PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ
Là pt có dạng :
" ' ( )
y ay by f x (1)
với : a, b : hằng số
Pt thuần nhất liên kết là :
" ' 0
y ay by (2)
Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y"ay by' 0
Gọi pt :
k ak b (*)
là pt đặc trưng của (2), pt (*) có :
có các trường hợp sau :
a Nếu 0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :
1,2
2
a
k
thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :
1 1
k x
2
k x
y e
VD : Giải : y" 5 ' 6 y y 0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :
k1 2,k2 3
- 2 nghiệm đltt của pt là :
2 1
x
y e và y2 e3x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
y C e C e , ( ,C C 1 2 )
b Nếu 0: pt (*) có nghiệm kép :
2
a
k k
thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :
2 1
a x
2
a x
Trang 2VD : Giải : y" 4 ' 4 y y 0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :
k1 k2 2
- 2 nghiệm đltt của pt là :
2 1
x
y e
và y2 xe2x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
y C e C xe
, ( ,C C 1 2 )
y e2x(C1 C x2 )
, ( ,C C 1 2 )
c Nếu 0: pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức :
1,2
k i
thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :
2
2
a x
2
a x
VD 1 : Giải : y" 2 ' 10 y y 0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :
' 1 10 9
pt có 2 nghiệm phức : k1,2 1 3i
- 2 nghiệm đltt của pt là :
1 x sin 3
và y2 ex cos3x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
1 x sin 3 2 x cos 3
y ex( sin 3C1 x C2cos3 )x
VD 2 : Giải : y" 3 ' 12 y y 0
Trang 3Bài giải :
- Pt đặc trưng :
9 48 39
pt có 2 nghiệm phức :
1,2
i
- 2 nghiệm đltt của pt là :
3 2 1
39 sin
2
x
3 2 2
39 sin 2
x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
y C e x C e x , ( ,C C 1 2 )
3 2
x
y e C x C x , ( ,C C 1 2 )
Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm
Trang 4MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT
" ' ( )
y ay by f x (1)
1. f x( ) e P xx ( )
, (P x( ) là đa thức )
a Nếu không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
( )
x
y e Q x
, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))
VD : Giải : y" 2 ' 5 y y e 2x(x2 1)
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :
" 2 ' 5 0
y y y
- Pt đặc trưng :
' 1 5 4
k1,2 1 2i
- 2 nghiệm đltt của pt là :
1 x sin 2
và y2 ex cos 2x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :
y e Ax Bx C
- Có :
y e Ax Bx C e Ax B
y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B 2 )C
" 2 x(2 2 2 2 ) x(4 2 2 )
y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4B4 )C
- Thế vào pt : y" 2 ' 5 y y e 2x(x2 1)
e2x(13Ax2 12Ax13Bx2A6B13 )C e2x(x2 1)
13A 1 12A13B 0 2A6B13C 1
1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
13 169 2197
x
Trang 5- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
13 169 2197
( ,C C )
b Nếu là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
( )
x
y e xQ x
, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))
VD : Giải : y" 5 ' 6 y y e 2x(2x1)
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :
" 5 ' 6 0
y y y
- Pt đặc trưng :
25 24 1
k1 2,k2 3
- 2 nghiệm đltt của pt là :
2 1
x
y e và y2 e3x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :
y e x Ax B
y e 2x(Ax2 Bx)
- Có :
' 2 x( ) x(2 )
y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B )
" 2 x(2 2 2 ) x(4 2 2 )
y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4 )B
- Thế vào pt : y" 5 ' 6 y y e 2x(2x1)
e2x( 2 Ax2A B ) e2x(2x1)
2A 2 2A B 1
A 1 B 3
1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
2x( 1 2 3 )
y e x x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
Trang 62 3 2 2
y C e C e e x x , ( ,C C 1 2 )
c Nếu là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
x
y e x Q x
, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))
VD : Giải : y" 4 ' 4 y y e 2x
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :
" 4 ' 4 0
y y y
- Pt đặc trưng :
' 0
k1 k2 2
- 2 nghiệm đltt của pt là :
2 1
x
y e và y2 xe2x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :
2x 2
y e x A
- Có :
y'e2x(2Ax2 2Ax)
" 2 x(2 2 ) x(4 2 )
y"e2x(4Ax2 8Ax2 )A
- Thế vào pt : y" 4 ' 4 y y e 2x
e2x2A e 2x
2A 1
2
A
1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1 2
x
y e x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
1 2
y C e C xe e x , ( ,C C 1 2 )
Trang 7 2 1 2 2 1
2
x
y e x C x C , ( ,C C 1 2 )
2. f x( ) ex P x1( )sin x P x2( ) cos x
, (P x P x1( ), ( )2 là đa thức )
a Nếu i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
1( )sin 2( ) cos
x
(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )
VD : Giải : y" y sin 3x
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :
" 0
y y
- Pt đặc trưng :
k
' 1
k1,2 i
- 2 nghiệm đltt của pt là :
y x và y2 cosx
- Có : y" y sin 3x e 0x 1sin 3x0 cos3x
0 3
i 0 3i 3i k 1,2
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :
0x sin 3 cos 3
y Asin 3x B cos 3x
- Có :
' 3 cos3 3 sin 3
" 9 sin 3 9 cos3
- Thế vào pt : y" y sin 3x
8 sin 3A x 8 cos3B x sin 3x
8A 1 8B 0
0 8
A B
1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
Trang 81 sin 3 0cos 3 8
sin 3 8
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
1 sin cos sin 3
8
y C x C x x , ( ,C C 1 2 )
b Nếu i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
1( )sin 2( ) cos
x
(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )
VD : Giải : y" 2 ' 10 y y e x cos3x
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :
" 2 ' 10 0
- Pt đặc trưng :
' 9
k1,2 1 3i
- 2 nghiệm đltt của pt là :
1 xsin 3
y e x và y2 e x cos3x
- Có : y" 2 ' 10 y y e x cos 3x e 1x 0sin 3x1cos3x
1 3
i 1 3i k 1
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :
sin 3 cos 3
x
y e Ax x sin 3x Bx cos3x
- Có :
' ( sin 3 cos3 ) ( sin 3 3 cos 3 cos3 3 sin 3 )
Trang 9 ' ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3
cos3 3 sin 3 )
x
" ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 ) ( sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 3 cos3 3 cos3
9 sin 3 3 sin 3 3 sin 3 9 cos3 )
x
x
" ( 8 sin 3 8 cos 3 2 sin 3 6 cos 3
2 cos 3 6 sin 3 6 cos3 6 sin 3 )
x
- Thế vào pt : y" 2 ' 10 y y e x cos3x
e A x6 cos 3x e B x6 sin 3x e x cos3x
6A 1 6B 0
0 6
A B
1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1 sin 3 6
x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
1 sin 3 cos3 sin 3
6
y C e x C e x e x x , ( ,C C 1 2 )
Trang 10VỀ BÀI THI
- Cấu trúc :
+ Trắc nghiệm : 70%
+ Tự luận : 30%
Toán kinh tế (cực trị toàn cục)
Giải ptvp tuyến tính cấp 1 – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp 2 (các dạng đặc biệt)