THÔNG TIN TÀI LIỆU
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CĨ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ Là pt có dạng : y " ay ' by f ( x) (1) với : a, b : số Pt liên kết : y " ay ' by (2) Cách tìm nghiệm đltt pt : y " ay ' by Gọi pt : k ak b (*) pt đặc trưng (2) , pt (*) có : a2 4b có trường hợp sau : a Nếu : pt (*) có nghiệm phân biệt : k1,2 a pt (2) có nghiệm đltt : y1 ek1x y2 ek2 x VD : Giải : y " y ' y Bài giải : - Pt đặc trưng : k 5k k1 2, k2 - nghiệm đltt pt : y1 e2 x y2 e3 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e2 x C2e3 x , (C1 , C2 ) b Nếu : pt (*) có nghiệm kép : k1 k2 pt (2) có nghiệm đltt : y1 e a x y2 xe a x a VD : Giải : y " y ' y Bài giải : - Pt đặc trưng : k 4k k1 k2 2 - nghiệm đltt pt : y1 e2 x y2 xe2 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e2 x C2 xe2 x , (C1 , C2 ) y e2 x (C1 C2 x) , (C1 , C2 ) c Nếu : pt (*) khơng có nghiệm thực, (*) có nghiệm phức : k1,2 a i a i 2 pt (2) có nghiệm đltt : y1 e a x sin x y1 e a x cos x VD : Giải : y " y ' 10 y Bài giải : - Pt đặc trưng : ' 10 9 k 2k 10 pt có nghiệm phức : k1,2 1 3i - nghiệm đltt pt : y1 e x sin 3x y2 e x cos3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e x sin 3x C2e x cos3x , (C1 , C2 ) y e x (C1 sin 3x C2 cos3x) , (C1 , C2 ) VD : Giải : y " y ' 12 y Bài giải : - Pt đặc trưng : 48 39 k 3k 12 pt có nghiệm phức : k1,2 3 39i 39 i 2 - nghiệm đltt pt : y1 e x x 39 39 x sin x y2 e sin 2 - Nghiệm tổng quát pt cho : x x 39 39 y C1e sin x C2e cos x , (C1 , C2 ) 2 x 39 39 y e (C1 sin x C2 cos x) , (C1 , C2 ) 2 Vậy : ptvptt cấp có hệ số số LN có nghiệm MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT y " ay ' by f ( x) (1) x f ( x) e P( x) , ( P( x) đa thức ) a Nếu khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y e xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y e ( x 1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y - Pt đặc trưng : ' 4 k1,2 1 2i k 2k - nghiệm đltt pt : y1 e x sin x y2 e x cos x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e2 x ( Ax Bx C ) - Có : y ' 2e2 x ( Ax2 Bx C ) e2 x (2 Ax B) y ' e2 x (2 Ax Ax 2Bx B 2C ) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax 2Bx B 2C) e2 x (4 Ax A 2B) y " e2 x (4 Ax Ax 4Bx A 4B 4C ) 2x - Thế vào pt : y " y ' y e ( x 1) e2 x (13 Ax2 12 Ax 13Bx A 6B 13C ) e2 x ( x 1) 13A 12 A 13B A 6B 13C 1 12 215 C A B 13 169 2197 nghiệm riêng pt cho : 12 215 y e2 x ( x x ) 13 169 2197 - Nghiệm tổng quát pt cho : 12 215 y C1e x sin x C2e x cos x e2 x ( x x ) 13 169 2197 (C1 , C2 ) b Nếu nghiệm đơn pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y e x xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y e (2 x 1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y - Pt đặc trưng : k 5k 25 24 k1 2, k2 - nghiệm đltt pt : y1 e2 x y2 e3 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e2 x x( Ax B) y e2 x ( Ax Bx) - Có : y ' 2e2 x ( Ax2 Bx) e2 x (2 Ax B) y ' e2 x (2 Ax Ax 2Bx B) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax 2Bx B) e2 x (4 Ax A 2B) y " e2 x (4 Ax2 Ax 4Bx A 4B) - Thế vào pt : y " y ' y e (2 x 1) 2x e2 x (2 Ax A B) e2 x (2 x 1) 2 A A B A 1 B 3 nghiệm riêng pt cho : y e2 x (1x 