phương trình vi phân cấp 1 PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân.. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm. Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến PTVP đạo hàm riêng. Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Bài tốn dẫn phương trình vi phân Vận tốc nguội lạnh vật khơng khí tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Tìm quy luật giảm nhiệt vật nhiệt độ khơng khí 20 C nhiệt độ ban đầu vật 100 C Quy luật giảm nhiệt ⇔ thay đổi nhiệt độ theo thời gian Gọi nhiệt độ vật hàm số T theo biến thời gian t dT = k [ T (t ) − 20] , T (0) = 100 C dt ⇒ PTVP BÀI TỐN DẪN VỀ PTVP Tìm pt đường cong qua điểm (1, 1) với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn đường cong tích lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) x M(x,y) ∫1 y(t)dt = xy( x) Đạo hàm vế Lưu ý: x y(1) = y( x) = y( x) + xy'( x) ⇔ xy'( x) + y( x) = BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP 20cm 100m / s v = 400m / s Giả thiết: lực cản tường tỷ lệ bình phương vận tốc Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA PTVP phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm vi phân Cấp ptvp cấp cao đạo hàm ẩn hàm Nếu ẩn hàm hàm biến ⇒ PTVP thường Nếu ẩn hàm hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm riêng Hệ PTVP hệ gồm nhiều PTVP nhiều ẩn hàm NGHIỆM CỦA PTVP Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y (n) )=0 (1) Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci số gọi nghiệm tổng quát (1) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta nghiệm riêng (1) Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = thỏa mãn (1) gọi tích phân tổng qt (1) (y tìm dạng ẩn) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng (1) NGHIỆM CỦA PTVP Đồ thị hàm nghiệm gọi đường cong tích phân Hàm y = y(x) thỏa (1) nghiệm riêng gọi nghiệm kỳ dị (1) Bài toán Cauchy cho ptvp cấp Xét ptvp cấp 1: Hoặc F(x, y, y’) = (1) y’ = f(x, y) (2) (2) Gọi pt giải đạo hàm Bài tốn tìm hàm y thỏa (1) (2) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Gọi toán Cauchy MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP Phương trình tách biến Phương trình đẳng cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình vi phân tồn phần Phương trình Bernoulli PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN Phương trình tách y x vế khác gọi phương trình tách biến f(y) dy = g(x) dx Phương pháp giải: tích phân vế Nhận dạng: y’ = f(y)g(x) Giải pt: ( x + y )dx ydy + =0 2 (x + y ) (x + y ) x + y ′ x + y − x + y x + y ( ) ( ) ( ) ′ Py = 2÷ = ( x + y) y ( x + y) = −2 y − xy ( x + y) ′ y −2 ( x + y ) y Qx′ = 2÷ = ( x + y) x ( x + y) ( x + y )dx ydy + =0 2 ( x + y) ( x + y) pt vi phân tồn phần Tích phân tổng qt: U(x,y) = C, với x y (t + 0) dt tdt U ( x, y ) = ∫ + ∫ 2 ( t + 0) ( x + t ) x = ln | x + y | + −1 x+ y PTVP TUYẾN TÍNH CẤP (1) y’ + p(x) y = q(x) Toàn pt chứa hàm bậc theo y y’ (2) y’ + p(x) y = 0: pt Cấu