    4 k1,2  1  2i - nghiệm đltt pt : y1  e  x sin x y2  e  x cos x - nghiệm riêng pt cho có