1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ ppt

10 6K 58
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 515,5 KB

Nội dung

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ

Là pt có dạng :

" ' ( )

yay by f x (1)

với : a, b : hằng số

Pt thuần nhất liên kết là :

" ' 0

yay by  (2)

Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y"ay by' 0

Gọi pt :

kak b  (*)

là pt đặc trưng của (2), pt (*) có :

  

có các trường hợp sau :

a Nếu  0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :

1,2

2

a

k   

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

1 1

k x

2

k x

ye

VD : Giải : y" 5 ' 6 yy 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

k1 2,k2 3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

ye và y2 e3x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C e C e , ( ,C C  1 2 )

b Nếu  0: pt (*) có nghiệm kép :

2

a

kk 

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

2 1

a x

2

a x

Trang 2

VD : Giải : y" 4 ' 4 yy 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

k1 k2 2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

y e

và y2 xe2x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C eC xe

  , ( ,C C  1 2 )

y e2x(C1 C x2 )

  , ( ,C C  1 2 )

c Nếu  0: pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức :

1,2

k       i

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

2

2

a x

2

a x

VD 1 : Giải : y" 2 ' 10 yy 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

' 1 10 9

   

pt có 2 nghiệm phức : k1,2  1 3i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 x sin 3

và y2 ex cos3x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 x sin 3 2 x cos 3

y ex( sin 3C1 x C2cos3 )x

VD 2 : Giải : y" 3 ' 12 yy 0

Trang 3

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

9 48 39

   

pt có 2 nghiệm phức :

1,2

i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

3 2 1

39 sin

2

x

3 2 2

39 sin 2

x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C e  x C e  x , ( ,C C  1 2 )

3 2

x

y e  C x Cx , ( ,C C  1 2 )

Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm

Trang 4

MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT

" ' ( )

yay by f x (1)

1. f x( ) e P xx ( )

, (P x( ) là đa thức )

a Nếu không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

( )

x

y e Q x

, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 2 ' 5 yy e 2x(x2 1)

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 2 ' 5 0

yyy

- Pt đặc trưng :

' 1 5 4

   

k1,2  1 2i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 x sin 2

và y2 ex cos 2x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y eAxBx C

- Có :

ye AxBx C e Ax B

y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B 2 )C

" 2 x(2 2 2 2 ) x(4 2 2 )

y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4B4 )C

- Thế vào pt : y" 2 ' 5 yy e 2x(x2 1)

e2x(13Ax2 12Ax13Bx2A6B13 )Ce2x(x2 1)

 13A 1 12A13B  0 2A6B13C 1

1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

13 169 2197

x

Trang 5

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

13 169 2197

( ,C C  )

b Nếu là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

( )

x

y e xQ x

, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 5 ' 6 yy e 2x(2x1)

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 5 ' 6 0

yyy

- Pt đặc trưng :

25 24 1

   

k1 2,k2 3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

ye và y2 e3x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y e x Ax B 

y e 2x(Ax2 Bx)

- Có :

' 2 x( ) x(2 )

y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B )

" 2 x(2 2 2 ) x(4 2 2 )

y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4 )B

- Thế vào pt : y" 5 ' 6 yy e 2x(2x1)

e2x( 2 Ax2A B ) e2x(2x1)

 2A 2 2A B 1

A 1 B 3

1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

2x( 1 2 3 )

y e  xx

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

Trang 6

2 3 2 2

y C e C eexx , ( ,C C  1 2 )

c Nếu là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

x

y e x Q x

, (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 4 ' 4 yy e 2x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 4 ' 4 0

yyy

- Pt đặc trưng :

' 0

 

k1 k2 2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

ye và y2 xe2x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

2x 2

y e x A

- Có :

y'e2x(2Ax2 2Ax)

" 2 x(2 2 ) x(4 2 )

y"e2x(4Ax2 8Ax2 )A

- Thế vào pt : y" 4 ' 4 yy e 2x

e2x2A e 2x

 2A 1

2

A 

1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

1 2

x

ye x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 2

y C e C xee x , ( ,C C  1 2 )

Trang 7

 2 1 2 2 1

2

x

y exC x C , ( ,C C  1 2 )

2. f x( ) exP x1( )sin x P x2( ) cos x

  , (P x P x1( ), ( )2 là đa thức )

a Nếu  i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

 1( )sin 2( ) cos 

x

(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )

VD : Giải : y" y sin 3x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 0

yy

- Pt đặc trưng :

k  

' 1

 

k1,2 i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

yx và y2 cosx

- Có : y" y sin 3x e 0x 1sin 3x0 cos3x

   0  3

  i  0 3i 3i k 1,2

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

0x sin 3 cos 3

yAsin 3x B cos 3x

- Có :

' 3 cos3 3 sin 3

" 9 sin 3 9 cos3

- Thế vào pt : y" y sin 3x

 8 sin 3A x 8 cos3B x sin 3x

 8A  1 8B 0

0 8

A  B

1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

Trang 8

1 sin 3 0cos 3 8

sin 3 8

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 sin cos sin 3

8

y Cx Cxx , ( ,C C  1 2 )

b Nếu  i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

 1( )sin 2( ) cos 

x

(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )

VD : Giải : y" 2 ' 10 yy ex cos3x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 2 ' 10 0

- Pt đặc trưng :

' 9

 

k1,2  1 3i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 xsin 3

ye x và y2 e x cos3x

- Có : y" 2 ' 10 yy ex cos 3x e 1x 0sin 3x1cos3x

   1  3

  i  1 3i k 1

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

 sin 3 cos 3 

x

y e Axx  sin 3x Bx cos3x

- Có :

' ( sin 3 cos3 ) ( sin 3 3 cos 3 cos3 3 sin 3 )

Trang 9

 ' ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3

cos3 3 sin 3 )

x

" ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 ) ( sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 3 cos3 3 cos3

9 sin 3 3 sin 3 3 sin 3 9 cos3 )

x

x

 " ( 8 sin 3 8 cos 3 2 sin 3 6 cos 3

2 cos 3 6 sin 3 6 cos3 6 sin 3 )

x

- Thế vào pt : y" 2 ' 10 yy ex cos3x

e A x6 cos 3x e Bx6 sin 3x ex cos3x

 6A 1 6B 0

0 6

A  B

1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

1 sin 3 6

x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 sin 3 cos3 sin 3

6

y C ex C ex ex x , ( ,C C  1 2 )

Trang 10

VỀ BÀI THI

- Cấu trúc :

+ Trắc nghiệm : 70%

+ Tự luận : 30%

 Toán kinh tế (cực trị toàn cục)

 Giải ptvp tuyến tính cấp 1 – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp 2 (các dạng đặc biệt)

Ngày đăng: 03/07/2014, 15:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w