MỤC LỤC Chương 1 ..................................................................................................................... 5 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ................................................. 5 §1. MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5 1.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 5 1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân ...................................... 5 1.3. Cấp của phương trình vi phân ....................................................................... 6 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1 ........................................ 7 §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I ...................................................................................................... 8 2.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 8 2.2.Định lý ............................................................................................................ 8 §3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................. 9 3.1.Nghiệm tổng quát ........................................................................................... 9 3.2.Tích phân tổng quát ........................................................................................ 9 3.3.Nghiệm riêng .................................................................................................. 9 3.4.Nghiệm kì dị................................................................................................. 10 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị.................................................................... 11 Chương 2 ................................................................................................................... 14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ...................................................................................... 14 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .............................................................. 14 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY ............................... 14 1.1.Dạng M x dx N y dy ( ) ( ) 0 + = ............................................................. 14 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến ................................................ 15 §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ................................................................ 15 2.1.Định nghĩa .................................................................................................... 15 2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất ................................... 17 §3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .................................................................. 18 3.1.Định nghĩa .................................................................................................... 18 3.2.Cách giải ....................................................................................................... 18 3.3.Hệ quả .......................................................................................................... 19 MỤC LỤC Chương 1 ..................................................................................................................... 5 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ................................................. 5 §1. MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5 1.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 5 1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân ...................................... 5 1.3. Cấp của phương trình vi phân ....................................................................... 6 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1 ........................................ 7 §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I ...................................................................................................... 