Hình học 9 word chi tiết CHUYÊN đề 3 góc và ĐƯỜNG TRÒN

HH9-CHUN ĐỀ 3: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN KIẾN THỨC CƠ BẢN · ABE (O ) A Lưu ý 1-Góc có đỉnh nằm đường tròn cạnh cắt đường trịn gọi góc nội tiếp (Hình) Trong trường hợp góc nội tiếp có số 900 đo khơng vượt q số đo chúng nửa số đo góc tâm, chắn cung Các góc nội tiếp có số đo nửa số đo cung bị chắn Vì thế, góc chắn cung (hoặc chắn cung nhau) chúng nhau, góc nội tiếp cung bị chắn Trên hình vẽ ta có: ¼ · · · ABE = ADE = ADE = sđAE Lưu ý 2-Cho đường tròn (O ) dây cung AB Từ điểm A ta kẻ tiếp tuyến · BAx Ax với đường trịn, gọi góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung AB (Hình) Cũng góc nội tiếp, số đo góc tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn : · · sđBAx = sđAmB 1 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Chú ý: Việc nắm khái niệm, định lý, hệ góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung giúp so sánh số đo góc, từ chứng minh đường thẳng song song với nhau, tam giác nhau, tam giác đồng dạng với nhau… CHỦ ĐỀ I GĨC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Hai góc chắn cung nửa số đo cung bị chắn ¼ · · sđABD = sđACD = sđAD Trên hình vẽ: - Các góc chắn hai cung Trên hình vẽ: » Û sđABD · · ¼ = sđCD AD = CD Û sđAD = sđCAD B VÍ DỤ ABC tam giác vng phía ngồi ta dựng O AO hình vng với tâm điểm Chứng minh tia phân giác góc Ví dụ Trên cạnh huyền · BAC BC Lời giải: Vì O tâm hình vng nên Lại có · BAC = 900 · BOC = 900 suy bốn điểm A, B,O,C nằm đường trịn đường kính BC 2 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Đối với đường trịn ta thấy · · BCO = 450 Þ BAO = 450 · · BAO = CAO , nghĩa · BAC = 900 Do AO đường cao ( H thuộc (cùng chắn , nên ¼ BO BC ABC ) Mà · · · CAO = BAC - BAO = 450 tia phân giác góc vng Ví dụ Cho tam giác nhọn AH · · BAO = BCO nội tiếp đường tròn ) Chứng minh (O ) · BAC (đpcm) Từ đỉnh · · BAH = OAC Vậy A ta kẻ Lời giải: Kẻ đường kính AE đường trịn nửa đường trịn) Từ Ta thấy · · OAC + AEC = 900 Theo giả thiết ra, ta có: ¼ AC (O ) · ACE = 900 (góc nội tiếp chắn (1) · · BAH + ABC = 900 (2) Lại · · AEC = ABC ) (3) Từ (1),(2) (3) suy · · BAH = OAC (đpcm) 3 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share (cùng chắn Lưu ý: Cũng giải tốn theo hướng sau: Gọi AH với đường tròn » = sđCE » sđBD (O ) , dẫn đến , chứng tỏ tứ giác · · BAD = CAE , hay BDEC D giao điểm tia hình thang cân Từ suy · · BAH = OAC (O ) ABC ¼ BC Ví dụ Cho tam giác nội tiếp đường tròn Trên cung không A P P B P C PA BC chứa ta lấy điểm ( khác khác ) Các đoạn cắt Q a) Giả sử D điểm đoạn b) Chứng minh PA = PB + PC c) Chứng minh hệ thức PA cho PD = PB Chứng minh D PDB 1 = + PQ PB PC Lời giải: a) Trước tiên ta nhận thấy tam giác · · · BPD = BPA = BCA = 600 PBD cân (hai góc nội tiếp chắn PDB Vậy nên tam giác » AB P Mặt khác, đường tròn (O ) ) Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 4 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share PA = PB + PC PB = PD b) Ta có , để chứng