Đề cương cao học môn cơ học lượng tử và phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CĨ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ Là pt có dạng : y " ay ' by  f ( x) (1) với : a, b : số Pt liên kết : y " ay ' by  (2) Cách tìm nghiệm đltt pt : y " ay ' by  Gọi pt : k  ak  b  (*) pt đặc trưng (2) , pt (*) có :   a2  4b có trường hợp sau : a Nếu   : pt (*) có nghiệm phân biệt : k1,2  a   pt (2) có nghiệm đltt : y1  ek1x y2  ek2 x VD : Giải : y " y ' y  Bài giải : - Pt đặc trưng : k  5k    k1  2, k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  e3 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2e3 x , (C1 , C2  ) b Nếu   : pt (*) có nghiệm kép : k1  k2  pt (2) có nghiệm đltt : y1  e a x y2  xe a x a VD : Giải : y " y ' y  Bài giải : - Pt đặc trưng : k  4k    k1  k2  2 - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  xe2 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2 xe2 x , (C1 , C2  )  y  e2 x (C1  C2 x) , (C1 , C2  ) c Nếu   : pt (*) khơng có nghiệm thực, (*) có nghiệm phức : k1,2  a  i  a   i 2 pt (2) có nghiệm đltt : y1  e a x sin  x y1  e a x cos  x VD : Giải : y " y ' 10 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :  '   10  9 k  2k  10  pt có nghiệm phức : k1,2  1  3i - nghiệm đltt pt :  y1  e x sin 3x y2  e x cos3x - Nghiệm tổng quát pt cho :  y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x , (C1 , C2  ) y  e x (C1 sin 3x  C2 cos3x) , (C1 , C2  ) VD : Giải : y " y ' 12 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :    48  39  k  3k  12  pt có nghiệm phức : k1,2  3  39i 39   i 2 - nghiệm đltt pt : y1  e  x  x 39 39 x sin x y2  e sin 2 - Nghiệm tổng quát pt cho :  x   x 39 39 y  C1e sin x  C2e cos x , (C1 , C2  ) 2  x 39 39 y  e (C1 sin x  C2 cos x) , (C1 , C2  ) 2 Vậy : ptvptt cấp có hệ số số LN có nghiệm MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT y " ay ' by  f ( x) (1) x f ( x)  e P( x) , ( P( x) đa thức ) a Nếu  khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e ( x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :   '    4 k1,2  1  2i k  2k   - nghiệm đltt pt : y1  e x sin x y2  e x cos x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x ( Ax  Bx  C ) - Có :  y '  2e2 x ( Ax2  Bx  C )  e2 x (2 Ax  B) y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B  2C ) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B  2C)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax  Ax  4Bx  A  4B  4C ) 2x - Thế vào pt : y " y ' y  e ( x  1)  e2 x (13 Ax2  12 Ax  13Bx  A  6B  13C )  e2 x ( x  1)  13A  12 A  13B   A  6B  13C  1 12 215 C   A B 13 169 2197  nghiệm riêng pt cho : 12 215 y  e2 x ( x  x ) 13 169 2197  - Nghiệm tổng quát pt cho : 12 215 y  C1e x sin x  C2e x cos x  e2 x ( x  x ) 13 169 2197 (C1 , C2  ) b Nếu  nghiệm đơn pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e (2 x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  5k     25  24  k1  2, k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  e3 x - nghiệm riêng pt cho có dạng :  y  e2 x x( Ax  B) y  e2 x ( Ax  Bx) - Có : y '  2e2 x ( Ax2  Bx)  e2 x (2 Ax  B)  y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B)  y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax2  Ax  4Bx  A  4B) - Thế vào pt : y " y ' y  e (2 x  1) 2x    e2 x (2 Ax  A  B)  e2 x (2 x  1) 2 A   A  B  A  1  B  3  nghiệm riêng pt cho : y  e2 x (1x  3x) - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2e3 x  e2 x ( x  3x) , (C1 , C2  ) c Nếu  nghiệm kép pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x 2Q( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  4k   '  k1  k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  xe2 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x x A - Có : y '  Ae2 x x2  Ae2 x x   y '  e2 x (2 Ax2  Ax) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax)  e2 x (4 Ax  A) y "  e2 x (4 Ax  Ax  A) - Thế vào pt : y " y ' y  e    2x e2 x A  e2 x 2A  1 A  nghiệm riêng pt cho : y  e2 x x 2 - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2 xe2 x  e2 x x , (C1 , C2  ) y  e2 x ( x  C2 x  C1 ) , (C1 , C2  )  x f ( x)  e a Nếu  P1 ( x)sin  x  P2 ( x) cos  x , ( P1 ( x), P2 ( x) đa thức )    i khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x  ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y  sin 3x Bài giải : - Pt liên kết : y " y  - Pt đặc trưng :   '  1 k1,2  i k 1  - nghiệm đltt pt : y1  sin x y2  cos x y " y  sin 3x  e0 x 1sin 3x  0cos3x  - Có :     0     i   3i  3i  k1,2 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e0 x  A sin 3x  B cos3x   - Có : y  A sin 3x  B cos3x y '  A cos3x  3B sin 3x y "  9 A sin 3x  9B cos3x - Thế vào pt : y " y  sin 3x  8 A sin 3x  8B cos3x  sin 3x  8 A   8B  A   B0   nghiệm riêng pt cho :  y   sin 3x  0cos 3x y   sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1 sin x  C2 cos x  sin 3x , (C1 , C2  ) b Nếu    i nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x  ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y ' 10 y  e cos3x x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' 10 y  - Pt đặc trưng :   '  9 k1,2   3i k  2k  10  - nghiệm đltt pt : y1  e x sin 3x y2  e x cos3x y " y ' 10 y  e x cos3x  e1x  0sin 3x  1cos3x  - Có :     1      i   3i  k1 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e x x  A sin 3x  B cos3x   y  e x  Ax sin 3x  Bx cos3x  - Có : y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x)  e x ( A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x)  y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos3x  A sin 3x  Ax cos3x  B cos3x  3Bx sin 3x) y "  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x  A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x)  e x ( A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x  A cos 3x  A cos 3x 9 Ax sin 3x  3B sin 3x  3B sin 3x  Bx cos 3x)  y "  e x (8 Ax sin 3x  8Bx cos 3x  A sin 3x  Ax cos 3x 2 B cos 3x  Bx sin 3x  A cos 3x  B sin 3x) x - Thế vào pt : y " y ' 10 y  e cos3x  e x A cos3x  e x 6B sin 3x  e x cos3x  A   6B   A B0  nghiệm riêng pt cho : y  e x x sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x  e x x sin 3x , (C1 , C2  ) Vật lý lý thuyết Vật lý toán CHUYÊN NGÀNH: Vật lý lý thuyết Vật lý tốn ĐỀ CƯƠNG ƠN THI CAO HỌC MÔN: Cơ học lượng tử Nhằm giúp cho người học hệ thống lại hình thức luận nghiên cứu đối tượng vi mô Xây dựng học cho hạt vi mơ phi tương đối tính, chất lượng tử chúng đặc tính hồn tồn so với giới vĩ mô II Nội dung Những khái niệm công cụ học lượng tử 1.2 Nguyên lý chồng chất trạng thái; chuẩn hố hàm sóng; 1.3 Tốn tử tuyến tính hecmit; 1.4 Hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng, tính chất tốn tử hecmit, Các tiên đề học lượng tử 2.1 Các tiên đề học lượng tử ; 2.2 Giá trị trung bình biến số động lực ;Tính hệ số khai triển , 2.3 Tốn tử có phổ liên tục, Tốn tử toạ độ xung lượng; 2.4 Nguyên lý tương ứng dạng toán tử; 2.5 Sự đo đồng thời hai biến số động lực; Hệ thức bất định Heisenberg Phương trình trị riêng lượng ứng dụng 3.1 Phương trình Schroedinger khơng phụ thuộc thời gian; 3.2 Ứng dụng phương trình Schroedinger cho hố thế, 3.3 Hàng rào thế, bậc thang ; 3.4 Nghiên cứu chi tiết dao động tử điều hoà lượng tử ; [3] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB ĐHSPHN, 1996 [4] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Đình Thanh, Bài tập VL Lý thuyết 2, NXBGD 2009 Chuyển động hạt trường xuyên tâm 4.1 Tốn tử mơmen xung lượng ; 4.2 Hàm cầu, tính chẳn lẻ cua hàm cầu ; cộng mômen động lượng ; [5] Nguyễn Xuân Hãn Cơ học lượng tử , NXB ĐHQG Hà Nội, 1998 4.3 Chuyển động trường có tâm đối xứng ; [6] Mackey, George Whitelaw, The mathematical foundations of quantum mechanics, 4.4 Chuyển động trường Coulomb Nguyên tử hydro; Biểu thức lượng ; Dover Publications ISBN 0-486-43517-2, 2004 Quang phổ nguyên tử hydro Chuyển động khối tâm Sự biến đổi trạng thái theo thời gian 8.2 Mật độ điện tích mật độ dòng xác suất hạt spin khơng 5.1 Phương trình Schroedinger phụ thuộc thời gian; 8.3 Phương trình Dirac 5.2 Mật độ xác suất mật độ dòng 8.4 Mật độ xác suất mật độ dòng lý thuyết Dirac 5.3 Trạng tháI dừng 8.5 Spin hạt mô tả phương trình Dirac 5.4 Đạo hàm tốn tử theo thời gian 8.6 Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli – Momen từ hạt 5.5 Phương trình chuyển động học lượng tử III Tài liệu tham khảo chính: 5.6 Tích phân chuyển động [1] Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, 2004; 2006; 2008 Lý thuyết biểu diễn [2] Vũ Văn Hùng, Bài tập học lượng tử, NXB ĐHSP, 2005; 2007 7.2 Nhiễu loạn khơng có suy biến 6.1 Biểu diễn trạng thái lượng tử 7.3 Nhiễu loạn có suy biến 6.2 Biểu diễn toán tử 7.4 Sự tách vạch quang phổ điện trường 6.3 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian phương trình Heisenberg viết 7.5 Sự tách vạch quang phổ từ trường yếu 6.4 Xác định hàm riêng trị riêng dạng ma trận 7.6 Phương pháp biến phân 6.5 Lý thuyết tổng quát phép biến đổi Unita 7.7 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 6.6 Biểu diễn Schrodinger, Heisenberg biểu diễn tương tác Cơ học lượng tử tương đối tính Một số phương pháp gần 8.1 Phương trình sóng tương đối tính hạt spin khơng 7.1 Bài tốn nhiễu loạn dừng  ...  2e2 x ( Ax2  Bx  C )  e2 x (2 Ax  B) y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B  2C ) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B  2C)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax  Ax  4Bx  A  4B  4C ) 2x... B) y  e2 x ( Ax  Bx) - Có : y '  2e2 x ( Ax2  Bx)  e2 x (2 Ax  B)  y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B)  y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax2  Ax ... hàm sóng; 1.3 Tốn tử tuyến tính hecmit; 1.4 Hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng, tính chất tốn tử hecmit, Các tiên đề học lượng tử 2. 1 Các tiên đề học lượng tử ; 2. 2 Giá trị trung bình