Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

49 8 0
Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✯✯✯✯✯ ▲➊ ❚❍➚ ❍❯❨➋◆ P❍×❒◆● P❍⑩P P❍❺◆ ❚Û ❍Ú❯ ❍❸◆ ❈❍❖ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❈❻P ✷ ◆●⑨◆❍ ✣⑨❖ ❚❸❖✿ ❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆● ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ữợ P ỵ ữớ ❚❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ▲í✐ ✤➛✉ t✐➯♥✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ữợ P ỵ ữớ t t ữợ tổ tr sốt q tr tỹ ổ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➔♥❤ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ▲ỵ♣ ✶✺❈❚❯❉❊ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❚r÷í♥❣✳ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ▲➯ ❚❤à ❍✉②➲♥ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶ ✸ ✶✳✶✳ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ tø ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷✳ ❈→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ê ✤✐➸♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ❈❍×❒◆● ✷✳ ❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱➋ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❈❻P ✷ ❱⑨ P❍×❒◆● P❍⑩P P❍❺◆ ❚Û ❍Ú❯ ❍❸◆ ✽ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✳✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✷✳✶✳✶✳ ❈➜✉ tró❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷✳✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❤➺ sè ❤➡♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✸✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷✳✸✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷✳✸✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ♠ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ị tữ ữỡ tỷ ỳ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✸✳✹✳ ▼❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✸✳✺✳ ❚➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♠❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✹✳ ❚è❝ ✤ë ❤ë✐ tö ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ❈❍×❒◆● ✸✳ ▲❾P ❚❘➐◆❍ P❍❺◆ ❚Û ❍Ú❯ ❍❸◆ ✳✳✳✳✳✳✳ ✷✽ ✸✳✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❧➟♣ tr➻♥❤ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✷✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ❝❤♦ ❝→❝ ✈➼ ❞ư sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹✸ ✹✹ ✶ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sè ❞ị♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✳ ◆❣➔② ♥❛②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❝á♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦➽ t❤✉➟t✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✤➣ trð t❤➔♥❤ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ tr♦♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ ▼❆❚▲❆❇ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ sè ✈➔ ❧➟♣ tr➻♥❤✳ ▼❆❚▲❆❇ ❝❤♦ ♣❤➨♣ t➼♥❤ t♦→♥ sè ✈ỵ✐ tr ỗ t số ỗ t❤æ♥❣ t✐♥✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤✉➟t t♦→♥✱ t↕♦ ❝→❝ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ ữớ ũ t ợ ỳ ữỡ tr t➼♥❤ ✈✐➳t tr➯♥ ♥❤✐➲✉ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➟♣ tr➻♥❤ ❦❤→❝✳ ✣➦❝ t ỏ ú ỷ ỵ t t ú ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚ø ♥❤✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ✈➲ ❤å❝ t➟♣✱ t➻♠ ❤✐➸✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ▼❆❚▲❆❇ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sè ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ tỉ✐ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♥❤✐➲✉ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ỳ ỵ ữ tr ũ ợ sỹ ữợ P ỵ Pữỡ tỷ ỳ ❤↕♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✑ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ▼ư❝ ▼÷í✐✱ tỉ✐ ✤➣ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏ t✐➯✉ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥❤➡♠ t❤➜✉ ❤✐➸✉ ❜↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❜✐➳t ❝→❝❤ →♣ ❞ö♥❣ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ▼❆❚▲❆❇ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ sû ữỡ ự ỵ tt tr q tr tỹ t rữợ t ú tổ t t ✈➔ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ t→❝ ❣✐↔ trữợ q ữỡ tỷ ỳ ❤↕♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✈➔ ❧➟♣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇✳ ❙❛✉ ✤â✱ ✷ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü ❤â❛✱ ❦❤→✐ q✉→t ❤â❛ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s ữ r ỳ t q ợ t ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥✱ ▼ư❝ ❧ư❝✱ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉✱ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷✱ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✱ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❝→❝ ✈➼ ❞ö sè ❝ö t❤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ sû ❞ö♥❣ ❧➟♣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇✳ ✸ ❈❍×❒◆● ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ tø ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✈➔ ♠ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✣➸ ❝â ♠ët ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➛② ✤õ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✈➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✱ ♥❣÷í✐ ✤å❝ ❝â t❤➸ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ð ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✶✵❪ ✳ ✶✳✶✳ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ tø ❣✐↔✐ t➼❝❤ X t ổ ữợ (., )X ởt ổ tỡ tr trữớ ợ ❧➔ ✤➛② ✤õ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ X t❤➻ ♥â ✤÷đ❝ ❣å✐ P❤➛♥ ❜ị trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ U tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ◆➳✉ X R ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❍✐❧❜❡rt X✱ U ⊥ ✱ ❧➔ ❦❤æ♥❣ U ⊥ = {v ∈ X |(v, u)X = 0, ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❜à ✤â♥❣ s❛♦ ❝❤♦✿ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ U} ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ U ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ rt X õ f X tỗ t↕✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❞✉② ♥❤➜t u ∈ U ✈➔ v ∈ U ⊥ s❛♦ f = u + v, ✈➔ t❛ ✈✐➳t X = U U ⊥✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ a(., ) : X × Y → R ❈❤♦ X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉✿ a(α1 u + α2 v, φ) = α1 a(u, φ) + α2 a(v, φ), ✹ ✈ỵ✐ ♠å✐ α1 , α2 ∈ R, u, v ∈ X, φ ∈ Y a(u, β1 φ + β2 ϑ) = β1 a(u, φ) + β2 a(u, ϑ), ✈ỵ✐ ♠å✐ β1 , β2 ∈ R, u ∈ X, ϑ, φ ∈ Y ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ▼ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ X ×Y✱ ✈➔ tr♦♥❣ ✤â X Y a(., ) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ C ✤ë❝ ❧➟♣ ❝õ❛ u ∈ X ✈➔ φ ∈ Y s❛♦ ❝❤♦✿ |a(u, φ)| ≤ C u X φ Y ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ X ✈➔ φ ∈ Y ♥➳✉ ❝â ♠ët ❤➡♥❣ sè ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝÷ï♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ u ∈ X s❛♦ ❝❤♦✿ |a(u, u)| ≥ α u ❈❤♦ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❜à ❝❤➦♥ ❚➻♠ a(., ) tr➯♥ u∈X a : X × X → R✱ tr♦♥❣ ✤â ❜ù❝ ♥➳✉ ❝â ♠ët α > ❦❤æ♥❣ ▼ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ X × X✱ X X , ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ X ✈➔ ♠ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝÷ï♥❣ ❜ù❝✱ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿ s❛♦ ❝❤♦✿ a(u, φ) = f (φ), ∀φ ∈ X, tr♦♥❣ ✤â f ∈X ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✼ ✭✶✳✶✮ ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ t t trữợ r ✳ ●✐↔ sû a : X × X → R ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝÷ï♥❣ ❜ù❝✱ ❜à ❝❤➦♥✳ õ ợ ộ f X tỗ t ♠ët ♣❤➛♥ tû ❞✉② ♥❤➜t u ∈ X t❤ä❛ ♠➣♥ a(u, φ) = f (φ) ✈ỵ✐ ♠å✐ φ ✈➔✿ u X ≤ C f α X , tr♦♥❣ ✤â C ✈➔ α ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè tr♦♥❣ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼♥❤ ❝÷ï♥❣ ❜ù❝ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ð tr➯♥✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët ❞➣② ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ Xh , h > ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt X ✳ Ð ✤➙②✱ t❛ ❣✐↔ sû Xh ⊂ X ✱ h > 0✱ ✈➔ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❤ú✉ ứ Xh X ợ ữủ ❜ð✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠é✐ h✱ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ sü ①➜♣ ①➾ ❧➔ ♣❤ị ❤đ♣✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✽ ✳ ●✐↔ sû Xh ⊂ X ✱h > 0✱ ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✭❈❡❛✮ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt X ✳ ●✐↔ sû a : X × X → R ❧➔ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝÷ï♥❣ ❜ù❝✱ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ f ∈ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✺ uh ∈ Xh s❛♦ ❝❤♦✿ a(uh , φh ) = f (φh ), ∀φh ∈ Xh ✭✶✳✷✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠✳ ◆➳✉ u ∈ X ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ a(u, φ) = f (φ) ✈ỵ✐ ♠å✐ φ ∈ X, t❤➻ ❝â ♠ët ❤➡♥❣ sè C ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ u, uh ✈➔ h s❛♦ ❝❤♦✿ u − uh ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â Xh X ⊂ X✱ ≤ C inf xh ∈Xh u − xh tø ✤â ❝â t❤➸ t❤➜② X ✭✶✳✸✮ a : Xh × X h → R ❦➳ t❤ø❛ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝÷ï♥❣ ❜ù❝ tø ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr X ìX ợ ũ số õ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ ▲❛① ✲ ▼✐❧❣r❛♠ ❝❤♦ ✭✶✳✷✮✱ t❛ t r uh Xh tỗ t t❛ ❧➜② φ = φh tr♦♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈➔ trø ✭✶✳✷✮ ❜ð✐ ✭✶✳✶✮ ❝❤♦ t❛ q✉❛♥ ❤➺ ❝â t➼♥❤ trü❝ ❣✐❛♦ ●❛❧❡r❦✐♥✱ a(u − uh , φh ) = 0, ∀ h Xh ữ ợ t ý x h ∈ Xh ✱ a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − xh ) + a(u − uh , xh − uh ) = a(u − uh , u − xh ) ❙û ❞ö♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t t➼♥❤ ❝÷ï♥❣ ❜ù❝ ✈➔ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ a(., )✱ t❛ ❝â✿ α u − uh X ≤ |a(u − uh , u − uh )| = |a(u − uh , u − xh )| ≤ C u − uh ❉♦ ✤â✱ u − uh X ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✾✳ ≤ C α inf u − xh X ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ u − xh X x h Xh ìợ ữủ ữủ ởt ữợ ữủ s số ♥❤÷ tè✐ ÷✉✱ s❛✐ sè t❤ü❝ xh ∈Xh u − xh X u − uh X ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ s❛✐ số tốt t X ởt ữợ ữủ tè✐ ÷✉ ❝â C = 1✳ ✻ ✶✳✷✳ ❈→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ tâ♠ ❧÷đ❝ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ❧➔♠ ❝ì sð ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝ê ✤✐➸♥ (a, b) ⊂ R ✈ỵ✐ a < b✳ ❈❤ó♥❣ t ỵ C(a, b) t tt k ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ f : (a, b) → R ▼ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t✱ C (a, b) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ sè f : (a, b) → R ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➳♥ ❝➜♣ k ✳ ❈❤♦ ◆❣❤➽❛ ❧➔✿ C k [a, b] = {f : [a, b] → R|f k tr➯♥ C[a, b]} C (a, b) = C(a, b)✳ Ck0 (a, b) ❧➔ t➟♣ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ ✤➳♥ ❝➜♣ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ụ q ữợ C k (a, b) ỗ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❝â ❣✐→ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a, b)✳ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝ì t ú t ỵ t ủ b L [a, b] := f (x)2 dx < +∞ , f : (a, b) → R| a ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ sè f ✤♦ ✤÷đ❝ s❛♦ ❝❤♦ f2 ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ (a, b)✳ f ✈➔ g tở L2 (a, b) ữủ ỵ ❤✐➺✉ f = g ✱ ♥➳✉ f (x) = g(x) ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr➯♥ (a, b)✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tư❝ ❤♦➦❝ ❧✐➯♥ tư❝ tø♥❣ ❦❤ó❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ L2 (a, b)✳ ❚➟♣ ❤đ♣ ♥➔② ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ❤➔♠ ❍❛✐ ❤➔♠ sè sè ✈➔ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠✱ t↕♦ t❤➔♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥ú❛✱ ❦ ❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ (a, b)✳ ❍ì♥ L2 (a, b) ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈ỵ✐ t ổ ữợ ữủ b (f, g) L2 (a,b) := f (x)g(x)dx a rữợ ợ t ♠ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❦❤→❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❜✐➳t ✸✶ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✿ x2 u=8− ❙❛✉ ✤➙② t❛ s➩ ❦✐➸♠ tr❛ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ▼❆❚▲❆❇✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ♥❤÷ s❛✉✿ ✪①❛② ❞✉♥❣ ❝♦ s♦ ❞✉ ❧✐❡✉ ❛❂✶❀ ❜❂✹❀ ◆❂✸❀ ✪s♦ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ❞❡✉ ❤❂✭❜✲❛✮✴◆❀ ✪❞♦ ❞❛✐ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ♣❂❛✿❤✿❜❀ ✪✈❡❝t♦ t♦❛ ❞♦ ❞✐❡♠ ❝❤✐❛ ❡❂❬✶✿◆❀✷✿◆✰✶❪❀✪♠❛ tr❛♥ ♠❛ ♠♦✐ ❝♦t ❝❤✐ ❝❤✉❛ ❝❤✐ s♦ ❞✐❡♠ ❞❛✉ ✈❛ ❝✉♦✐ ✪▼❚❚❈ ❱❚❚❈ ❆❂③❡r♦s✭◆✰✶✱◆✰✶✮❀ ❋❂③❡r♦s✭◆✰✶✱✶✮❀ ❢♦r ✐❂✶✿◆ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ①✶❂♣✭✐✶✮❀ ①✷❂♣✭✐✷✮❀ ❤✐❂①✷✲①✶❀ ❆✐❂❬✶✴❤✐ ✲✶✴❤✐❀ ✲✶✴❤✐ ✶✴❤✐❪❀ ❋✐❂❬❤✐✴✷❀❤✐✴✷❪❀ ❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✐❀ ❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✐❀ ❡♥❞ ✪①✉ ❧✐ ❞❦ ❜✐❡♥ ❆✭◆✰✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✭◆✰✶✱◆✰✶✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂❋✭✶✮✰✶❀ ❋✭◆✰✶✮❂✵❀ ✪t✐♠ ♥❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐ ✉❂❆❭❋❀ ♣✶❂❛✿✵✳✵✵✶✿❜❀ ✉✶❂✽✲✭♣✶✳❫✷✮✴✷❀ ♣❧♦t✭♣✱✉✱♣✶✱✉✶✮ ❚❛ õ t q ỗ t t ứ ỗ t t ữủ t t t q ①➜♣ ①➾ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ t÷ì♥❣ ✤è✐ trị♥❣ ♥❤❛✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❦❤→ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ tữỡ ố ố ợ ỳ t♦→♥ ♣❤ù❝ t↕♣✱ ❦❤â t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ t❤➻ ✈✐➺❝ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❜➡♥❣ ❧➟♣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ❧➔ ✈ỉ ❝ị♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ❝➛♥ t❤✐➳t✳ ❚❛ ✤✐ ①❡♠ ①➨t t❤➯♠ ❝→❝ ✈➼ ❞ö s❛✉✿ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳✸✳ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿  −u − u = (1, 2) u(1) = 0, u (2) = −1 ❚❛ t❤➜② ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ ✈✐➺❝ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤æ♥❣ ❞➵ ❞➔♥❣✳ ❱➟② ♥➯♥✱ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ r➜t ❝➛♥ t❤✐➳t✳ ❚❛ ❝â ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿ ✸✸ ✪①❛② ❞✉♥❣ ❝♦ s♦ ❞✉ ❧✐❡✉ ❛❂✶❀ ❜❂✷❀ ◆❂✶✵❀ ✪s♦ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ❞❡✉ ❤❂✭❜✲❛✮✴◆❀ ✪❞♦ ❞❛✐ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ♣❂❛✿❤✿❜❀ ✪✈❡❝t♦ t♦❛ ❞♦ ❞✐❡♠ ❝❤✐❛ ❡❂❬✶✿◆❀✷✿◆✰✶❪❀✪♠❛ tr❛♥ ♠❛ ♠♦✐ ❝♦t ❝❤✐ ❝❤✉❛ ❝❤✐ s♦ ❞✐❡♠ ❞❛✉ ✈❛ ❝✉♦✐ ✪▼❚❚❈ ❱❚❚❈ ❆❂③❡r♦s✭◆✰✶✱◆✰✶✮❀ ❋❂③❡r♦s✭◆✰✶✱✶✮❀ ❢♦r ✐❂✶✿◆ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ①✶❂♣✭✐✶✮❀ ①✷❂♣✭✐✷✮❀ ❤✐❂①✷✲①✶❀ ❆✐❂❬✶✴❤✐✲❤✐✴✻ ✲✶✴❤✐✲❤✐✴✸❀ ✲✶✴❤✐✲❤✐✴✸ ✶✴❤✐✲❤✐✴✻❪❀ ❋✐❂❬❤✐❀❤✐❪❀ ❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✐❀ ❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✐❀ ❡♥❞ ✪①✉ ❧✐ ❞❦ ❜✐❡♥ ❆✭✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✭✶✱✶✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂✵❀ ❋✭◆✰✶✮❂❋✭◆✰✶✮✲✶❀ ✪t✐♠ ♥❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐ ✉❂❆❭❋❀ ♣✶❂❛✿✵✳✵✵✶✿❜❀ ✪♥❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝ ✉✶❂✲✷ ✰ ✷ ✯❝♦s✭✷ ✲ ♣✶✮✯ s❡❝✭✶✮ ✰ s❡❝✭✶✮ ✯s✐♥✭✶ ✲ ♣✶✮❀ ✪✉✶❂✲✷ ✰ ✷ ✯❝♦s✭✷ ✲ ♣✶✮✯ ✭✶✴❝♦s✭✶✮✮ ✰ ✭✶✴❝♦s✭✶✮✮ ✯s✐♥✭✶ ✲ ♣✶✮❀ ♣❧♦t✭♣✱✉✱♣✶✱✉✶✮ ❧❡❣❡♥❞✭✬◆❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐✬✱ ✬◆❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝✬✮ õ t q ỗ t ①➨t✳ ❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾✳ ❱➔ ❝ô♥❣ t❤➜② r➡♥❣✿ ❦❤✐ t❤❛② ✤ê✐ sè ✤♦↕♥ ❝❤✐❛✱ t➠♥❣ ❣✐→ trà ◆ ❝➔♥❣ ❧ỵ♥ t❤➻ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝➔♥❣ ❝❛♦✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳✹✳ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿  u + u = (0, 3) u(0) = 0, u(3) = ❚÷ì♥❣ tü ❝→❝ ❜➔✐ tr➯♥✱ t❛ ✈✐➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿ ✪①❛② ❞✉♥❣ ❝♦ s♦ ❞✉ ❧✐❡✉ ❛❂✵❀ ❜❂✸❀ ◆❂✷✵❀ ✪s♦ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ❞❡✉ ❤❂✭❜✲❛✮✴◆❀ ✪❞♦ ❞❛✐ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ♣✶❂❛✿❤✿❜❀ ✪✈❡❝t♦ t♦❛ ❞♦ ❞✐❡♠ ❝❤✐❛ ❡❂❬✶✿◆❀✷✿◆✰✶❪❀✪♠❛ tr❛♥ ♠❛ ♠♦✐ ❝♦t ❝❤✐ ❝❤✉❛ ❝❤✐ s♦ ❞✐❡♠ ❞❛✉ ✈❛ ❝✉♦✐ ✪▼❚❚❈ ❱❚❚❈ ❆✶❂③❡r♦s✭◆✰✶✱◆✰✶✮❀ ❋✶❂③❡r♦s✭◆✰✶✱✶✮❀ ❢♦r ✐❂✶✿◆ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ①✶❂♣✶✭✐✶✮❀ ①✷❂♣✶✭✐✷✮❀ ❤✐❂①✷✲①✶❀ ❆✶✐❂❬✲✶✴❤✐ ✶✴❤✐❀ ✶✴❤✐ ✲✶✴❤✐❪✰❬❤✐✴✸ ❤✐✴✻❀ ❤✐✴✻ ❤✐✴✸❪❀ ❋✶✐❂❬❤✐✴✷❀❤✐✴✷❪❀ ❆✶✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✶✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✶✐❀ ❋✶✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✶✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✶✐❀ ❡♥❞ ✪①✉ ❧✐ ❞❦ ❜✐❡♥ ❆✶✭✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✶✭✶✱✶✮❂✶❀ ❆✶✭◆✰✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✶✭◆✰✶✱◆✰✶✮❂✶❀ ❋✶✭✶✮❂✵❀ ❋✶✭◆✰✶✮❂✵❀ ✸✻ ✪t✐♠ ♥❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐ ✉✶❂❆✶❭❋✶❀ ✪♥❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝ ♣✷❂❛✿✵✳✵✶✿❜❀ ✉✷❂✶✲❝♦s✭♣✷✮✲✭t❛♥✭✸✴✷✮✯s✐♥✭♣✷✮✮❀ ♣❧♦t✭♣✶✱✉✶✱♣✷✱✉✷✮ ❧❡❣❡♥❞✭✬◆❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐✬✱ ✬◆❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝✬✮ õ t q ỗ t t ❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾✳ ❱➔ t❛ ❝ô♥❣ t❤➜② r➡♥❣✱ ❦❤✐ t❤❛② ✤ê✐ sè ✤♦↕♥ ❝❤✐❛✱ t➠♥❣ ❣✐→ trà ◆ ❝➔♥❣ ❧ỵ♥ t❤➻ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝➔♥❣ ❝❛♦✳ ❈ö t❤➸✱ ❦❤✐ t➠♥❣ ◆ tứ ỗ t tữỡ ự ợ ữ trũ ợ ❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❧♦↕✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❣✐í t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✈✐➳t ❝→❝ ❤➔♠ tr♦♥❣ ▼❆❚▲❆❇✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳✺✳ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿  −x2 u − 2xu = (1, 3) u(1) = 0, u(3) = ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐➳t ❝→❝ ❤➔♠ ▼❆❚▲❆❇ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❍➔♠ s✐♥❤ r❛ ✈➨❝tì ♣ ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❡✿ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬♣ ❡❪❂s✐♥❤❴♠❡s❤✭❛✱❜✱◆✮ ❤❂✭❜✲❛✮✴◆❀ ✸✽ ♣❂❛✿❤✿❜❀ ❡❂❬✶✿◆❀✷✿◆✰✶❪❀ ❡♥❞ ❍➔♠ t➼♥❤ ♠❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû✿ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❆✐ ❋✐❪❂♠t❴✈t♣t✭♣✱❡✱✐✮ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ①✶❂♣✭✐✶✮❀ ①✷❂♣✭✐✷✮❀ ❤✐❂①✷✲①✶❀ ❆✐❂❬✶✴✭❤✐❫✷✮ ✲✶✴✭❤✐❫✷✮❀ ✲✶✴✭❤✐❫✷✮ ✶✴✭❤✐❫✷✮❪ ✯✭✭①✷❫✸✲①✶❫✸✮✴✸✮❀ ❋✐❂❬❤✐✴✷❀❤✐✴✷❪❀ ❡♥❞ ❍➔♠ t➼♥❤ ♠❛ tr➟♥ t♦➔♥ ❝ư❝ ✈➔ ✈➨❝tì t♦➔♥ ❝ư❝✿ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬❆ ❋❪❂♠t❴✈tt❝✭♣✱❡✮ ◆❂s✐③❡✭♣✱✷✮❀ ❆❂③❡r♦s✭◆✱◆✮❀ ❋❂③❡r♦s✭◆✱✶✮❀ ❢♦r ✐❂✶✿◆✲✶ ❬❆✐ ❋✐❪❂♠t❴✈t♣t✭♣✱❡✱✐✮❀ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✐❀ ❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✐❀ ❡♥❞ ❡♥❞ ỷ ỵ t t ✉✭❛✮❂❛❧♣❤❛✱ ✉✭❜✮❂❜❡t❛ ✪❧♦❛✐✷ ✉✬✭❛✮❂❛❧♣❤❛✱ ✉✬✭❜✮❂❜❡t❛ ✪❧♦❛✐✸ ✉✬✭❛✮❂❛❧♣❤❛✱ ✉✭❜✮❂❜❡t❛ ✸✾ ✪❧♦❛✐✹ ✉✭❛✮❂❛❧♣❤❛✱ ✉✬✭❜✮❂❜❡t❛ ◆❂s✐③❡✭❆✱✶✮❀ ✐❢ ❧♦❛✐❞❦❂❂✶ ❆✭✶✱✶✿◆✮❂✵❀ ❆✭✶✱✶✮❂✶❀ ❆✭◆✱✶✿◆✮❂✵❀ ❆✭◆✱◆✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂❛❧♣❤❛❀ ❋✭◆✮❂❜❡t❛❀ ❡❧s❡✐❢ ❧♦❛✐❞❦❂❂✷ ❋✭✶✮❂❋✶✲❛❧♣❤❛❀ ❋✭◆✮❂❋✭◆✮✰❜❡t❛❀ ❡❧s❡✐❢ ❧♦❛✐❞❦❂❂✸ ❆✭✶✱✶✿◆✮❂✵❀ ❆✭◆✱◆✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂❋✶✲❛❧♣❤❛❀ ❋✭◆✮❂❜❡t❛❀ ❡❧s❡ ❆✭✶✱✶✿◆✮❂✵❀ ❆✭✶✱✶✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂❛❧♣❤❛❀ ❋✭◆✮❂❋✭◆✮✰❜❡t❛❀ ❡♥❞ ❆✶❂❆❀ ❋✶❂❋❀ ❡♥❞ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤➼♥❤ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾✿ ❛❂✶❀ ❜❂✸❀ ◆❂✷✵❀ ❬♣ ❡❪❂ s✐♥❤❴♠❡s❤✭❛✱❜✱◆✮❀ ❬❆ ❋❪❂ ♠t❴✈tt❝✭♣✱❡✮❀ ❬❆ ❋❪❂ ①❧❴❞❦❜✭❆✱❋✱✵✱✵✱✶✮❀ ✉❂❆❭❋❀ t õ t q ỗ t ✹✵ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❚✉② ❝→❝❤ ✈✐➳t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥❤÷♥❣ ❝↔ ✷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈✐➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ trü❝ t✐➳♣ ✈➔ ✈✐➳t t❤æ♥❣ q✉❛ ❤➔♠ ✤➲✉ ❝❤♦ t❛ t❤➜② ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣✳ ❱➼ ❞ư ✸✳✷✳✻✳ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿  −(x3 u ) = (1, 2) u(1) = 0, u (2) = −1 ❚❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿ u= + − x x ❙❛✉ ✤➙② t❛ ✈✐➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼❆❚▲❆❇ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ●❛✉ss✲▲❡❣❡♥❞r❡ ✶ ✤✐➸♠✿ ✪①❛② ❞✉♥❣ ❝♦ s♦ ❞✉ ❧✐❡✉ ✹✶ ❛❂✶❀ ❜❂✷❀ ◆❂✶✵❀ ✪s♦ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ❞❡✉ ❤❂✭❜✲❛✮✴◆❀ ✪❞♦ ❞❛✐ ❞♦❛♥ ❝❤✐❛ ♣❂❛✿❤✿❜❀ ✪✈❡❝t♦ t♦❛ ❞♦ ❞✐❡♠ ❝❤✐❛ ❡❂❬✶✿◆❀✷✿◆✰✶❪❀✪♠❛ tr❛♥ ♠❛ ♠♦✐ ❝♦t ❝❤✐ ❝❤✉❛ ❝❤✐ s♦ ❞✐❡♠ ❞❛✉ ✈❛ ❝✉♦✐ ✪▼❚❚❈ ❱❚❚❈ ❆❂③❡r♦s✭◆✰✶✱◆✰✶✮❀ ❋❂③❡r♦s✭◆✰✶✱✶✮❀ ❆✶❂③❡r♦s✭◆✰✶✱◆✰✶✮❀ ❋✶❂③❡r♦s✭◆✰✶✱✶✮❀ ❢♦r ✐❂✶✿◆ ✐✶❂❡✭✶✱✐✮❀ ✐✷❂❡✭✷✱✐✮❀ ①✶❂♣✭✐✶✮❀ ①✷❂♣✭✐✷✮❀ ❤✐❂①✷✲①✶❀ ✪♥❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐ ❆✐❂✭①✷❫✹✲①✶❫✹✮✯❬✶✴✭❤✐❫✷✮ ✲✶✴✭❤✐❫✷✮❀ ✲✶✴✭❤✐❫✷✮ ✶✴✭❤✐❫✷✮❪✴✹❀ ❋✐❂❬❤✐✴✷❀❤✐✴✷❪❀ ❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✐❀ ❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✐❀ ✪●❛✉ss✲▲❡❣❡♥❞r❡ ✶ ❞✐❡♠ ❆✶✐❂✭❬✶✴❤✐ ✲✶✴❤✐❀ ✲✶✴❤✐ ✶✴❤✐❪✮✯✭✭①✷✰①✶✮✴✷✮❫✸❀ ❋✶✐❂❬❤✐✴✷❀❤✐✴✷❪❀ ❆✶✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮❂❆✶✭❬✐✶ ✐✷❪✱❬✐✶ ✐✷❪✮✰❆✶✐❀ ❋✶✭❬✐✶ ✐✷❪✮❂❋✶✭❬✐✶ ✐✷❪✮✰❋✶✐❀ ❡♥❞ ✪①✉ ❧✐ ❞❦ ❜✐❡♥ ❆✭✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✭✶✱✶✮❂✶❀ ❋✭✶✮❂✵❀ ❋✭◆✰✶✮❂❋✭◆✰✶✮✲✽❀ ❆✶✭✶✱✶✿◆✰✶✮❂✵❀ ❆✶✭✶✱✶✮❂✶❀ ❋✶✭✶✮❂✵❀ ❋✶✭◆✰✶✮❂❋✶✭◆✰✶✮✲✽❀ ✪t✐♠ ♥❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐ ✉❂❆❭❋❀ ✉✶❂❆✶❭❋✶❀ ♣✶❂❛✿✵✳✵✵✶✿❜❀ ✹✷ ✪♥❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝ ✉✷❂✶✳✴♣✶✰✸✳✴♣✶✳❫✷✲✹❀ ♣❧♦t✭♣✱✉✱♣✱✉✶✱♣✶✱✉✷✮ ❧❡❣❡♥❞✭✬◆❣❤✐❡♠ ①❛♣ ①✐✬✱✬●❛✉ss✲▲❡❣❡♥❞r❡ ✶❞✐❡♠✬✱✬◆❣❤✐❡♠ ❝❤✐♥❤ ①❛❝✬✮ ❚❛ õ t q ỗ t t ứ ỗ t❤à ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ✈➨❝tì ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ●❛✉ss✲▲❡❣❡♥❞r❡ ✶ ✤✐➸♠✱ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② ❝↔ ✸ ❝→❝❤ t➼♥❤ ✤❡♠ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝❛♦✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷✱ tò② ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➸ ❝â t❤➸ t➻♠ r❛ ❝→❝❤ t➼♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ ❞➵ ❞➔♥❣ ❤ì♥✳ ✹✸ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ◗✉❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✈➲ ✏ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ✑✱ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝❤ t❤ù❝ ❧➟♣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ▼❆❚▲❆❇ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈✐➺❝ ❦➳t ❤đ♣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❣✐↔✐ ❜➜t ❦ý ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ✷ ♥➔♦✱ ❧➟♣ tr➻♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❞➵ sû ❞ư♥❣✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❝ơ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư✱ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚❤í✐ ❣✐❛♥ tỵ✐✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t✐➳♣ tư❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ s rở ự ố ợ ữỡ tr ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✳ ✹✹ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤➳ ❍♦➔♥ ✈➔ P❤↕♠ ◆❤✉✳ ❈ì sð ♣❤÷ì♥❣ tr ỵ tt t P ỵ ữớ ✈➔ P❤❛♥ ✣ù❝ ❚✉➜♥✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ❚❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣✱ ✷✵✶✻✳ ❬✸❪ ▲➯ ✣➻♥❤ ❚❤ó②✳ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❤➔ ❦✐♥❤ t➳ ✲ P❤➛♥ ✶✿ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ❑✐♥❤ ❚➳ ◗✉è❝ ❉➙♥✱ ✷✵✶✷✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✹❪ ❲✐❧❧✐❛♠ ❆✳ ❆❞❦✐♥s ❛♥❞ ▼❛r❦ ●✳ ❉❛✈✐❞s♦♥✳ ❖r❞✐♥❛r② ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ❙♣r✐♥❣❡r ❙❝✐❡♥❝❡✰❇✉s✐♥❡ss ▼❡❞✐❛ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✷✵✶✷✳ ❬✺❪ ■✈♦ ❇❛❜✉s❦❛ ❛♥❞ ❚❤❡♦❢❛♥✐s ❙tr♦✉❜♦✉❧✐s✳ ❚❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞ ❛♥❞ ■ts ❘❡❧✐❛❜✐❧✐t②✳ ❈❧❛r❡♥❞♦♥ Pr❡ss ❖①❢♦r❞✱ ✷✵✵✶✳ ❬✻❪ ❙✉s❛♥♥❡ ❇r❡♥♥❡r ❛♥❞ ▲✳ ❘✐❞❣✇❛② ❙❝♦tt✳ ❚❤❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞s✳ ❙♣r✐♥❣❡r ❙❝✐❡♥❝❡✰❇✉s✐♥❡ss ▼❡❞✐❛ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✷✵✵✷✳ ❬✼❪ ❘✐❝❤❛r❞ ▲✳ ❇✉r❞❡♥ ❛♥❞ ❏✳ ❉♦✉❣❧❛s ❋❛✐r❡s✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ■♥t❡r✲ ♥❛t✐♦♥❛❧ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❇r♦♦❦s✴❈♦❧❡ ❈❡♥❣❛❣❡ ▲❡❛r♥✐♥❣✱ ✷✵✶✶✳ ❬✽❪ P❤✐❧✐♣♣❡ ● ❈✐❛r❧❡t✳ ❚❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞ ❋♦r ❊❧❧✐♣t✐❝ Pr♦❜❧❡♠s✱ ✈♦❧✉♠❡ ✹✵✳ ❙✐❛♠✱ ✷✵✵✷✳ ❬✾❪ ❊❞✇❛r❞ ▲✳ ■♥❝❡✳ ❖r❞✐♥❛r② ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ❉♦✈❡r P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ■♥❝✱ ✶✾✺✻✳ ❬✶✵❪ ❨♦✉♥❣ ❲ ❑✇♦♥ ❛♥❞ ❍②♦❝❤♦♦♥❣ ❇❛♥❣✳ ❯s✐♥❣ ▼❆❚▲❆❇✳ ❈❘❈ ♣r❡ss✱ ✷✵✵✵✳ ❚❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞ ✹✺ ❬✶✶❪ P❡t❡r ▼♦♥❦✳ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ❖①❢♦r❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✷✵✵✸✳ ❬✶✷❪ ❏✉♥✉t❤✉❧❛ ◆❛r❛s✐♠❤❛ ❘❡❞❞②✳ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❚♦ ❚❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞✱ ✈♦❧✉♠❡ ✷✳ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✾✸✳ ... −1/hi 1/hi 1/h2i −1/h2i −1/h2i 1/h2i xi + x1+1 1/hi −1/hi −1/hi 1/hi     −1 0 0     ⇒ A1 = ? ?2 0 , A2 = 0 ? ?2? ?? 0 0 −3   −1   ⇒ A = A1 + A2 = ? ?2 ? ?2? ?? −3 hi /2 hi /2 −1/hi 1/hi + ❚÷ì♥❣... (x) + C2 (x)u2 (x) ✶✵ ❙✉② r❛✱ t❛ ❝â✿ ur = C1 (x)u1 (x) + C1 (x)u1 (x) + C2 (x)u2 (x) + C2 (x)u2 (x), ur = C1 (x)u1 (x) + C1 (x)u1 (x) + C1 (x)u1 (x) + C1 (x)u1 (x) + C2 (x)u2 (x) + C2 (x)u2 (x)... −1 −1   0 −1       1 /2 0       1 /2? ?? 1 /2? ??        F =   , F = 1 /2? ?? , F = 1 /2? ??       0 1 /2   1 /2   1 /2? ??  ⇒F = 1 /2? ??   1 /2 ❚❛ ❝❤✐❛   0    0  ,

Ngày đăng: 08/05/2021, 14:22

Mục lục

  • MỤC LỤC

  • LỜI NÓI ĐẦU

  • MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

    • Một số kết quả quan trọng từ giải tích hàm

    • Các không gian hàm cơ bản

      • Các không gian hàm cổ điển

      • Một số không gian Sobolev cơ bản

      • TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

        • Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

          • Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

          • Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

          • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

            • Phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng thuần nhất

            • Phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất

            • Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

              • Nghiệm yếu của phương trình vi phân

              • Không gian các hàm mũ

              • Ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn

              • Ma trận phần tử và véctơ phần tử

              • Tính gần đúng ma trận phần tử và véctơ phần tử

              • Tốc độ hội tụ phần tử hữu hạn

              • LẬP TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

                • Tổng quan về lập trình phần tử hữu hạn

                • Chương trình MATLAB cho các ví dụ số

                • KẾT LUẬN

                • TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan