giáo trình vi phân 2

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán–Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 19 tháng năm 2018 Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn Tham gia biên soạn: Ông Thanh Hải, Nguyễn Vũ Huy, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Mỗi mục tương ứng với khoảng buổi thảo luận lớp học Trang web Tài liệu hỗ trợ mơn học Bộ mơn Giải tích có ở: http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich Đây thảo, tiếp tục chỉnh sửa bổ sung Mục lục Đạo hàm hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích 1.1.2 Tập mở tập đóng Rn 1.1.3 Hình học Rn 1.2 Hàm số nhiều biến Giới hạn liên tục 1.2.1 Giới hạn hàm số nhiều biến 1.2.2 Hàm số liên tục 1.3 Đạo hàm hàm số 1.3.1 Đạo hàm riêng phần 1.3.2 Mặt phẳng tiếp xúc Xấp xỉ tuyến tính 1.3.3 Khả vi Đạo hàm 1.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao 1.4 Đạo hàm hàm vectơ 1.4.1 Đạo hàm theo hướng 1.4.2 Đạo hàm hàm hợp 1.5 Cực trị hàm số nhiều biến 1.5.1 Cực trị khơng có ràng buộc 1.5.2 Cực trị có ràng buộc 1.5.3 Giá trị lớn nhỏ Tích phân bội 2.1 Định nghĩa tính chất tích phân bội 2.1.1 Tích phân hình hộp 2.1.2 Tích phân tập tổng quát 2.1.3 Thể tích 2.1.4 Sự có tích phân tích 2.1.5 Tính chất tích phân 2.2 Công thức Fubini 2.2.1 Công thức Fubini cho miền phẳng 2.2.2 Công thức Fubini cho miền ba chiều 2.3 Công thức đổi biến 2.3.1 Phép đổi biến 2.3.2 Công thức đổi biến cho vi phân tích phân 2.3.3 Tọa độ cực 2.3.4 Tọa độ cầu 2.3.5 Giải thích cơng thức đổi biến 2.4 Ứng dụng tích phân bội 5 8 9 11 12 12 13 14 14 17 18 18 20 20 25 27 30 30 30 32 33 34 36 38 40 41 45 45 45 47 48 50 55 MỤC LỤC 2.4.1 2.4.2 2.4.3 Giá trị trung bình 55 Tâm khối lượng 56 Xác suất kiện ngẫu nhiên 56 Giải tích vectơ 3.1 Tích phân đường 3.1.1 Chiều dài đường 3.1.2 Tích phân đường loại 3.1.3 Tích phân đường loại hai 3.1.4 Sự phụ thuộc vào đường 3.1.5 Liên hệ hai loại tích phân đường 3.2 Công thức Newton–Leibniz Công thức Green 3.2.1 Trường bảo toàn 3.2.2 Ý nghĩa vật lý khái niệm trường bảo toàn 3.2.3 Công thức Green 3.2.4 Điều kiện để trường vectơ phẳng bảo toàn 3.2.5 Dạng thông lượng công thức Green 3.3 Tích phân mặt 3.3.1 Diện tích mặt 3.3.2 Tích phân mặt loại 3.3.3 Tích phân mặt loại hai 3.3.4 Mặt tập điểm Định hướng 3.3.5 Pháp tuyến mặt Liên hệ hai loại tích phân mặt 3.4 Công thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky 3.4.1 Công thức Stokes 3.4.2 Điều kiện để trường ba chiều bảo toàn 3.4.3 Công thức Gauss–Ostrogradsky 3.4.4 Ý nghĩa vật lý div curl 3.4.5 Ứng dụng 61 61 61 63 64 65 67 69 69 70 71 73 75 82 82 83 84 85 87 89 89 92 93 95 96 Tài liệu tham khảo 102 Chỉ mục 103 Chương Đạo hàm hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn Khoảng 300 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Euclid viết sách “Cơ sở hình học”, tổng kết hiểu biết hình học đương thời Ngày hình học phẳng hình học khơng gian ba chiều mà Euclid trình bày với hệ thống tiên đề chứng minh suy diễn toán học học trường trung học phổ thông Phát triển từ hình học Euclid, chương xét không gian Euclide nchiều Nhưng phương pháp phương pháp Hình học Giải tích Descartes, theo điểm tương ứng với số, nhờ quan hệ hình học diễn tả quan hệ số lượng Cụ thể hơn, môn Vi Tích phân Hàm biến (xem [Bmgt1]), mơn Vi Tích phân Hàm nhiều biến đặt sở tập hợp số thực, dùng hình vẽ trực quan để dẫn dắt suy luận coi chặt chẽ nằm hệ thống suy luận từ tập hợp số thực quy tắc suy luận toán học Tuy phát triển nhắm tới tương thích chứa trường hợp n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thông Trên tinh thần đó, bắt đầu mơn học với định nghĩa cho khái niệm không gian, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, Với số nguyên dương n, tập hợp Rn tập hợp tất có thứ tự n số thực Vậy Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , xn ∈ R} Số thực xi gọi thành phần hay tọa độ thứ i phần tử x 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích Khi tập Rn trang bị phép tốn định gọi khơng gian vectơ, phần tử gọi vectơ Đôi khi, để nhấn mạnh việc nhìn phần tử x khía cạnh vectơ người ta dùng kí hiệu x hay x, đặc biệt n = 2, Các phép tốn gồm phép tốn cộng phép toán nhân, định nghĩa sau Phép cộng + hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) cho vectơ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) Phép nhân vectơ x với số thực α cho vectơ α · x = x · α = (αx1 , αx2 , , αxn ) Hai phép tốn + · có tính chất: Mệnh đề 1.1.1 Với x, y ∈ Rn , với α, β ∈ R: (a) x + y = y + x, CHƯƠNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (b) (x + y) + z = x + (y + z), (c) với vectơ có tất thành phần 0, nghĩa = (0, 0, , 0) (thường gọi điểm gốc tọa độ), x + = + x = x, (d) tồn vectơ đối −x = (−1) · x = (−x1 , −x2 , , −xn ) cho x + (−x) = 0, (e) · x = x, (f) α · (β · x) = (α · β) · x, (g) (α + β) · x = α · x + β · x, (h) α · (x + y) = α · x + α · y Về sau để kí hiệu đơn giản ta thường bỏ dấu chấm để kí hiệu phép nhân trên, ví dụ viết 2x thay · x Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho điểm (x, y, z) nằm không gian R3 Những tính chất phù hợp với trường hợp riêng R, R2 , R3 biết Tuy có điểm khác biệt tinh tế đáng ý trường hợp riêng này, vật lý, ta thường hình dung vectơ đoạn thẳng có hướng, xác định cặp có thứ tự hai điểm, điểm đầu điểm cuối; tức vectơ trước có gốc Còn vectơ ta vừa định nghĩa trên, khơng kèm khái niệm gốc, trước có gọi “vectơ tự do” Mỗi vectơ có chiều dài, hay độ lớn, gọi chiều dài Euclid, cho |x| = x21 + x22 + · · · + x2n Chiều dài vectơ gọi chuẩn vectơ (đặc biệt n > 3), kí hiệu x Trong trường hợp n = độ lớn giá trị tuyệt đối số thực Chiều dài vectơ có tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 1.1.2 Với x, y ∈ Rn , với α ∈ R thì: 1.1 KHƠNG GIAN RN (a) x ≥ 0, (b) x = x = 0, (c) αx = |α| x , (d) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác) Hai phần tử x, y Rn lại có khoảng cách chúng, kí hiệu d(x, y), gọi khoảng cách Euclid, cho d(x, y) = y − x = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 Trong trường hợp n = khoảng cách chiều dài thơng thường đoạn số thực Trong trường hơp n = n = khoảng cách từ x tới y chiều dài vectơ từ x tới y Khoảng cách có tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 1.1.3 Với x, y, z ∈ Rn thì: (a) d(x, y) ≥ 0, (b) d(x, y) = x = y, (c) d(x, y) = d(y, x), (d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Trên Rn ta có tích vơ hướng hai vectơ, tổng qt hóa tích số thực tích vô hướng R2 , R3 mà ta biết, gọi tích vơ hướng Euclid, gọi tích Euclid, cho x · y = x, y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Phép tốn tích vơ hướng có tính chất sau: Mệnh đề 1.1.4 Với x, y, z ∈ Rn , với α ∈ R thì: (a) x · x ≥ 0, (b) x · x = x = 0, (c) x · y = y · x (d) x · (y + z) = x · y + x · z, (e) (αx) · y = α(x · y), √ Ta có quan hệ tích vơ hướng độ lớn: x = x · x Như chiều dài, khoảng cách, tích vơ hướng Euclid Rn có quan hệ gắn bó với Mỗi phần tử x tập hợp Rn có nhiều vai trò tùy theo khía cạnh mà ta quan tâm: vectơ ta quan tâm tới phép toán vectơ, điểm ta quan tâm tới khoảng cách Chính phần tử Rn gọi vectơ, gọi điểm Người đọc khơng nên bị rối điều Cũng lí mà ta khơng thiết phải dùng kí hiệu khác để phân biệt điểm hay vectơ Không gian Rn có đặc biệt vectơ (ee1 = (1, 0, , 0), e = (0, 1, , 0), , e n = (0, 0, , 1)) CHƯƠNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN có tính chất với vectơ x Rn n xi e i x= i=1 Bộ gọi sở vectơ tắc Rn Người ta nói n số chiều Rn , Rn có sở vectơ gồm n phần tử, phần tử Rn nhận từ sở phép cộng vectơ phép nhân với số thực 1.1.2 Tập mở tập đóng Rn Với khoảng cách độ dài Euclid, ta xây dựng tập mở, đóng, cấu trúc thích hợp cho khái niệm giới hạn liên tục Cho x ∈ Rn > Các tập hợp B(x, ) = {y ∈ Rn | x − y < } B (x, ) = {y ∈ Rn | x − y ≤ } S(x, ) = {y ∈ Rn | x − y = } gọi cầu (mở), cầu đóng, mặt cầu tâm x bán kính ε Rn Vậy cầu mở tập hợp tất điểm có khoảng cách tới điểm cho trước nhỏ số cho trước Đây rõ ràng phát triển khái niệm khoảng, hình tròn, cầu trường hợp n = 1, 2, Điểm x gọi điểm tập D ⊂ Rn có số > cho cầu B(x, ) chứa D ◦ Tập tất điểm D gọi phần D ký hiệu D Tập hợp D gọi tập mở điểm D điểm D Ví dụ 1.1.5 Quả cầu B(x, ) tập mở Điểm x ∈ Rn gọi điểm biên tập D ⊂ Rn cầu B(x, ) chứa điểm thuộc D điểm không thuộc D Tập điểm biên D kí hiệu ∂D, gọi biên D Rõ ràng, điểm D nằm D, điểm biên D thuộc D khơng thuộc D Ví dụ 1.1.6 Mặt cầu S(x, ) biên cầu B(x, ) Tập D ⊂ Rn gọi tập đóng D chứa điểm biên Ví dụ 1.1.7 Quả cầu đóng B (x, ) mặt cầu S(x, ) tập đóng Ví dụ 1.1.8 Tập C = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x < b, a ≤ y < b, a ≤ z < b} không tập mở, không tập đóng R3 Người ta thường dùng thuật ngữ lân cận điểm Rn để tập mở Rn chứa điểm 1.1.3 Hình học Rn Cho hai vectơ u v Rn Góc hai vectơ u v số thực θ ∈ [0, π] thỏa cos θ = u·v u v 1.2 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC Như ta công thức u·v = u v cos θ Ta nói u vng góc, hay trực giao với v u · v = 0, tức góc chúng π/2, kí hiệu u ⊥ v Hai vectơ phương góc chúng π, tức vectơ bội vectơ Hai vectơ hướng góc chúng 0, tức vectơ bội dương vectơ Nếu v = vectơ đơn vị theo chiều v vv Hình chiếu u lên v vectơ chiều với v có độ lớn |u · v v |, tức vectơ u·v v v Cho hai vectơ R3 , u = (u1 , u2 , u3 ) v = (v1 , v2 , v3 ) Tích