3x) - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e2 x C2e3 x e2 x ( x 3x) , (C1 , C2 ) c Nếu nghiệm kép pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y e x x 2Q( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y e 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y - Pt đặc trưng : k 4k ' k1 k2 - nghiệm đltt pt : y1 e2 x y2 xe2 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e2 x x A - Có : y ' Ae2 x x2 Ae2 x x y ' e2 x (2 Ax2 Ax) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax) e2 x (4 Ax A) y " e2 x (4 Ax Ax A) - Thế vào pt : y " y ' y e 2x e2 x A e2 x 2A 1 A nghiệm riêng pt cho : y e2 x x 2 - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e2 x C2 xe2 x e2 x x , (C1 , C2 ) y e2 x ( x C2 x C1 ) , (C1 , C2 ) x f ( x) e a Nếu P1 ( x)sin x P2 ( x) cos x , ( P1 ( x), P2 ( x) đa thức ) i khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y e x Q1 ( x)sin x Q2 ( x) cos x ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y sin 3x Bài giải : - Pt liên kết : y " y - Pt đặc trưng : ' 1 k1,2 i k 1 - nghiệm đltt pt : y1 sin x y2 cos x y " y sin 3x e0 x 1sin 3x 0cos3x - Có : 0 i 3i 3i k1,2 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e0 x A sin 3x B cos3x - Có : y A sin 3x B cos3x y ' A cos3x 3B sin 3x y " 9 A sin 3x 9B cos3x - Thế vào pt : y " y sin 3x 8 A sin 3x 8B cos3x sin 3x 8 A 8B A B0 nghiệm riêng pt cho : y sin 3x 0cos 3x y sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1 sin x C2 cos x sin 3x , (C1 , C2 ) b Nếu i nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y e x x Q1 ( x)sin x Q2 ( x) cos x ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y ' 10 y e cos3x x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' 10 y - Pt đặc trưng : ' 9 k1,2 3i k 2k 10 - nghiệm đltt pt : y1 e x sin 3x y2 e x cos3x y " y ' 10 y e x cos3x e1x 0sin 3x 1cos3x - Có : 1 i 3i k1 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e x x A sin 3x B cos3x y e x Ax sin 3x Bx cos3x - Có : y ' e x ( Ax sin 3x Bx cos 3x) e x ( A sin 3x Ax cos 3x B cos 3x 3Bx sin 3x) y ' e x ( Ax sin 3x Bx cos3x A sin 3x Ax cos3x B cos3x 3Bx sin 3x) y " e x ( Ax sin 3x Bx cos 3x A sin 3x Ax cos 3x B cos 3x 3Bx sin 3x) e x ( A sin 3x Ax cos 3x B cos 3x 3Bx sin 3x A cos 3x A cos 3x 9 Ax sin 3x 3B sin 3x 3B sin 3x Bx cos 3x) y " e x (8 Ax sin 3x 8Bx cos 3x A sin 3x Ax cos 3x 2 B cos 3x Bx sin 3x A cos 3x B sin 3x) x - Thế vào pt : y " y ' 10 y e cos3x e x A cos3x e x 6B sin 3x e x cos3x A 6B A B0 nghiệm riêng pt cho : y e x x sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y C1e x sin 3x C2e x cos3x e x x sin 3x , (C1 , C2 ) ... 2e2 x ( Ax2 Bx C ) e2 x (2 Ax B) y ' e2 x (2 Ax Ax 2Bx B 2C ) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax 2Bx B 2C) e2 x (4 Ax A 2B) y " e2 x (4 Ax Ax 4Bx A 4B 4C ) 2x... B) y e2 x ( Ax Bx) - Có : y ' 2e2 x ( Ax2 Bx) e2 x (2 Ax B) y ' e2 x (2 Ax Ax 2Bx B) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax 2Bx B) e2 x (4 Ax A 2B) y " e2 x (4 Ax2 Ax ... k1 k2 - nghiệm đltt pt : y1 e2 x y2 xe2 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y e2 x x A - Có : y ' Ae2 x x2 Ae2 x x y ' e2 x (2 Ax2 Ax) y " 2e2 x (2 Ax2 Ax) e2 x (4
Ngày đăng: 12/06/2018, 09:13
Xem thêm: