nói đầu Quyển sách này được soạn ra trên cơ sở nhiều năm dạy lí thuyết và bài tập môn Phương trình vi phân của anh em cán bộ nhóm Phương trình vi phân ở khoa Toán Cơ Trường Đại học Tự nhiên Hà Nội. Nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi : sinh viên các trường đại học tự nhiên, các trường đại học kĩ thuật, đại học sư phạm, các lớp học tại chức, hàm thụ... các bài tập ở trong quyển sách này được chọn ra ồ những mức độ khó, dễ khác nhau và nhiều dạng khác nhau. Để các bạn sử dụng sách được dễ dàng, trong mỗi tiết của mỗi chương chúng tôi trịnh bày tóm tắt những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất để giải phần lớn các bài tập trong tiết đó. Những phần lí thuyết không trình bày ờ đây bạn đọc có thể xem ở các tài liệu tham khảo 6, 7, 11 hoặc 3. Các bài tập tương đối khó được đánh thêm dấu () ở trên số thứ tự. Riêng các bài tập trong chương V phần lớn là tương đối khó nên chúng tôi không đánh thêm dấu (). Phần lớn các bài tập trong quyển sách này được chọn từ các cuốn sách được nêu ra ở Tài liệu tham khảo, từ các kì thỉ tuyển chọn nghiên cứu sinh ở Việt Nam và các kì thi vô địch sinh viên giỏi toán toàn Liên Xô. Trong phần đáp số, hướng dẫn và lời giải chúng tôi đã giải hầu hết các bài tập có tính chất lí thuyết và các bài tập khác đều có đáp số. Cần nói rằng một số lời giải ở đây mang tính chất gợi ý
II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình tách biến (hay biến phân ly) a) Là phương trình vi phân có dạng : f1(x) + f2(y).y’ = hay f1(x)dx + f2(y)dy = (1) b) Cách giải : Lấy tích phân phương trình (1) có : hay Thí dụ : Giải phương trình vi phân : y ‘ = ( + y2) ex Phương trình đưa dạng : c) Lưu ý: Phương trình : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = (2) Nếu g1(y)f2(x) ≠ đưa phương trình dạng phương trình tách biến cách chia vế cho g1(y)g2(x) ta : (3) Nếu g1(y) = y = b nghiệm (2) Nếu f2(x) = x = a nghiệm (2) Các nghiệm đặc biệt không chứa nghiệm tổng qt phương trình (3) Thí dụ 2: Giải phương trình vi phân: (y2 - 1) dx - ( x2 + 1) y dy = Với y2 - ≠ ta có : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ngồi nghiệm tổng qt ta nhận thấy cịn có nghiệm: y =1 y = -1 Phương trình đẳng cấp cấp a) Là phương trình vi phân có dạng : (4) Từ (4) có : y = xu > y’ = u + xu’ Thế vào (4) có: u + xu’ = f(u) đưa dạng phương trình tách biến : (5) Lưu ý: Khi giải phương trình (5) ta nhận nghiệm tổng quát f(u) – u ≠ Nếu f(u) – u = u = a có thêm nghiệm y = ax Thí dụ 3: Giải phương trình vi phân: Đặt y = xu, ta có phương trình : Ngồi f(u) = u ⇔ tg u = ⇔ u = kπ x, nên ta cịn có thêm nghiệm : y = kπ x, với k= 0, ± 1, ± 2, …… CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thí dụ 4: Giải phương trình vi phân: Chia tử mẫu vế phải cho x2 ta : Đặt y = xu ta có: Lấy tích phân ta có : , ta : Với điều kiện đầu : x = 1, y = 1, ta nghiệm riêng: x3 + 3xy2 = b) Chú ý: phương trình: (6) đưa dạng phương trình đẳng cấp sau: b1) Nếu đường thẳng a1x + b1y + c1 = , a2x + b2y + c2 = cắt (x1, y1), đặt X = x - x1, Y = y - y1 , phương trình (6) đưa dạng : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b2) Nếu đường thẳng a1x + b1y + c1 = , a2x + b2y + c2 = song song nhau, có : nên phương trình (6) đưa dạng : (7) đặt u = , phương trình (7) trở thành phương trình tách biến Thí dụ 5: Giải phương trình vi phân : Giải hệ phương trình : ta có : x1=1, y1=2 Đặt X = x - 1, Y = y - , có : Đặ t u = , ta có : hay là: x2 + 2xy – y2 + 2x + 6y = C Phương trình vi phân tồn phần a) Là phương trình vi phân có dạng : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt P(x,y) dx + Q(x,y) dy = (8) Nếu vế trái vi phân toàn phần hàm số U(x,y), nghĩa : dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy (theo chương 3, IV.1., điều kiện cần đủ là: ) Khi từ (8) , (9) ta có : dU(x,y) = Vì y(x) nghiệm (8) dU(x,y(x)) = cho ta :U(x,y(x)) = C (9) Ngược lại hàm y(x) thỏa (9) cách lấy đạo hàm (9) ta có (8) Như U(x,y) = C nghiệm phương trình (8) b) Cách giải thứ : Giả sử P, Q (8) thỏa , ta có U thỏa: dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy Lấy tích phân biểu thức , y xem số nên ta có : (10) C(y) hàm theo biến y Lấy đạo hàm biểu thức (10) theo biến y , ta : từ phương trình vi phân tìm C(y) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thí dụ 6: Giải phương trình: (x2 + y2) dx + (2xy + cos y) dy = Ta có: , có hàm U(x,y) thỏa: Lấy tích phân hệ thức thứ theo x, ta có: Lấy đạo hàm biểu thức theo y, nhớ C’(y) = 2xy + cos y có : 2yx + C’(y) = cos y C(y) = sin y + C Vậy có nghiệm phương trình là: c) Cách giải thứ hai (dùng tích phân đường loại 2): Vì dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy (theo theo chương 3, IV.1., điều kiện cần đủ : ) Nên : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (11) Thí dụ 7: Giải phương trình: (x + y + 1) dx + (x – y2 + 3) dy = Ta có : , có hàm U(x,y) thỏa: Sử dụng công thức (10) (với xo = 0, yo=0), có : Vậy ta có nghiệm phương trình vi phân : Phương trình vi phân tuyến tính cấp a) Là phương trình vi phân có dạng: y’ + p(x) y = f(x) (11) p(x), f(x) hàm liên tục Nếu f(x)=0, ta có: y’ + p(x) y = (12) Phương trình (12) gọi phương trình tuyến tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Cách giải: Với phương trình (12), có (13) Với phương trình (11), giải phương pháp biến thiên số tức tìm nghiệm dạng (13) coi C hàm số, dạng : (14) Lấy đạo hàm (14), thay vào (11), có : hay : từ , có: Vậy : (15) Cơng thức (15) nói chung khó nhớ, nên tốt cần nhớ bước tính tốn phương pháp biến thiên số để lặp lại Thí dụ 8: Giải phương trình: y’ – y.cotg x = 2x.sinx Phương trình có nghiệm: Tìm nghiệm phương trình khơng dạng: y = C(x) sin x Thế vào phương trình ban đầu, ta : C’(x) sin x + C(x) cos x – C(x) cos x = 2x sin x C’(x) = 2x C(x) = x2 + C CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vậy : y = x2 sin x + C sin x Thí dụ 9: Giải phương trình: xy’ – 3y = x2 Đưa dạng chuẩn : Nghiệm tổng quát phương trình : Tìm nghiệm dạng y = C(x) x3 Thế vào phương trình ban đầu ta có : C’(x)x3 + 3C(x) x2 – 3C(x) x2 = x Vậy : Chú ý: Nếu coi x hàm số theo biến y phương trình tuyến tính hàm số x có dạng : Thí dụ 10: Giải phương trình: Phương trình khơng tuyến tính Tuy nhiên coi x hàm, y biến ta có : Đây lại phương trình vi phân tuyến tính hàm x Nghiệm tổng qt phương trình có dạng : Tìm nghiệm phương trình khơng dạng : phương trình ban đầu, có : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt , đưa vào Vậy : x = C esiny – 2siny – Phương trình Bernoulli a) Là phương trình vi phân có dạng : y’ + p(x) y = f(x) yα , α ≠ (16) α α b) Cách giải : Đưa dạng : y- y’ + p(x) y1- = f(x) α α Đặt z = y1- , ta z’ = (1-α ) y- y’, nên phương trình (16) có dạng tuyến tính : : z’ + (1 - α )P(x) z = (1-α )f(x) Thí dụ 11: Giải phương trình: Đây phương trình Bernoulli với α = ½ Chia vế cho ta : Thí dụ 12: Giải phương