Đang tải... (xem toàn văn)
nói đầu Quyển sách này được soạn ra trên cơ sở nhiều năm dạy lí thuyết và bài tập môn Phương trình vi phân của anh em cán bộ nhóm Phương trình vi phân ở khoa Toán Cơ Trường Đại học Tự nhiên Hà Nội. Nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi : sinh viên các trường đại học tự nhiên, các trường đại học kĩ thuật, đại học sư phạm, các lớp học tại chức, hàm thụ... các bài tập ở trong quyển sách này được chọn ra ồ những mức độ khó, dễ khác nhau và nhiều dạng khác nhau. Để các bạn sử dụng sách được dễ dàng, trong mỗi tiết của mỗi chương chúng tôi trịnh bày tóm tắt những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất để giải phần lớn các bài tập trong tiết đó. Những phần lí thuyết không trình bày ờ đây bạn đọc có thể xem ở các tài liệu tham khảo 6, 7, 11 hoặc 3. Các bài tập tương đối khó được đánh thêm dấu () ở trên số thứ tự. Riêng các bài tập trong chương V phần lớn là tương đối khó nên chúng tôi không đánh thêm dấu (). Phần lớn các bài tập trong quyển sách này được chọn từ các cuốn sách được nêu ra ở Tài liệu tham khảo, từ các kì thỉ tuyển chọn nghiên cứu sinh ở Việt Nam và các kì thi vô địch sinh viên giỏi toán toàn Liên Xô. Trong phần đáp số, hướng dẫn và lời giải chúng tôi đã giải hầu hết các bài tập có tính chất lí thuyết và các bài tập khác đều có đáp số. Cần nói rằng một số lời giải ở đây mang tính chất gợi ý
Khoa Toán - Cơ - Tin học Bộ môn Giải tích Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Hà Nội, 2006 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt i Phơng trình đạo hm riêng Mục lục Chơng Mở đầu Phân loại phơng trình tun tÝnh cÊp hai 1.1 Giíi thiƯu chung 1.2 Một số phơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu 1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riªng 1.3 Một số ví dụ dẫn tới toán biên phơng trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phơng trình dao ®éng cđa d©y 1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt môi trờng đẳng hớng 1.3.3 Phơng trình Laplace 1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trờng hợp hai biến 1.5 Tính đặt chỉnh toán phơng trình đạo hàm riêng Phản ví dụ Hadamard Định lý Cauchy - Kovalevskaia Ch−¬ng 2.1 2.2 2.3 13 19 19 21 22 25 27 27 28 Ch−¬ng Phơng trình elliptic Bài toán biên phơng trình Laplace 3.1 Hàm điều hoà Các tính chất 3.1.1 Hàm điều hoà 3.1.2 Nghiệm phơng trình Laplace 3.1.3 Công thức Green toán tử Laplace 3.1.4 Các tính chất hàm điều hoà 3.2 Bµi toán Dirichlet (Bài toán biên thứ nhất) 3.2.1 Đặt toán 3.2.2 Hàm Green Định lý tồn t¹i nghiƯm 3.2.3 Bµi toán Dirichlet 3.3 Bài toán Neumann 3.4 Giải toán Dirichlet mặt tròn phơng pháp tách biến 32 32 32 33 34 34 38 38 39 41 42 43 2.4 2.5 2.6 2.7 Phơng trình hyperbolic Phơng trình truyền sóng dây Đặt toán Phơng trình chuyển dịch Nghiệm toán Cauchy phơng trình truyền sóng Công thức DAlembert Nghiệm toán biên-ban đầu Phơng pháp tách biến Trờng hợp ngoại lực khác không Giải toán biên-ban đầu với vế phải khác không ý nghÜa vËt lý 1 2 3 7 i CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ii Mục lục Chơng Phơng trình parabolic Phơng trình truyền nhiệt 4.1 Mở đầu Định lý cực đại cực tiÓu 4.2 Định lý phụ thuộc liên tục nghiệm vào đầu toán Cauchy 4.3 Giải toán Cauchy phơng pháp tách biến 4.4 Bài toán biên ban ®Çu thø nhÊt 4.5 ý nghÜa vËt lý d÷ kiƯn ban 50 50 51 51 54 56 Giải số tập 57 Tài liệu tham khảo 66 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phơng trình đạo hm riêng Chơng Mở đầu Phân loại phơng trình tuyến tính cấp hai 1.1 Giới thiệu chung Phơng trình đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán học Có nhiều mô hình tự nhiên đợc mô tả phơng trình hệ phơng trình vi phân nói chung phơng trình vi phân đạo hàm riêng nói riêng Định nghĩa 1.1 Một phơng trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , , xn ), c¸c biÕn độc lập xi đạo hàm riêng đợc gọi phơng trình vi phân đạo hàm riêng (hay phơng trình đạo hàm riêng cho gọn) Nó có dạng ả u u ku F x, u(x), , , , , k1 , = 0, (1.1) ∂x1 ∂xn ∂x1 · à à xknn F hàm ®ã cđa c¸c ®èi sè cđa nã, víi ký hiƯu x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , u(x) = u(x1 , , xn )(a) Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phơng trình đợc gọi cấp phơng trình Phơng trình đợc gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm đạo hàm riêng ẩn hàm Ví dụ phơng trình tuyến tính cấp hai tổng quát hàm u = u(x, y) có dạng 2u 2u 2u a(x, y) + 2b(x, y) + c(x, y) ∂x ∂x∂y ∂y + d(x, y) ∂u ∂u + e(x, y) + f (x, y)u = g(x, y) (1.2) ∂x y Phơng trình đợc gọi tuyến tính tuyến tính đạo hàm riêng cấp (a) Ng−êi ta th−êng sư dơng ký hiƯu Dk u = CuuDuongThanCong.com ∂ |k| u , ∂xk11 · · · ∂xknn víi k = (k1 , , kn ) Nn https://fb.com/tailieudientucntt Chơng Mở đầu Phân loại cao ẩn hàm Ví dụ phơng trình tuyến tính cấp hai tổng quát có dạng ∂2u ∂2u a(x, y, u, ux , uy ) + 2b(x, y, u, ux , uy ) ∂x ∂x∂y ∂2u + c(x, y, u, ux , uy ) + d(x, y, u, ux , uy ) = (1.3) y Lý thuyết phơng trình đạo hàm riêng có hai nét đặc thù Thứ mối liên hệ trực tiếp với toán vật lý, trình nghiên cứu toán vật lý học dẫn đến toán phơng trình đạo hàm riêng, ngời ta gọi phơng trình đạo hàm riêng phơng trình vật lý toán Những nhà tiên phong lĩnh vực J.DAlembert (1717-1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1736-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-1830) Thứ hai mối liên hệ mật thiết phơng trình đạo hàm riêng với ngành Toán học khác nh giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô, đại số, giải tích phức Trong khuôn khổ chơng trình học, đề cập đến phơng trình tuyến tính cấp hai toán biên toán giá trị ban đầu tơng ứng, thông qua phơng trình đặc trng loại: phơng trình Laplace, phơng trình truyền nhiệt phơng trình truyền sóng dây căng thẳng, đặc trng cho phơng trình elliptic, parabolic hyperbolic 1.2 Một số phơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu Trong mục ta giới thiệu số phơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng dụng thực tiễn ngành khoa học thực nghiệm nh vật lý, hoá học, môi trờng, khoa học trái đất, 1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng Phơng trình Laplace Laplace đa vào khoảng năm 1780 ∆u = n X uxi xi = 0, i=1 x Rn Phơng trình Helmholtz đợc Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860 u = u Phơng trình chuyển dịch tuyến tính ut + n X bi uxi = i=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch−¬ng Më đầu Phân loại Phơng trình Liouville đợc nghiên cứu vào khoảng 1851 n X ut (bi u)xi = i=1 Phơng trình truyền nhiệt đợc Fourier công bố năm 1810-1822 ut = u Phơng trình Schrodinger (1926) iut + u = Phơng trình truyền sóng đợc DAlembert đa năm 1752 utt u = dạng tổng quát utt n X aij uxi xj + i=1 n X bi uxi = i=1 Trên số phơng trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh nhiều phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến nh hệ phơng trình tiêu biểu mà khuôn khổ giáo trình 30 tiết ta không đề cập đến Mục tiếp sau cho ta thấy số cách xây dựng nên phơng trình đạo hàm riªng tõ thùc tiƠn 1.3 Mét sè vÝ dơ dÉn tới toán biên phơng trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phơng trình dao động dây Xét sợi dây căng thẳng theo trục Ox Tác động làm sợi dây dao động Ta nghiên cứu quy luật dao động sợi dây Ta có giả thiết: ã Sợi dây mảnh không cỡng lại uốn ã Có lực căng T tơng đối lớn so với trọng lợng dây, tức bỏ qua đợc lợng sợi dây ã Ta xét dao động ngang sợi dây, tức dao động, phần tử dây chuyển động theo phơng vuông góc với trục Ox, không xét dao động dây nằm mặt phẳng 0ux CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chơng