8 2.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 8 2.2.Định lý ............................................................................................................ 8 §3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................. 9 3.1.Nghiệm tổng quát ........................................................................................... 9 3.2.Tích phân tổng quát ........................................................................................ 9 3.3.Nghiệm riêng .................................................................................................. 9 3.4.Nghiệm kì dị................................................................................................. 10 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị.................................................................... 11 Chương 2 ................................................................................................................... 14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ...................................................................................... 14 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .............................................................. 14 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY ............................... 14 1.1.Dạng M x dx N y dy ( ) ( ) 0 + = ............................................................. 14 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến ................................................ 15 §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ................................................................ 15 2.1.Định nghĩa .................................................................................................... 15 2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất ................................... 17 §3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .................................................................. 18 3.1.Định nghĩa .................................................................................................... 18 3.2.Cách giải ....................................................................................................... 18 3.3.Hệ quả .......................................................................................................... 19Chương 5 ................................................................................................................... 48 LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT .................................................................................... 48 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .................................................... 48 §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT ........................................... 48 1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 48 1.2. Tính chất ...................................................................................................... 48 1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ..................................................................... 48 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT .................... 49 2.1. Tính chất của toán tử n L ............................................................................. 49 2.2. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính ........................................................ 49 2.3. Định thức Wrônxki ...................................................................................... 50 2.4. Hệ nghiệm cơ bản ....................................................................................... 52 §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT ... 54 3.1. Tính chất: ..................................................................................................... 54 3.2. Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................. 