trình: Phương trình khơng tuyến tính Tuy nhiên coi x hàm, y biến ta có : Đặ t , vào phương trình trên, ta có: Nghiệm tổng qt phương trình tương ứng : Tìm nghiệm phương trình khơng dạng : z = C(x) x2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2 Định lý 1: (Về nghiệm tổng qt Phương trình khơng nhất) Nghiệm tổng qt phương trình khơng (1) có dạng : y = yo + yr yo nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (2) yr nghiệm riêng phương trình (1) Phương trình nhất, nghiệm tổng quát 2.1 Định lý 2: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm phương trình (2) y = C1y1(x) + C2y2(x) nghiệm phương trình (2) Chứng minh: Thật vậy, ta có : y’’+ p(x)y’ + q(x)y =[C1y1’’+ C2y2’’] + p(x) [C1y1’+ C2y2’]y1’ + q(x) [C1y1+ C2y2] = C1[y1’’+ p(x)y1’ + q(x)y1 ] + C2[y2’’+ p(x)y2’ + q(x)y2] = + 0=0 (do y1(x), y2(x) nghiệm (2) nên biểu thức [] biểu thức cuối ) Vậy y = C1y1(x) + C2y2(x) nghiệm (2) 2.2 Định nghĩa: Các hàm y1(x), y2(x) gọi độc lập tuyến tính khoảng (a,b) không tồn số α 1, α không đồng thời cho : α 1y1(x) + α 2y2(x) = (a,b) (Điều tương đương với : (a,b) ) Thí dụ 1: + Các hàm y1(x) = x , y2(x)= x2 độc lập tuyến tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt + Các hàm y1(x)= ex, y2(x)= ex phụ thuộc tuyến tính 2.3 Định lý 3: Xem hàm y1(x), y2(x) nghiệm phương trình (2) Khi chúng độc lập tuyến tính với định thức sau khác không : ( định thức gọi định thức Vronski ) 2.4 Định lý 4: (Cấu trúc nghiệm phương trình nhất) Nếu hàm y1(x), y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (2), thì: y = C1y1(x) + C2y2(x) với số C1, C2 nghiệm tổng quát phương trình Thí dụ 2: Chứng tỏ phương trình y’’ – 4y = có nghiệm tổng quát y = C1e2x + C2 e-2x Thật vậy, kiểm tra trực tiếp dễ thấy y1 = e2x y2 = e-2x nghiệm phương trình Mặt khác, C1e2x + C2 e-2x nên chúng độc lập tuyến tính Vậy: y = nghiệm tổng quát phương trình 2.5 Biết nghiệm (2), tìm nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với Giả sử y1(x), nghiệm phương trình (2) Khi tìm nghiệm thứ độc lập tuyến tính với y1(x) dạng : y2(x) = u(x) y1(x), u(x) ≠ const Thí dụ 3: Biết phương trình y’’ – 2y’ +y = có nghiệm y1 = ex Tìm nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với y1(x) Việc kiểm tra lại y1 = ex nghiệm dễ dàng Tìm y2(x) = u(x) ex y’2 = ex u + ex u’ , y’’2 = ex u + 2ex u’ + 2ex u’’ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thay vào phương trình cho, có : ex (u’’ + 2u’ + u) - 2ex (u + u’) + ex u = 2ex u’’ = 0, u’’ =0 , u = C1x + C2 Vì cần u ≠ const, nên lấy C1 = , C2 = 0, nghĩa u = x, y2 = x ex Nghiệm tổng quát có dạng : y = C1ex + C2x ex Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm riêng Để giải phương trình không cần phải biết nghiệm tổng quát phương trình mà ta vừa tìm hiểu mục Ngồi cịn cần tìm nghiệm riêng tìm dạng giống nghiệm tổng quát phương trình nhất, tức dạng: y = C1y1(x) + C2 y2(x) (3) y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính, xem C1, C2 hàm số C1(x), C2(x) Để dễ tìm C1(x), C2(x) ta đưa thêm điều kiện : C’1(x) y1(x) + C’2(x) y2(x) = (4) Với điều kiện (4), lấy đạo hàm (3), ta được: y’ = C1y’1(x) + C2 y’2(x) (5) y’’ = C1y1’’( x) + C2 y2’’(x) + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) (6) Thay (3), (5),(6) vào (1), có : C1y1’’( x) + C2 y2’’(x) + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) + p[C1y’1(x) + C2 y’2(x) ] + q[C1y1(x) + C2 y2(x) ] = f(x) Hay: C1[ y1’’( x) + pC1y’1(x) + qC1y1(x) ] C2 [ y2’’(x) + py’2(x) + q y2(x) ] + C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) = f(x) Do y1, y2 nghiệm (1) nên suy ra: C’1y’1(x) + C’2 y’2(x) = f(x) (7) Như C’1 , C’2 thỏa hệ : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thí dụ 4: Giải phương trình x2y’’ + xy’ - y = x2 Đưa dạng tắc : Trước hết xét phương trình tương ứng: Có thể tìm nghiệm y1 = x Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với có dạng : y2 = xu(x) y’2 = u + xu’ , y’’2 = 2u’ + xu’’ vào phương trình nhất, : Đây phương trình cấp hai giảm cấp cách đặt p = u’ ta : Cho nên : Do u ≠ const cần nghiệm nên chọn C1=1, nên Vậy nghiệm tổng qt phương trình có dạng : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Việc cịn lại cần tìm nghiệm riêng phương trình khơng phương pháp biên thiên số, dạng : Với C1, C2 thỏa : Vì cần chọn nghiệm riêng, nên chọn cụ thể c1 = , c2 = , : nghiệm tổng quát phương trình ban đầu : Lưu ý: Nếu vế phải phương trình vi phân có dạng tổng hàm số f(x) = f1(x) + f2(x), giải phương trình với riêng vế phải hàm f1(x), f2(x) để tìm nghiệm riêng yr1, yr2 Cuối dễ kiểm lại là: nghiệm riêng phương trình ban đầu yr = yr1, yr2 (theo nguyên lý chồng chất nghiệm) V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG Khái niệm chung y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) +…… + any = f(x) (1) a1, a2,…… , an số Trong phần sau ta trình bày kỹ phương trình cấp hai CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình cấp hai Xét phương trình : y’’ + py’ + qy = f(x) (2) p, q số Ta tìm nghiệm dạng : y = ekx (3) Thế (3) vào (2) ta có: (k2 + pk +q) ekx = (k2 + pk +q) = (4) Phương trình (4) gọi phương trình đặc trưng phương trình (2), từ (4) cho thấy y = ekx nghiệm (2) k nghiệm (4) Do dựa vào việc giải phương trình bậc này, ta có khả sau: a) Phương trình đặc trưng (4) có nghiệm phân biệt k1,k2 (∆ > 0): Khi nghiệm y1 = ek1x , y2 = ek2x nghiệm riêng (2), nên nghiệm riêng độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng qt (2) là: y = C1ek1x + C2ek2x b) Phương trình đặc trưng (4) có nghiệm kép k (∆ = 0) Khi nghiệm y1 = ekx nghiệm riêng (2), nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với có dạng y = u(x).y1 = u(x).ekx y2’ = k.ekx u(x) + u’(x).ekx y2’’= k2.ekx.u(x) + 2ku’(x).ekx + ekx.u(x)’’ Thế vào phương trình (2) ta có : (k2.u + 2ku’+ u’’) ekx + p(ku + u’) ekx + q ekxu = u’’ + (2k +p)u’ + (k2 + pk + q)u = Do k nghiệm kép (4) nên : k = -p/2 2k +p = (k2 + pk + q) =0 từ : u’’ = u = C1x + C2 Do cần chọn nghiệm nên lấy C1 = 1, C2 =0 , có : y2 = x ekx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Và nghiệm tổng quát (2) là: y = ( C1+ C2x) ekx c) Phương trình đặc trưng (4) có nghiệm phức liên hiệp k1,2 = α ± β , β ≠ (∆ < 0) Khi nghiệm (2) có dạng : Khi : nghiệm (2) nên chúng độc lập tuyến tính Từ ta có nghiệm tổng qt (2) : y = ( C1cos β x + C2 sin β x) eα x Thí dụ 1: Giải phương trình : y’’ + 3y’ – 4y = Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 + 3k -4 = k1 =1 , k2= -4 Vậy nghiệm tổng quát phương trình : y = C1ex + C2e-4x Thí dụ 2: Giải phương trình : y’’ + 4y’ + 4y = Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 + 4k +4 = k1,2 =2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình : y = (C1 + C2 x)e2x Thí dụ 3: Giải phương trình : y’’ + 6y’ + 13y = Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt k2 + 6k +13 = k1,2 =-3 ± i Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = ( C1 