trúc nghiệm tổng quát (1): • y0 nghiệm tổng quát (2) • yr nghiệm riêng (1) y = y0 + y r Bước 1: tìm y0 y’ + p(x) y = (dạng tách biến) − ∫ p( x) dx y0 = Ce yr = C ( x) e ∫ − p( x) dx Bước 2: tìm yr dạng Biến thiên số: y0 coi C =C(x) Thay yr vào y’ + p(x)y = q(x) − ∫ p( x) dx C '( x)e (1) để xác định C(x) − ∫ p( x) dx − p( x)C ( x)e + p( x) yr = q( x) ⇒ C '( x) = q( x)e∫ p( x) dx Chọn C ( x) = ∫ q( x)e p( x) dx − ∫ p( x) dx ∫ ∫ ⇒ yr = e dx ∫ q( x)e p( x) dx dx Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp − ∫ p( x) dx y= e Vd: ( ∫ q( x)e ∫ p( x) dx dx + C / xy'− y = x ⇔ y'− y = x2 p(x) = -1/x , q(x) = x2 x −1 −1 − ∫ dx dx ∫ x ⇔ y= e ∫ x e x dx + C ÷ ÷ x = x ∫ x dx + C ÷ = x + C ÷ x ) 2 / y'− xy = − x − ∫ −2 xdx ⇔ y= e ( −2 xdx ∫ ∫ (1 − x )e dx + C x2 ( ∫ (1 − 2x )e x2 ( xe =e =e − x2 − x2 ) dx + C ) x2 + C = x + Ce ) x / y + ∫ y(t)cos(t) dt = sin x + Đạo hàm vế y'+ ycos x = sin xcos x ⇔ y(0) = (Đk ban đầu cận tp) − ∫ cos xdx ⇔ y= e − sin x =e (∫ cos xdx ∫ sin xcos xe dx + C ( ∫ sin xcos xe sin x dx + C ) ) ( ∫ sin x cos xe dx + C ) = e− sin x ( sin xesin x − ∫ cos xesin xdx + C ) =e − sin x − sin x =e sin x ( sin xe sin x sin x −e +C ) − sin x y = sin x − + Ce y(0)=1⇒ C = Nghiệm toán: y = sin x − + 2e− sin x / y'( x + y) = y + (1), Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược) Pt viết lại: x′( y + 1) = x + y Xem x hàm theo y x y x′ − = y+ y+ (2) x y x′ − = y+ y+ −∫ − ⇒ x= e dy y+1 ∫− y e ∫ y+ dy + C ÷ ÷ dy y+1 ⇒ x = ( y + 1)(ln | y + 1| − + C) y+ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI y′ + p ( x ) y = yα q ( x ) , α ≠ 0,1 Phương pháp giải: 1− α α Chia vế cho y đổi biến u = y Pt trở thành: u′ + ( − α ) p ( x ) u = ( − α ) q ( x ) (Tuyến tính ) Vd: 2 / xy'+ y = x y Chia hai vế cho y : Đặt u = y 1−2 =y −1 y ⇔ y'+ = xy x y' 1 + =x y xy u u Pt trở thành: −u'+ = x ⇔ u'− = − x x x dx dx ∫x ∫− x ⇔ u = e ∫ − xe dx + C ÷ = − x + Cx ÷ 1 ⇔ = − x + Cx ⇔ y = y − x + Cx y / y'+ = x xy −2 Nhân vế với y (chia cho y ), pt trở thành: y y'+ y = x x Đổi biến: u = y u u u'+ = ⇔ u'+ = 3 x x x x ⇔ u = + Cx−3 ⇔ y3 = + Cx−3 / ( x + x3 sin y) y' = y ⇔ yx' = x + x3 sin y x' sin y x sin y = ⇒ x'− = x ⇒ 3− 2y 2y 2y x yx Đổi biến: u = x −2 , pt trở thành: u sin y −1 u'+ = − ⇔ u = y (cos y + C ) y y cos y + C ⇔ 2= y x ... )=0 (1) Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci số gọi nghiệm tổng quát (1) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta nghiệm riêng (1) Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = thỏa mãn (1) gọi tích phân tổng quát (1) (y... 1 u ⇒ u'x = u y u= x Hay: y = ux x y ⇒ y ' = 1+ y x ⇒ y' = u'x + u u ' x + u = 1+ u u ⇒ u + ln|u -1| =− ln|x| + C PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP ax + by + c y′ = f ÷ a1x + b1 y + c1 a b =0 a1... a1x + b1 y + c1 a b =0 a1 b1 Bước 1: giải hệ pt đưa tách biến ax + by + c = a1x + b1 y + c1 = Với cặp nghiệm (x0, y0), đặt : Pt trở thành: a b ≠0 a1 b1 X Y′ = g ÷ Y Bước 2: giải