55 § 4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ. ................................ 57 4.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số. ..................................... 57 4.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số. .......................... 60 Chương 6 ................................................................................................................... 65 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ............................................................................. 65 § 1. KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ................. 65 1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 65 1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ............................................................. 65 1.3. Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc ............................................................... 66 §2. ĐƯA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỀ PTVP CẤP CAO. .................... 66 2.1. Một số ví dụ................................................................................................. 66 §3. PHƯƠNG PHÁP LẬP TỔ HỢP GIẢI TÍCH ................................................ 68 § 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT .............. 70 4.1. Định nghĩa ................................................................................................... 70 4.2. Toán tử vi phân tuyến tính .......................................................................... 71 4.3. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính ........................................................ 72 4.4. Hệ nghiệm cơ bản ....................................................................................... 74
Ph ng trình vi phân M CL C Ch ng 5 LÝ THUY T PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 5 §1 M U 5 1.1 nh ngh a 5 1.2 Ý ngh a c h c v t lý c a ph 1.3 C p c a ph ng trình vi phân 5 ng trình vi phân 6 1.4 Ý ngh a hình h c c a ph ng trình vi phân c p 7 §2 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M I V I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P I 8 2.1 nh ngh a 8 2.2 nh lý 8 §3 CÁC LO I NGHI M C A PH NG TRÌNH VI PHÂN 9 3.1.Nghi m t ng quát 9 3.2.Tích phân t ng quát 9 3.3.Nghi m riêng 9 3.4.Nghi m kì d 10 ng pháp tìm nghi m kì d 11 3.5 Ph Ch ng 14 M T S PH NG PHÁP 14 GI I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 14 §1 PH NG TRÌNH VI PHÂN V I BI N S PHÂN LY 14 1.1.D ng M ( x) dx + N ( y ) dy = 1.2.Ph §2 PH ng trình đ a v ph 14 ng trình tách bi n 15 NG TRÌNH THU N NH T 15 2.1 nh ngh a 15 2.2 Ph §3 PH ng trình đ a đ c v ph ng trình thu n nh t 17 NG TRÌNH TUY N TÍNH 18 3.1 nh ngh a 18 3.2.Cách gi i 18 3.3.H qu 19 Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph 3.4.Ph §4 PH ng trình đ a đ c v ph ng trình vi phân ng trình n tính 20 NG TRÌNH VI PHÂN HỒN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN 23 4.1.Cách đốn nh n ph ng trình ph ng trình vi phân hoàn ch nh 23 4.2.Th a s tích phân 26 Ch ng 30 PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 30 CH A GI I RA §1 PH O HÀM 30 IV I NG TRÌNH F ( x, y ') = HAY F ( y, y ') = 30 1.1.Ph ng trình F ( x, y ') = 30 1.2.Ph ng trình F ( y , y ') = 31 §2 PH NG TRÌNH F ( x, y, y ') = - PH NG TRÌNH LAGR NG-KLERÔ 32 2.1.Ph ng trình F ( x, y, y ') = 32 2.2.Ph ng trình Lagr ng 33 2.3.Ph ng trình Klerơ: Khi φ ( y ') ≡ y ' 34 Ch ng 35 PH NG TRÌNH VI PHÂN C P CAO 35 §1 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M 36 1.1.D ng t ng quát c a ph ng trình vi phân c p cao 36 1.2 nh lý t n t i nh t nghi m 37 1.3 Ph ng trình c p n 38 §2 CÁC PH NG TRÌNH GI I C B NG C U PH NG 39 (n) 2.1.D ng F ( x, y ) = 39 ( n −1) (n) 2.2.D ng F ( y , y ) = 42 ( n − 2) , y ( n ) ) = 43 2.3 D ng F ( y §3 TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PH NG TRÌNH H C P C 44 3.1 Tích phân trung gian 44 3.2 Các tr ng h p ph ng trình h c p đ c nh tích phân trung gian 44 3.3 Ph ng trình thu n nh t đ i v i hàm đ o