Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng không gian W l,p (Ω) 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young 1.4.2 Bất đẳng thức Holder 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Fredholm phương trình tuyến tính 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp 1.5.3 Định lý Fredholm không gian Banach 1.5.4 Định lý Fredholm không gian Hilbert Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic tốn Dirichlet 2.1.2 Nghiệm suy rộng 2.2 Bất đẳng thức thứ Sự tồn nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức thứ 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 2.3 Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 5 8 9 9 10 11 11 11 12 12 12 12 12 13 14 14 14 15 15 15 25 28 MỤC LỤC 2.3.1 2.4 2.5 Đánh giá max |u| 28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω 35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) 40 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) 45 Tính giải tốn Dirichlet không gian C l,α (Ω) 47 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta nghiên cứu tính giải tốn Dirichlet Đối với phương trình elliptic dạng bảo tồn, người ta đưa nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω) chứng minh tồn nghiệm toán Đối với phương trình elliptic dạng khơng bảo tồn, người ta đưa vào lớp nghiệm cổ điển không gian Holder C 2,β (Ω) chứng minh tồn tính trơn nghiệm Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, Holder, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach, Hilbert Chương - nội dung Luận văn, trình bày tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với hệ phương trình dạng bảo tồn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu chứng minh tính giải Fredholm tốn Dirichlet khơng gian Đối với lớp hệ phương trình dạng khơng bảo tồn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm tốn, phát biểu tính giải Fredholm tốn Dirichlet khơng gian Holder C 2,β (Ω) Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin, thầy tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1 Lp (Ω) không gian Banach gồm hàm đo u xác định Ω p - khả tích cho |u(x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa   p1 |u(x)|p dx , ||u||Lp (Ω) =  Ω |u(x)| trị tuyệt đối mơ đun u(x) Khi p = +∞, L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω |u(x)|2 dx (u, u) = ||u||2 = Ω Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω)  f gdx ≤ Ω  12 |f |2 dx  |f g|dx ≤  Ω  21  Ω |g|2 dx Ω Chương Một số kiến thức chuẩn bị (f, g hàm bình phương khả tích) Nếu a ∈ L∞ (Ω) f, g ∈ L2 (Ω) af gdx ≤ ||a||∞ Ω Ω 1.1.2 |f g| dx Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.2 Với ∀l ∈ N; ≤ p < +∞, ta có W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l}, α = (α1 , α2 , , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ; Dα u = D1α1 D2α2 Dnαn ; Dj = Khi đó, chuẩn u(x) ∈ ∂ ∂xj W l,p (Ω) định nghĩa  p1  |Dα u|p dx ||u||W l,p (Ω) =  Ω |α|≤l Một chuẩn tương đương ||u||pW l,p (Ω) = |Dα u|pLp (Ω) |α|≤l Nhận xét 1.2 Giả sử Ω ⊂ Rn ; l ∈ N ; ≤ p < +∞ W l,p (Ω) không gian Banach Khi l = 1, p = W 1,2 (Ω) = u ∈ L2 (Ω); D1 u ∈ L2 (Ω) Không gian W 1,2 (Ω) trang bị tích vơ hướng (u, v) = (u, v)L2 (Ω) + 1≤l≤n ∂u ∂v ; ∂xl ∂xl , L2 (Ω) chuẩn tương ứng ||u||2W 1,2 (Ω) = |∇u(x)|2 + u(x)2 dx Ω Khi W 1,2 (Ω) không gian Hilbert Nhận xét 1.3 Nếu l < m W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω) Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) a) Không gian C0∞ (Ω) C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω} b) Không gian W0l,p (Ω) Định nghĩa 1.3 Không gian W0l,p (Ω) với ≤ p < +∞ bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn không gian W l,p (Ω) Kí hiệu W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω) Khi đó, W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1} Nhận xét 1.4 i) Đối với hàm u(x) ∈ W01,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p (Ω) ta có uxi vdx = − uvxi dx, Ω Ω p + p = ii) Hai chuẩn tương đương W 1,p (Ω) ||u||pW 1,p (Ω) = ||Dα u||pLp (Ω) , |α|≤l ||Dα u||Lp (Ω) ||u||W 1,p (Ω) = |α|≤l Hai chuẩn tương đương, tồn c1 , c2 ∈ R∗+ cho c1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c2 ||u|| iii) Hai chuẩn sau tương đương W0l,p (Ω) n ||u|| = ||u||Lp (Ω) + ||Dj u||Lp (Ω) , j=1 n |||u||| = ||Dj u||Lp (Ω) , j=1 Dj u = Dxj u Chương Một số kiến thức chuẩn bị iv) Khi l = 1, p = Chuẩn W01,2 (Ω) xác định n ||u||2W 1,2 (Ω) = ||u||2L2 (Ω) ||uxj ||2L2 (Ω) + j=1 Chuẩn tương đương n |||u|||2W 1,2 (Ω) = ||u||2W 1,2 (Ω) aij (x)uxi uxj dx, = Ω i,j=1 n aij = aji , c1 |ξ|2 ≤ aij (x)ξi ξj ≤ c2 |ξ|2 , ∀ξ ∈ Rn i,j=1 1.2 Không gian Holder Cho Ω tập mở Rn Ta định nghĩa số không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) Định nghĩa 1.4 C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục Ω}, C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l}, với l ∈ N Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn Dα u |u|l,Ω = sup Ω 1.2.2 |α|≤l Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) Định nghĩa 1.5 C 0,α (Ω) không gian Banach hàm u(x) liên tục Ω với |u|(α),Ω xác định C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C (Ω); |u|(α),Ω = sup x,y∈Ω x=y |u(x) − u(y)| < +∞}, |x − y|α với < α ≤ Chuẩn C 0,α (Ω) định nghĩa |u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω Ω Chú ý 1.1 Hàm u(x) ∈ C 0,α (Ω) u(x) ∈ C 0,α (Ω ) với ∀Ω ⊂ Ω Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) Định nghĩa 1.6 C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l} Chuẩn C l,α (Ω) |D(l) u|(α),Ω |u|l,α,Ω = |u|l,Ω + (l) 1.3 1.3.1 Các định lý nhúng Định nghĩa phép nhúng Định nghĩa 1.7 (Phép nhúng) Cho B1 , B2 hai không gian Banach Ta nói B1 nhúng vào B2 kí hiệu B1 → B2 , với u ∈ B1 u ∈ B2 Định nghĩa 1.8 (Phép nhúng liên tục) Một không gian Banach B1 gọi nhúng liên tục không gian Banach B2 , ký hiệu B1 → B2 , B1 nhúng vào B2 ||u||B2 ≤ c||u||B1 , với c số không phụ thuộc vào u ∈ B1 Định nghĩa 1.9 (Phép nhúng hồn tồn liên tục) Một khơng gian Banach B1 gọi nhúng hoàn toàn liên tục không gian Banach B2 , tập bị chặn B1 tập tiền compact B2 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) Định lý 1.1 Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p < q < +∞ Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) ánh xạ nhúng j : Lq (Ω) → Lp (Ω) liên tục Chứng minh Giả sử u ∈ Lq (Ω) Ta cần chứng minh u ∈ Lp (Ω) hay |u|p dx < +∞ Ω Ta có ||u||pLp (Ω) = |u|p dx = Ω 1.|u|p dx Ω Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic bất đẳng thức (2.69) trở thành 1 1 − c1 c2 ρ2( n − q ) |∇v|2 ζ dx ≤ c1 − c1 c2 ρ2( n − q ) Ak,ρ (v − k)2 |∇ζ|2 dx+ Ak,ρ +c1 k mes1− q Ak,ρ Suy ra, 1 |∇v|2 ζ dx ≤ c1 − c1 c2 ρ2( n − q ) (v − k)2 |∇ζ|2 dx + c1 k mes1− q Ak,ρ Ak,ρ Ak,ρ Khi đó,   (v − k)2 |∇ζ|2 dx + k mes1− q Ak,ρ  |∇v|2 ζ dx ≤ γ   Ak,ρ  (2.71) Ak,ρ Trong bất đẳng thức này, k ≥ 1, số ρ thỏa mãn bất đẳng thức (2.70), tập Kρ ⊂ Ω γ số xác định n, N, q(q > n), γ, mu (2.2), (2.4) (2.58) với q >n Theo Định lí 5.3, chương 2, [1], từ bất đẳng thức (2.71) ta đánh giá max |u(x)| miền Ω bị chặn số phụ thuộc vào Ω n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.58), ||u||L2 (Ω) Bước Đánh giá max |u(x)| với u(x) ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng toán Dirichlet Ω Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k], 0}, v = |u|2 , k > Chứng minh tương tự bước ta thu kết  |∇v|2 dx ≤ γ  Ak  (v − k)2 dx + k mes1− q Ak  , (2.72) Ak với k>1 Ở đây, Ak = {x ∈ Ω; v(x) > k} Theo Định lí 5.1, chương 2, [1], từ (2.72) ta đánh giá max |u(x)| bị chặn Ω số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.58), ||u||L2 (Ω) 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω Ta có định lý sau 35 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.4 Giả sử điều kiện (2.2), (2.4), (2.58) thỏa mãn hệ phương trình (2.1) Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) đánh giá không gian C 0,α (Ω) với α > Ở đây, |u|α,Ω đánh giá số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.58), M = ess max |u|, khoảng cách từ Ω đến S Ω Chứng minh Muốn đánh giá |u|α,Ω , ta cần nghiệm