1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cấp 2

36 1,8K 2
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 36
Dung lượng 1,15 MB

Nội dung

II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa • Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: 0)",',,( =yyyxF hay )',,(" yyxfy = Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và )("),(' xyxy là các đạo hàm của nó. • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm ),,( 21 ccxy ϕ = Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 2. Bài toán Cauchy )',,(" yyxfy =    = = bxy axy )(' )( 0 0 bax ,,; 0 là các số cho trước. • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c 1 , c 2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. mãn điều kiện đầu: thỏa 0)",',( =yyxF b- Cách giải: ')( yxz = VD1: Giải phương trình vi phân )1(' 1 1 " −= − − xxy x y Nhận xét: Phương trình này không chứa y 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: ')( yxz = đặt Hạ bậc bằng cách đặt nên ta Phương trình đầu )1( 1 1 ' −=⋅ − −⇒ xxz x z Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là )(xz ∫ +−=⇒ ∫∫ − − − ]).1([)( 1 1 1 1 1 cdxexxexz dx x dx x ∫ + − −−=⇒ ] 1 1 ).1()[1()( 1 cdx x xxxxz ) 2 )(1()( 1 2 c x xxz +−=⇒ 11 23 22 ' cxc xx y −+−=⇒ 11 2 1 34 268 cxc x c xx y +−+−=⇒ là nghiệm tổng quát của phương trình. VD2: Giải phương trình vi phân: xyy cotg).1'(2" −= Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt ')( yxz = Phương trình đầu xzz cotg).1(2' −=⇒ )01:ÐK(cotg.2 1 ≠−= − ⇒ Zxdx z dz dxx z dz ∫ ∫ = − ⇒ cotg2 1 1 sinln21ln cxz +=−⇒ xcz 2 1 sin1 =−⇒ 21 )2sin 4 1 2 ( cx x cxy +−+=⇒ tổng quát của phương trình. là nghiệm xcy 2 1 sin1' +=⇒ 3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x 0)",',( =yyyF b- Cách giải: ')( yyz = dy dz z dx dy dy dz dx dz y ⋅=⋅==⇒ " a- Dạng: VD1: Giải phương trình vi phân: 0'". 2 =−yyy thoả điều kiện    = = 2)0(' 1)0( y y Hạ bậc bằng cách đặt Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz = z dy dz y ⋅=⇒ " Từ phương trình đầu ta có: 0 2 =−⋅ zz dy dz y )0,0:(; ≠≠=⇒ zyĐK z dz y dy zcy lnln 1 =+⇒ ycz 1 =⇒ dxc y dy 1 =⇒ 21 ln cxcy +=⇒ xc ecy 1 2 =⇒ Từ điều kiện đầu ta tính được 1,2 21 == cc Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là x ey 2 = ycy 1 '=⇒ là nghiệm tổng quát của phương trình. Trường hợp:    = = 0' 0 y y VD2: Giải phương trình vi phân )1'('" += yyyy Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz = z dy dz y ⋅=⇒ " Từ phương trình đầu ta có: )1( +=⋅⋅ zzz dy dz y loại vì không thoả mãn điều kiện đầu [...]... hằng số: Phương trình y"+ a1 y '+ a2 y = 0 k + a1k + a2 = 0 2 (*) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*) ∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt k1 , k 2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: k1x k2 x y = c1e + c2e ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 = k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y = (c1 + c2 x)e k1 x ∗ Nếu phương trình. .. nghiệm phức k1 = α + iβ  k2 = α − iβ Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y = e (c1 cos βx + c2 sin βx) αx VD1: Giải phương trình vi phân: y"+4 y '+3 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm k + 4k + 3 = 0 2 k1 = −1, k2 = −3 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x y = c1e + c2e −3 x VD2: Giải phương trình vi phân: y"−10 y ' +25 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm... = 0 2 k1 = k2 = 5 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = (c1 + c2 x)e 5x VD3: Giải phương trình vi phân: y" +2 y '+4 y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm phức: 2 k + 2k + 4 = 0  k1 = −1 + 3 i  k2 = −1 − 3 i Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x y = e (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x) b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y"+ a1 y '+ a2 y... riêng của phương trình đầu Lấy y* thế vào phương trình đầu (*) ta tính được: A= ½ , B=-1, C=1 x 2x 3x 1 2 Vậy y = (c1e + c2 e ) + e ( x − x + 1) 2 VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−4 y '+4 y = xe 2x Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm kép k − 4k + 4 = 0 2 có k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 2x Bước 2: Tìm nghiệm Ta có: α =2 y* f... riêng của phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f1 ( x) là nghiệm riêng của phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f 2 ( x) VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y"− y ' = 5e − sin 2 x x Nghiệm tổng quát của phương trình này là: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng 2 k −k =0 k1 = 0, k2 = 1 ⇒ y = c1e + c2e ox x có nghiệm Bước 2: Tìm * y f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) với f 2 ( x) = − sin 2 x y... 1 = x + c2 c1 1 c1 ⇒ (c1 y − 1) = c2e x là nghiệm tổng quát của phương trình Trường hợp: y=0   y' = 0  y ' = −1  thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm y =0  y = c  y = −x + c  4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là: y"+a1y'+a2 y = f (x) với ai là các hằng số thực a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất... Lúc này: αx phương trình đặc y = x e H n ( x ) * h VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−3 y ' +2 y = e ( x + x) (∗) 3x 2 Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm k − 3k + 2 = 0 2 có k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e + c2e x 2x y* 3x 2 f ( x) = e ( x + x) Bước 2: Tìm Ta có: α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc * 3x 2 trưng nên y... xx 2 x x x2  x t VD: Giải phương trình Euler: 2 x y"−xy'+ y = ln x Đặt: Thế (trong miền x>0) ⇒ t = ln x '  y x = 1 ⋅ yt' x  ⇒ "  y " = 1 ( ytt − yt' )  xx x 2 x=e y t " xx ' x ,y vào phương trình đầu ta được: y − 2y + y = t " tt ' t Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng ⇒ y = y + y* • Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k − 2k + 1 = 0 2 k1 = k2 = 1 ⇒ y = (c1 + c2t... + * y2 là nghiệm riêng của phương trình y"− y ' = 5e (α = 1, Pn ( x) = 5) x Ta có: α =1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y = x.e A * 1 x Lấy được Với * y1 thế vào phương trình y"− y' = 5e x ta tính A=5 * y2 là nghiệm riêng của phương trình: y"− y ' = − sin 2 x (α = 0, β = 2, Pn ( x ) = 0, Qm ( x ) = −1) Ta có: α ± iβ = ±2i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: y = A cos 2 x... Bước 2: Tìm nghiệm Ta có: α =2 y* f ( x) = e x 2x là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên y* = x2e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của phương trình đầu y* thế vào phương trình đầu ta tính được A=1 , B=0 6 2x 2 1 2x Vậy y = (c1 + c2 x )e + x ( x ).e 6 Lấy •Trường hợp f ( x) = eαx [ Pn ( x) cos βx + Qm ( x) sin βx]  Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì y = e [ H l ( x) cos βx . xét: Phương trình này không chứa y 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: ')( yxz = đặt Hạ bậc bằng cách đặt nên ta Phương trình. thực. ∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt 0'" 21 =++ yayay 0 21 2 =++ akak 21 , kk a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: Phương trình phương trình. hàm của nó. • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm ),,( 21 ccxy ϕ = Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 2. Bài toán Cauchy )',,("

Ngày đăng: 03/02/2015, 11:36

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w