hàm 46 3.4 Ph ng trình mà v trái đ o hàm 47 Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph ng trình vi phân ng 48 Ch LÝ THUY T T NG QUÁT 48 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH 48 V PH NH NGH A VÀ TÍNH CH T T NG QUÁT 48 §1 1.1 nh ngh a 48 1.2 Tính ch t 48 1.3 S t n t i nh t nghi m 48 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 49 §2 PH 2.1 Tính ch t c a toán t Ln 49 2.2 Khái ni m v s ph thu c n tính 49 2.3 nh th c Wrônxki 50 2.4 H nghi m c b n 52 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHƠNG THU N NH T 54 §3 PH 3.1 Tính ch t: 54 ng pháp bi n thiên h ng s 55 3.2 Ph NG TRÌNH TUY N TÍNH CĨ H S H NG S 57 § PH 4.1 Ph ng trình n tính thu n nh t h s h ng s 57 4.2 Ph ng trình n tính khơng thu n nh t h s h ng s 60 ng 65 Ch H PH NG TRÌNH VI PHÂN 65 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M 65 § KHÁI NI M, 1.1 nh ngh a 65 1.2 nh lý t n t i nh t nghi m 65 1.3 Các lo i nghi m c a h chu n t c 66 §2 A H PH NG TRÌNH VI PHÂN V PTVP C P CAO 66 2.1 M t s ví d 66 §3 PH NG PHÁP L P T H P GI I TÍCH 68 § H PH 4.1 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 70 nh ngh a 70 4.2 Tốn t vi phân n tính 71 4.3 Khái ni m v s ph thu c n tính 72 4.4 H nghi m c b n 74 Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHƠNG THU N NH T 75 §5 H PH 5.1 M t s đ nh lý v nghi m c a h ph 5.2 Ph ng trình vi phân ng trình 75 ng pháp bi n thiên h ng s 77 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 79 §6 H PH CÓ H S H NG S 79 Ph n 1: Ph ng trình vi phân c p 85 Ph n 2: Ph ng trình vi phân c p cao 91 Ph n 3: H ph ng trình vi phân 95 TÀI LI U THAM KH O 97 Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph Ch LÝ THUY T PH §1 M ng trình vi phân ng NG TRÌNH VI PHÂN C P U Khi dùng toán h c đ nghiên c u toán t nhiên, k thu t khơng ph i bao gi c ng tìm hàm c n xác đ nh thơng qua ph ng trình đ i s hay ph ng trình siêu vi t mà nhi u ta ph i tìm hàm thơng qua m i liên h gi a bi n s đ c l p, hàm ph i tìm đ o hàm hay vi phân c a T địi h i tốn h c ph i nghiên c u m t l p ph ph ng trình vi phân 1.1 nh ngh a: Ph ng trình m i đ cg i ng trình mà ch a bi n s đ c l p, hàm ph i tìm đ o hàm ( hay vi phân ) c a đ c g i m t ph ng trình vi phân dy + x sin x = dx Ví d : y '''+ yy '' = Ta phân bi t ph ng trình vi phân th ng ph ng trình mà hàm ph i tìm ch ph thu c m t bi n s đ c l p Ph ng trình đ o hàm riêng ph ng trình mà hàm ph i tìm ph thu c nh t hai bi n s : ∂ 2u ∂u + = sin x.sin t ∂x ∂t Ví d : u = u ( x, t ) 1.2 Ý ngh a c h c v t lý c a ph ng trình vi phân Bài toán: Xét chuy n đ ng r i t chân không c a m t v t có kh i l ng m Hãy tìm quy lu t chuy n đ ng Ch n h ng oy nh hình v Trang B mơn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph Theo c h c n u g i quãng đ khác ta bi t r ng v t r i t ng trình vi phân ng y gia t c c a v t w = d2y M t dt chân khơng có gia t c khơng đ i d2y g = 9,8( m / s ) Do cách ch n tr c oy ta có: = −g dt 2 Gi i ph gt ⎛ dy ⎞ ng trình ta có: y = − + C1t + C2 Trong đó: C1 = ⎜ ⎟ = v0 (v n t c ⎝ dt ⎠t =0 ban đ u), C2 = ( y )t =0 = y0 (đ cao ban đ u) Qua ví d ta th y: - Nghi m c a ph c p c a ph - ng trình vi phân ch a h ng s tu ý (s l ng trình) Mu n xác đ nh h ng s ta ph i bi t đ ph c u ki n ban đ u c a ng trình 1.3 C p c a ph ng trình vi phân dy ) = có ch a đ o hàm c p ph dx Ph ng trình F ( x, y , (ph ng trình nh t thi t ph i ch a đ o hàm c p 1) Ph ng tu theo ng trình F ( x, y , ng trình vi phân c p dy d y , ) có ch a đ o hàm c p ph dx dx ng trình vi phân c p ( Nh t thi t ph i ch a đ o hàm c p 2) M t cách t ng quát: C p c a ph có m t ph ng trình vi phân c p cao nh t c a đ o hàm ng trình dy dny Ch ng h n F ( x, y , , , n ) = ph dx dx thi t ph i có m t ng trình vi phân c p n, dny dx n i v i ph ng trình vi phân c p n thơng th y = φ ( x, C1 , C2 , , Cn ) ch a n h ng s tu ý đ ng ta tìm nghi m d i d ng c g i nghi m t ng quát c a Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com nh t https://fb.com/tailieudientucntt Ph ph ng trình N u cho C1 , C2 , , Cn nh ng giá tr c th