suy rộng ¯ ) u(x) ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) thuộc lớp hàm B(Ω, Giả sử u(x) ∈ W 1,2 (Ω) M = max |u| < ∞ Ω Để đơn giản, giả sử ≤ ul (x) ≤ với l = 1, , N Ta thay ul (x) hệ (2.1) hàm ul = ul + M 2M Đặt N ϕl+ (u) l (ur )2 , = 10N u + r=1 N ϕl− (u) l (ur )2 , l = 1, , N = 10N (1 − u ) + r=1 Giả sử φ(x) hàm bị chặn W01,2 (Ω) ei vecto đơn vị có độ dài l Với η = 5N φ(x)ei , đồng thức (2.6) trở thành (aij uxj + Ai u − fi )(5N φxi ei ) − (Bi uxi + Bu − f )(5N φ(x)ei ) dx = Ω Với η = uφ(x), đẳng thức (2.6) trở thành (aij uxj + Ai u − fi )(uxi φ + uφxi ) − (Bi uxi + Bu − f )uφ dx = Ω Cộng vế với vế hai đẳng thức ta aij uxj 5N φxi ei + (Ai u − fi )5N φxi ei − (Bi uxi + Bu − f )(uφ + 5N φei )+ Ω +aij uxj uxi φ + (Ai u − fi )(uxi φ + uφxi ) dx = [aij uxj uxi φ + 5aij uxj N φxi ei + (Ai u − fi )(5N φxi ei + uxi φ + uφxi )− ⇔ Ω 36 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic −(Bi uxi + Bu − f )(uφ + 5N φei )]dx = Đặt w = 10uN ei Ta rút ra, wj = 10N uxj ei Khi đó, [aij uxj uxi φ + aij wj φxi + (Ai u − fi )(5N φxi ei + uxi φ + uφxi )− Ω −(Bi uxi + Bu − f )(uφ + 5N φei )]dx = 0, với φ(x) ∈ W01,2 (Ω) Đặt φ = max{2(w − k)ζ ; 0}, với k số ζ(x) hàm trơn có giá compact với giá trị thuộc [0; 1] hình cầu Kρ ⊂ Ω Đồng thời áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho đẳng thức ta thu kết 2|∇u|2 (w − k)ζ + |∇w|2 ζ dx ≤ ε λ Ω |∇u|2 (w − k)ξ + |∇w|2 ξ dx+ Ak,ρ (w − k)2 |∇ζ|2 + (D2 + E)(w2 + 1)ζ dx, +cε (2.73) Ak,ρ Đặt w = |u|2 , biến đổi (2.73) ta thu 2|∇u|2 (w − k)ζ + |∇w|2 ζ dx ≤ ε λ Ω |∇u|2 (w − k)ζ + |∇w|2 ζ dx+ Ak,ρ (w − k)2 |∇ζ|2 + (D2 + E)(u4 + 1)ζ dx, +cε (2.74) Ak,ρ đó, Ak,ρ = {x ∈ Kρ , w(x) > k}, i im |aim i (x)| + |fi (x)| + |bi (x)| , D(x) = i,i,m |bim i (x)| + E(x) = i,m |f i (x)| i Theo điều kiện (2.4) (2.5), ta thấy ||D(x)||Lq (Ω) ||E(x)||L q (Ω) bị chặn Khi đó, (D2 + E)(u4 + 1)ζ dx ≤ c Ak,ρ [(u2 ζ)2 + ζ ]dx = c Ak,ρ Ak,ρ 37 (u2 ζ)2 dx + c Ak,ρ ζ dx Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic  q−2 q  ≤ c  2q 2q (u2 ζ) q−2 dx + c  ζ q−2 dx  Ak,ρ  Ak,ρ   ≤ 2c  |ζ(u2 − k)| q−2 dx q−2 q 2q   q−2 q  + cmes1− q Ak,ρ +  Ak,ρ +2k cmes1− q Ak,ρ  q−2 2q  2q + c(2k + 1)mes1− q Ak,ρ |ζ(u2 − k)| q−2 dx ≤ 2c    Ak,ρ ≤ 2c||ζ(u2 − k)||2L 2q (Ak,ρ ) q−2 + c(2k + 1)mes1− q Ak,ρ (2.75) Đặt ε = λ2 , kết hợp với bất đẳng thức (2.75) , bất đẳng thức (2.74) trở thành 2|∇u|2 (w − k)ζ + |∇w|2 ζ dx ≤ ε 2ε Ak,ρ |∇w|2 (w − k)ζ + |∇u|2 ζ dx+ Ak,ρ (w − k)2 |∇ζ|2 + 2c||ζ(w − k)||2L +cε 2q q−2 (Ak,ρ ) + c(2k + 1)mes1− q Ak,ρ dx Ak,ρ 3|∇u|2 (w − k)ζ + |∇w|2 ζ dx ≤ cε ⇔ε Ak,ρ (w−k)2 |∇ζ|2 +2c||ξ(w−k)||2L 2q (Ak,ρ ) q−2 Ak,ρ +c(2k + 1)mes1− q Ak,ρ dx Suy |∇w|2 ζ dx ≤ Ak,ρ  ≤ c1    (w − k)2 |∇ζ|2 dx + ||ζ(w − k)||2L 2q q−2 (Ak,ρ ) + k mes1− q Ak,ρ  , Ak,ρ với c1 số Áp dụng bất đẳng thức ||u||L 2q q−2 (Ω) ≤ c(q)(mes Ω) n − q ||u||L2 (Ω) , 38  (2.76) + Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic ||u||2L 1 ≤ c(q)(mes Ω)2( n − q ) ||u||2L2 (Ω) 2q q−2 (Ω) Với u = ζ(w − k) ||(w − k)ζ||2L 2q q−2 (Ak,ρ ) ≤ c(q)(mes Ak,ρ )2( n − q ) + |∇w|2 ζ + (w − k)|∇ζ|2 dx Ak,ρ hay ||(w − k)ζ||2L 2q q−2 (Ak,ρ ) ≤ c2 ρ2( n − q ) |∇w|2 ζ + (w − k)|∇ζ|2 (2.77) Ak,ρ Từ (2.77), bất đẳng thức (2.76) trở thành Ak,ρ (w − k)2 |∇ζ|2 dx + c1 c2 ρ2( n − q ) |∇w|2 ξ dx ≤ c1 Ak,ρ |∇w|2 ζ dx+ Ak,ρ c1 c2 ρ2( n − q ) (w − k)2 |∇ζ|2 + c1 k mes1− q Ak,ρ (2.78) Ak,ρ Với giá trị ρ thỏa mãn 1 c1 c2 ρ2( n − q ) ≤ , (2.79) bất đẳng thức (2.78) có dạng 1 − c1 c2 ρ2( n − q ) |∇w|2 ζ dx ≤ Ak,ρ 1 ≤ c1 − c1 c2 ρ2( n − q ) (w − k)2 |∇ζ|2 dx + c1 k mes1− q Ak,ρ Ak,ρ Suy ra, 1 |∇w|2 ζ dx ≤ c1 − c1 c2 ρ2( n − q ) Ak,ρ (w − k)2 |∇ζ|2 dx + c1 k mes1− q Ak,ρ Ak,ρ Khi đó, ta thu bất đẳng thức  |∇w|2 ζ dx ≤ γ   Ak,ρ  (w − k)2 |∇ζ|2 dx + k mes1− q Ak,ρ  ,  (2.80) Ak,ρ l , l = 1, , N, k cho K ⊂ Ω.ở đây, γ số phụ thuộc với w = w+ ρ vào n, q, λ, µ (2.2), (2.4), (2.58) M 39 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic l ,l = Chứng minh tương tự, ta thu bất đẳng thức (2.70) w = w− 1, , N Từ đây, ta thấy u(x) thuộc lớp hàm q B2N (Ω, M1 , δ1 , δ2 , δ3 , γ, ∞, ), mà đưa vào [1] Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh giá |u|α,Ω với Ω ⊂ Ω số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.58), phụ thuộc vào M max |u| khoảng cách từ Ω tới S Vậy, Ω định lí chứng minh xong 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) Để đánh giá |u|1,α,Ω Ω ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai tích phân n u2xi xj dx |∇u| + (1 + |∇u| ) i,j=1 Ω i hữu hạn Giả sử hệ số aij , ami i , fi hàm khả vi thỏa mãn bất đẳng thức ∂f i ∂aij ∂aim , i , i ∂xk ∂xk ∂xk ≤ µ, q > n (2.81) Lq (Ω) Ta giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn im i i aim i , bi , fi , f Lq (Ω) ≤ µ, q > n (2.82) Lấy vi phân hệ (2.1) theo xk viết dạng ∂ ik;mj mj aij (x)uik u + fiik = xj + ∂xi (2.83) Ở đây, im k aik;mj = δik bim j + δj + i fiik = δik (f i + bim um ) + ∂aij m δ , ∂xk i ∂fii ∂aim + i um , ∂xk ∂xk với uik = uixk Các phương trình (2.83), l = 1, , N k = 1, , n, có cấu tạo giống hệ (2.1) với hàm uik Ta thấy hệ số aij (x), aik;mj umj (x) fiik (x) thỏa mãn i giả thiết Định lý 2.3 2.4 Do đó, với nghiệm uik thỏa mãn tính chất Định lý 2.3 2.4 Ta xét định lý sau 40 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.5 Giả sử điều kiện (2.2), (2.82) (2.83) thỏa mãn Cho u(x) ∈ W 2,2 (Ω) nghiệm suy rộng hệ (2.1) với tích phân sau n u2xi xj dx, |∇u| + (1 + |∇u| ) i,j=1 Ω hữu hạn Khi đó, |u|l,α,Ω với α > 0, Ω ⊂ Ω bất kì, bị chặn số phụ thuộc vào n, N, M, q, λ, µ (2.2), (2.82) (2.83), phụ thuộc vào đại lượng |∇u|4 dx, Ω theo khoảng cách từ Ω đến S Chứng minh Ta cần tìm đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) ||∇u||L4 (Ω) , giả thiết điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn hệ số hệ (2.1) bị chặn Khi  ∂aij im im   ≤ µ, q > n,  ∂xk ; ; bi  Lq (Ω)  im ∂ai im ≤ µ, (2.84) bi ; ∂xi L q (Ω)    ∂fi ≤ µ, q = max(q, 4).  i ∂xi , f L2 (Ω) Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên u|S = (2.85) Bước Đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) Ta coi hệ (2.1) tập hợp phương trình có dạng ∂ aij (x)ukxj = F l (x), l = 1, , N, ∂xi (2.86) đây, F (x) = − ∂ (Ai u − fi ) − Bi uxi − Bu + f, ∂xi F = (F , , F N ) Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], phương trình (2.86), hàm ul , l = 1, , N khả vi liên tục ||ul ||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||Lul ||2L2 (Ω) + ||ul ||2L2 (Ω) 41 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Lấy tổng tất bất đẳng thức theo l = 1, , N ta có ||u||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||u||2L2 (Ω) + ||F ||2L2 (Ω) , (2.87) với c số phụ thuộc vào hàm cong trơn mảnh S, phụ thuộc vào số λ, µ (2.2) đại lượng ∂aij ∂xk , Lq (Ω) q > n Muốn đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) , trước hết ta đánh giá ||F ||L2 (Ω) Ta có ||F ||L2 (Ω) = − ∂ ∂fi Ai u − Bi uxi − Bu + +f ∂xi ∂xi n ∂ ≤ − Ai u − Bi uxi − Bu + ∂xi ≤ i=1 ∂fi ∂xi ∂aim im im i u + aim i uxi + bi uxi + b u + ∂xi ∂aim i + bim ∂xi ≤ ∂aim i + bim ∂xi ≤  ∂aim i ≤ ∂xi Ω n + i=1 n i=1 ∂fi ∂xi n u+ aim i + bim i uxi xi + i=1 + ||f || ∂fi ∂xi + ||f || n u + + bim i uxi L2 (Ω) + L2 (Ω) + bim aim i i=1  21 im aim uxi i + bi u dx +  + ||f || 42 ∂fi ∂xi  21  Ω ∂fi ∂xi + ||f || dx + + ||f || Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Theo bất đẳng thức Holder ∂aim i + bim ∂xi 2 ∂aim i + bim ∂xi u dx = u2 dx Ω Ω  ∂aim i + bim ∂xi ≤ q |u|2 q−2 dx dx  Ω Ω ∂aim i ≤ 2 q−2 2q  2q  2q ∂xi + bim |u|, L q (Ω) với ||u||L |u| = 2q q−2 n ≤ 4, (Ω) max |u| n = 2, Ω Theo điều kiện (2.84) ∂aim i + bim ∂xi ≤ 2µ L q (Ω) Suy ∂aim | i + bim ∂xi u dx ≤ 2µ|u|2 , Ω với ||u||L |u| = 2q q−2 n ≤ 4, (Ω) max |u| Ω n = 2, Chứng minh tương tự ta im uxi aim i + bi dx ≤ 2µ||∇u||2L 2q (Ω) q−2 Ω Khi n ||F ||L2 (Ω) ≤ c ||∇u||L 2q (Ω) q−2 + |u| + i=1 ∂fi ∂xi + ||f ||L2 (Ω) , L2 (Ω) với ||u||L |u| = 2q q−2 (Ω) max |u| Ω 43 n ≤ 4, n = 2, (2.88) Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic c số phụ thuộc vào µ q (2.84) Mặt khác, với u ∈ W02,2 (Ω), ta có ||∇u||L 2q (Ω) q−2 + |u| ≤ ε||u||W22 (Ω) + cε ||u||L2 (Ω) , với