TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm

TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm

TSSĐH-B02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH - oOo - ĐỀ THI SAU ĐẠI HỌC NĂM 2008 Tuyển sinh: CAO HỌC ‰ NGHIÊN CỨU SINH ‰ Chun ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mơn Thi: CƠ BẢN ‰ CƠ SỞ ‰ CHUN NGÀNH ‰ Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng phép dùng tài liệu) Đề thi số: 01 Đề thi gồm trang ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ PHẦN A: CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT (2.5 điểm) Câu (1.5 điểm) Thí sinh trả lời ngắn gọn câu hỏi sau đây, câu 0.25 điểm: 1.1 Để giải tốn Tháp Hà Nội giải thuật đệ quy, người ta hay dùng chiến lược thiết kế giải thuật sau đây: a tham lam b quay lui c chia để trị d ba câu sai 1.2 Hãy nêu độ phức tạp thao tác làm việc cấu trúc heap 1.3 Có hai cách diễn tả đồ thị: (1) ma trận kế cận (2) tập danh sách kế cận Hãy nêu trường hợp nên dùng cách trường hợp nên dùng cách 2) 1.4 Hãy so sánh phương pháp tìm kiếm kỹ thuật băm tìm kiếm tìm kiếm nhò phân, phương pháp tốt Tại sao? 1.5 Tại mảng gần có thứ tự, ta không nên áp dụng Quicksort? 1.6 Trong giải thuật Quicksort để thứ tự dãy, người ta hay chọn phần tử chốt (pivot) là: a phần tử tận trái dãy b phần tử tận phải dãy c phần tử trung vị phần tử tận phải, tận trái phần tử vị trí dãy d cách Câu (0.5 điểm) Hãy vẽ bước q trình xây dựng tìm kiếm nhị phân ta đưa vào (lúc đầu rỗng) trị khố sau: E, A, R, C, H, N, M, P, L Và tìm kiếm nhị phân trở thành ta xóa trị khóa E khỏi Câu (0.5 điểm) Hãy chạy bước giải thuật thứ tự phương pháp trộn (merge sort) để thứ tự dãy số 53, 59, 56, 52, 58, 51, 57, 54 PHẦN B: NGƠN NGỮ LẬP TRÌNH (2.5 điểm) Câu (1 điểm) a (0.25điểm) Giả sử kích thước đối tượng kiểu integer 2, real 4, boolean (theo đơn vị byte) Kiểu tập hợp lưu trữ dạng chuỗi bit Cho biết kích thước phần mơ tả 0, tính (và giải thích) kích thước đối tượng liệu có kiểu định nghĩa sau: record a: set of 15; b: boolean; case b of true: (c:integer) false: (e:real; f:integer; g:boolean) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ghi chú: Trang: Ký tên: TSSĐH-B02 end b (0.75điểm) Vẽ khối lưu trữ với năm phần tử tính địa truy xuất phần tử A[I,J,K] dãy sau (cho biết cơng thức tổng qt sau thay số cụ thể) Giả sử dãy lưu trữ dùng phương pháp đánh thứ tự theo row-major A: array [2 4,-1 2,4 6] of real; Câu (1.5 điểm) Cho chương trình viết ngơn ngữ tựa PASCAL (ngơn ngữ cấu trúc khối) sau: program main; var a: array [1 5] of integer; i,j: integer; procedure swap(a, b,c: integer); var t: integer; begin t := a; a := b; b := c; c:=(i+t) div 2; {div phép tốn lấy phần ngun phép chia} end ; begin for i := to a[i] := – i; i := 2;j:=3; swap(i, a[i],j); end 2.a Hãy vẽ chồng trung tâm thời điểm vừa thực xong phép gán swap Cho biết địa lệnh gọi swap main I1, địa lệnh sau lệnh gọi I2, thơng số a, b c truyền trị 2.b Cho biết giá trị phần tử dãy a biến i, j sau lệnh gọi swap trường hợp sau: b1 Thơng số a b truyền theo trị-kết b2 Thơng số a b truyền theo tham khảo b3 Thơng số a b truyền theo tên PHẦN C: CƠ SỞ DỮ LIỆU (2.5 điểm) Câu (0,5 điểm) Phát biểu định nghĩa khóa (key) lược đồ quan hệ R Cho ví dụ lược đồ quan hệ có ý nghĩa thực tế (ví dụ sinh viên, khách hàng …) vừa có khóa đơn (simple key) vừa có khóa phức hợp (composite key) giải thích ý nghĩa khóa Câu (1 điểm) Cho lược đồ quan hệ R(A,B,C,D,E,F,G,H) tập phụ thuộc hàm {B → E, D → AEF, E → CG, A → CG, F → D, C → H} Hãy tìm tất khóa R Câu (1 điểm) Cho lược đồ sở liệu sau đây: sinhviên (mãsv, họtên, tuổi) mơnhọc (mãmh, tênmh) học (mãsv, mãmh, điểmthi) Các thuộc tính gạch thuộc tính khóa Tất khóa ngoại chứa giá trị khác rỗng (khác null) Ý nghĩa lược đồ quan hệ sau: sinhviên - sinh viên có thuộc tính: mã sinh viên (mãsv), họ tên (họtên), tuổi (tuổi) mơnhọc - mơn học có thuộc tính: mã mơn học (mãmh), tên mơn học (tênmh) - sinh viên (mãsv) học mơn học (mãmh) có điểm thi (điểmthi) học 3.a Hãy viết biểu thức đại số quan hệ cho kết tương đương với kết lệnh select sau đây: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ghi chú: Trang: Ký tên: TSSĐH-B02 select mãsv, họtên from sinhviên where mãsv not in (select mãsv from học); Ký hiệu phép tốn đại số quan hệ: σF(r) - Phép chọn r theo điều kiện F ΠX(r) - Phép chiếu r tập thuộc tính X r ∪ s - Phép hợp r s r − s - Phép hiệu r cho s r×s r∩s r ZYθ s r ZY s - Phép tích Descartes r s - Phép giao r s - Phép kết-θ r s - Phép kết tự nhiên r s (0.5 điểm) 3.b Viết lệnh select trả lời câu hỏi: “Cho biết mã họ tên sinh viên có tuổi lớn 20 tuổi có học 10 mơn học” (0.5 điểm) PHẦN D: CẤU TRÚC MÁY TÍNH (2.5 điểm) Câu (1 điểm) Hình vẽ D.1 trình bày sơ đồ chân IC SRAM 7489 hãng Signetics IC có khả lưu trữ 16 từ có độ rộng bit a Liệt kê chế độ hoạt động IC cho xung CS cho hình D.3 b Liệt kê nội dung từ nhớ từ vị trí đến vị trí sau xung thứ n c Chỉ trạng thái ngõ xuất liệu xung từ h đến m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ghi chú: Trang: Ký tên: TSSĐH-B02 Câu (1.5 điểm) Viết chương trình hợp ngữ INTEL 8086 để tính 15 phần tử dãy số sau: U0 = U1 = Un = Un–2 +Un–1 + (n ≥ 2) Các phép tốn thực liệu 16 bit Kết lưu vào nhớ có địa 4800h:0400h ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ghi chú: Trang: Ký tên: Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHĨA 15 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I Cho (X, T ) khơng gian tơpơ Chứng minh Với tập A trù mật X tập mở U ⊂ X ta có U = U ∩ A Với tập đóng F ⊂ X tập A ⊂ X ta có int(F ∪ intA) = int(F ∪ A) Với tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA Câu II Kí hiệu X = R, F = { k1 | k ∈ Z∗ } Với n ∈ N∗ , x ∈ X , ta đặt Vn (x) = (x − n1 , x + n1 ) B(x) = {Vn (x) | n ∈ N∗ } x = ∗ {Vn (x)\F | n ∈ N } x = Chứng minh họ {B(x) | x ∈ X} xác định tơpơ X cho B(x) sở lân cận điểm x, với tơpơ X T2 − khơng gian khơng phải T3 −khơng gian ∗ Câu III Cho X = {x = (xn )∞ n=1 | xn ∈ Rvới mọin ∈ N } Với n ∈ N∗ ta đặt pn (x) = |xn | với x ∈ X Chứng minh P = {pn | n ∈ N∗ } họ nửa chuẩn X tách Suy X với tơpơ T sinh họ nửa chuẩn P lồi địa phương Với x = (xn )n , y = (yn )n ∈ X ta đặt ∞ 2−n d(x, y) = n=1 |xn − yn | + |xn − yn | Chứng minh (X, d) khơng gian mêtric Gọi T∞ tơpơ sinh mêtric d Chứng minh dãy X hội tụ theo T∞ hội tụ theo tơpơ T Hai tơpơ T T∞ có tương đương khơng? Câu IV Cho µ độ đo f hàm khả tích ứng với độ đo µ Với tập đo E ta đặt ν(E) = f dµ E Chứng minh ν độ đo có dấu liên tục