có hướng hai vectơ này, kí hiệu u × v, định nghĩa vectơ u × v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) Một tính chất tích có hướng mà ta kiểm (u×v) ⊥ u (u×v) ⊥ v Như tích có hướng hai vectơ vng góc với hai vectơ Ngồi tích có hướng vectơ hai vectơ phương 1.2 Hàm số nhiều biến Giới hạn liên tục Trong đời sống, đại lượng thường phụ thuộc vào nhiều đại lượng khác Ví dụ nhiệt độ phụ thuộc vào vị trí thời gian; giá hàng hoá thị trường phụ thuộc vào chi phí sản xuất, sản lượng cung cấp, nhu cầu thị trường Người đọc đưa ví dụ khác Như để khảo sát đại lượng đời sống cần hàm có nhiều biến Chúng ta có định nghĩa hàm số nhiều biến sau: Định nghĩa 1.2.1 Cho tập không rỗng D ∈ Rn , ánh xạ f : D −→ R x = (x1 , , xn ) −→ f (x) = f (x1 , , xn ) gọi hàm số xác định D Ta gọi D tập xác định, f hàm số, x biến số, f (x) giá trị f x Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm (x1 , , xn , y) không gian Rn+1 cho y = f (x1 , , xn ) Ví dụ 1.2.2 (a) Hàm số f : D → R với D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 1} z = f (x, y) = − x2 − y có đồ thị nửa mặt cầu có tâm gốc tọa độ O bán kính nằm nửa không gian z ≥ (b) Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 + y mặt nón tròn xoay quanh trục Oz, nằm nửa không gian z ≥ 1.2.1 Giới hạn hàm số nhiều biến Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số f xác định tập D ⊂ Rn theo biến x a điểm biên D Ta nói hàm f có giới hạn L ∈ R x dần đến a ∀ > 0, ∃δ > 0, < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < 10 CHƯƠNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Khi ta viết limx→a f (x) = L, viết f (x) → L x → a Chúng ta thấy định nghĩa giới hạn hàm nhiều biến khơng khác với định nghĩa giới hạn hàm biến (xem [Bmgt1]) Ý nghĩa định nghĩa khơng có khác: Giới hạn f (x) L x tiến tới a khoảng cách f (x) L nhỏ tùy ý miễn khoảng cách x a đủ nhỏ Như giới hạn hàm biến trường hợp n = giới hạn hàm nhiều biến, ta thừa hưởng tính chất có Vi Tích phân Hàm biến Trong số trường hợp đơn giản hơn, hiểu giới hạn cách thô sơ: x gần tới a f (x) gần tới L Ghi 1.2.4 Trong định nghĩa ta cho phép điểm a điểm biên miền xác định D, không thiết thuộc D Điều để xét giới hạn x2 y (x,y)→(0,0) x2 + 4y lim Ở cho (x, y) dần tới (0, 0) mà không (0, 0), nơi hàm khơng xác định Điều giải thích điều kiện < |x − a| định nghĩa Nếu a thuộc D định nghĩa giới hạn a trở nên đơn giản hơn: limx→a f (x) = L ∀ > 0, ∃δ > 0, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < Một số tính chất giới hạn giải thích chứng minh từ định nghĩa, tương tự với hàm biến Mệnh đề 1.2.5 Giả sử f, g : D → Rn hai hàm số có giới hạn x → a Khi đó: (a) lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x), x→a x→a x→a (b) lim [kf (x)] = k lim f (x) với k số, x→a x→a (c) lim [f (x)g(x)] = lim f (x) · lim g(x), x→a x→a x→a f (x) limx→a f (x) = lim g(x) = x→a g(x) x→a limx→a g(x) (d) lim (e) Nếu f ≤ g limx→a f (x) ≤ limx→a g(x) Dưới hệ thường dùng: Hệ 1.2.6 (tiêu chuẩn kẹp) Giả sử f, g, h : D → R f ≤ g ≤ h Giả sử f h có giới hạn L x → a Khi g có giới hạn L x → a Trong môn phần lớn làm việc R2 , để dễ hình dung thực tính tốn Ví dụ 1.2.7 Tìm giới hạn lim (x3 + y ) sin (x,y)→(1,0) x2 + y2 Chúng ta thấy lim (x,y)→(1,0) (x3 + y ) sin x2 + y2 = · sin(1/1) = sin Một lý luận chi tiết dùng tính chất giới hạn tính liên tục hàm sin 90 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ Dưới dạng kí hiệu hình thức, với ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂x , ∂y , ∂z , curl F = ∇ × F Trường curl F gọi trường xoay trường F Tốn tử curl kí hiệu rot.2 Dạng cơng thức Stokes dùng mụn hc ny l ă F ã ds = ∂S curl F · dS S z S v ∂S r D ∂D y u x Trong công thức biên ∂S cần định hướng tương thích với định hướng S Một cách miêu tả trực quan cho định hướng biên ∂S dọc theo biên theo chiều định, thân người hướng theo chiều pháp tuyến chọn S mặt S phải nằm bên tay trái Một cách miêu tả khác là: đặt lòng bàn tay phải hướng theo chiều biên ngón tay chiều pháp tuyến mặt Công thức Stokes phát triển công thức Green lên không gian ba chiều Thực vậy, S miền phẳng F trường phẳng S F (x, y, z) = (P (x, y), Q(x, y), 0) Công thức Stokes trở thành ˆ ¨ ¨ P dx + Qdy = (0, 0, Qx − Py ) · dS = (0, 0, Qx − Py ) ã k dS S S ăS ă = (Qx − Py ) dS = (Qx − Py ) dxdy, S S cơng thức Green Cơng thức Stokes viết dạng tọa độ: ă (Ry Qz ) dydz + (Pz Rx ) dzdx + (Qx − Py ) dxdy P dx + Qdy + Rdz = ∂S S Tuy dùng dạng mơn thể rõ tương tự công thức Stokes với công thức Green Dưới phát biểu xác mà ta chứng minh được: Định lý 3.4.2 (công thức Stokes) Cho miền phẳng D có biên ∂D vết đường γ có hướng tương thích với D giả sử cơng thức Green áp dụng cho D Cho Trong tiếng Anh curl có nghĩa xoắn, cuộn, quăn, ; rotation nghĩa xoay 3.4 CÔNG THỨC STOKES VÀ CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 91 mặt r trơn cấp hai tập mở chứa D Gọi ∂r = r ◦ γ đường biên r Cho trường F trơn tập mở chứa vt ca r Khi ú: ă curl F ã dS F · ds = r ∂r Chứng minh Chứng minh chứa biểu thức dài dòng gồm tính tốn trực tiếp việc áp dụng công thức Green Viết F = (P, Q, R) (x, y, z) = r(u, v) Viết γ(t) = (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b, tham số hóa theo định hướng dương ∂D Ta (trong vài biểu thức biến lược bỏ cho gọn hơn): ˆ ˆ b F · ds = F (r(u(t), v(t)) · ∂r a ˆ d r(u(t), v(t)) dt dt b F (r(u(t), v(t)) · (ru u + rv v ) dt = a ˆ b [P (x, y, z)(xu u + xv v ) + Q(x, y, z)(yu u + yv v ) + = a ˆ = +R(x, y, z)(zu u + zv v )] dt b [(P (x, y, z)xu + Q(x, y, z)yu + R(x, y, z)zu )u + (P (x, y, z)xv + a ˆ +Q(x, y, z)yv + R(x, y, z)zv )v ] dt (P xu + Qyu + Rzu ) du + (P xv + Qyv + Rzv ) dv = γ Bây áp dụng công thức Green cho D ta c tớch phõn trờn bng ă (P xv + Qyv + Rzv ) − (P xu + Qyu + Rzu ) dudv ∂v D ∂u Tính đạo hàm hàm hợp, chẳng hạn (P xv )u = (Px xu + Py yu + Pz zu ) xv + P xuv , đơn giản hóa, dùng tính trơn cấp hai r, ta tích phân bng ă [(Ry Qz )(yu zv zu yv ) + (Pz − Rx )(zu xv − xu zv )+ D + (Qx − Py )(xu yv − xv yu )] dudv ă ă = [curl(P, Q, R) ã (ru × rv )] dudv = curl F · dS D r Ta phát biểu hệ độc lập với tham số hóa, dạng thường gặp môn học này, sử dụng khái niệm đưa Mệnh đề 3.3.13: Định lý 3.4.3 Giả sử S vết mặt xác định tập đóng bị chặn, có biên vết đường qui khúc, cơng thức Green áp dụng Giả sử mặt đơn, qui, trơn cấp hai tập mở chứa miền xác định Giả sử S ∂S có định hướng tương thích Cho trường F trơn m cha S Khi ú ă F ã ds = curl F · dS ∂S S 92 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ Ví dụ 3.4.4 Cho F (x, y, z) = (x2 , y , z ) Cho C đường ´ tam giác với đỉnh (1, 2, 3), (2, 0, −1), (4, 3, 1), định hướng theo thứ tự Ta tính C F · ds Có thể tính trực tiếp dùng phương pháp trường bảo tồn, ta có thêm công cụ công thức Stokes Đường tam giác C bao hình tam giác S với định hướng sinh bi C p dng cụng thc Stokes: ă curl F · dS F · ds = C S Ở curl F = Vậy tích phân Ví dụ 3.4.5 Cho F (x, y, z) = (xy, yz, zx) Gọi C giao mặt phẳng x + y + z = 2 với mặt trụ ´ x + y = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Ta tính I = C F · ds hai cách: tính trực tiếp, dùng cơng thức Stokes (a) Tính trực tiếp: Ta lấy tham số hóa đường C C(t) = (cos t, sin t, − cos t − sin t), ≤ t ≤ 2π, ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Tính trực tiếp I: ˆ F (C(t)) · C (t) dt I = C ˆ 2π = (cos t sin t, sin t(1 − cos t − sin t) + (1 − cos t − sin t) cos t) · ·(− sin t, cos t, sin t − cos t) dt = −π (b) Dùng công thức Stokes: Trước hết tính curlF (x, y, z) = (−y, −z, −x) Tham số hóa mặt S bao C r(x, y) = (x, y, − x − y), x2 + y ≤ Tham số hóa có vectơ pháp tuyến tương ứng rx × ry (x, y) = (1, 1, 1), hướng lên, phù hợp với định hướng cần thiết cơng thc Stokes Bõy gi: ă ă I = curlF ã dS = curlF (x, y) · (rx × ry (x, y)) dxdy S x2 +y ă = (y, −(1 − x − y), −x) · (1, 1, 1) dxdy = −π x2 +y ≤1 3.4.2 Điều kiện để trường ba chiều bảo toàn Mệnh đề 3.4.6 (curl grad = 0) Nếu f hàm thực có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tập mở curl(∇f ) = Dùng kí hiệu hình thức ∇ × (∇f ) = Chứng minh Tương tự trường hợp hai chiều, tính trực tiếp ta được3 curl ∇f = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = Chú ý qui ước kí hiệu: ∂2f = fyx ∂x∂y 3.4 CÔNG THỨC STOKES VÀ CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 93 Hệ 3.4.7 (điều kiện cần để trường ba chiều bảo toàn) Nếu F trường trơn bảo tồn tập mở curl F = Nói cách khác điều kiện sau phải thỏa:   Ry = Qz Pz = Rx  Qx = Py Ta dùng kết để chứng tỏ trường khơng bảo tồn cách curl khác Ví dụ 3.4.8 Trường F (x, y, z) = (y, x, y) có bảo tồn R3 hay không? Trường F trơn cấp R3 Nếu F bảo tồn phải có curl F = Nhưng trường hợp curl F = (1, 0, 0) = 0, F khơng bảo tồn Bằng cách chứng minh tương tự 3.2.15 thay công thức Green công thức Stokes ta được: Mệnh đề 3.4.9 (bổ đề Poincaré ba chiều) Nếu F trơn miền mở hình R3 curl F = F bảo tồn 3.4.3 Công thức Gauss–Ostrogradsky Định nghĩa 3.4.10 Cho F = (P, Q, R) trường theo ba biến (x, y, z) R3 div F = ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z Dưới dạng kí hiệu hình thức div F = ∇ · F Hàm div F gọi hàm phân tán (divergence) trường F Cơng thức Gauss–Ostrogradsky4 gọi cơng thức Divergence5 Đây tổng qt hố dạng thông lượng công thức Green 3.2.1, cho mt cụng thc cú dng ă P dydz + Q dzdx + R dxdy = (Px + Qy + Rz ) dxdydz ∂E E Dưới ta phát biểu chứng minh công thức cho khối đơn giản theo ba chiều Theo chiều khối miền nằm hai đồ thị Chẳng hạn theo chiều trục z khối E = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D ⊂ R2 , f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)}, với D đóng, bị chặn, có diện tích Giả sử thêm ∂D f = g f < g Giả sử hàm f , g trơn biên ∂E hội mặt {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D} (chính qui, hướng xuống), mặt {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D} (chính qui, hướng lên), ngồi ∂D mà f < g biên gồm mặt bên hơng {(x, y, z) | (x, y) ∈ ∂D, f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y)} Giả sử thêm ∂D vết đường qui khúc Ta nói E khối đơn giản với biên trơn mảnh Ví dụ 3.4.11 Quả cầu đóng, khối ellipsoid, khối hộp chữ nhật khối đơn giản với biên trơn mảnh Định lý 3.4.12 (công thức Gauss–Ostrogradsky) Cho trường F trơn tập mở chứa khối đơn giản E với biên trơn mảnh định hướng Khi ú: ă ă F ã n dS = E ˚ F · dS = ∂E div F dV E tên Ostrogradsky viết Ostrogradski tiếng Anh “divergence” có nghĩa phát tán, phân kì, phân rã, 94 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ Chứng minh Viết F = P i + Qj + Rk Viết E khối đơn theo chiều Oz tập hợp điểm (x, y, z) với f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y) f, g hàm trơn xác định miền phẳng D Ta chứng tỏ ˚ ¨ ∂ Rk · dS = R dV E ∂z ∂E Tương tự ta chứng minh hai biểu thức tương ứng cho hai chiều lại, cộng lại đẳng thức phải chứng minh Nếu f < g ∂D ∂E có mặt hơng, tích phân Rk khơng đó, mặt hông chứa đoạn thẳng thẳng đứng, nên pháp tuyến mặt hơng nằm ngang, vng góc với trường Rk Chi tiết đầy đủ không khảo sát Như tích phân Rk ∂E tổng tích phân Rk mặt v mt di, l cỏc mt th, bng: ă R(x, y, g(x, y))k · (−gx , −gy , 1) dA+ D ă R(x, y, f (x, y))k ã (fx , fy , 1) dA + D ă [R(x, y, g(x, y)) − R(x, y, f (x, y))] dA = D Mt khỏc, theo cụng thc Fubini ă Rz dV g(x,y) Rz dz = D E ă dA f (x,y) (R(x, y, g(x, y) − R(x, y, f (x, y))) dA = D Vậy ta đẳng thức mong muốn Ví dụ 3.4.13 Dùng cơng thức Gauss–Ostrogradsky, ta tính thơng lượng trường F (x, y, z) = (2x + ey z, x2 y, yz) qua mặt cầu đơn vị x2 + y + z = nh hng ngoi: ă F ã dS = divF (x, y, z) dxdydz x2 +y +z =1 x2 +y +z ≤1 ˚ = (2 + x2 + y) dxdydz x2 +y +z ≤1 ˆ 1ˆ π ˆ 2π 4π + (ρ sin φ cos θ)2 ρ2 sin φ dθdφdρ + 0 44π 8π + · ·π = 15 = = Ví dụ 3.4.14 Hãy tính thơng lượng trường F (x, y, z) = (x, y, − 2z) qua mặt S cho z = − x2 − y , z ≥ 0, định hướng lên trên, hai cách: (a) tính trực tiếp, (b) tính thông lượng F qua mặt khác dùng định lý Gauss–Ostrogradsky (a) Tham số hóa mặt S: r(x, y) = (x, y, − x2 − y ) với x2 + y ≤ Có rx × ry (x, y) = (2x, 2y, 1) hướng lên trờn ă ă I = F ã dS = F (r(x, y)) · (rx × ry )(x, y) dxdy S x2 +y ă = (x, y, 2(1 − x2 − y ))(2x, 2y, 1) dxdy x2 +y ă = x2 +y ≤1 4r2 rdrdθ = 2π 4(x + y ) dxdy = 0 3.4 CÔNG THỨC STOKES VÀ CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 95 (b) Gọi S1 mặt cho x2 + y ≤ 1, z = 0, định hướng xuống Mặt S S1 tạo thành mặt kín S2 bao khối E Áp dng cụng thc GaussOstrogradsky: ă ă ă F · dS + F · dS = F · dS = dV = div F dV = S S1 S2 E D Mt khỏc ă ă ă F · dS = S1 F · n dS = (x, y, − 0) · (0, 0, −1) dA x2 +y S1 ă dA = = x2 +y ≤1 Do ˜ S F · dS = 2π Tính trực tiếp từ cơng thức tương tự Mệnh đề 3.4.6 ta có kết sau: Mệnh đề 3.4.15 (div curl = 0) Nếu F trường có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tập mở div(curl F ) = Viết kí hiệu hình thức: ∇ · (∇ × F ) = Kết cho điều cần để trường trường curl trường khác 3.4.4 Ý nghĩa vật lý div curl Trước hết ta cần bổ đề sau đây: Bổ đề 3.4.16 Cho f hàm thực khả tích lân cận điểm p ∈ Rn liên tục p Gọi B (p, r) cầu đóng tâm p với bán kính r Khi đó: ˆ lim f = f (p) r→0 |B (p, r)| B (p,r) Vậy giá trị trung bình hàm liên tục quanh điểm tiến giới hạn giá trị hàm điểm Chứng minh Vì f liên tục p nên cho > 0, với r đủ nhỏ với q ∈ B (p, r) ta có |f (q) − f (p)| ≤ Từ |B (p, r)| ˆ f − f (p) = B (p,r) ≤ ≤ ˆ [f (q) − f (p)] |B (p, r)| B (p,r) ˆ |f (q) − f (p)| |B (p, r)| B (p,r) ˆ = |B (p, r)| B (p,r) Áp dụng bổ đề cho div ta c ă 1 div F (p) = lim div F dA = lim F · n dS (3.4.1) r→0 |B (p, r)| r→0 |B (p, r)| B (p,r) ∂B (p,r) ˜ Tích phân ∂B (p,r) F · n dS thông lượng trường F khỏi mặt cầu ∂B (p, r) Vậy div F (p) độ phát tán trường F đơn vị thể tích quanh p 96 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ p p F F div F (p) > div F (p) < Xét điểm p Lấy mặt phẳng qua p với phương định pháp tuyến n Xét hình tròn B (p, r) mặt phẳng với tâm p bán kính r Ta cú: ă 1 curl F ã n dA = lim F · ds (3.4.2) curl F (p) · n = lim r→0 |B (p, r)| ∂B (p,r) r→0 |B (p, r)| B (p,r) Vậy curl F (p) · n thể lưu lượng ngược chiều kim đồng hồ (độ xoay) trường F phần tử diện tích quanh p mặt phẳng qua p vng góc n Ta có curl F (p) · n đạt giá trị lớn n phương chiều với curl F (p) Vậy curl F (p) cho phương mặt phẳng mà độ xoay trường quanh p lớn nhất, chiều xác định chiều xoay trường theo qui tắc bàn tay phải Hơn chứng tỏ độ lớn curl F (p) tỉ lệ với tốc độ xoay theo góc trường quanh p Nói vắn tắt, curl F (p) xoay trường F điểm p Từ điều tích phân ˜ S curl F · dS gọi lưu lượng (circulation) trường F mặt S curl F (p) p p F F curl F (p) Ta có miêu tả trực quan cho curl F (p): Tưởng tượng ta thả chong chóng vào trường, cố định điểm p tự đổi hướng tự xoay Khi hướng ổn định chong chóng hướng curl F (p), chiều xoay chiều xoay trường, vận tốc xoay chong chóng độ xoay trường quanh p Ghi 3.4.17 Công thức cho div (3.4.1) cho curl (3.4.2) cho thấy chúng đại lượng vật lý, không phụ thuộc hệ tọa độ 3.4.5 Ứng dụng Điện từ Gọi E điện trường gây điện tích q điểm O Giả sử S mặt kín, biên khối D Giả sử cơng thức Gauss–Ostrogradsky áp dụng cho D Nhắc lại từ 3.4.21 div E = Nu D khụng cha im O thỡ ă E · dS = div E dV = S D 3.4 CÔNG THỨC STOKES VÀ CÔNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 97 Nếu D chứa điểm O phần trong, nói cách khác S bao điểm O, lấy cầu B(O, R) đủ nhỏ cho khơng cắt S, cho biên ∂B(O, R) định hướng B(O, R) Khi S ∂B(O, R) tạo thành biên khối D không chứa O Giả sử công thức Gauss–Ostrogradsky áp dụng cho D , ta c ă ă div E dV = E · dS = E · dS − Suy S E · dS = D ∂B(O,R) S ˜ ˜ ∂B(O,R) E 3.2.6), ta tính ˜ · dS Ở Bài tập 3.3.7, dùng Định luật Coulomb (Bài tập ∂B(O,R) E · dS = q q ∂B(O, R) S D Vy ă E ã dS = S q , thông lượng điện trường qua mặt kín bao điện tích khơng phụ thuộc vào mặt tỉ lệ với điện tích Đây nội dung định luật phát biểu Johann Carl Friedrich Gauss Ở ta vừa trình bày định luật Coulomb định luật Gauss cho điện tích Trong trường hợp mơi trường chứa điện tích điểm (mơi trường liên tục) ta có: Định luật Coulomb Định luật Gauss ˜ ˝ ρ Q div E = , với ρ hàm mật độ điện S E ·dS = D ρ dV = , với D tích khối bao mặt S Q tổng điện tích D Tuy hai định luật tương đương mặt tốn học, Định luật Gauss kiểm chứng thí nghiệm dễ Định luật Coulomb, Định luật Gauss có tính vĩ mơ Định luật Coulomb có tính vi mơ Khơng lâu sau hai định luật Coulomb Gauss, thập kỉ 1820, André Marie Ampère phát dòng điện tạo quanh từ trường theo định luật: ˆ B · ds = µ0 I, C C đường cong kín bao quanh dòng điện có cường độ khơng đổi I, B từ trường, µ0 số Năm 1831 Michael Faraday phát từ trường thay đổi theo thời gian tới lượt lại tạo mt in trng nh lut Faraday cho cụng thc: ă ˆ d E · ds = − B · dS dt S ∂S Trong tài liệu vật lý định luật Gauss thường phát biểu mà không kèm theo điều kiện tính trơn mặt hàm công thức 98 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển định luật Ampère thống điện trường với từ trường: Các phương trình Maxwell Dạng vi phân (1) (Coulomb) div E = Dạng tích phân ˜ Q (Gauss) S E · dS = , với S mặt kín ´ ˜ ∂B d (2) curl E = − ∂t (Faraday) ∂S E · ds = − dt S B · dS ˜ (3) div B = mặt kín S B´ · dS = 0, với S ˜ J ∂E I d (4) (Ampère) µ0 curl B = + ∂t , B · dS = + dt S E · dS, với µ0 ∂S với J mật độ dòng điện I cường độ dòng điện qua mặt S Chẳng sau lý thuyết Maxwell ứng dụng thực tế với việc phát minh sóng điện từ Heinrich Hertz năm 1887 Các phương trình Maxwell với định luật Newton tổng kết vật lý cổ điển ρ Cơ học chất lỏng Gọi F trường vận tốc chuyển động dòng chất lỏng Nếu div F = (tại điểm) người ta nói dòng chất lỏng khơng nén (incompressible) (vì khơng có chỗ bơm vào lẫn chỗ thoát ra) Các toán tử vi phân Giải tích vectơ xuất phổ biến mơ hình hóa tượng học Chẳng hạn, phương trình quan trọng mơ tả dòng chảy chất lỏng tập trung nghiên cứu phương trình Navier–Stokes: ∂F ∂t + (F · ∇)F − ν∆F div F = −∇w + g, = Bài tập 3.4.1 Trường sau có bảo tồn hay khơng? (a) F (x, y, z) = (y, x, y) (b) F (x, y, z) = (2xex , z sin y , z ) 3.4.2 Cho S mặt z = x2 + y với z ˜≤ 1, định hướng lên Tính lưu lượng trường F (x, y, z) = (3y, −xz, yz ) S (tức S curlF · dS) hai cách: (a) Tính trực tiếp (b) Dùng công thức Stokes 3.4.3 Cho S mặt z = − x2 − y với z ≥ 0, định hướng lên (a) Cho trường F (x, y, z) = (2z − y, x + z, 3x − 2y) Tính trực tiếp lưu lượng F S, tức ˜ curl F · dS S ˜ (b) Dùng cơng thức Stokes tính S curlF · dS 2 3.4.4 Cho C đường giao mặt 4x2 +4y ngược chiều ´ +z = 40 mặt z = định hướng kim đồng hồ nhìn từ xuống Tìm C F · ds với F (x, y, z) = (y, 2yz + 1, xz + cos(2z + 1)) cách tính trực tiếp cách dùng công thức Stokes 3.4.5 Cho F (x, y, z) = (xy, yz, zx) Gọi C giao mặt phẳng x + y + z = 1´ với mặt trụ x2 + y = 1, định hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Đặt I = C F · ds (a) Tìm tham số hóa đường C 3.4 CƠNG THỨC STOKES VÀ CƠNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 99 (b) Tính trực tiếp I (c) Tính curlF (d) Dùng cơng thức Stokes, tính I 3.4.6 Cho f g hai hàm thực trơn cấp hai R3 (a) Chứng tỏ curl(f ∇g) = ∇f × ∇g ´ (b) Tính tích phân C f ∇f · ds C(t) = (cos t, sin t, sin t), ≤ t ≤ 2π 3.4.7 Trong R3 cho S1 nửa mặt cầu x2 + y + z = 1, z ≥ 0; cho S2 mặt paraboloid z = − x2 − y , z ≥ 0, hai định hướng lên (a) Vẽ hai mặt hệ tọa độ (b) Cho F trường trơn R3 Chứng tỏ ˜ S1 curl F · dS = ˜ S2 curl F · dS (c) Hãy tổng quát hóa 3.4.8 Nếu S mặt cầu ˜ S curl F · dS = 3.4.9 Cho v ∈ R3 vectơ cố định Cho S mặt mà cơng thức Stokes áp dụng Hóy chng minh: ă (v ì r) ã ds = v · n dS, ∂S S r vectơ vị trí, tức r(x, y, z) = (x, y, z) 3.4.10 (a) Chứng minh đẳng thức a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c (b) Từ chứng minh curl(curl F ) = ∇(div F ) − ∆F Ở ∆F hiểu toán tử Laplace ∆ = ∇ · ∇ = thành phần F ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y + ∂2 ∂z tác động vào 3.4.11 (cảm ứng điện từ) Định luật Faraday phát biểu thông lượng từ trường qua mặt giới hạn mạch kín thay đổi mạch xuất dòng điện cảm ứng Chính xác hơn, gọi E điện trường, B từ trường, S mặt với biên đường ∂S định hướng tương thích cơng thức Stokes, ˆ ˆ d B · dS E · ds = − dt S ∂S Giả sử nguồn lượng học sức nước hay sức gió làm quay trục với vận tốc ω vòng/đơn vị thời gian Một vòng dây phẳng gắn vào trục này, đặt từ ´ trường cố định B Gọi A diện tích hình phẳng bao vòng dây Đại lượng ∂S E · ds thường kí hiệu emf Chứng tỏ emf = −A|B|2πω sin(2πωt) Vậy vòng dây xuất dòng điện xoay chiều Đây nguyên lý sở máy phát điện 3.4.12 Tiếp tục tập 3.2.1 3.2.2, xem F trường phẳng không gian ba chiều Ước đoán divF điểm gốc tọa độ âm, dương hay không? Hãy miêu tả curlF điểm gốc tọa độ 3.4.13 Tồn hay không trường F khả vi liên tục cấp hai thỏa curl F (x, y, z) = (eyz , sin(xz ), z )? 100 CHƯƠNG GIẢI TÍCH VECTƠ 3.4.14 Tính: (a) Tiếp tục tập 3.3.1 Nếu mặt S kín tính tích phân cơng thức Gauss–Ostrogradsky ˜ S F · dS cách dùng (b) Tính thơng lượng trường F (x, y, z) = (3x, y , z ) qua mặt cầu đơn vị x2 + y + z = 1, định hướng ngồi (c) Tính thơng lượng trường F (x, y, z) = (2x+eyz , 2xy, y ) qua mặt cầu đơn vị x2 +y +z = định hướng ngồi (d) Tính thơng lượng trường F (x, y, z) = (y, z, x) qua mặt x2 + y + z = 2, định hướng 3.4.15 Cho trường F (x, y, z) = y z x , , (x2 + y + z )3/2 (x2 + y + z )3/2 (x2 + y + z )3/2 Chú ý trường xuyên tâm, tỉ lệ với trọng trường điện trường (a) Tính div(F ) (b) Gọi S2 mặt cầu x2 + y + (z − 3)2 = định hướng ngồi Dùng cơng thức ˜ Gauss–Ostrogradsky, tính S2 F · dS ˜ (c) Gọi S1 mặt cầu x2 + y + z = định hướng ngồi Tính tích phân mặt S1 F · dS cách dùng tọa độ Euclid (x, y, z) dùng tọa độ cầu ˜ (d) Gọi S3 mặt x2 + 4y + 9z = 36 định hướng ngồi Hãy tính S3 F · dS 3.4.16 Cho S mặt z = − x2 − y với z ≥ 0, định hướng lên (a) Cho G(x, y, z) = (ey cos z, x2 z, y + z) Cho S1 đĩa x2 + y ≤ 9, z = 0, định hướng xuống ˜ Tính thơng lượng G qua S1 , tức S1 G · dS ˜ (b) Dùng định lý Gauss–Ostrogradsky tính S∪S1 G · dS ˜ (c) Tính S G · dS 3.4.17 Cho T nhiệt độ miền D ⊂ R3 , giả sử hàm trơn cấp hai Vì nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp, vectơ gradient hướng mà hàm có tốc độ thay đổi lớn nhất, nên thay đổi nhiệt miền mơ hình hóa cách đơn giản trường dòng nhiệt F = −k∇T , với k số dương (a) Chứng tỏ curlF = (b) Chứng tỏ divF = −k∆T , ∆ tốn tử Laplace: ∆T = ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y + ∂2T ∂z (c) Chứng tỏ T hàm điều hòa, tức ∆T = 0, tổng dòng nhiệt qua mặt cầu miền D ln khơng (Xem 3.2.24.) 3.4.18 (diện tích mặt cầu) Áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho hàm F (x, y, z) = (x, y, z), tính diện tích mặt cầu tâm với bán kính R 3.4.19 Hãy chứng minh công thức sau, gọi công thức Green, với giả thiết công thức Gauss–Ostrogradsky áp dụng (Xem 3.2.22.) ˜ ˝ (a) ∂E ∇f · n dS = E ∆f dV ˜ ˝ (b) ∂E (f ∇g) · n dS = E (f ∆g + ∇f · ∇g) dV ˜ ˝ (c) ∂E (f ∇g − g∇f ) · n dS = E (f ∆g − g∆f ) dV ˜ ˝ ∂f (d) ∂E f ni dS = E ∂x dV Ở ni tọa độ thứ i vectơ pháp tuyến n i ˜ ˝ ∂f ˝ ∂g (e) ∂E f gni dS = E ∂xi g dV + E f ∂x dV i 3.4 CÔNG THỨC STOKES VÀ CƠNG THỨC GAUSS–OSTROGRADSKY 101 3.4.20 Dùng cơng thức Gauss–Ostrogradsky đưa cách khác để tìm thể tích khối nón (xem 2.3.13) Cụ thể, đặt đỉnh khối nón O đáy khối nón mặt phẳng nằm ngang z = a, áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho trường (x, y, z) 3.4.21 Giả sử có điện tích q điểm O Theo định luật