ε đủ nhỏ cε số phụ thuộc vào ε Ω Từ (2.85), (2.86), (2.87) rút  n ||u||W22 (Ω) ≤ c ||u||L2 (Ω) + i=1 ∂fi ∂xi (2.89)  + ||f ||L2 (Ω)  , (2.90) L2 (Ω) với c số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ (2.2) (2.72) S Bước Đánh giá |∇u|4 dx Ω Theo (2.86) ta có ∂ aij (x)ulxj = F l (x) ∂xi Nhân hai vế phương trình với −ul |∇u|2 ta ∂ aij (x)ulxj ∂xi −ul |∇u|2 = F l (x) −ul |∇u|2 Lấy tổng hai vế với l = 1, , n ta − ∂ aij (x)uxj u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2 ∂xi (2.91) Lấy tích phân hai vế (2.91) Ω ta ∂ aij (x)uxj (u|∇u|2 )dx = − ∂xi − Ω F (x)u|∇u|2 dx (2.92) Ω Tích phân phần vế trái đẳng thức (2.92), ta có aij uxj uxi |∇u|2 + 2aij uuxj (uxk uxk xl ) dx = − Ω F (x)u|∇u|2 dx Ω Theo điều kiện (2.2), từ (2.93) ta rút  ε|∇u|4 + c |u|2 |∇u|4 dx ≤ λ Ω  ε Ω k,l 44 c u2xk xl + ε|∇u|4 + |u|2 |F |2  dx, ε (2.93) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với ε > Đặt ε = λ4 ,  Ω c u2xk xl + ε|∇u|4 + |u|2 |F |2  dx ε ε|∇u|4 + c |u|2 |∇u|4 dx ≤ 4ε  ε k,l Ω   c |u|2 |∇u|4 dx ≤ ⇔ 2ε Ω  ε k,l Ω c u2xk xl + |u|2 |F |2  dx ε Suy  |∇u|4 dx ≤ Ω c 2ε2   |u|2  u2xk xl + |F |2  dx k,l Ω  ≤ c (max |u|)2 2ε2 Ω  u2xk xl + |F |2  dx  k,l Ω u2xk xl < c < ∞ nên Vì max |u| = M ; Ω k,l  |∇u|4 dx ≤ cM ||u||2L2 (Ω) + i=1 Ω  n ∂fi ∂xi + ||f ||2L2 (Ω)  , (2.94) L2 (Ω) với c số phụ thuộc vào n, N, λ, µ, q (2.2), (2.84) S 2.4 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng khơng bảo tồn Lu ≡ aij (x)uxi xj + Bj uxj + B(x)u = f (x), (2.95) u, f hàm vecto N phần tử; aij (x) hàm vô hướng aij (x)uxi xj = aij (x).E.uxi xj ; Bj (x), B(x) ma trận vuông cấp N Ta giả thiết hệ số aij (x) hệ (2.95) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) n n ε2i λ ≤ aij (x)εi εj ≤ µ ; λ, µ = const > 0, i,j=1 i,j=1 45 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với x ∈ Ω; εi ∈ Rn Đối với hệ (2.95) ta giả thiết thêm điều kiện ∂aij km , aij , bkm i ,b ∂xi ≤ µ (2.96) l−2,β,Ω Tính giải tốn Dirichlet khơng gian Holder C l,α (Ω) với l ≥ hệ (2.95), chứng minh tương tự phần phương trình Ta đưa đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω hệ (2.95) Định lý 2.6 Giả sử hệ (2.95) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) Khi đó, với ¯ ≥ ta có đánh giá u ∈ C l,α (Ω), |u|l,β,Ω ≤ c(l) |fi |l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| , l ≥ 2, Ω (2.97) đó, c(l) xác định l λ (2.2) hệ số hệ (2.95), giá trị µ bất đẳng thức (2.96) xác định biên S không gian C l,β Chứng minh Do điều kiện (2.96), ta viết hệ (2.95) dạng bảo toàn ∂ ∂ (aij ukxj ) = f k − B(x)uk − Bi (x)ukxi + aij (x)uk , ∂xi ∂xi hay ∂ (aij ukxj ) = f˜k , k = 1, , N, ∂xi (2.98) Với uk ∈ C l,α (Ω) phương trình (2.98) ta có |uk |l,β,Ω ≤ c(l) |f˜k |l−2,β,Ω + max |uk | + |uk |l,β,S Ω (2.99) Nếu ta mở rộng biểu thức |f˜k |l−2,β,Ω bất đẳng thức việc áp dụng tính chất chuẩn C l,β |v + w|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω + |w|l,β,Ω , |vw|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω |w|l,β,Ω , (2.100) kết hợp với giả thiết (2.96) ta thu |uk |l,β,Ω ≤ N N i |ui |l,β,S + max |uk | |u |l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + ≤ c (l) i=1 i=1 46 Ω (2.101) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Mặt khác, với u ∈ C l,β ta có bất đẳng thức |u|l−1,β,Ω ≤ ε|u|l,β,Ω + c(ε, l) max |u|, Ω (2.102) với ε số dương c(ε, l) → ∞ ε → ∞, u ∈ C l,β (Ω) Thế (2.102) vào (2.101) ta |uk |l,β,Ω ≤ c (l) N ε|ui |l−1,β,Ω + c(ε, l) max |ui | + Ω i=1 N |ui |l,β,S + max |uk | +|f |l−2,β,Ω + Ω i=1 Lấy tổng kết với k = 1, , N chọn ε đủ nhỏ, ta thu |u|l,β,Ω ≤ c (l) |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| Ω 2.5 Tính giải tốn Dirichlet khơng gian C l,α (Ω) Trong phần này, ta giả sử hệ số hệ (2.95) thỏa mãn bất đẳng thức (2.96) Định lý 2.7 Giả sử biên S ∈ C l,β , l ≥ 2, thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.96) Khi ta có hai khả sau i) Hoặc hệ phương trình (2.95) với f ≡ điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm khơng tầm thường u = ii) Hoặc hệ phương trình (2.95) với f ≡ điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm nghiệm tầm thường u ≡ Khi với f ∈ C l−2,β (Ω), ϕ ∈ C l,β (S), tồn nghiệm u(x) ∈ C l,α (Ω) toán (2.1), (2.3) Định lý 2.8 Tồn số đếm giá trị λ = λ1 , λ2 , mặt phẳng phức λ, cho toán aij uxi xj + Bi uxj + Bu = λu, u|S = có nghiệm khác không C l,β (Ω) Tập hợp giá trị {λk } tạo thành phổ toán (2.1), (2.3) Mỗi λk có bội hữu hạn |λk | → ∞ k → ∞ 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau - Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach khơng gian Hilbert - Khái niệm nghiệm suy rộng hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo tồn, tính giải Fredholm tốn Dirichlet tính chất định tính độ trơn - Đối với lớp hệ phương trình khơng bảo tồn, trình bày lớp nghiệm cổ điển không gian Holder, đánh giá tiên nghiệm, phát biểu chứng minh định lý tính giải Fredholm tốn Dirichlet khơng gian Holder 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California [2] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer 49 ... tồn tính trơn nghiệm Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới... Fredholm tính giải phương trình tuyến tính khơng gian Banach, Hilbert Chương - nội dung Luận văn, trình bày tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với hệ phương trình dạng... để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Chương trình