ta s đ ph ng trình 1.4 Ý ngh a hình h c c a ph Xét ph ng trình vi phân c nghi m riêng c a ng trình vi phân c p ng trình: dy = f ( x, y ) dx (1.4) V i gi thi t hàm f ( x, y ) xác đ nh liên t c mi n G ⊂ R N u y = φ ( x) nghi m c a (1.4) đ đ ng cong tích phân c a ph ng cong có ph ng trình y = φ ( x) g i ng trình vi phân (1.4) Ta xét xem đ ng cong tích phân có tính ch t ? Trên m t ph ng R qua m i m M ( x, y ) ∈ G v m t đo n th ng làm v i tr c ox m t góc α cho tgα = f ( x, y ) Khi t p h p m i m c a G mà t i m i m có xác đ nh đo n th ng nh đ c g i m t H NG TR tính ch t ph i ti p xúc v i H NG Khi G đ NG TR NG t i m i m c a Nh v y: Ý ngh a hình h c c a vi c l y tích phân ph v đ h ng cong y = φ ( x) cho h ng c a h ng tr ng cong tích phân có ng trình (1.4) ng c a ti p n t i m i m c a trùng v i ng t i m y Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph §2 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M ng trình vi phân I V I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P I Xét ph ng trình dy = f ( x, y ) dx (2.1) Khi tốn tìm nghi m y = y ( x) c a (2.1) cho x = x0 y = y0 đ g i tốn Côsi, ( x0 , y0 ) giá tr tu ý cho tr cđ c c g i giá tr ban đ u (đi u ki n đ u) M t v n đ đ t ta xét xem v i u ki n thì: Bài tốn Cơsi c a ph ng trình có nghi m Nghi m c a toán nh t Gi i quy t v n đ nêu n i dung c a đ nh lý t n t i nh t nghi m 2.1 nh ngh a: Ta nói hàm f ( x, y ) tho mãn mi n G ⊂ R u ki n Lipsit đ i v i y n u ∃ N > cho v i b t k x, y, y mà ( x, y ) ∈ G,( x, y ) ∈ G f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ N y − y (2.2) Chú ý: B t đ ng th c (2.2) s tho mãn n u f ( x, y ), ∃ f y' ( x, y ) gi i n i G t c f y' ( x, y ) ≤ N ∀ ( x, y ) ∈ G Vì theo Lagr ng f ( x, y ) − f ( x, y ) = f y' ( x, y + t ( y − y ) y − y ≤ N y − y Nh ng u ng c l i không có th (2.2) tho mãn nh ng f y' ( x, y ) khơng t n t i Ví d : f ( x, y ) = y y − y ≤ y − y nh ng f y' không t n t i t i y = 2.2 nh lý: Xét ph ng trình (2.1) v i giá tr ban đ u ( x0 , y0 ) Gi s f ( x, y ) hàm liên t c hai bi n mi n kín gi i n i G Trang B mơn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ph ⎧ x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ⎨ ⎩ y0 − b ≤ y ≤ y0 + b (vì f liên t c G kín, gi i n i nên ∃ M đ ng trình vi phân a, b > f ( x, y ) ≤ M ∀( x, y ) ∈ G ) f ( x, y ) tho mãn G u ki n lipsit đ i v i y Khi t n t i nh t m t nghi m y = φ ( x) c a ph ng trình (2.1) xác đ nh liên t c đ i v i giá tr c a x thu c đo n x0 − h ≤ x ≤ x0 + h h = min( a, b ) cho x = x0 φ ( x0 ) = y0 M §3 CÁC LO I NGHI M C A PH Xét ph ng trình NG TRÌNH VI PHÂN dy = f ( x, y ) dx (3.1) 3.1.Nghi m t ng quát Gi s G ⊂ R mi n mà t i m i m c a có m t ch m t đ cong tích phân c a ph ng trình (3.1) qua Khi hàm y = φ ( x, c) đ nh có đ o hàm liên t c theo x đ ng (3.2) xác c g i nghi m t ng quát c a ph ng trình (3.1) G n u: a) ∀M ( x, y ) ∈ G t y = φ ( x, c ) có th gi i đ b) y = φ ( x, c) nghi m c a ph c c = ψ ( x, y ) ng trình (3.1) v i ∀c thu c mi n xét M ( x, y ) ch y kh p G 3.2.Tích phân t ng quát H th c: ϕ ( x, y , c) = hay ψ ( x, y ) = c g i tích phân t ng quát c a (3.1) G n u xác đ nh nghi m t ng quát y = φ ( x, c) c a ph ng trình mi n 3.3.Nghi m riêng Nghi m y = y ( x) đ c g i nghi m riêng c a ph ng trình (3.1) n u t i m i m c a u ki n nh t nghi m c a tốn Cơsi đ Trang B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com c tho mãn https://fb.com/tailieudientucntt Ph Nghi m nh n đ ng trình vi phân c t nghi m t ng quát v i h ng s c xác đ nh ln ln nghi m riêng 3.4.Nghi m kì d Nghi m y = y ( x) đ c g i nghi m kì d c a ph ng trình (3.1) n u t i m i m c a tính ch t nh t nghi m c a tốn Cơsi b phá v Ví d : Xét ph ( y ≥ 0) ng trình y ' = y ⇒ dy = dx y ⇒ y = x+c ( x > −c) ⇒ y = ( x + c) ( x > −c) Ta xét lo i nghi m c a ph ( y ≠ 0) ng trình a) Ta ch ng minh r ng y = ( x + c) v i x > −c nghi m t ng quát c a ph ng trình cho mi n G : −∞ < x < +∞ < y < +∞ V y ta c n ch ng minh +) Trong G u ki n t n t i nh t nghi m c a tốn Cơsi đ tho mãn cho M ( x0 , y0 ) b t kì thu c G Ta có th l p đ x − x0 ≤ a, ⇒ u ki n Lipsit đ +) T c lân c n kín ∈G Và lân c n y − y0 ≤ b c ∂f = gi i n i ∂y y c tho mãn y = ( x + c)2 ⇒ c = y−x +) H th c y = ( x + c) v i x > −c tho mãn ph ng trình Do y = ( x + c) v i x > −c nghi m t ng quát c a ph ng trình cho mi n G b) D th y y − x = c tích phân t ng quát c a ph c) Nghi n riêng: T ng trình y = ( x + c) v i c = ⇒ y = x v i x > nghi m riêng B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com ng trình vi phân Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph Ph n 1: Ph Ph ng trình vi phân ng trình vi phân c p ng trình vi phân có bi n s phân ly y′ cos y − sin y = y′ = cos y − sin y − cos x − sin x + y′ = x + xy − + y y′ = +1 x− y y ′ = + y2 y ′ = (4 x + y − 1)2 y′ = x − y + 2x t z = x − y ⇒ y′ = 2x − z′ z′ = − z (1 + y )[ e x dx − e y dy ] − (1 + y )dy = (xy ) ( ) − y + x − dx + x y − xy + x + y − x + dy = ( ) ( ) ⇔ y + (x − 1)dx + ( y + 1) x − x + dy = ⇔ x −1 y +1 dx + dy = x − 2x + y +1 m ( x + y) 10 y ′ + = ( x + y )n + ( x + y ) p t z = x+ y 11 a (xy ′ + y ) = xyy ′ (bi n đ i v x (a − y )y ′ = −2ay ) 12 y ′ = y − 13 Gi i ph ( x2 t z = xy) ng trình vi phân ( y ′ − 1)x y + y ′(x − y ) = (coi ph ng trình c p đ i v i y’) B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph Ph ng trình vi phân ng trình vi phân thu n nh t 14 xdy − ydx = x + y dx y 15 xy ′ = y − xe x y y y 16 xy ′ = y cos⎛⎜ ln ⎞⎟ ⇒ y ′ = cos⎛⎜ ln ⎞⎟ ⎝ x⎠ x ⎝ x⎠ z= y x ⇒ z ′.x + z = z cos(ln z ) dz dx d (ln z ) dx = ⇔ = cos(ln z ) − x z (cos(ln z ) −1) x 17 ax + 2bxy + cy + y ′(bx + 2cxy + f y ) = 18 x y ′ − xyy ′ + y = 19 (2 x + y + 1)dx − (4 x + y − 3)dy = 20 (xy ′ + y )2 = y y ′ 21 y ′ = y y π + sin , v i y(1) = x x 22 xyy ′ + x − y = 23 (3 x + y ) y + ( y − x ) xy′ = 24 xy ′ = y(1 + ln y − ln x ) , y(1) = e 25 y + x y ′ = xyy ′ ⎛ ⎝ y⎞ x⎠ y x 26 ⎜ x − y cos ⎟dx + x cos dy = Ph ng trình vi phân n tính 27 xy′ − y = x arctgx 28 (1 + x ) y′ − xy = (1 + x ) 29 y ′ + xy = xe − x 30 x (1 + x )y ′ − (x − 1)y + x = B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph ng trình vi phân 31 y ′ sin x − y = − cos x 32 (sin y + x cot g y )y ′ = 33 y ′ + tgy = x − hàm, y − bi n x cos y 34 (2e y − x )y ′ = 35 (1 − xy ) y ′ = y ( y − 1) t z = sin y x − hàm, y − bi n x − hàm, y − bi n 36 y ′ + xy = x 3 ⎧ ⎪y′ − y = 37 ⎨ x x ⎪⎩ y(1) = 38 y ′ + = (coi x hàm c a y) 2x − y 39 ye y = y ′(y + xe y ), v i y(0) = -1 (coi x hàm c a y) 40 (x − y )dx + xdy = 41 Gi i ph ng trình vi phân xy ′ + y = 1− x 42 x (1 + x )y ′ − (3x + )y + x + x = 43 xy ′ − y = x sin x 44 Tìm nghi m riêng c a ph ng trình y ′ cos x + y = tgy th a mãn u ki n y(0)=0 Tìm nghi m riêng c a ph ng trình vi phân y ′ − x + y = arcsin x th a mãn u ki n y(0) =0 Ph ng trình Becnuli 45 xy ′ + y = y ln x 46 y y ′ − ay = x + 47 (xy + x y )y ′ = x − hàm, y − bi n B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph 48 y ′x sin y = x ′y − y ng trình vi phân x − hàm, y − bi n 49 (x + y + 1)dx + xydy = 50 (x − 1)y ′ sin y + x cos y = x − x 51 x(e y − y ′) = t z = cos y t z = ey 52 y ′ − = e x + y 53 (x + y + x − y )dx + 2( y − 1)dy = 54 x y ′ = y(x + y ) (bi n đ i v d ng y ′ − 55 Tìm nghi m c a ph t z = y −1 1 y = y2 ) x x ng trình vi phân ydx + 2xdy = 2y x dy th a mãn u cos y ki n y(0 ) = π 56 (x + 1)(y ′ + y ) = − y 57 xydy = (y + x )dx ( ) 58 y + xy dx = xdy 59 Gi i ph ng trình vi phân xy ′ − x y = y 60 x y ′ = y (2 xy ′ − y ) (coi x = x(y)) 61 xyy ′ − y = x α (α tham s ) Ph ng trình vi phân tồn ph n ⎛1 ⎝y 62 ⎜⎜ sin ⎛1 x y y ⎞ y x x ⎞ − cos + 1⎟⎟dx + ⎜⎜ cos − sin + ⎟⎟dy = y x x ⎠ x y y y ⎠ ⎝x x x ⎛ ⎞ ⎛ x⎞ y ⎟ ⎜ 63 x + e dx + e y ⎜⎜1 − ⎟⎟dy = ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ( ) 64 x + x − y dx − x − y dy = B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph 65 (x + y )(xdy − ydx ) = (a + x )x dx ng trình vi phân 66 (x cos y − y sin y )dy + (x sin y + y cos y )dx = 67 (x ln x − xy )dx + x y dy = 68 y dx + (2 xy + 3)dy = 69 e x (2 + x − y )dx − 2e x ydy = 70 Tìm nghi m riêng c a ph ng trình x x ⎞ ⎛ ⎜ x + e y ⎟dx + e y ⎛⎜1 − x ⎞⎟dy = th a mãn