Coulomb (3.2.6), điện trường gây điện tích q điểm khơng gian có vị trí cho vectơ r từ điểm mang điện tích q tới điểm xét là: E(r) = q 4π |r|3 r Đáng ý điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |r|2 , định luật Coulomb thường gọi luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law) Như ta thấy (3.2.9), trọng trường cho luật nghịch đảo bình phương (a) Tính tốn trực tiếp, chứng tỏ div E = (b) Chứng tỏ trường có dạng E = k |r|rm (được gọi trường xun tâm, radial) có div E = m = (Các thí nghiệm sau kiểm chứng số m định luật Coulomb sai khác không × 10−16 ) 3.4.22 Mặt cyclide nhận từ mặt xuyến qua phép nghịch đảo qua mặt cầu Mặt xuyến cho tham số hóa r(u, v) = ((5 + cos u) cos v, (5 + cos u) sin v, sin u), ≤ u, v ≤ 2π Đưa mặt xuyến mặt cầu đơn vị tâm O bán kính phép tịnh tiến, chẳng hạn theo vectơ (9, 0, 0), mặt xuyến với tham số hóa rtorus(u, v) = (9 + (5 + cos u) cos v, (5 + cos u) sin v, sin u), ≤ u, v ≤ 2π Thực phép lấy nghịch đảo qua mặt cầu tâm O bán kính 1, tức phép biến đổi mang p điểm p = thành điểm ||p|| Khi mặt xuyến trở thành mặt cyclide S với tham số hóa rcyclide(u, v) = rtorus(u, v) rtorus(u, v) (a) Vẽ mặt cyclide S (b) Tính diện tích mặt cyclide S số thập phân (c) Cho trường F (x, y, z) = (y, x, 3z) Tính thơng lượng F qua mặt cyclide S số thập phân (d) Tính thể tích khối bao mặt cyclide S số thập phân Tài liệu tham khảo [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Bmgt1] Bộ mơn Giải tích, Giáo trình Phép tính vi tích phân 1, Khoa Toán–Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Fich77] G M Fichtengôn, Cơ sở Giải tích tốn học, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1977 [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 [Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012 (Có dịch tiếng Việt.) [Tri07] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, NXB Giáo dục, 2007 [Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.pdf 102 Chỉ mục Định lý tích phân đường, 69 đồ thị, động năng, 71 đạo hàm, 14 đạo hàm riêng, 13 đạo hàm theo hướng, 81 định luật Faraday, 99 đường đi, 61 đóng, 61 đơn, 61 định hướng, 66 qui, 66 liên tục, 61 trái định hướng, 66 vết, 61 đường qui khúc, 93 đường cong, 66 hướng tiếp tuyến, 67 đường mức, 25 điểm, điểm biên, điểm dừng, 21 điểm gốc tọa độ, điểm tới hạn, 21 điểm trong, điểm yên, 21, 22 bổ đề Poincaré, 74, 93 biên, công thức đổi biến, 45 công thức Divergence, 93 công thức Fubini, 39 công thức Gauss–Ostrogradsky, 93 công thức Green, 72, 76, 81, 100 công thức Newton–Leibniz, 69 công thức Pappus, 60 cơng thức Stokes, 90 cơng thức tích phân phần, 81 cực đại địa phương, 20 cực đại toàn cục, 20 cực đại tương đối, 20 cực đại tuyệt đối, 20 cực tiểu địa phương, 20 cực tiểu toàn cục, 20 cực tiểu tương đối, 20 cực tiểu tuyệt đối, 20 cực trị, 20 sở vectơ tắc, chiều dài Euclid, chuẩn, curl, 89 div, 76, 93 góc hai vectơ, giá trị qui, 79 hầu khắp, 35 hình chiếu, hình hộp, 31 con, 31 thể tích, 31 hình sao, 74 hàm đặc trưng, 34 hàm điều hòa, 82, 100 hàm Gamma, 60 hàm mật độ, 55 hàm thế, 69 khối đơn giản với biên trơn mảnh, 93 khối nón, 55 khả tích, 32, 33 khả vi, 14 khả vi liên tục, 17 khả vi khúc, 63 khoảng cách Euclid, lân cận, liên tục, 11 mặt, 82 định hướng, 85 103 104 đơn, 86 biên, 86 qui, 86 hướng lên, 86 vết, 82 mặt phẳng tiếp xúc, 14 ma trận Hess, 22 ma trận Jacobi, 17 miền, 32 miền đơn giản, 40, 41 nhân tử Lagrange, 25 phép đổi biến, 45 đảo ngược định hướng, 46, 85 bảo toàn định hướng, 46, 65, 85 phép chia, 31 khoảng con, 31 phân hoạch, 31 phần trong, số chiều, tích phân, 32 tích phân đường độc lập với đường đi, 69 loại hai, 64 loại một, 63 tích phân lặp, 38 tích phân mặt loại hai, 84 loại một, 83 tích Euclid, tích vơ hướng Euclid, tập đóng, tập compắc, 27 tập mức, 79 tập mở, tọa độ, tọa độ cầu, 49 tọa độ trụ, 48 tổng Riemann, 31 năng, 71 thơng lượng, 76 thể tích, 34 thể tích khơng, 35 tiêu chuẩn kẹp, 10 tốn tử Laplace, 81 trực giao, trơn, 17 đường đi, 62 trường bảo toàn, 69 CHỈ MỤC gradient, 69 trường vectơ, 64 vectơ, hướng, phương, tích có hướng, vectơ gradient, 17 vectơ pháp tuyến, 14 vectơ pháp tuyến ngồi, 75 vng góc, ... a = 0, ta biến đổi với h = (h1 , h2 ), b ac − b2 ∆(h) = ah21 + 2bh1 h2 + ch 22 = a (h1 + h2 )2 + h2 a a2 Nếu D > a > rõ ràng ∀h = 0, ∆(h) > (vì h2 = (h1 + ab h2 = h1 = 0) Tương tự, D > a < ∀h... 5 8 9 11 12 12 13 14 14 17 18 18 20 20 25 27 30 30 30 32 33 34 36 38 40 41 45 45 45 47 48 50 55 MỤC LỤC 2. 4.1 2. 4 .2 2.4.3 Giá trị trung bình ... 2. 1 Định nghĩa tính chất tích phân bội 2. 1.1 Tích phân hình hộp 2. 1 .2 Tích phân tập tổng quát 2. 1.3 Thể tích 2. 1.4 Sự có tích phân tích 2. 1.5