tuyệt đối µ ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15 ĐẠI HỌC HUẾ Mơn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho đa thức f = x3 − 5x2 + 4x + ∈ Q[x] Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy Gọi α nghiệm f Tìm dạng nhân tử hóa f Q(α)[x] Chứng tỏ f có nghiệm thực Xác định nghiệm thực Câu II Viết thủ tục Maple chọn bảng đề tài lập trình cho Nộp file mws chạy Maple 9.5 Câu III Soạn thảo văn trang LATEX Nộp file tex chạy MikTex, dùng gói tiếng Việt \usepackage[tcvn]{vietnam} Câu IV Trình chiếu văn trang định dạng pdf Nộp file pdf ————————————————Hết———————————————— Ghi chú: Sinh viên sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com 1.1 ĐA TẠP AFIN ĐỊNH LÍ KHƠNG ĐIỂM HILBERT Định lí (Khơng điểm Hilbert, dạng 2) Cho mở rộng trường√K ⊂ L l đóng đại số Khi iđêan J ⊂ K[x1 , x2 , , xn ], ta có I(Z(J)) = J Chứng minh Ta chứng minh định lí tương đương với (7) Ta đa biết √ J ⊂ I(Z(J)) Với f ∈ I(Z(J)) f = Xét iđêan J1 K[x1 , x2 , , xn , t] sinh J f t−1 Nếu có (a1 , a2 , , an , t) ∈ An+1 thuộc Z(J1 ) (a1 , a2 , , an ) ∈ Z(J) L t0 f (a1 , a2 , , an ) − = −1 Mặt khác, (a1 , a2 , , an , t0 ) ∈ Z(J1 ) ta có t0 f (a1 , a2 , , an ) − = Vơ lí Vậy Z(J1 ) = ∅ Suy J1 = (1) Tồn biểu diễn n gi fi + (tf − 1)g, với fi ∈ J, g, gi ∈ K[x1 , x2 , , xn , t] 1= i=1 Xét ánh xạ β : K[x1 , x2 , , xn , t] −→ K(x1 , x2 , , xn , t) −→ xi −→ f xi t n β(gi )fi Đặt β(gi ) = Khi = i=1 hi f ni với hi ∈ K[x1 , x2 , , xn ] r = max{n1 , n2 , , nm } √ Khi√đó f r ∈ (f1 , , fm ) ⊂ J Vậy f ∈ J Ngược lại, từ (9), nều Z(J) = ta có J = I(∅) = K[x1 , x2 , , xn ] Suy J = K[x1 , x2 , , xn ] Vơ lí Định lí (Khơng điểm Hilbert) Cho J ⊂ K[x1 , x2 , , xn ] iđêan f ∈ I(Z(J)) Khi tồn r ∈ N cho f r ∈ J 1.2 CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN Mệnh đề (i) Các ánh xạ I Z đảo ngược thứ tự bao hàm (ii) Với Y1 , Y2 ⊂ An , ta có I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) (iii) Cho J iđêan tùy ý K[x1 , , xn ] Khi I(Z(J)) = (iv) Cho Y ⊂ An Khi Z(I(Y )) = Y √ J Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16 ĐẠI HỌC HUẾ Mơn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho đa thức f = x3 + 5x2 + 2x − ∈ Q[x] Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy Chứng tỏ f có nghiệm thực Xác định nghiệm thực (gần đúng) Gọi α nghiệm f , biểu diễn (α2 − 1)−1 ∈ Q(α) đa thức theo α có bậc khơng q Phân tích f thành tích nhân tử bậc trwongf mở rộng Q Sản phẩm nộp file mws chạy Maple 9.5 Câu II Hãy đưa vài ứng dụng Maple giảng dạy tốn phổ thơng đại học Nêu bình luận việc sử dụng Maple nghiên cứu giảng dạy Câu III Soạn thảo văn sau (đề thi mẫu)1 LATEX Nộp file tex chạy MikTex, dùng gói tiếng Việt \usepackage[utf8]{vietnam} Câu IV Trình chiếu văn sau (đề thi mẫu) định dạng pdf Nộp file pdf ———————————————Hết——————————————— Ghi chú: Sinh viên sử dụng tài liệu làm Xem văn trang - C.M.Q Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Họ tên thí sinh: ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỀ THI MẪU Mơn thi: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút ————————————————————————————————————— Câu I Trên tập hợp G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép tốn ⊕ định ∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (ở [x + y] phần ngun x + y ) Chứng minh: 1) (G,⊕) nhóm aben; 2) Ánh xạ f : G −→ C∗ định f = cos(2πx) + isin(2πx), đồng cấu nhóm từ G vào nhóm nhân số phức khác Câu II Cho A B iđêan vành R Vành R gọi tổng trực tiếp iđêan A B , kí hiệu R = A ⊕ B , R = A + B A ∩ B = {0} Chứng minh rằng: 1) R = A ⊕ B phần tử x ∈ R biểu thị dạng x = a + b a ∈ A, b ∈ B 2) Vành số ngun Z có phân tích tầm thường, tức Z = A ⊕ B A = {0} B = {0} Câu III Cho T phép biến đổi tuyến tính khơg gian vec tơ V x ∈ V Chứng minh tồn số m ngun dương cho T m (x) = T m−1 (x) = hệ (x, T (x), , T m−1 (x)) độc lập tuyến tính Câu IV Cho A ∈ M (n, K), với n ≥ 2, ma trận vng cấp n lấy hệ tử trường K Kí hiệu A ma trận phụ hợp A Chứng minh rằng: 1) Nếu A khơng suy biến A khơng suy biến 2) Nếu rank(A) = n − rank(A) = 3) Nếu rank(A) ≤ n − A = Câu V Cho A ma trận vng cấp n trường F Chứng minh rằng: rank(A) − rank(A2 ) ≥ rank(A2 ) − rank(A3 ) Hãy tổng qt hóa kết ———————————————————————————————– Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHĨA 15 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm địa phương tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp Câu II Giải phương trình vi phân sau: y + 2y = y ex y(x + y)dx + (xy + 1)dy = Câu III Giải hệ phương trình vi phân sau cách tìm hệ tích phân đầu đầy đủ y1 = yx1 y2 = y1 + y2 x Câu IV Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình vi phân sau   y1 = 2y1 − y2 + y3 y = y1 + 2y2 − y3  y3 = y1 − y2 + 2y3 —————————————————————————————— Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHĨA 16 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm địa phương tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường Câu II Giải phương trình vi phân sau: (1 − 2xy)y = y(y − 1) y+2 2 y = 2( x+y−1 ) Câu III Giải hệ phương trình vi phân sau   x1 = −3x1 + 4x2 − 2x3 x = x1 + x3  x3 = 6x1 − 6x2 + 5x3 Câu IV Giải phương trình vi phân sau y − 2y + 5y = 2xex + ex sin2x ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm www.mathvn.com ˆ THI CHU ´ NG CHI’ CAO HOC, Kh´ - `E D oa 13 ´ ´ch `m Chuyˆ en ng` anh TOAN, Mˆ on thi : Gia’i tı -D`ˆ e sˆ o´ : 01 Th` o i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut Cˆ au I Cho X, Y la` hai khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n v` a (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ) a` ng sup Aα = +∞ Ky ´ hiˆe.u Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N Biˆe´t r˘ α∈I α∈I ◦ Cn Ch´ u.ng minh r˘a` ng = ∅, v´o.i mo.i n ∈ N ˜ y cho v´ Gia’ su’ An ∈ L(X, Y ) la` mˆo.t da ´ An x → 0, n → o.i mo.i x ∈ X ta co ´ suy d¯u o c An → khˆ ong? Ta.i sao? +∞ T` u d¯ˆay co Cˆ au II K´ y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆ a’n c´ ac h` am sˆ o´ liˆen tu.c trˆen ong gian d¯i.nh chuˆ [0, 1] v´ o i chuˆa’n “max” Ky ´ hiˆe.u P la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c p(x) xa ´ c d¯i.nh trˆen [0, 1] co ´ bˆ a.c ≤ n ong C[0,1] Ch´ u ng minh r˘a` ng P la` mˆo.t tˆa.p d¯´ ac d¯.inh bo’.i cˆ ong th´ u.c X´et to´ an tu’ tuyˆe´n t´ınh A : X → X x´ t x → Ax, (Ax)(t) = x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1] a mˆ o.t ph´ep ` ∀α ∈ (0, 1) th`ı I + αA l` Ch´ u.ng minh A l`a mˆo.t to´an tu’ compact va d¯`ˆ ong phˆ oi tuyˆe´n t´ınh t` u X lˆen X (I l` a´ anh xa d¯`ˆ ong nhˆ a´t) To´ an tu’ I + A c´o pha’i l` a to´an tu’ compact khˆong? ong gian d¯i.nh chuˆ a’n Cˆ au III Cho X l`a mˆo.t khˆ `an cu’a hı`nh cˆ `au d¯´o ng B (x0 , r) la `au mo’ u.ng minh r˘a` ng phˆ Ch´ ` hı`nh cˆ B(x0 , r) `on ta.i y ∈ N cho d(x, N ) = Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va` x ∈ X \ N Gia’ su’ tˆ `on ta.i x0 ∈ X, x0 = cho f = |f (x0 )| u ng minh r˘a` ng tˆ x − y Ch´ Cˆ au IV Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru.` o.ng K va` A ∈ L(H) `a ng A la` mˆo.t toa o.i mo.i (xn )n ⊂ Ch´ u.ng minh r˘ ´ n tu’ compact va` chı’ khi, v´ w w H, (yn )n ⊂ H, nˆe´u xn → x va` yn → y thı` Axn , yn → Ax, y n → +∞ Gia’ su’ A = A∗ va` λ ∈ K khˆong pha’i la ` mˆ o.t gia ´ tri riˆeng cu’a A Ch´ u.ng minh r˘ a` ng R(A − λI) tru` mˆa.t kh˘ a´p no.i H ˜ ng gia’ su’ r˘a` ng A = A∗ va` thˆem Am la o.i m la Cu ` mˆo.t ` mˆ o.t toa ´ n tu’ compact v´ ˜ ng la ` mˆ o.t toa ´ n tu’ compact u ng minh r˘ a` ng A cu sˆ o´ nguyˆen du o ng na`o d¯´o Ch´ ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` nhu.ng khˆ trao d¯ˆ o’i, tha’o luˆa.n v´o i 22 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Chuyˆ en ng` anh TOAN, K.14 Mˆ on thi : GIA ICH HAM - `ˆ e sˆ o´ : Th` o.i gian l` D am b` ai: 150 ph´ ut ` khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n ca ´ c `m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n Cˆ au I Ky ´ hiˆe.u X = C[0,2] la a’n “max” [0, 2] v´ o i chuˆ -˘ ´ c d¯.inh bo’.i cˆ D a.t f : X → R xa u.ng x(t)dt − x(t)dt Ch´ ong th´ u.c f (x) = ` ˜ y tı´nh f minh r˘ a ng f ∈ X ∗ va ` ´ c d¯i.nh bo’.i X x → Ax, d¯´o (Ax)(t) = Xe ´ t toa ´ n tu’ A ∈ L(X) xa t o.i mo.i t ∈ [0, 2] Ch´ u.ng minh A la ` mˆ o.t toa ´ n tu’ compact x(τ )dτ + tx(1), v´ -˘ ` ` toa ´ n tu’ d¯`ˆ D a.t v = I − A v´ o.i I = idX la ong nhˆ a´t Ch´ u.ng minh r˘ a ng nˆe´u E la ` tˆ a.p −1 ` tˆ a.p compact X compact X thı` v (E) ∩ BX (0, 1) la ˜ y (xn )n ⊂ K cho Cˆ au II V´ o.i p ≥ 1, k´ y hiˆe.u p l` a khˆ ong gian Banach ca ´ c da ∞ n=1 |xn |p < +∞ Ky ´ hiˆe.u ei = (0, , 0, , 0, ) ∈ (i) p , i = 1, 2, ` ong gian p Kiˆe’m tra r˘ a ng {en | n = 1, 2, } la ` mˆ o.t co so’ Schauder cu’a khˆ ˜ y sˆ ´ hiˆe.u Π = {x = (xn )n ∈ p | |xn | ≤ o´ du.o.ng Ky ` mˆ o.t da Gia’ su’ (cn )n la ∞ ` ` chı’ a ng Π la ` tˆ a.p compact va cn , n = 1, 2, } Ch´ u.ng minh r˘ cpn < +∞ n=1 Cˆ au III Ky ´ hiˆe.u H l` a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert `eu kiˆe.n ˜ y tho’a d¯iˆ ` mˆ o.t da Gia’ su’ (An )n ⊂ L(H) la ∀x, y ∈ H : sup | An x, y | < +∞ n∈N Ch´ u.ng minh sup An < +∞ n∈N Cho a ∈ H, a = va ` d¯˘ a.t A = {a} ⊥ ` ng v´ Ch´ u.ng minh r˘ a o.i mo.i x ∈ H, ta co ´ d(x, A) := inf { x − u } = u∈A | x, a | a Cho A ∈ L(H) Ch´ u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ u.ng minh ` toa ´ n tu’ compact Ch´ Bˆ ay gi` o ta gia’ thiˆe´t A ∈ L(H) cho A∗ A la ` ng A cu ˜ ng la r˘ a ` toa ´ n tu’ compact ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c trao liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` nhu.ng khˆ d¯ˆ o’i, tha’o luˆ a.n v´ o.i 23 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Ca ´ c chuyˆ en ng` anh TOAN, K.15 Mˆ on thi : GIA ICH HAM - `ˆ am b` ai: 150 ph´ ut D e sˆ o´ : Th` o i gian l` o.ng K Cˆ au I Cho (X, · ) la ` mˆ o.