050 đề HSG toán 9 hà nam 2013 2014

 B   4  4  4  2 3      =  888     3.222     666 68  n n 4     n1  0,25 Ta có điều phảI chứng minh A O H d M C I D B Câu (4,0 đ) a) MA, MB iếp tuyến (O) Q  MAO  MBO  900 I trung điểm CD  OI  CD  MIO  900  A, I, B thuộc đường tròn đường kính MO  Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB  MO đường trung trực AB  MO  AB  MH.MO = MB (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) sđ BC  MBC MDB( g.g ) MB MD    MC.MD  MB (2) MC MB 0,25 0,25 0,25 0,25 MBC  MBD  0,25 Từ (1) (2)  MH.MO = MC.MD MC MO   MCH  MH MD MOD(c.g.c) 0,25  MHC  MDO  tứ giác CHOD nội tiếp  H thuộc đường tròn ngoại tiếp  COD 0,25 c) Gọi Q giao điểm AB OI Hai tam giác vng MIO QHO có IOH chung 0,25  MIO QHO MO OQ  OI OH (R bán kính (O) khơng đổi)  MO.OH OA2 R  OQ    OI OI OI O, I cố định  độ dài OI không đổi  lại có Q thuộc tia OI cố định  Q điểm cố định  đpcm 1800  COD d) AHC  90  MHC  90  ODC  90  ( COD cân O) 1 = 1800  COD  3600  sdCBCB  sdCAD 2 = CBD (3) 0  CAH  CDB (4) (hai góc nội tiếp chắn cung BC) Từ (3) (4)  AHC DBC( g.g ) HA BD (5)   HC BC MBC MDB( g.g ) (chứng minh trên) MD MB BD    MB MC BC MD MB MD  BD      MB MC MC  BC  MD HA2  Từ (5) (6)  MB HC 0,25 (6) 0,25 a  b c Chứng minh tương tự 0,25 0,25 Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c) Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc  2a bc Từ a2 + bc + a(b + c)  2a bc +a(b + c) = a(b + c + bc ) = a( Câu b c) (1,0 đ) Vậy a a 0,  a  a  2013a  bc 0,25   a  a a b c   a (1) a b c 0,25 0,25 0,25 b b c c (2) (3)   b  2013b  ca a b c c  2013c  ba a b c Cộng vế (1); (2); (3) ta a b c a b c + +  1 a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab a b c a  bc  b  ca Dờu “=” xảy    a  b  c  671 c  ab  a  b  c  2013  ** HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU 3,5 MƠN TỐN CHUYÊN HÀ NAM A  4.111  4(102 n 1  102 n 2   1) Câu 3: Từ giả thiết ta có 2n B  2.888  16.111  16(10n 1  10n 2   1) n n Từ suy D=A+2B+4= 4(10  10   1)  16(10n1  10n2   1) +4 9D = 4(10 1)(102n1  102n2   1)  16(10 1)(10n1  10n2   1)  36 n 1 n2 4(102 n  1)  16(10n  1)  36 9D=  4(102 n  4.10n  4)   10n      Suy đpcm Câu 5: Với gt cho ta có: a a  a  2013a  bc a  (a  b  c )a  bc  a(a  (a  b)(a  c)) a  2 a  (a  b)(a  c) a  a  ab  ac  bc  a(2 (a  b)(a  c)  2a) a(a  b  a  c  2a ) ab  ac   2(ab  ac  bc) 2(ab  ac  bc) 2(ab  ac  bc) (theo BĐT cosi ab  a+b dấu = xảy a=b Từ suy VT  ab  ac bc  ba cb  ac =1 (ĐPCM)   ab  ac  bc ab  ac  bc ab  ac  bc Dấu đẳng thức xảy a=b=c= 2013:3=671 0,25