Mở đầu Phân loại Xét vị trí điểm M sợi dây, ký hiệu độ lệch M so với vị trí cân u, u = u(x, t), với x toạ độ M dây t thời gian Tại thêi ®iĨm t = t0 cho tr−íc ta cã u = u(x, t0 ) = f (x), (1.4) tøc lµ điểm t = t0 , ta nhận đợc hình dáng dây rung u = f (x) Giả thiết thêm độ lệch dây u(x, t) đạo hàm riêng x u nhỏ bỏ qua đại lợng (x u)2 Xét đoạn dây giới hạn hai điểm M1 , M2 với hoành độ tơng ứng x1 x2 Vì ta bỏ qua đại lợng u2x nên độ dài đoạn dây M1 M2 bằng: Z x2 p l = + u2x dx ≈ x2 − x1 = l, (1.5) x1 tức độ dài đoạn M1 M2 trạng thái cân bằng, hay độ dài sợi dây không đổi dao động Vậy, theo định luật Hooke, lực căng sợi dây không thay đổi T = T0 Ta thiết lập phơng trình dao động dây dựa vào nguyên lý DAlembert: Trong chuyển động đoạn dây, tổng lực tác động vào đoạn dây, kể lực quán tính không; tổng hình chiếu lực trục không. Ta có hình chiếu lên trục u tổng lực tác dụng lên đoạn dây M1 M2 , bao gồm lực căng dây, ngoại lực tác dụng lực quán tính không Khi ta có lực căng dây hớng theo phơng tiếp tuyến M1 M2 , T0 Nh tổng hình chiếu lực căng M1 M2 lên trục u b»ng Y = T0 [sin α(x2 ) − sin (x1 )], (1.6) với (x) góc hợp với trục Ox véctơ tiếp tuyến điểm x Thay vào (??), ta đợc u tan (x) u q xĂ Â ≈ = sin α(x) = p ∂x + tan2 α(x) + ∂u ∂x Y = T0 "µ u x ả x=x2 u x ả x=x1 # = T0 Z x2 x1 ∂2u dx ∂x2 (1.7) (1.8) Giả sử p(x, t) ngoại lực tác động vào sợi dây, song song với trục u phân phối đơn vị chiều dài Khi hình chiếu trục u ngoại lực tác động lên đoạn dây xét Z x2 P = p(x, t)dx (1.9) x1 Gọi tỷ trọng dài sợi dây (x) (tức mật độ phân bố vật chất theo chiều dài) Khi lực quán tính đoạn dây xét Z x2 2u Z= (x) dx (1.10) ∂t x1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch−¬ng Më đầu Phân loại Từ (??), (??), (??), áp dụng nguyên lý DAlembert ta đợc ả Z x2 ∂2u ∂ 2u Y +P +Z = T0 − ρ(x) + p(x, t) dx ∂x ∂t x1 (1.11) Chú ý x1 x2 vị trí bÊt kú, ta suy biĨu thøc d−íi dÊu tÝch phân (??) phải triệt tiêu, tức 2u 2u = T + p(x, t) (1.12) ∂t2 ∂x2 Ph−¬ng trình (??) đợc gọi phơng trình dao động dây Trong trờng hợp dây đồng chất, ngoại lực tác động không, phơng trình (??) trở thành s ∂2u ∂ u T0 (1.13) = a2 , víi a = ∂t ∂x ρ(x) ρ(x) LÏ dÜ nhiên, phơng trình (??) có vô số nghiệm Để xác định đợc nghiệm ta cần ấn định thêm số điều kiện phụ đấy, từ thiết lập nên toán biên toán giá trị ban đầu cho phơng trình (??) Việc nghiên cứu toán biên toán giá trị ban đầu đóng vai trò quan trọng nghiên cứu phơng trình vi phân đạo hàm riêng Khi số chiều không gian tăng lên, ta có toán truyền sóng màng rung (u = u(x, y, t)) toán truyền âm không gian (u = u(x, y, z, t)) Việc thiết lập phơng trình đợc tiến hành tơng tự nh cách 1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt môi trờng đẳng hớng Xét vật thể rắn V giới hạn mặt kín trơn S , mà nhiệt độ điểm (x, y, z) thời điểm t hàm u(x, y, z, t) Khi nhiệt độ phần vật thể khác vật thể có trao đổi nhiệt lợng từ phần nóng sang phần lạnh Xét diện tích S vật thể Khi nhiệt lợng Q truyền qua diện u tích khoảng thời gian t tỷ lệ với tích St với n , vectơ n vectơ pháp phần mặt S hớng theo chiỊu trun nhiƯt, tøc lµ ∆Q = −k ∂u ∆S∆t, n (1.14) k đợc gọi hệ số truyền nhiệt Vì môi trờng xét đẳng hớng nên hệ không phụ thuộc vào phơng mảnh S mà phơ thc vµo (x, y, z) Ta lËp sù thay đổi nhiệt lợng V khoảng thời gian t1 đến t2 bất kỳ, từ lập đợc phơng trình trun nhiƯt Gäi γ(x, y, z) lµ nhiƯt dung vµ (x, y, z) tỷ V điểm (x, y, z), phần thể tích V hấp thụ đợc mét nhiƯt l−ỵng ∆Q1 ∆Q1 = [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)∆V Tõ ®ã suy thĨ tÝch V sÏ hÊp thụ lợng nhiệt ZZZ Q1 = [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)dV V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt sè k thiÕt thiÕt khối (1.15) (1.16) Chơng Mở đầu Phân lo¹i hay Q1 = Z t2 dt