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n trˆen tru.` ` ng X la ˜ y (yn )n ⊂ X a ` mˆ o.t khˆ ong gian Banach va ` chı’ mo.i da Ch´ u.ng minh r˘ ∞ `eu kiˆe.n yn ≤ 2−n thı` chuˆ thoa’ d¯iˆ o˜i yn hˆ o.i tu n=1 ` mˆ o.t chuˆ a’n kha ´ c trˆen X cho Gia’ su’ (X, · ) la ` khˆ ong gian Banach va ` · la ˜ ng la (X, · ) cu ` Banach va ` chuˆ a’n · , · khˆ ong tu o ng d¯u.o.ng v´ o.i Ch´ u.ng ` ng ´anh xa d¯`ˆ ong liˆen tu.c minh r˘ a ong nhˆ a´t id: (X, · ) → (X, · ) khˆ ˜ y X Cˆ au II K´ y hiˆe.u X la ` mˆ o.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` (xn )n la ` mˆ o.t da w ∗ ` ng ` (fn )n ⊂ X cho fn → f n → ∞ Ch´ u.ng minh r˘ Cho xn → x va a fn (xn ) → f (x) n → ∞ ◦ Gia’ su’ f (xn ) → 0, (n → ∞) v´ o.i mo.i f ∈ M d¯o ` M = ∅ Ch´ u.ng ´ M ⊂ X ∗ va w ` ng xn → minh r˘ a ` mˆ o.t co so’ Schauder cu’a khˆ ong gian Banach (X, · ) Cˆ au III Gia’ su’ {en | n ∈ N} la ∞ ˜en x = ηi ei V´ o.i mo.i x ∈ X ta co ´ biˆe’u diˆ n i=1 ` ng a ηi ei Ch´ u.ng minh r˘ -˘ D a.t x = sup n∈N i=1 o.i chuˆ a’n na `y tu.o.ng d¯u.o.ng v´ · la ` mˆ o.t chuˆ a’n trˆen X va ` chuˆ a’n · Ky ´ hiˆe.u Pn : (X, · ) → (X, · ) la ` ´anh xa xa ´ c d¯i.nh bo’.i Pn x = Pn ( ∞ n ηi ei ) = i=1 ` ng Pn ∈ L(X) a Ch´ u.ng minh r˘ ηi ei i=1 o.ng K Cˆ au IV Cho H l` a khˆ ong gian Hilbert trˆen tru.` u.ng o.i t` ` khˆ ong gian d¯o ´ ng H va ` chu ´ ng tru c giao v´ Gia’ su’ U, V, W la ` ng tˆ ˜ ng la ` mˆ o.t khˆ ong gian d¯o ´ ng d¯ˆ oi mˆ o.t Ch´ u ng minh r˘ a o’ng U + V + W cu H ` ng (ImA∗ )⊥ = KerA Cho A ∈ L(H) Ch´ u.ng minh r˘ a Cˆ au V Cho X la ` mˆ o.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` A ∈ L(X) Gia’ su’ e1 , e2 la ` vecto riˆeng u ´ ng v´ o i gia ´ tri riˆeng kha ´ c cu’a A Ch´ u.ng minh ` d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n tı´nh {e1 , e2 } la Bˆ ay gi` o cho A la ` toa ´ n tu’ compact va ` λ = la ` mˆ o.t sˆ o´ Gia’ su’ inf { Ax−λx } = x∈X, x =1 ` ng λ la Ch´ u.ng minh r˘ a ` mˆ o.t gia ´ tri riˆeng cu’a A ————————————————————————————– ong d¯u.o c trao d¯ˆ o’i, liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` nhu.ng khˆ Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` tha’o luˆ a.n v´ o i 24 Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP - KHĨA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho A tập mở Rn cho biên b(A) đa tạp (n−1)−chiều Chứng minh N = A ∪ b(A) đa tạp n−chiều với bờ Hãy cho ví dụ bờ ∂N khơng trùng với biên b(A) Cho c hình lập phương kì dị k−chiều p : [0, 1]k −→ [0, 1]k ánh xạ − cho p([0, 1]k ) = [0, 1]k det p (x) ≥ với x ∈ [0, 1]k Chứng minh k−dạng ω ta có ω= c ω c◦p Câu II Cho M đa tạp 3−chiều compact, định hướng với bờ R3 α, β, γ : M −→ R hàm khả vi liên tục M Chứng minh ( M ∂α ∂β ∂γ + + )dx ∧ dy ∧ dz = ∂x ∂y ∂z αdy ∧ dz + βdz ∧ dx + γdx ∧ dy ∂M Câu III Cho M đa tạp k−chiều với định hướng µ Rn Với x ∈ M , kí hiệu ω(x) ∈ Λk (Mx ) phần tử thể tích Mx xác định định hướng µx tích vơ hướng tắc Tx , tức ω(x)(v1 , , vk ) = với sở trực chuẩn v1 , , vk Mx cho [v1 , , vk ] = µx Khi k−dạng vi phân ω tương ứng gọi phần tử thể tích M kí hiệu dV Chứng minh M đa tạp n−chiều Rn mang định hướng chuẩn tắc dV = dx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxn Cho M đa tạp compact, định hướng hai chiều R3 n(x) = (n1 (x), n2 (x), n3 (x)) mục tiêu pháp tuyến ngồi x ∈ M Chứng minh dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHĨA 15 Thời gian làm bài: 120 phút Tất vành xét vành có đơn vị = Câu Cho E, E khơng gian Euclid khác Ánh xạ tuyến tính f : E −→ E gọi đồng dạng có số thực k = cho f (x)f (y) = kxy với x, y ∈ E Chứng minh rằng: Ánh xạ ϕ : E −→ E tuyến tính đồng dạng có số thực k = cho ϕ(x)ϕ(y) = kxy với x, y ∈ E Mọi ánh xạ tuyến tính đồng dạng ϕ viết dạng ϕ = αγ , γ có dạng λid, λ ∈ R, α đồng cấu trực giao Câu Cho M R-mơđun hữu hạn sinh, n số ngun dương, φ : M −→ Rn tồn cấu R-mơđun Chứng minh Ker(φ) R-mơđun hữu hạn sinh Câu Cho M R-mơđun , R vành giao hốn Cho I iđêan R Chứng minh rằng: (R/I) ⊗R M ∼ = M/(IM ) Câu Cho X R-mơđun hữu hạn sinh Chứng minh X R-mơđun xạ ảnh có số ngun dương n cho: X ⊕Y ∼ = Rn Câu Một R-mơđun M gọi chia với a ∈ R\{0}, với x ∈ M , tồn y ∈ M cho ay = x Cho R miền ngun M R-mơđun Chứng minh M chia M R-mơđun nội xạ ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên khơng sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHĨA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu Cho M R-mơđun hữu hạn sinh, n số ngun dương, φ : M −→ Rn tồn cấu R-mơđun Chứng minh Ker(φ) R-mơđun hữu hạn sinh Câu Chứng minh khơng gian véctơ trường K K -mơđun tự Câu Cho 2Z, Z2 Z-mơđun Chứng tỏ ⊗ = 2Z ⊗Z Z2 f g Khẳng định ”Nếu −→ A − →B→ − C dãy khớp đồng cấu R-mơđun f ⊗id g⊗id với R-mơđun M ta có dãy khớp −→ A ⊗R M −−−→ B ⊗R M −−−→ C ⊗R M ” có khơng ? Tại sao? Câu Chứng minh dãy R-đồng cấu mơđun ϕ ψ −→ A − →B− →C khớp với R-mơđun M ta có dãy ϕ∗ ψ∗ −→ Hom(M, A) −→ Hom(M, B) −→ Hom(M, C) khớp Câu Chứng minh R-mơđun có phép giải nội xạ ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên khơng sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Q - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHĨA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho (X, T ) khơng gian tơpơ Cho tập mở U ⊂ X tập A ⊂ X Chứng minh U ∩ A ⊂ U ∩ A Cho B, C hai tập đóng khác rỗng X f : B ∪ C −→ R Giả sử f|B f|C liên tục Chứng minh f liên tục B ∪ C Cho ví dụ chứng tỏ kết khơng B, C khơng đóng Câu II Chứng minh khơng gian Lindelof quy khơng gian chuẩn tắc Câu III Cho X = C[0,1] tập tất hàm giá trị thực liên tục [0, 1] Với t ∈ [0, 1] ta đặt pt (x) = |x(t)| với x ∈ X Chứng minh P = {pt | t ∈ [0, 1]} họ nửa chuẩn X Với x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = |x(t) − y(t)| dt + |x(t) − y(t)| Chứng minh (X, d) khơng gian mêtric Gọi T tơpơ sinh họ nửa chuẩn P T∞ tơpơ sinh mêtric d Chứng minh dãy X hội tụ theo T hội tụ theo tơpơ T∞ Hai tơpơ T T∞ có tương đương khơng? Tại sao? Câu IV Cho µ độ đo dấu σ -đại số tập X , f, g hàm đo X Với tập đo E ta đặt ν(E) = f dµ E Giả sử |ν|(E) = gd|µ| Chứng minh g = |f | hầu khắp nơi theo µ E ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm [...]... ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→ Rn là một toàn cấu R-môđun Chứng minh rằng Ker(φ) là R-môđun hữu hạn sinh Câu 2 Chứng minh rằng mọi không gian véctơ trên trường K đều là K -môđun... R-môđun M ta có dãy ϕ∗ ψ∗ 0 −→ Hom(M, A) −→ Hom(M, B) −→ Hom(M, C) cũng khớp Câu 5 Chứng minh rằng mọi R-môđun đều có một phép giải nội xạ ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho (X, T ) là một không gian tôpô 1... n3 (x)) là mục tiêu pháp tuyến ngoài tại x ∈ M Chứng minh rằng dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 15 Thời gian làm bài: 120 phút Tất cả các vành được xét là vành có đơn vị 1 = 0 Câu 1 Cho E, E là các không gian Euclid... ————————————————————————————– ong d¯u.o c trao d¯ˆ o’i, ai liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` ai nhu.ng khˆ Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` tha’o luˆ a.n v´ o i nhau 24 Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I 1 Cho A là một tập mở trong Rn sao cho biên b(A) là một đa tạp (n−1)−chiều Chứng minh rằng N = A ∪ b(A) là một đa tạp n−chiều...Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường... x3 = 6x1 − 6x2 + 5x3 Câu IV Giải phương trình vi phân sau y − 2y + 5y = 2xex + ex sin2x ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài www.mathvn.com ˆ THI CHU ´ NG CHI’ CAO HOC, Kh´ - `E D oa 13 ´ ´ch ha `m Chuyˆ en ng` anh TOAN, Mˆ on thi : Gia’i tı -D`ˆ e sˆ o´ : 01 Th` o i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut Cˆ au I Cho X, Y la` hai khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n v`... Ch´ 4 Bˆ ay gi` o ta gia’ thi e´t A ∈ L(H) sao cho A∗ A la ` ng A cu ˜ ng la r˘ a ` toa ´ n tu’ compact ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c trao ai liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` ai nhu.ng khˆ d¯ˆ o’i, tha’o luˆ a.n v´ o.i nhau 23 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Ca ´ c chuyˆ en ng` anh TOAN, K.15 Mˆ on thi : GIA ICH HAM - `ˆ... ————————————————————————————– Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su’ du.ng t` ong d¯u.o c ai liˆe.u d¯ˆe’ l` am b` ai nhu.ng khˆ trao d¯ˆ o’i, tha’o luˆa.n v´o i nhau 22 www.mathvn.com ˆ THI CHU ´.NG CHI’ CAO HOC - `E D ’ I T´ ´ ` Chuyˆ en ng` anh TOAN, K.14 Mˆ on thi : GIA ICH HAM - `ˆ e sˆ o´ : 1 Th` o.i gian l` D am b` ai: 150 ph´ ut ` khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n ca ´ c ha `m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n Cˆ au I Ky ´ hiˆe.u... sao cho f (x)f (y) = kxy với mọi x, y ∈ E Chứng minh rằng: 1 Ánh xạ ϕ : E −→ E là tuyến tính đồng dạng nếu có số thực k = 0 sao cho ϕ(x)ϕ(y) = kxy với mọi x, y ∈ E 2 Mọi ánh xạ tuyến tính đồng dạng ϕ đều có thể viết dưới dạng ϕ = αγ , trong đó γ có dạng λid, λ ∈ R, còn α là đồng cấu trực giao Câu 2 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→ Rn là một toàn cấu R-môđun Chứng minh... các tập con của X , f, g là các hàm đo được trên X Với mỗi tập đo được E ta đặt ν(E) = f dµ E Giả sử |ν|(E) = gd|µ| Chứng minh g = |f | hầu khắp nơi theo µ E ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài ... họ tên (họtên), tuổi (tuổi) mônhọc - môn học có thuộc tính: mã môn học (mãmh), tên môn học (tênmh) - sinh viên (mãsv) học môn học (mãmh) có điểm thi (điểmthi) học 3.a Hãy viết biểu thức đại số... Ghi chú: Học viên sử dụng tài liệu làm Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM... √ J Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I