Bài tập: Phương trình Vi phân

nói đầu Quyển sách này được soạn ra trên cơ sở nhiều năm dạy lí thuyết và bài tập môn Phương trình vi phân của anh em cán bộ nhóm Phương trình vi phân ở khoa Toán Cơ Trường Đại học Tự nhiên Hà Nội. Nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi : sinh viên các trường đại học tự nhiên, các trường đại học kĩ thuật, đại học sư phạm, các lớp học tại chức, hàm thụ... các bài tập ở trong quyển sách này được chọn ra ồ những mức độ khó, dễ khác nhau và nhiều dạng khác nhau. Để các bạn sử dụng sách được dễ dàng, trong mỗi tiết của mỗi chương chúng tôi trịnh bày tóm tắt những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất để giải phần lớn các bài tập trong tiết đó. Những phần lí thuyết không trình bày ờ đây bạn đọc có thể xem ở các tài liệu tham khảo 6, 7, 11 hoặc 3. Các bài tập tương đối khó được đánh thêm dấu () ở trên số thứ tự. Riêng các bài tập trong chương V phần lớn là tương đối khó nên chúng tôi không đánh thêm dấu (). Phần lớn các bài tập trong quyển sách này được chọn từ các cuốn sách được nêu ra ở Tài liệu tham khảo, từ các kì thỉ tuyển chọn nghiên cứu sinh ở Việt Nam và các kì thi vô địch sinh viên giỏi toán toàn Liên Xô. Trong phần đáp số, hướng dẫn và lời giải chúng tôi đã giải hầu hết các bài tập có tính chất lí thuyết và các bài tập khác đều có đáp số. Cần nói rằng một số lời giải ở đây mang tính chất gợi ý

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Phương trình vi phân có biến số phân ly y′ cos y − sin y = 14 y′ = x + y −1 y′ = sin y + cos y x (1 − y ) y′ = −2 y 15 y′ = x + y − dy = ey +1 dx x (1 + y ) dx + y (1 + x ) dy = 17 y y − y dx − (1 + x ) dy = y′ = y′ = 16 ( y + xy ) dx + ( x − yx ) dy = 18 y′ = x + y − x 19 xydx + ( x + 1) dy = 1+ x 20 y + 1dx = xydy x (1 + x ) + 21 (1 + y )( e x dx − e y dy ) − (1 + y ) dy = + x2 dy x2 + 2x −1 = dx ( x + 1) ( x + 1) 22 y′ = x x −1 ′ 10 y = y + 11 y′ = − y − xy − x y′ = 23 y′ = x + xy − + y 12 y′ = ( x + y − 1) cos y − sin y − cos x − sin x + 24 y′ = +1 x− y 25 y ′ = + 13 y′ = e x + y − 1 y2 26 (xy − y + x − 1)dx + (x y − xy + x + y − x + 2)dy = 27 y ′ + = ( x + y )m ( x + y )n + ( x + y ) p Đặt z = x + y 28 a (xy ′ + y ) = xyy ′ (biến đổi x (a − y )y ′ = −2ay ) 29 y ′ = y − (Đặt z = xy) x2 30 Giải phương trình vi phân (y ′ − 1)x y + y ′(x − y ) = (coi phương trình cấp y’) Phương trình vi phân xdy − ydx = xy ′ = y − xe x + y dx y x CuuDuongThanCong.com ⎛ ⎝ y⎞ xy′ = y cos ⎜ ln ⎟ x ⎠ ax + 2bxy + cy + y ′(bx + 2cxy + f y ) = https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 18 ( x − y − 1) dx + ( x − y + 1) dy = x y ′ − 3xyy ′ + y = (2 x + y + 1)dx − (4 x + y − 3)dy = (xy ′ + y )2 = y y ′ 19 x ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = 20 ( x + y ) dx − xydy = 21 ( x + y ) dy + xydx = x+ y x xyy′ + x − y = 22 xy′ − y = ( x + y ) ln (3x + y ) y + ( y − x ) xy′ = dx dy = y+x y−x dx dy 24 = 2 x − xy + y y − xy 23 10 xy ′ = y(1 + ln y − ln x ) , y(1) = e 11 y + x y ′ = xyy ′ 12 xy′ = y (1 + ln y − ln x ) thỏa mãn y (1) = e π y y 13 y′ = + sin thỏa mãn y (1) = x x 2 14 x y′ + y = xyy′ y⎞ y ⎛ 15 ⎜ x − y cos ⎟ dx + x cos dy = x⎠ x ⎝ 16 ( x + xy − y ) dx + ( y + xy − x )dy = 2 2 17 ( x + y − ) dx + ( x − y + ) dy = ( ) 25 y + xy dx = xdy 26 ( x − y + ) dx + ( x + y − 3) dy = 27 ( x + y + 1) dx − ( x + y − 3) dy = 28 ( x − y − 1) + ( y − x + ) y′ = 29 ( y + ) dx + ( x + y − ) dy = 2x + y x 31 ( y − xy ) dx + x dy = 30 y′ = Phương trình vi phân tuyến tính xy′ − y = x arctgx (1 + x ) y′ − xy = (1 + x ) y ′ + 2xy = xe − x x(1 + x )y ′ − (x − 1)y + x = y ′ sin x − y = − cos x (sin y + x cot g y )y ′ = y ′ + tgy = (2e y x cos y ) − x y′ = (1 − xy ) y ′ = y ( y − 1) x − hàm, y − biến Đặt z = sin y x − hàm, y − biến x − hàm, y − biến 10 y ′ + xy = x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ ⎪y′ − y = 11 ⎨ x x ⎪⎩ y(1) = 12 y ′ + = (coi x hàm y) 2x − y 13 ye y = y ′(y + 2xe y ), với y(0) = -1 (coi x hàm y) 14 (x − y )dx + xdy = 15 Giải phương trình vi phân 2xy ′ + y = 1− x 16 2x (1 + x )y ′ − (3x + )y + 2x + x = 17 xy ′ − y = x sin x 18 Tìm nghiệm riêng phương trình y ′ cos x + y = tgy thỏa mãn điều kiện y(0)=0 19 Tìm nghiệm riêng phương trình y ′ − x + y = arcsin x thỏa mãn điều kiện y(0) =0 20 xy ′ + y = y ln x 21 y y ′ − ay = x + 22 (xy + x y )y ′ = x − hàm, y − biến 23 y ′x sin y = x ′y − y x − hàm, y − biến 24 (x + y + 1)dx + xydy = 25 (x − 1)y ′ sin y + x cos y = x − x 26 x(e y − y ′) = Đặt z = cos y Đặt z = e y 27 y ′ − = e x + y 28 (x + y + x − y )dx + 2( y − 1)dy = Đặt z = y − 29 x y ′ = y(x + y ) (biến đổi dạng y ′ − 1 y = y2 ) x x 30 Tìm nghiệm phương trình vi phân ydx + 2xdy = CuuDuongThanCong.com 2y x dy thỏa mãn điều kiện y(0 ) = π cos y https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 31 (x + 1)(y ′ + y ) = − y 42 y′ cos x + y = tan x 37 y′ + y = x 38 ( x + 1) y′ + y = x 2 y x cos x 44 y′ − y = thỏa mãn y (1) = x x y + y2 = 45 y′ + x +1 y 46 y′ − = x y 47 xy′ + y = 1− x 48 xyy′ − y = x3 49 xyy′ − y = x 39 x y′ − xy = y 40 x3 y′ − x y + y = y y2 50 y′ − = x x 32 xydy = (y + x )dx ( 43 y′ + y = ) 33 y + xy dx = xdy 34 xy ′ − x y = y 35 x y ′ = y (2 xy ′ − y ) (coi x = x(y)) 36 xyy ′ − y = x α (α tham số) 41 y′ − y x = x y Phương trình vi phân tồn phần ⎛1 ⎝y ⎜⎜ sin ⎛1 x y y ⎞ y x x ⎞ − cos + 1⎟⎟dx + ⎜⎜ cos − sin + ⎟⎟dy = y x x ⎠ x y y y ⎠ ⎝x x x ⎛ ⎞ ⎛ x⎞ y ⎟ ⎜ x + e dx + e y ⎜⎜1 − ⎟⎟dy = ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ) ( x + x − y dx − x − y dy = (x (x cos y − y sin y )dy + (x sin y + y cos y )dx = (x + y )( xdy − ydx ) = (a + x )x dx ln x − xy )dx + 3x y dy = y dx + (2xy + 3)dy = e x (2 + 2x − y )dx − 2e x ydy = (y ) +1 ( ) dx + y + 3xy + y dy = 10 (y cos x − sin x )dy = y cos x (y sin x + 1)dx 11 (2 x + 3x y )dx = (3y − x )dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ( ) ⎞ ⎛ x x + cos y =0 + ⎟⎟dx − sin y ⎠ ⎝ sin y 12 ⎜⎜ 13 (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 14 (x + sin y )dx + (x cos x + sin y )dy = ⎛ 15 3x (1 + ln y )dx = ⎜⎜ y − ⎝ x3 ⎞ ⎟dy y ⎟⎠ 16 ( xy + 3) dx + x dy = 17 xe y dx − e y ( + y − x ) dy = ) ( 18 x + 3xy + x dx + ( x + 1) dy = 3/2 19 ( 3x − y ) dx = ( y + 3xy ) dy y + 1) cos x ( ⎛ y ⎞ + ⎟ dy − dx = 20 ⎜ 2sin x ⎝ sin x ⎠ 21 ( x + sin y ) dx + ( x cos y + sin y )dy = ⎛ 22 ⎜ x − y3 ⎞ ⎟ dx = y (1 + ln x ) dy x ⎠ ⎝ 23 (1 + y sin x ) dx − y cos xdy = y⎞ ⎛ + x sin y + ⎟ dx + ( x cos y + ln x ) dy = x⎠ ⎝x 25 ( sin y − x cos y ) dx + x cos y ( x sin y + 1)dy = 24 ⎜ 26 ( xy + e y cos x ) dx + ( x + e y sin x ) dy = 27 ( y cos x + x sin x)dx + ( y + sin x ) dy = ⎛ 28 3x ( x + ln y ) dx = ⎜ y − ⎝ x3 ⎞ ⎟ dy y⎠ ⎛ x⎞ + y sin x + ⎟ dy = y⎠ ⎝y y ⎛y ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ − 1⎟ dx = ⎜ y + e ⎟ dy ⎝ ⎠ ⎝x ⎠ 29 ( y cos x + ln y ) dx + ⎜ 30 e y x Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange- Klero x ′y = + y ′ y = e y′ y ′ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 y ′ x = e y y = y ′(1 + y ′ cos y ′) y = xy ′ + sin y ′ y = xy ′ + e y′ y = y ′x + y y ′ ( Nhân hai vế với y , Đặt z = y ) x = y + y′ y′ ( x − hàm, y − biến) xy ′ − y = ln y ′ 10 y ′ ( y − xy ′) = PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân tuyến tính x y ′′ − y = x cos x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x2 Giải phương trình vi phân: x (x + 1)y ′′ = y biết nghiệm y = + x Giải phương trình vi phân (x + 1)y ′′ − y = biết nghiệm có dạng đa thức Giải phương trình vi phân (2x + 1)y ′′ + (2 x − 1)y ′ − y = x + x biết có hai nghiệm riêng y1 = x + 4x − y2 = x2 +1 2 αx Xác định số α cho y = e nghiệm riêng phương trình vi phân ( ) y ′′ + 4xy ′ + x + y = Tìm nghiệm tổng quát phương trình Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (3x + 1)xy ′′ + y ′ − xy = − 12 x biết có hai nghiệm riêng y1 = x, y = (x + 1)2 Giải phương trình xy′′ + y′ + xy = cot x biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = sin x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 (x + 1)y ′′ − y = biết nghiệm có dạng đa thức Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 10 Giải phương trình xy′′ − y ' = x 11 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x x y '− y = x − , biết nghiệm riêng phương trình vi phân 1− x 1− x tương ứng y1 = e x 12 Giải phương trình y′′ + 13 Giải phương trình x ( ln x − 1) y′′ − xy '+ y = , biết nghiệm riêng có dạng y = xα , α số 14 Tìm nghiệm riêng phương trình ( x − x ) y′′ + ( x − ) y '+ (1 − x ) y = thỏa mãn y (1) = 0, y ' (1) = , biết nghiệm riêng y = e x 15 Giải phương trình ( x − x ) y′′ + ( x − 1) y '− y = −2 , biết có hai nghiệm riêng y1 = 1, y2 = x 2x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân y' = x +1 x +1 tương ứng y1 = 16 Giải phương trình y′′ + 17 Giải phương trình ( x + 1) y′′ + ( x − ) y '− y = , biết nghiệm riêng có dạng y = eax , α ∈ \ 18 Giải phương trình xy′′ − ( x + 1) y '− ( x − 1) y + x = , biết nghiệm riêng phương trình tương ứng có dạng y = eax , α ∈ \ 19 Giải phương trình ( x − 1) y′′ − y = biết nghiệm riêng có dạng đa thức x 21 Giải phương trình ( x + 1) y′′ + xy '− y = x + , biết nghiệm riêng phương trình vi 20 Giải phương trình y′′ − y ' = x phân tương ứng y1 = x 22 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng có dạng đa thức 23 Giải phương trình ( x − 1) y′′ + xy '+ y = x , biết có hai nghiệm riêng y1 = x, y2 = x2 + x + x +1 2x y '+ y thỏa mãn x +1 x +1 y ( 3) = 22, y ' (1005 ) = 2000 , biết nghiệm riêng y1 = x 24 Tìm nghiệm riêng phương trình y′′ = − 25 Giải phương trình ( x + 1) y′′ − xy '+ y = , biết nghiệm riêng có dạng đa thức 26 Giải phương trình y′′ + xy '+ ( x + ) y = , biết nghiệm riêng có dạng y1 = eα x , α ∈ \ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 cot x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân x x sin x tương ứng y1 = x 28 Giải phương trình y′′ − xy '+ ( x − 1) y = e x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân 27 Giải phương trình y′′ + y '+ y = tương ứng y1 = e x sin x 29 Giải phương trình xy′′ + y '− xy = e x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân ex x 30 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x tương ứng y1 = 31 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 sin x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 32 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 cos x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 33 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 ln x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 34 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x3 , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 35 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = −8 x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 36 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 37 Giải phương trình x y′′ − xy '+ y = x ln x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x 38 Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = x − x + , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = e x 39 Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = , biết nghiệm riêng có dạng y = eα x , α ∈ \ 40 Tìm nghiệm riêng phương trình ( x + 1) y′′ − xy '+ y = thỏa mãn y x = = 1, y ' x = = −1 , biết nghiệm riêng y1 = x 41 Tìm nghiệm riêng phương trình y " = − 2x y '+ y thỏa mãn y x =1 = 1, y ' x =1 = −1 , biết x +1 x +1 nghiệm riêng y1 = x 42 Giải phương trình (1 + x ) y′′ + xy '− y = x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân tương ứng y1 = x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 2x , biết nghiệm riêng phương trình vi y '− y= 2 1+ x 1+ x + x2 phân tương ứng y1 = x 44 Giải phương trình (1 + x ) y′′ + xy '− y = , biết nghiệm riêng phương trình vi phân x tương ứng y1 = x 45 Giải phương trình xy′′ + y '− xy = , biết nghiệm riêng phương trình vi phân 43 Giải phương trình y′′ + tương ứng y1 = ex x x ex tương ứng y1 = x 46 Giải phương trình y′′ + y '− y = e2 x , biết nghiệm riêng phương trình vi phân x Phương trình vi phân tuyến tính hệ số số y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = y ′′ − y ′ + y = 3e x + x y ′′′ − y ′′ + y ′ − 18 y = y ′′ − y = sin x − cos x y (4 ) + y = y ′′′ − y ′ + y = e − x cos x y (4 ) + y ′′′ + y ′′ + y ′ + y = 10 y ′′ + n y = sin nx y ( ) + y ( ) + y (5 ) + y ( ) = 11 y ′′ + y = sin x sin x y ′′ + y = 4e x 12 x y ′′ − xy ′ + y = x ln x t = ln x 13 (2 x + 1)2 y ′′ − 4(2 x + 1) y ′ + y = −8 x − 14 y ′′ + 1 y ′ + y = sin (ln x ) x x t = ln x 15 (1 + x )2 y ′′ + (1 + x ) y ′ + y = cos ln(1 + x ) 16 y ′′ + y = ln sin t = ln (2 x + 1) t = ln (1 + x ) x 17 Dùng phép biến đổi hàm y = z để giải phương trình vi phân: x y ′′ + 4xy ′ + (x + )y = e x x2 18 y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) (Đặt y = e-xz) 19 Giải phương trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e x y = e 3x đổi biến t = e x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 20 y ′′ cos x + y ′ sin x − y cos x = đặt t = sinx 21 Giải phương trình vi phân xy ′′ + y ′ − xy = e x phép đổi hàm z = xy 22 y ′′ + y ′tgx − y cos x = dùng t = sinx 23 Giải phương trình vi phân xy ′′ + 2(1 − x) y ′ + ( x − 2) y = e − x phép đổi hàm z=xy 24 x y ′′ + xy ′ + y = phép biến đổi x = 1/t x2 25 x y ′′ + xy ′ + y = x (biến đổi x = e t ) 26 x y ′′ − 4xy ′ + y = (biến đổi x = e t ) 27 y ′′ + y ′ + y = + e −2 x ln x 41 y ′′ + y ′ + y = sin x + 28 y ′′ + y ′ = xe − x 29 y ′′ − y ′ − 3y = xe 4x +x 42 y ′′ + y = e −x x sin x 30 y ′′ − y ′ + 5y = x sin 3x 43 y ′′ + y = xe x + 2e − x 31 y ′′ + y ′ = x + e − x 44 y ′′ + y ′ − y = cos x − sin x 32 y ′′ − y ′ + y = x (e x + 1) 45 y ′′ − y ′ = cos x 33 y ′′ + 5y ′ = 29x sin x 46 y ′′ + y = sin x + cos x 34 y ′′ + y = sin x 47 48 49 50 51 35 y ′′ − y = (2 − 4x )e x 36 y ′′ − y ′ + y = ex + cos x x 37 y ′′ − y ′ + y = + y′′ − y′ + y = 3e2 x + x y′′ − y = 2sin x − cos x y′′ + n y = sin nx y′′ + y = sin x sin x x y′′ − xy′ + y = x ln x 52 ( x + 1) y′′ − ( x + 1) y′ + y = −8 x − 1 y = 2sin ( ln x ) x x2 54 (1 + x ) y′′ + (1 + x ) y′ + y = cos ln (1 + x ) ex x 53 y′′ + y′ + 38 y ′′ − y ′ + 5y = e x + cos x 55 x y′′ + xy′ + ( x + ) y = e x 39 y ′′ − y ′ + 8y = e x + sin 2x 56 x y′′ + xy′ − y = x ln x 57 y′′ + y′ = e− x ( sin x − cos x ) 40 y′′ − y′ + y = 2e2 x − + e x cos x 58 y′′ − ( 2e x + 1) y′ + e2 x y = e3 x 59 y′′ + y′ = x + e − x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 60 y′′ − y′ + y = x ( e x + 1) 78 y′′ + y′ + y = sin x + 61 y′′ cos x + y′ sin x − y cos3 x = 62 y′′ + y′ = 29 x sin x sin x 64 y′′ − y = ( − x ) e2 x 63 y′′ + y = ex + cos x x xy′′ + y′ − xy = e x y′′ + y′tgx − y cos x = y′′ − y′ + y = x sin 3x xy′′ + 2(1 − x) y′ + ( x − 2) y = e− x y′′ − y′ − y = xe x + x 65 y′′ − y′ + y = 66 67 68 69 70 ex x x y′′ + xy′ + y = x y′′ + y′ = xe − x y′′ − y′ + y = e x + cos x x y′′ − xy′ + y = y′′ + y′ + y = + e −2 x ln x y′′ − y′ + y = e x + sin x 71 y′′ − y′ + y = + e− x x 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 y′′ + y = xe x + 2e − x y′′ + y′ − y = cos x − 3sin x y′′ − y′ = cos x y′′ + y = sin x + cos x y′′ + y = x sin x + 5e2 x y′′ + y = sin x + e2 x y′′ − y ' = e x + e x + x y′′ − y '+ y = e x + e x y′′ + y '+ y = x − sin x 89 90 91 92 93 94 95 y′′ − y '+ y = e2 x cos x y′′ − y = x cos x y′′ + y = x sin x y′′ − y '+ y = x + 5sin x y′′ − y '+ y = sin x cos x y′′ − y '+ y = 3x − 8e x y′′ − y ' = e3 x − 18 x y′′ − y '+ y = + x + ( 3x − ) e x 72 73 74 75 76 77 96 Tìm nghiệm riêng phương trình y′′ + y '− y = cos x − 3sin x thỏa mãn y ( ) = 1, y ' ( ) = 97 Tìm nghiệm riêng phương trình y′′ + y = x cos x thỏa mãn y ( ) = 0, y ' ( ) = Phương trình vi phân cấp cao chưa giải đạo hàm 98 y ′′′ + x = Đặt y ′′′ = cos ϕ ; x = sin ϕ 99 Tìm nghiệm phương trình: y ′′ = 4( y ′ − 1) thoả mãn điều kiện ban đầu: a) y = , y ′ = x = b) y = , y ′ = x = 101 (1 + x )y ′′ + y ′ + = y ′(1 + y ′ ) = ay ′′ 102 y′′′ (1 + y′2 ) − y′y′′2 = ⇒ 100 2 103 yy ′′ − y ′ = CuuDuongThanCong.com yy ′ 1+ x2 đặt y ′ = yz y′′′ y′y′′ = y′′ + y′2 104 yy ′′ = y ′ 105 yy ′′′ = y ′y ′′ https://fb.com/tailieudientucntt dạng nhất, Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 1 y′ + y = x x 113 (x + 1)y ′′ + x (y′)2 = y ′ ⎛ y⎞ ⇒ d ( y′ − x) − d ⎜ ⎟ = ⎝ x⎠ 114 y ′′ cos y + (y ′) sin y = y ′ 106 107 y ′′ − y ′′y + y y ′ + y ′ = 115 yy ′ chia hai vế x cho yy ′ y y ′′ = y ′ 116 xy ′′ = y ′ + x (Đặt y’ = p) 117 y ′ + yy ′′ = yy ′ 108 y ′′ = y ′e y 118 xy ′′ = y ′ + x 109 y ′′(1 + y ) = y ′ + y ′ (Đặt y’ = p(y) ) 119 xy ′′ = yy ′ − y ′ (Đặt z = xy’) 110 yy ′′ + y ′ = (Đặt y’ = p(y) ) 120 111 y ′′ = e y thỏa mãn y(0 ) = y ′(0 ) = ⎧ y ′′ = yy ′ ⎨ ⎩ y(0 ) = 2; y ′(0) = 112 2xy ′y ′′ = y ′ − CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt ⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪⎪ dy ⎨ = x + 2y − z ⎪ dt ⎪ dz = x − y + z ⎪⎩ dt ⎧ dx ⎪ dt = x − y − z ⎪⎪ dy ⎨ = y − x + z ⎪ dt ⎪ dz = x − z ⎪⎩ dt ⎧ dx ⎪ dt − x − y = ⎨ dy ⎪ + 3x + y = ⎩ dt ⎧ dx ⎪ dt = − x + y + z ⎪ ⎪ dy ⎨ = x − y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt CuuDuongThanCong.com ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy ⎨ = x + y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + z ⎪ ⎪ dy ⎨ = y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − 12 y − z ⎪ ⎪ dy 10 ⎨ = x − y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −4 x + 12 y + z ⎩ https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ dx ⎪ dt = x ⎪ ⎪ dy 11 ⎨ = −2 x + y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y ⎪ ⎪ dy 17 ⎨ = 3x − y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = − x − y + z ⎪ ⎪ dy 23 ⎨ = x + 11 y − 12 z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −2 x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 12 ⎨ = −2 x + y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −2 y ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 18 ⎨ = −2 x + 3z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y − 11z ⎪ ⎪ dy 24 ⎨ = 18 x + 11y − 27 z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = 13 x + y − 18 z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + z ⎪ ⎪ dy 13 ⎨ = y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x + y ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y + z ⎪ ⎪ dy 19 ⎨ = x − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = − x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y − z ⎪ ⎪ dy 25 ⎨ = x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x + y − z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y − z ⎪ ⎪ dy 14 ⎨ = −2 x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −2 x + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 20 ⎨ = −2 x + y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −2 y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y + z ⎪ ⎪ dy 15 ⎨ = x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 21 ⎨ = x − y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = y − z ⎪ ⎪ dy 26 ⎨ = x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −2 y + z ⎪ ⎪ dy 27 ⎨ = − x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −4 x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x + y ⎪ ⎪ dy 16 ⎨ = x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = y + z ⎩ CuuDuongThanCong.com ⎧ dx ⎪ dt = −3,5 x + y − 2,5 z ⎪ ⎪ dy 22 ⎨ = −8 x + 13 y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −10,5 x + 15 y − 3,5 z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = − x + y + z ⎪ ⎪ dy 28 ⎨ = −3 x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = z ⎩ https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 29 ⎨ = x − y − 13z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = − y + z ⎪ ⎪ dy 35 ⎨ = −3 x + y + 3z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −5 x + y ⎪ ⎪ dy 41 ⎨ = −6 x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −6 x + y − z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 30 ⎨ = − x + y + z 2 ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 36 ⎨ = − x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 42 ⎨ = x ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −8 x + y − z ⎩ 3 ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 31 ⎨ = − x + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ ⎪ dy 37 ⎨ = − x + y + z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −3 x + y ⎪ ⎪ dy 43 ⎨ = −4 x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = 13 x + −8 y + z ⎩ 3 ⎧ dx x y z = − + ⎪ dt 2 ⎪ ⎪ dy 32 ⎨ = x − y − z 2 ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 38 ⎨ = x ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −3 x + y ⎪ ⎪ dy 44 ⎨ = −4 x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = 10 x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y − z ⎪ ⎪ dy 33 ⎨ = x − y − z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y − z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 39 ⎨ = x ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = x − y ⎪ ⎪ dy 45 ⎨ = x − y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −12 x + y − z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −2 x + y + z ⎪ ⎪ dy 34 ⎨ = −3x + y + 3z ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = − x + y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −5 x + y ⎪ ⎪ dy 40 ⎨ = −6 x + y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = 12 x − y + z ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −4 x + 10 y − z ⎪ ⎪ dy 46 ⎨ = −8 x + 11 y ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = −3 x − y + 12 z ⎩ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... − y = 11 ⎨ x x ⎪⎩ y(1) = 12 y ′ + = (coi x hàm y) 2x − y 13 ye y = y ′(y + 2xe y ), với y(0) = -1 (coi x hàm y) 14 (x − y )dx + xdy = 15 Giải phương trình vi phân 2xy ′ + y = 1− x 16 2x (1 +... ln y ) dx + ⎜ 30 e y x Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange- Klero x ′y = + y ′ y = e y′ y ′ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập... trình vi phân: x y ′′ + 4xy ′ + (x + )y = e x x2 18 y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) (Đặt y = e-xz) 19 Giải phương trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e x y = e 3x đổi biến t = e x CuuDuongThanCong.com