u ki n y(0) = ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ) ( 71 (y + 1) dx + y + 3xy + y dy = 72 (y cos x − sin x )dy = y cos x (y sin x + 1)dx 73 (2 x + 3x y )dx = (3y − x )dy ( ) ⎞ ⎛ x x + cos y =0 + ⎟⎟dx − sin y sin y ⎠ ⎝ 74 ⎜⎜ 75 Gi i ph ng trình vi phân (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 76 Gi i ph ng trình vi phân (x + sin y )dx + (x cos x + sin y )dy = 77 Gi i ph ng trình vi phân 3x (1 + ln y )dx = ⎜⎜ y − ⎛ ⎝ 78 Tìm h ng s a đ (1 + y Ph ) sin x dx + ay cos xdy vi phân tồn ph n c a hàm u(x,y) gi i ph v i a tìm đ x3 ⎞ ⎟dy y ⎟⎠ ng trình vi phân (1 + y sin x )dx + ay cos xdy = c ng trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 79 x ′y = + y ′ 80 y = e y′ y ′ 81 y ′ x = e y B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph ng trình vi phân 82 y = y ′(1 + y ′ cos y ′) Ph ng trình Lagrange- Klero 83 y = xy ′ + sin y ′ 84 y = xy ′ + e y′ 85 y = y ′x + y y ′ ( Nhân hai v v i y , 86 x = y + y′ y′ t z = y ) ( x − hàm, y − bi n) 87 xy ′ − y = ln y ′ 88 y ′ ( y − xy ′) = B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph Ph n 2: Ph ng trình vi phân ng trình vi phân c p cao t y ′′′ = cos ϕ ; x = sin ϕ 89 y ′′′ + x = ng trình: y ′′ = 4( y ′ − 1) tho mãn u ki n ban 90 Tìm nghi m c a ph đ u: a) y = , y ′ = x = b) y = , y ′ = x = 91 (1 + x )y ′′ + y ′ + = t y ′ = p tìm p = p (x) 92 y ′(1 + y ′ ) = ay ′′ 93 y ′′′(1 + y ′ ) − y ′y ′′ = ⇒ ( ⇒ y ′′ = + y ′ 94 yy ′′ − y ′ = yy ′ dx ∫ + C1 ⇒ d ng thu n nh t, đ t y ′ = yz 1+ x2 Chú ý: ) y ′′′ y ′y ′′ = ⇒ d ln y ′′ = d ln (1 + y ′ ) 2 y ′′ + y ′ 1+ x ( ) = ln x + + x 95 yy ′′ = y ′ 96 yy ′′′ = y ′y ′′ 97 y ′′ − 1 ⎛ y⎞ y′ + y = ⇒ d (y′ − x) − d ⎜ ⎟ = x x ⎝ x⎠ 98 y ′′y + y y ′ + y ′ = [ yy ′ chia hai v cho yy ′ x ] ⇔ d ln y ′ + y + ln y = d ln x 99 y ′′ = y ′e y B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph 100 y ′′(1 + y ) = y ′ + y ′ ( 101 yy ′′ + y ′ = ( t y’ = p(y) ) t y’ = p(y) ) 102 Tìm nghi m c a ph ng trình vi phân y ′′ = e y th a mãn y(0 ) = y ′(0 ) = 103 xy ′y ′′ = y ′ − 104 (x + 1)y ′′ + x (y ′)2 = y ′ 105 y ′′ cos y + (y ′) sin y = y ′ y y ′′ = y ′ 106 107 xy ′′ = y ′ + x ( 108 y ′ + yy ′′ = yy ′ 109 xy ′′ = y ′ + x 110 xy ′′ = yy ′ − y ′ ( 111 Gi i ph Ph ng trình vi phân t y’ = p) t z = xy’) ⎧y ′′ = yy ′ ⎩y(0) = 2; y ′(0) = ng trình vi phân ⎨ ng trình vi phân n tính 112 x y ′′ − y = x cos x , bi t m t nghi m riêng c a ph nh t t 113 ng trình vi phân thu n ng ng y1 = x2 Gi i ph ng trình y ′′ + trình vi phân thu n nh t t cot gx bi t m t nghi m riêng c a ph y′ + y = x x ng ng y = ng sin x x x 114 Gi i ph ng trình vi phân: x (x + 1)y ′′ = y bi t m t nghi m y = + 115 Gi i ph ng trình vi phân (x + 1)y ′′ − y = n u bi t m t nghi m c a có d ng đa th c 116 Gi i ph ng trình vi phân (2 x + 1)y ′′ + (2 x − 1)y ′ − y = x + x bi t có hai nghi m riêng y = x + 4x − y2 = x2 +1 B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph Xác đ nh h ng s α cho y = e 117 αx nghi m riêng c a ph ng trình vi phân ng trình vi phân y ′′ + xy ′ + (4 x + )y = Tìm nghi m t ng quát c a ph 118 tìm nghi m t ng quát c a ph (3x ng trình vi phân + 1)xy ′′ + y ′ − xy = − 12 x bi t r ng có hai nghi m riêng y1 = x , Ph ng trình y = ( x + 1) ng trình vi phân n tính h s h ng s 119 y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = 120 y ′′′ − y ′′ + y ′ − 18 y = 121 y (4 ) + y = 122 y (4 ) + y ′′′ + y ′′ + y ′ + y = 123 y ( ) + y ( ) + y (5 ) + y ( ) = 124 y ′′ + y = 4e x 125 y ′′ − y ′ + y = 3e x + x 126 y ′′ − y = sin x − cos x 127 y ′′′ − y ′ + y = e − x cos x 128 y ′′ + n y = sin nx 129 y ′′ + y = sin x sin x 130 y ′′ − y = x e x 131 V i nh ng giá tr c a p q t t c nghi m c a ph có nghi m riêng y * = e x y ′′ = py ′ + q gi i n i ∀ x ≥ 132 ( p ≥ , q > 0) p, q = ? t t c nghi m c a ph tu n hồn c a x ng trình y ′′ + py ′ + q = nh ng hàm ( p ≥ , q > 0) B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com ng trình Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph 133 x y ′′ − xy ′ + y = x ln x 134 (2 x + 1)2 y ′′ − 4(2 x + 1) y ′ + y = −8 x − 135 y ′′ + 136 (1 + x )2 y ′′ + (1 + x ) y ′ + y = cos ln(1 + x ) 137 y ′′ + y = ln sin 138 Dùng phép bi n đ i hàm y = 1 y ′ + y = sin (ln x ) x x ng trình vi phân t = ln x t = ln (2 x + 1) t = ln x t = ln (1 + x ) x z đ gi i ph x2 ng trình vi phân: x y ′′ + xy ′ + (x + )y = e x 139 y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) ( 140 Gi i ph 141 y ′′ + y ′ = x + e − x 142 y ′′ − y ′ + y = x (e x + 1) 143 y ′′ cos x + y ′ sin x − y cos x = đ t t = sinx 144 y ′′ + y ′ = 29 x sin x 145 y ′′ + y = 146 y ′′ − y = (2 − x )e x 147 y ′′ − y ′ + y = 148 Gi i ph 149 y ′′ + y ′tgx − y cos x = dùng t = sinx 150 y ′′ − y ′ + y = x sin 3x 151 gi i ph t y = e-xz) ng trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e x y = e x b ng đ i bi n t = e x sin x ex + cos x x ng trình vi phân xy ′′ + y ′ − xy = e x b ng phép đ i hàm z = xy ng trình vi phân xy ′′ + 2(1 − x) y ′ + ( x − 2) y = e − x b ng phép đ i hàm z=xy B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph ng trình vi phân 152 y ′′ − y ′ − 3y = xe x + x 153 x y ′′ + xy ′ + 154 y ′′ − y ′ + y = + 155 Gi i ph 156 y ′′ + y ′ = xe − x 157 y ′′ − y ′ + y = e x + cos x 158 Gi i ph 159 y ′′ + y ′ + y = + e −2 x ln x 160 Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân: y ′′ − y ′ + y = e x + sin x 161 Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân: y = b ng phép bi n đ i x = 1/t x2 ex x ng trình x y ′′ + xy ′ + y = x b ng bi n đ i x = e t ng trình x y ′′ − xy ′ + y = b ng bi n đ i x = e t y ′′ − 3y ′ + y = x x − + e x cos x e −x x 162 y ′′ + y ′ + y = sin x + 163 Gi i ph 164 y ′′ + y = xe x + 2e − x 165 y ′′ + y ′ − y = cos x − sin x 166 y ′′ − y ′ = cos x 167 y ′′ + y = sin x + cos x ng trình vi phân y ′′ + y = Ph n 3: H ph 168 ⎧ dx ⎪ dt = y − cos t ⎨ dy ⎪ = 2x + y ⎩ dt sin x ng trình vi phân 169 ⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph 170 ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪⎪ dy ⎨ = x + 2y − z ⎪ dt ⎪ dz = x − y + z ⎪⎩ dt 171 ⎧ dx ⎪ dt − x − y = ⎨ dy ⎪ + 3x + y = ⎩ dt 172 ⎧ dx ⎪ dt = x + y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt 173 ⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt 174 ⎧ dx ⎪ dt = x − y − z ⎪⎪ dy ⎨ = y−x+z ⎪ dt ⎪ dz = x − z ⎩⎪ dt B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com ng trình vi phân Trang https://fb.com/tailieudientucntt Ph ng trình vi phân TÀI LI U THAM KH O [1] Hồng H u ng, V c Tơn, Nguy n Th Hồn, Ph ng trình vi phân, T p 1, 2, Hà n i, NXB H THCN, 1970 [2] Nguy n Th Hoàn, Tr n V n Nhung, Bài t p Ph ng trình vi phân, NXB H THCN, 1979 [3] Nguy n Th Hoàn, Ph m Phu, C s Ph ng trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Giáo d c, 2003 [4] Nguy n ình Trí, T V n nh, Nguy n H Qu nh, Toán h c cao c p, T p 3, NXB Giáo d c, 2002 B môn Khoa h c c b n CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt Filename: Giao trinh PTVP 2010_moi Directory: C:\Documents and Settings\nhung\My Documents Template: C:\Documents and Settings\nhung\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm Title: Subject: Author: THEGIOITINHYEU Keywords: Comments: Creation Date: 3/9/2010 9:54:00 AM Change Number: Last Saved On: 3/9/2010 9:59:00 AM Last Saved By: THEGIOITINHYEU Total Editing Time: Minutes Last Printed On: 3/9/2010 10:03:00 AM As of Last Complete Printing Number of Pages: 97 Number of Words: 16,387 (approx.) Number of Characters: 93,407 (approx.) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... x, y ') = 30 1.2.Ph ng trình F ( y , y ') = 31 §2 PH NG TRÌNH F ( x, y, y ') = - PH NG TRÌNH LAGR NG-KLERƠ 32 2.1.Ph ng trình F ( x, y, y ') = 32 2.2.Ph ng trình... (v n t c ⎝ dt ⎠t =0 ban đ u), C2 = ( y )t =0 = y0 (đ cao ban đ u) Qua ví d ta th y: - Nghi m c a ph c p c a ph - ng trình vi phân ch a h ng s tu ý (s l ng trình) Mu n xác đ nh h ng s ta ph i bi... hình c a h nghi m t ng quát Mu n v y tr c h t ta tìm c -bi t n t h ⎧Φ ( x, y , c ) = ⎪ ⎨∂Φ ( x, y, c) =0 ⎪⎩ ∂c Ta ch ng minh r ng n u c -bi t n bao hình c a h nghi m t ng qt nghi m kì d c a ph