t1 ZZZ γρ u dV t (1.17) V Mặt khác, nhiệt lợng Q1 tổng nhiệt lợng Q2 truyền từ vào qua biên S lợng nhiệt Q3 tự sinh V c¸c ngn nhiƯt kh¸c V Ta cã Z t2 Z Z ∂u → Q2 = − dt k(x, y, z) dS, ( n pháp tuyến cña S ) (1.18) ∂n t1 S Gäi F mật độ nguồn nhiệt vật thể ®iÓm Khi ®ã Z t2 Z Z Z Q3 = dt F (x, y, z, t)dV t1 (1.19) V KÕt hợp (??), (??), (??) hệ thức Q1 = Q2 + Q3 , ta đợc Z t2 Z Z Z Z t2 Z Z Z t2 Z Z Z ∂u ∂u dt γρ dV = − dt k(x, y, z) dS + dt F (x, y, z, t)dV ∂t ∂n t1 t1 t1 V S V (1.20) áp dụng công thức Oxtrogradski, ý ~n pháp tuyến S , ta đợc ả Z t2 Z Z Z µ −→ ∂u − div(k gradu) − F (x, y, z, t) dV = dt (1.21) γρ ∂t t1 V Vì thể tích V đợc lấy bất kỳ, ta cã γρ −→ ∂u = div(k gradu) + F (x, y, z, t) t (1.22) Phơng trình gọi phơng trình truyền nhiệt vật thể đẳng hớng không Trong trờng hợp nhất, hệ số , k số, phơng trình truyền nhiệt trở thành ¶ ∂u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u =a + + + f (x, y, z, t) := ∆u + f (x, y, z, t), (1.23) ∂t ∂x2 ∂y ∂z víi a= s k , γρ f (x, y, z, t) := F (x, y, z, t) Khi số chiều giảm, ta đợc phơng trình truyền nhiệt mỏng (u = u(x, y, t)) (u = u(x, t)) Tơng tự phơng trình truyền sóng, ta thiết lập điều kiện ban đầu điều kiện biên để xác định nghiệm phơng trình truyền nhiệt, ta dẫn đến toán giá trị biên-ban đầu phơng trình truyền nhiệt toán Cauchy phơng trình truyền nhiệt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chơng Mở đầu Phân loại 1.3.3 Phơng trình Laplace Xét phơng trình (??) Giả sử sau thời gian đó, nhiệt độ môi trờng ổn định, thay đổi nhiệt độ theo thời gian Khi ta dẫn đến phơng trình u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0, x2 y z (1.24) gọi phơng trình Laplace Đối với phơng trình loại này, ta thiết lập toán biên, với giá trị biên đợc cho dới dạng trực tiếp (u|S = (P )) gián tiếp u ( n |S = (P )) Bài toán tìm phân bố dừng nhiệt độ bên vật thể theo nhiệt độ đà cho biên đợc gọi Bài toán Dirichlet, theo tên nhà toán học L.Dirichlet ngời nghiên chứng minh tính nghiệm toán Bài toán tìm nghiệm phơng trình dừng biết giá trị biên đạo hàm theo hớng pháp tuyến ẩn hàm đợc gọi Bài toán Neumann Bài toán tìm nghiệm phơng trình biết giá trị biên tổng ẩn hàm cần tìm đạo hàm theo hớng pháp tuyến ẩn hàm gọi Bài toán hỗn hợp Khi vế phải phơng trình hàm khác không ta gọi Phơng trình Poisson Việc nghiên cứu phơng trình nh toán tơng ứng ý nghĩa mặt định tính mà có ứng dụng thực tiễn toán vật lý, ho¸ häc, sinh th¸i häc, Cã thể nêu ví dụ đơn giản mô tả chuyển động không xoáy chất lỏng lý tởng (thuần nhất, không nén đợc), tức vect vận tèc v cđa chÊt láng lý t−ëng −→ sÏ lµ vector thế, tức tồn hàm (x, y, z) cho ~v (x, y, z) = −gradϕ Khi phơng trình chuyển động liên tục cho ta div ~v = 0, hay −→ div gradϕ = 0, tøc lµ ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + + = x2 y z 1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trờng hợp hai biến Chúng ta phân loại phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai trờng hợp hai biến Xét phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với hÖ sè thùc a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.25) điểm (x0 , y0 ) cố định Phơng trình (??) điểm (x0 , y0 ) đợc gọi a) thuộc loại ellip (hay phơng trình elliptic) điểm b2 ac < 0, b) thuộc loại hyperbol (hay phơng trình hyperbolic) ®iÓm ®ã b2 − ac > 0, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 52 Chơng Phơng trình parabolic Từ ta có hệ phơng trình vi phân thờng T (t) + a2 μT (t) = 0, X 00 (x) + μX(x) = Vì nghiệm giới nội nên > 0, ta đặt = Thay vào hệ phơng trình ta đợc T (t) + a2 T (t) = 0, 00 X (x) + λ X(x) = (4.10) (4.11) Tõ ®ã λ2 t T (t) = ea , (A, B số, có thĨ phơ thc λ.) X(x) = A cos λx + B sin x, Vậy nghiệm phơng trình u (x, t) sÏ cã d¹ng λ2 t uλ (x, t) = ea Tích phân (??) theo đợc Z u(x, t) = ∞ [A(λ) cos λx + B(λ) sin λx] λ2 t e−a [A(λ) cos λx + B(λ) sin λx]dλ, (4.12) (4.13) −∞ Hµm nµy cịng lµ nghiƯm cđa phơng trình (??) tích phân hội tụ đạo hàm dới dấu tích phân hai lần theo x lần theo t Để tìm nghiệm toán Cauchy (??)-(??), ta tìm hàm A() B() thoả mÃn điều kiện ban đầu (??) Ta gi¶ sư cã thĨ biĨu diƠn u(x, 0) = g(x) dới dạng tích phân Fourier Z Z g(x) = dλ g(ξ) cos λ(ξ − x)dξ 2π −∞ −∞ ¸ Z ∞ Z ∞ Z ∞ cos λx = g(ξ) cos λξdξ + sin λx g(ξ) sin λξdξ dλ 2π −∞ −∞ −∞ Trong (??) cho t = đồng với biểu diễn dới dạng tích phân Fourier hàm g ta tìm đợc A() B() có dạng Z A(λ) = g(ξ) cos λξdξ, (4.14) 2π −∞ Z ∞ B(λ) = g(ξ) sin λξdξ, (4.15) 2π −∞ thay vào (??) ta đợc Z Z 2 u(x, t) = dλ g(ξ)e−a λ t cos λ(ξ − x)dξ 2π −∞ −∞ Z Z ∞ ∞ 2 = dλ g(ξ)e−a λ t cos λ(ξ − x)dξ π −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 53 Ch−¬ng Ph−¬ng trình parabolic Thay đổi thứ tự lấy tích phân sư dơng c«ng thøc √ Z ∞ π − β22 −α2 λ2 e cos βλdλ = e 4α , α (4.16) ta đợc u(x, t) = 2a πt Z ∞ e− (ξ−x)2 4a2 t g(ξ)dξ (4.17) −∞ Công thức (??) đợc gọi công thức Poisson toán Cauchy (??)-(??) Đặt (x)2 √1 e 4a2 (t−τ ) , víi τ < t, F (ξ, τ ; x, t) = 2a π(t−τ ) (4.18) ngợc lại Khi công thức Poisson (??) cã d¹ng Z ∞ u(x, t) = F (ξ, 0; x, t)g(ξ)dξ (4.19) −∞ Hµm F (ξ, τ ; x, t) đợc gọi nghiệm phơng tr×nh trun nhiƯt Chó ý r»ng (ξ, τ ) 6= (x, t), biến (x, t) hàm F thoả mÃn phơng trình (??), biến (, ) hàm F thoả mÃn phơng trình liên hợp với phơng trình (??) v 2v = a2 t x (4.20) Ta có khẳng định Định lý 4.23 Giả sử hàm g(x) liên tục giới nội Khi toán Cauchy (??)-(??) có nghiệm u(x, t) đợc xác định công thức (??) Chứng minh Để chứng minh định lý này, trớc hết ta kiểm tra công thức (??) thoả mÃn phơng trình (??) với t > Chú ý nghiệm (??) thoả mÃn phơng trình (??), ta cần chứng minh đạo hàm dới dấu tích phân hai lần theo biến x lần theo biến t, tức chứng minh tích phân nhận đợc cách đạo hàm hình thức biểu thức dới dấu tích phân theo x t hội tụ miỊn ch÷ nhËt t0 t T , |x| N , víi mäi t0 , T, N tuỳ ý dơng Điều hàm g giới nội, hàm xm eax giảm x nhanh hàm đa thức, hàm dới dấu tích phân không lín h¬n C/(1 + ξ ) Sư dơng tÝnh héi R∞ C tơ cđa tÝch ph©n −∞ 1+ξ d tiêu chuẩn Weierstrass suy tích phân xét hội tụ đều, tức điều ta cần chứng minh TiÕp theo, ta chøng minh r»ng hµm cho bëi c«ng thøc (??) giíi néi miỊn t > §iỊu nµy dƠ dµng suy tõ tÝnh giíi néi cđa hµm g , tøc lµ ta cã Z ∞ (ξ−x)2 |u(x, t)| √ e− 4a2 t |g(ξ)|dξ 2a πt −∞ Z ∞ (ξ−x)2 M √ e− 4a2 t dξ = M (¸p dơng (??)) 2a πt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 54 Chơng Phơng trình parabolic Cuối ta chứng minh hàm cho công thức (??) thoả mÃn điều kiện ban đầu, tức lim u(x, t) = g(x) (4.21) t0 Vậy, từ định lý ?? ?? ta suy Định lý 4.24 Nếu nghiệm tìm lớp hàm giới nội với kiện ban đầu giới nội toán Cauchy (??)-(??) phơng trình truyền nhiệt miền t > đợc đặt đắn Chú ý Nghiệm toán Cauchy phơng trình truyền nhiệt khả vi cấp miền t > 0, x R, không phụ thuộc vào việc hàm g có đạo hàm R không Tính chất phân biệt phơng trình truyền nhiệt với phơng trình truyền sóng 4.4 Bài toán biên ban đầu thứ Xét toán biên ban đầu thứ vế phải ⎨ut = a uxx , (x, t) ∈ VT , u(x, 0) = ϕ(x), x l, ⎪ ⎪ ⎩u(0, t) = u(l, t) = (IBVP) Trong hàm (x) đợc giả thiết liên tục, khả vi tõng khóc, vµ ϕ(0) = ϕ(l) = Ta sÏ sử dụng phơng pháp tách biến Fourier để giải toán Giả sử nghiệm giới nội toán u(x, t) = X(x)T (t) Thay vào phơng trình ta ®−ỵc X(x)T (t) = a2 X 00 (x)T (t) ⇐⇒ X 00 (x) T (t) = = −λ X(x) a T (t) Tõ ®ã suy mét hệ phơng trình vi phân thờng sau X 00 (x) + λX(x) = 0, (4.22) T (t) = a T (t) = (4.23) Làm tơng tự toán hỗn hợp hyperbolic ta đợc k2 k = l k = 1, 2, 3, Từ suy dạng nghiệm phơng trình lµ Xk (x) = Ak sin kπ x, l T (t) = Bk e−( uk (x, t) = Ck e−( CuuDuongThanCong.com kπa t l ) , ) sin kπ x l kπa t l https://fb.com/tailieudientucntt 55 Ch−¬ng Phơng trình parabolic Lấy chuỗi hình thức u(x, t) = X uk (x, t), k=1 nghiệm phơng tr×nh Víi Ck = l Z l ϕ(ξ) sin k d l u nghiệm toán Ta chứng minh đợc với giả thiết hàm ta có nghiệm thực toán Xét toán biên ban đầu thứ với vế phải khác ⎪ ⎪ ⎨ut = a uxx + f (x, t), (x, t) ∈ VT , (IBVP-f) u(x, 0) = 0, x l, ⎪ ⎪ ⎩u(0, t) = u(l, t) = Ta t×m nghiƯm giíi néi cđa toán dới dạng u(x, t) = X Tk (t) sin k=1 k x l Thay vào phơng trình ta đợc ! ả2 X X kπa kπ kπ Tk (t) + Tk (t) sin x = fk (t) sin x, l l l k=1 k=1 ®ã fk (t) = l kπ x} l Z l f (ξ, t) sin kπ ξdξ l Vì {sin hệ trực giao nên đẳng thức xảy tơng đơng với hệ phơng trình vi phân thờng ả2 ka Tk (t) + Tk (t) = fk (t), T (0) = l Gi¶i phơng trình ta đợc Tk (t) = Z t kπ e −( l ) (t−τ ) fk (τ )dτ 4.5 ý nghÜa vËt lý NghiƯm cđa bµi toán Cauchy, xét phơng diện vật lý, mô tả nhiệt độ phân bố dài vô hạn cách nhiệt với môi trờng xung quanh cho trớc phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu Một cách lý tởng, từ công thức nghiệm toán Cauchy ta cã thĨ thÊy chØ sau mét kho¶ng thêi gian t rÊt nhá, nhiƯt ®é ë mäi ®iĨm cđa CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 56 Chơng Phơng trình parabolic thay đổi so với trạng thái ban đầu Trong thực tế điều vô lý nhng xét điểm xa gốc quan sát thời điểm t nhỏ, điều không khác so với thực tế Vì công thức Poisson coi biểu diễn tốt quy luật truyền nhiệt Bài tập chơng I Giải toán ( ut = uxx , t > 0, x ∈ R, u(x, 0) = cos 3x ( ut = 9uxx , t > 0, x ∈ R, u(x, 0) = sin 2x cos 4x ( ut = 16uxx , t > 0, x ∈ R, u(x, 0) = cos2 4x ( ut = 4uxx , t > 0, x ∈ R, u(x, 0) = e−x ( ut = 9uxx , t > 0, x ∈ R, −x2 +2x+2 u(x, 0) = e II Tìm nghiệm không giới nội to¸n ( ut = uxx , t > 0, x ∈ R, u(x, 0) = x2 − 2x + III Giải toán biên ban đầu t > 0, x π, ⎪ ⎨ut = 9uxx , u(x, 0) = sin x(1 − cos x), x π, ⎪ ⎪ ⎩u(0, t) = u(π, t) = 0, t > ⎧ ⎪ u = a2 uxx , ⎪ ⎪ t ( ⎪ ⎨ x x l/2, u(x, 0) = ⎪ − x l/2 x l, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u(0, t) = u(l, t) = 0, CuuDuongThanCong.com t > 0, x l, t > https://fb.com/tailieudientucntt 57 Phơng trình đạo hm riêng Giải số bi tập Chơng ?? I.4 uxx + 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = Ta cã δ = + = > Vậy phơng trình thuộc loại hyperbolic Ta đa phơng trình dạng tắc Xét phơng trình đờng ®Ỉc tr−ng ( y = −1 ⇐⇒ y + x = C1 , y − 2y − = ⇐⇒ y0 = ⇐⇒ y 3x = C2 Đặt = y 3x = y + x, Khi phơng trình thuộc loại hyperbolic nên a1 = c1 = Ta cã b1 = ξx ξy + (ξx ηy + ξy ηx ) − 3ηx ηy = + (1 − 3) + = ux = uξ ξx + uη ηx = uξ − 3uη , uy = uξ ξy + uη ηy = uξ + uη Vậy phơng trình tắc u u = u00xx − cos xu00xy − (3 + sin2 x)u00yy − yu0x = 0, Ta cã δ = cos2 x + + sin2 x = > Vậy phơng trình thuộc loại hyperbolic Ta đa phơng trình dạng tắc Xét phơng trình đờng đặc tr−ng ( y = − cos x + ⇐⇒ y + sin x − 2x = C1 , 02 y + cos xy − (3 + sin x) = ⇐⇒ y = − cos x − ⇐⇒ y + sin x + 2x = C2 I.5 Đặt = y + sin x − 2x, η = y + sin x + 2x Suy x= η−ξ , y= ξ+η sin Khi phơng trình thuộc loại hyperbolic nên a1 = c1 = Ta tính trực tiếp đạo hàm riêng u theo x, y qua đạo hàm riêng , ả ả ux = cos − uξ + cos + uη , 4 57 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 58 Gi¶i mét sè bμi tËp uy = uξ + uη , uxy uxx ¶ ¶ µ µ η−ξ η−ξ η−ξ − uξξ + cos uξη + cos + uηη , = (uy )x = cos 4 ả2 ả η−ξ η−ξ = (ux )x = cos − uξξ − − cos uξη 4 µ ¶2 η−ξ η−ξ η−ξ + cos + uηη − sin uξ − sin uη , 4 uyy = (uy )y = uξξ + 2uξη + uηη Vậy phơng trình tắc ả ảà + η−ξ η−ξ 16uξη + − sin cos (uξ + uη ) + 2(uξ − uη ) = 4 II.2 uxx − yuyy + 12 (ux − uy ) = 0, x, y > Ta cã δ = xy > 0, phơng trình thuộc loại hyperbolic Phơng trình đờng đặc trng có dạng r y √ 02 xy − y = ⇐⇒ y = ± ⇐⇒ y = ± x + C x §Ỉt ξ= √ √ y + x, η= √ √ y x Tính toán đạo hàm riêng tơng ứng ta đợc 1 u u , 2( − η) 2(ξ − η) 1 uy = uξ + uη , 2(ξ + η) 2(ξ + η) µ ¶ 1 uxx = (ux )x = uξξ − 2uξη + uηη + (uξ − uη ) 4(ξ − )2 ả uyy = (uy )y = uξξ + 2uξη + uηη + (uξ + uη ) 4(ξ + η)2 ξ+η ux = Thay vµo phơng trình ban đầu ta đợc dạng tắc u = Vậy phơng trình có nghiệm √ √ u(ξ, η) = g(ξ) + h(η) ⇐⇒ u(x, y) = g( y + x) + h( y − x), víi mäi hµm g vµ h (Chó ý r»ng ta sử dụng hàm u biến số ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 59 Giải mét sè bμi tËp II.a ( utt = 4uxx + xt, Ch−¬ng ?? u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = x Vì kiện Cauchy không đợc cho đờng đặc trng nên toán Cauchy có nghiệm áp dụng công thức nghiệm cho câu I ta đợc công thức nghiệm toán Cauchy lµ Z t u(x, t) = u0 (x) + tu1 (x) + f (x) (t − τ )g(τ )dτ Z t t3 x = tx + x (t − τ )τ dτ = tx + IV.a ( utt = uxx , u(x, 0) = φ(x), ut (x, 0) = ψ(x) (⇒) Ta cã c«ng thøc nghiƯm tổng quát phơng trình u(x, t) = f (x + t) + g(x − t), víi mäi hµm f , g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục Ta tìm điều kiện ràng buộc giá trị ban đầu Đạo hàm nghiệm theo t ta đợc ut = f (x + t) g (x t) Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm biểu thức vừa nhận đợc u(x, y)|x+y=0 = f (2x) + g(0) = φ(x), ut (x, y)|x+y=0 = f (2x) − g (0) = (x) Đạo hàm phơng trình thứ hai lần, thứ hai lần khử f 00 (2x) ta đợc 00 (x) = (x) (4.24) Đây điều kiện để toán có nghiệm Từ biểu thức nghiệm ta suy nghiệm, có, vô số () ta chứng tỏ xác định nghiệm toán từ điều kiện ban đầu đợc xác định từ (??) Tích phân hai vế (??) ta đợc (x) = 2(x) + 2λ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (4.25) 60 Gi¶i mét sè bμi tËp Ta cã f (2x) = φ(x) − g(0), (4.26) f (2x) = ψ(x) + g (0), (4.27) f (2x) = (x) (4.28) ả f () = g(0) (4.29) đạo hàm phơng trình thứ nhất, Từ (??), đặt = 2x ta đợc Cho g(0) = ta suy hàm f () Đồng (??) (??) sử dụng (??) ta đợc (x) = ψ(x) + g (0), suy g (0) = φ0 (x) − ψ(x) = λ Vậy, với kiện ban đầu (x) (x) ràng buộc với theo (??), ta tìm đợc hµm g ∈ C cho g(0) = α tuú ý, g (0) = λ, vµ hµm f C đợc xác định từ (??) Hiển nhiên nghiệm toán, đợc xây dựng từ hai hàm g h, vô số utt = 4uxx , V.a u(x, 0) = sin x, ut (x, 0) = −2 sin x + sin 2x, x π, ⎪ ⎪ ⎩u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t > HiĨn nhiªn hàm cho kiện Cauchy thoả mÃn điều kiện để toán có nghiệm Ta sử dụng phơng pháp Fourier để tìm nghiệm toán dới dạng u(x, t) = ∞ X (Ak cos 2kt + Bk sin 2kt) sin kx, (4.30) k=1 ®ã Z π Ak = sin x sin kxdx, π Z π (−2 sin x + sin 2x) sin kxdx Bk = kπ (4.31) (4.32) Sư dơng tÝnh chÊt π CuuDuongThanCong.com Z π sin mx sin nxdx = ( 0, 1, m 6= n, m = n, https://fb.com/tailieudientucntt (4.33) 61 Gi¶i mét sè bμi tËp Ta suy hệ số cần tìm A1 = π Ak = 0, Z π sin2 xdx = 1, ∀k = 2, 3, , Z π sin2 xdx = − , B1 = − 2π Z 16 π B2 = sin 2xdx = 2, 4π Bk = 0, ∀k = 3, 4, VËy nghiƯm cÇn tìm u(x, t) = cos 2t sin x CuuDuongThanCong.com sin 2t sin x + sin 4t sin 2x https://fb.com/tailieudientucntt 62 Gi¶i mét sè bμi tËp Chơng ?? IV.1 Giải toán Dirichlet ( , (a) ∆u = (b) u|Γ = − 4y 4xy , (4.34) với mặt tâm bán kính 2, biên Trong hệ toạ độ cực r0, phơng trình (??)(a) có dạng ả u 2u r + 2 = 0, r ∂r ∂r r ∂θ điều kiện biên (??)(b) trở thành u| = − 4r2 sin2 θ − 4r3 cos θ sin2 θ Sử dụng phơng pháp tách biến tìm nghiệm toán biên Dirichlet mặt tròn, ta có công thức nghiệm toán biên có dạng u(x, t) = ∞ X rn (An cos nθ + Bn sin n) n=1 Từ điều kiện biên ta có u(r, ) = − 4r2 sin2 θ − 4r3 cos θ sin2 θ = − 16 sin2 θ − 32 sin2 θ cos θ = − 8(1 − cos 2θ) − 16 cos θ(1 − cos 2θ) = −5 + cos 2θ − 16 cos θ + 16 cos θ cos 2θ = −5 + cos 2θ − 16 cos θ + 8(cos θ + cos 3θ) = cos 3θ + cos 2θ − cos Sử dụng công thức xác định hệ số khai triển Fourier nghiệm toán (D) kết ( Z m 6= n, cos nθ cos mθdθ = 2π m = n, ta cã A0 = −5, A1 = −8, A2 = 8, A3 = 8, An = 0, Vậy nghiệm cần tìm toán u(r, ) = 8r3 cos 3θ + 8r2 cos 2θ − 8r cos θ − CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∀n > 63 Gi¶i mét sè bμi tËp = 8r3 (4 cos3 θ − cos θ) + 8r2 (2 cos2 θ − 1) − 8r cos θ − = 32r3 cos3 θ + 16r2 cos2 θ − 24r3 cos θ − 8r cos θ − 8r2 − Thay (r, ) (x, y) ta đợc nghiệm phơng trình u(x, y) = 8x3 + 8x2 − 8y − 8x(3x2 + 3y + 1) IV.2 Đặt v = u x3 /3 Khi toán (D) víi u sÏ trë thµnh ( (a) ∆v = Ω, (b) v|Γ = x − 43 x3 + 2xy (4.35) IV.3 Đa toán xét hệ toạ độ cực chuyển toán Dirichlet cách đặt u(r, ) = r0 v(r0 , ), với rr0 = Khi toán (D) với u trở thành ( (a) v = Ω, (4.36) (b) v|Γ = + 12 (y − x2 y + x2 − y) IV.4 Sử dụng phơng pháp Fourier để tìm nghiệm phơng trình Laplace dới dạng X u(r, ) = R(r)Φ(θ) = C1 + C2 ln r + (an rn + bn r−n ) cos nθ + (cn rn + dn rn ) sin n n=1 Thay điều kiện biên tơng ứng ta đợc C1 = 0, C2 = 1, a1 = 1, an = 0, n = 2, 3, , bn = 0, n = 1, 2, , d1 = −1, dn = 0, n = 2, 3, , cn = 0, n = 1, 2, Vậy ta đợc nghiệm toán u(r, θ) = ln r + r cos θ − sin θ, r hay biĨu diƠn theo (x, y) u(x, y) = y ln(x2 + y ) + x − x + y2 V., VI Sử dụng công thức đà biết phơng pháp Fourier nêu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 64 Giải số bi tập Chơng ?? I.1 Sử dụng công thức Poisson để xác định nghiệm toán ( t > 0, x ∈ R, ut = uxx , u(x, 0) = cos 3x Ta có nghiệm toán có dạng ẵ ắ Z ( x)2 u(x, t) = √ exp − cos 3xdx 4t πt −∞ Thùc hiƯn phÐp ®ỉi biÕn z = ξ−x , t sử dụng đẳng thức Z ∞ π − β22 −α2 z √ e cos βzdz = e 4α , α π −∞ R∞ 2 ý tích phân e−α z sin βzdz = 0, ta suy nghiÖm toán Z u(x, t) = √ e−z cos(3x + tz)dz π −∞ Z ∞ √ √ =√ e−z (cos 3x cos(6 tz) − sin 3x sin(6 tz))dz π −∞ Z √ cos 3x ∞ −z2 = √ e cos(6 tz)dz = cos 3xe9t Thử lại thấy nghiệm toán cần tìm Đáp số: u(x, t) = cos 3xe−9t u(x, t) = 12 (e−81t cos 3x − e−324t cos 6x) u(x, t) = 12 (1 + e−1024t cos 8x) n o x2 u(x, t) = (1 + 16t)−1/2 exp − 1+16t −1/2 u(x, t) = (1 + 36t) CuuDuongThanCong.com n o −x2 +2x+2+108t exp − 1+36t https://fb.com/tailieudientucntt 65 Giải số bi tập II Ta cần xây dựng nghiệm không giới nội toán ( ut = a2 ∆u, t > 0, x ∈ Rn , u(x, 0) = f (x) (Trong bµi nµy, a = 1, n = 1, vµ hµm f (x) = x2 − 2x + 3.) Ta chøng minh r»ng nghiÖm toán có dạng u(x, t) = ka2 X t k=0 ®ã ∆k f (x) = ∆(∆k−1 f (x)), ∆f (x) = k! n P ∆k f (x), uxi xi Điều chứng minh không khó i=1 chút nào, cần thử trực tiếp vào phơng trình đầu, cho t ta có điều kiện đầu Khi nghiệm toán u(x, t) = x2 − 2x + + 2t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 66 Phơng trình đạo hm riêng Ti liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chơng (cb), Phơng trình đạo hàm riêng, NXB GD, 2000 [2] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phơng trình đạo hàm riêng, Tập 1, NXB ĐH THCN, 1975, TB: NXB ĐHQG HN, 2002 [3] Nguyễn Mạnh Hùng, Phơng trình đạo hàm riêng, Phần 1, NXB GD, 2002 B TiÕng Anh [4] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol I Basic theory, Springer-Verlag, 1997 [5] , Partial Differential Equations, Vol II Qualitative Studies of Linear Equations, Springer-Verlag, 1997 [6] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol III Nonlinear Equations, SpringerVerlag, 1997 66 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... vùc nµy lµ J.D’Alembert (171 7-1 783), L.Euler (170 7-1 783), D.Bernoulli (170 0-1 782), J.Lagrange (173 6-1 813), P.Laplace (174 9-1 827), S.Poisson (178 1-1 840), J.Fourier (176 8-1 830) Thø hai mối liên hệ... Bài toán Cauchy (?? )-( ?? )-( ??) phơng trình truyền sóng đợc đặt đắn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 25 Chơng Phơng trình hyperbolic 2.4 Nghiệm toán biên-ban đầu Phơng pháp... elliptic Định lý 3.13 Nghiệm toán (?? )-( ??), tồn tại, Chứng minh Giả sử toán (?? )-( ??) có hai nghiệm u1 (P ) u2 (P ) Khi hai hàm u1 (P ) u2 (P ) thoả mÃn toán (?? )-( ??) hiệu chúng u(P ) = u1 (P )u2