cos 2x + C2 sin 2x)e-3x Phương trình cấp hai khơng vế phải có dạng đặc biệt Xét phương trình vi phân cấp hai hệ số không : y’’ + py’ + qy = f(x) (5) Qua việc trình bày tìm nghiệm tổng quát phương trình cấp hai tương ứng, dựa vào định lý 2, mục II.1 ?? để có nghiệm tổng qt (5) ta cần tìm nghiệm riêng (5) Ngồi phương pháp biến thiên số trình bày, trình bày phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng cho (5) vế phải có dạng đặc biệt thường gặp 3.1 Vế phải f(x) = eα x Pn(x) Pn(x) đa thức cấp n, α số thực Khi ta tìm nghiệm riêng (5) dạng: yr = u(x) Qn(x) (6) với Qn(x) đa thức cấp n có (n+1) hệ số xác định cách thay (6) vào (5) đồng vế ta có (n+1) phương trình đại số tuyến tính để tìm (n+1) hệ số Hàm u(x) có dạng cụ thể : a) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4), u(x) = xeα x đó: yr = xeα x Qn(x) b) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (4), u(x) = x2eα x đó: yr = x2eα x Qn(x) c) Nếu α khơng nghiệm phương trình đặc trưng (4), u(x) = eα x đó: yr = eα x Qn(x) Thí dụ 4: Giải phương trình : y’’ -4y’ + 3y = e2x Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 - 4k +3 = có nghiệm k1 =1 , k2= CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt nên nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y = C1ex + C2e3x Mặt khác số α = khơng nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng tìm dạng yr = Ae2x (do Pn(x) =3 đa thức bậc ), thay vào phương trình cho có: 4Ae2x - 8Ae2x + 3Ae2x = 3e2x A = -3 Vậy nghiệm tổng quát phương trình : y = C1ex + C2e3x –3e2x Thí dụ 5: Giải phương trình : y’’ +y = xex + e-x Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 +1 = k1,2 = ± i2 nên nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: yo = C1cos x C2 sin x Do vế phải tổng hàm f1 = xex , f2 = 2e-x nên ta tìm nghiệm riêng phương trình ứng với vế phải f1, f2 : + Với f1 = xex α = khơng nghiệm phương trình đặc trưng , Pn(x) = x nên nghiệm riêng có dạng : yr1 = (Ax+B)ex + Với f2 = 2e-x α = -1 khơng nghiệm phương trình đặc trưng , Pn(x) = nên nghiệm riêng có dạng : yr2 = Ce-x Theo nguyên lý xếp chồng, nghiệm riêng phương trình cho tìm dạng : yr = (Ax+B)ex + Ce-x yr ’ = (Ax+B)ex - Ce-x + Aex yr’’ = (Ax+B)ex + Ce-x + 2Aex Thế vào phương trình cho, có : 2Axex + (2A+2B)ex + 2Ce-x = xex + 2e-x Từ đó, ta có : 2A =1, 2A + 2B = , 2C =2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vậy nghiệm tổng quát phương trình : 3.2 Vế phải f(x) = eα x [ Pn(x) cos β x +Qm(x) sin β x ] Trong Pn(x), Qm(x) đa thức bậc n, m tương ứng, α , β số thực Khi ta tìm nghiệm riêng (5) dạng: yr = u(x) [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ] (7) (β = tương ứng trường hợp nêu trên), với s = max {m,n}, Rs(x), Hs(x) đa thức bậc s với 2(s+1) xác định cách thay (7) vào (5) đồng vế ta có phương trình đại số tuyến tính để tìm hệ số Hàm u(x) có dạng cụ thể : a) Nếu α ± β nghiệm phương trình đặc trưng tương ứng, u(x) = eα x yr = eα x [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ] b) Nếu α ± β không nghiệm phương trình đặc trưng tương ứng, u(x) = xeα x : yr = eα x [ Rs(x) cos β x + Hs(x) sin β x ] Thí dụ 6: Giải phương trình : y’’ + y = sin x Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 +1 = có nghiệm k1,2 = ± i2 nên nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: yo= C1cos x C2 sin x Ở α = 0, β =1, nên α ± iβ = ± i nghiệm phương trình đặc trưng Mặt khác, n =m=0, s = Vậy nghiệm tổng quát tìm dạng: yr = x(Acosx+Bsinx) yr’ = x( -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx) yr’’ = 2( -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx) yr’ + yr = -2Asinx + 2Bcosx = sinx -2A = 1, 2B =0 A= -1/2 , B = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vậy nghiệm riêng : Và nghiệm tổng quát : BÀI TẬP CHƯƠNG I Chứng tỏ hàm số y = f(x) nghiệm phương trình vi phân tương ứng 1) xy’’ – y’ = y = x ; y =1 ; y = c1x2 + c2 2) a) y = 3) x2y’ + xy = ex, 4) yy’’= 2(y’)2 - 2y’ a) y = ; b) b) y = tgx II Giải phương trình vi phân sau: x( y2 – )dx - ( x2 + 1)ydx = (x2 - xy)dx - (y2 + x2)dy = (x2 + 2xy)dx + xydy = y’cosx - ysinx = sin2x y = xy’ + y’lny y’ - xy = - CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt xy’ = 2(x - ) y’ + sin(x+y) = sin(x-y) y’=2x-y , y(-3) = (-5) 10 y’ = ex+y + ex-y , y(0) = 11 y’ = 12 y’cos2x + y = tgx 13 y’+ = x2 y4 14 y’cosx + y = – sinx 15 (2xy +3)dy – y2dx = ( coi x hàm số ) 16 (y4 + 2x)y’ = y ( coi x hàm số ) 17 18 ydx + ( x + x2y2)dy = ( coi x hàm số ) III Giải phương trình vi phân cấp sau: 1) y’’ + y’ = 2) y’’ + yy’ = 3) y’’ = (y’)2 4) 2(y’)2 = (y - 1)y’’ 5) y’’2 = + y’2 6) y’’ = y’ey 7) (y + y’)y’’ + y’2 = 8) 3y’2 = 4yy’’ +y’2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9) yy’’ – y’2 = y2lny IV Giải toán Cauchy sau: 1) xy’’ + y’ = 0, y(1) = -3, y’(1) = 2) 2y’’ + y’2 = -1, y(-1) = 2, y’(1) = 3) y’’(x2 + 1) = 2xy’, y(0) = y’(0) = 4) yy’’ – y’2 = 0, y(0) = 1, y’(0) = 5) y’’ + 6) 7) Cho phương trình , r(0) = R, r’(0) = vo Xác định vo để t > ∞ r > ∞ (bài tốn tìm vận tốc vũ trụ cấp hai) V Phương trình tuyến tính cấp hai 1)Các hàm sau có độc lập tuyến tính hay khơng: a) (x + 1) (x2 – 1) b) x (2x + 1) c) lnx lnx2 2) Giải phương trình biết nghiệm y1 a) y’’ + y = , biết y1 = cosx b) x2y’’ – 2y = 0, biết y1 = x2 c) y’’ – y’ – 2y = 0, biết y1 = e-x d) 4x2y’’ + y = 0, x > 0, biết y1 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt e) x2y’’ - 5xy’ + 9y = 0, biết y1 = x3 f) (1-x2)y’’ – 2xy’ + 2y = 0, biết y1 = x 3) Tìm nghiệm tổng quát phương trình : xy’’ – (2x + 1)y’ + (x + 1)y = 4) Giải phương trình: xy’’ + y’ = x2 5) Giải phương trình: y’’ + Biết nghiệm phương trình tương ứng : VI Phương trình vi phân tuyến tính hệ số Giải phương trình sau: 1) y’’ - 2y’ – 3y = 2) y’’ + 25y = 3) y’’ – 2y’ +10y = 0, 4) y’’ + y’ = 0, y(0) = 1, y’ 5) y’’ - 10y’ + 25y = 0, y(0) = 0, y’(0) = 6) y’’ -2y’ -3y = e4x 7) y’’ + y’ -2y = cosx – 3sinx 8) y’’ – 6y’ + 8y = 3x2 +2x +1 9) y’’ + 4y = sin2x + , y(0) = 10) y’’ – y = x.cos2x 11) y’’ – 2y’ + 2y = exsinx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12) y’’ + y = tgx 13) y’’ + 4y = cos2x, y(0) = y 14) y’’ + 5y’ + 6y = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... α b) Cách giải : Đưa dạng : y- y’ + p(x) y 1- = f(x) α α Đặt z = y 1- , ta z’ = ( 1-? ? ) y- y’, nên phương trình (16) có dạng tuyến tính : : z’ + (1 - α )P(x) z = ( 1-? ? )f(x) Thí dụ 11: Giải phương... x(Acosx+Bsinx) yr’ = x( -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx) yr’’ = 2( -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx) yr’ + yr = -2 Asinx + 2Bcosx = sinx -2 A = 1, 2B =0 A= -1 /2 , B = CuuDuongThanCong.com... sin2x y = xy’ + y’lny y’ - xy = - CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt xy’ = 2(x - ) y’ + sin(x+y) = sin(x-y) y’=2x-y , y (-3 ) = (-5 ) 10 y’ = ex+y + ex-y , y(0) = 11 y’ = 12 y’cos2x