minh ta chứng minh DA = PC BPC BDA BA = BC Thật vậy, xét hai tam giác có: (giả thiết), BD = BP nên (do tam giác · · ABD = PBC BPD Từ c) Xét hai tam giác PBQ nội tiếp chắn cung tiếp chắn PQ.PA = PB PC ¼ PC · · · · ABD + DBC = 600 PBC + DBC = 600 đều) Lại , D BPC = D BDA ¼ AC ) Từ PAC DA = PC (đpcm) · · · BPQ = 600 APC = ABC = 600 ta thấy , (hai góc ) suy · · · · · BPQ = APC , PBQ = PBC = PAC D PBQ : D PAC Theo kết câu PQ ( PB + PC ) = PB PC (c.g.c), dẫn đến b , ta có Þ (g.g) PQ PC = PB PA PA = PB + PC Hệ thức tương đương với (hai góc nội , hay nên 1 = + PQ PB PC (đpcm) Ghi chú: ABCD AB.CD = BC AD - Tứ giác có tính chất (*) nói ví dụ gọi tứ giác điều hòa Loại tứ giác đặc biệt có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng khác AB BC = AD CD - Nếu hệ thức (*) dạng nhớ lại tính chất đường phân giác tam giác ta nêu thêm tính chất tứ giác điều hịa - Tứ giác góc · BAD - Tứ giác · ADC ABCD tứ giác điều hòa đường phân giác · BCD ABCD cắt điểm đường chéo BD tứ giác điều hòa đường phân giác góc cắt đường chéo AC 5 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share · ABC (O) ABC Ví dụ 4) Cho tam giác nội tiếp đường tròn Đường phân giác A D I góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi tâm vòng tròn ABC DB = DC = DI nội tiếp tam giác Chứng minh Giải: DB = DC AD A Ta ln có phân giác góc Ta chứng minh tam DIB D giác cân Thật ta có: Mặt khác · I· BD = I·BC + CBD · · CBD = CAD (Góc nội tiếp chắn cung · · BAD = CAD , CD ) mà · · IBC = IBA (Tính chất phân giác) suy · · · IBD = ABI + BAI Nhưng · · · BID = ABI + BAI (Tính chất góc ngồi) Như tam giác D Þ DB = DI = DC BDI cân Nhận xét: Thơng qua tốn ta có thêm tính chất: Tâm đường trịn ngoại (O) IBC A tiếp tam giác giao điểm phân giác góc với (O) AB < AC nội tiếp đường tròn Lấy MH , MK , MI M BC A điểm thuộc cung không chứa điểm Vẽ vng Ví dụ 5) Cho tam giác nhọn góc với ABC BC AC AB = + MH MK MI Giải: Trong tốn có tỷ số độ dài 6 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share ta nghỉ đến tam giác đồng dạng định lý Thales Cách 1: Dựng đường thẳng qua song song với E BC cắt giao điểm Ta có: Ta có AB = NC (O) BC N A Gọi MN æ · · » + AN Ã ẳ ẳ + AN ẳ ữ= 1s ổ ữ= AMC ỗ BME BMN = s ç AB NC ç ç ÷ ÷ è ø è ø 2 · · MBC = MAC Þ D BME : D AMC AC BE = MK MH ta có: MH , MK , hai đường cao tương ứng nên: , chứng minh tương tự ta có: AB CE = MI MH Cộng hai đẳng thức BC AC AB = + MH MK MI MH , MI MBC , MAB Cách 2: Ta thấy đường cao tam giác hai tam giác không đồng dạng với Điều giúp ta nghỉ đến việc lấy E BC · · BMA = DMC điểm cạnh cho để tạo tam giác đồng dạng giữ hai đường cao tương ứng (Phần lời giải xin dành cho bạn đọc) CHỦ ĐỀ II GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (tại điểm đường tròn) nửa số đo cung bị chắn - Trên hình vẽ: ¼ · · sđBAC = sđxBC = sđBC 7 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share B VÍ DỤ Ví dụ Giả sử A B hai điểm phân biệt đường tròn (O ) (O ) tuyến đường tròn Các tiếp tuyến đường tròn M A MB điểm Từ kẻ đường thẳng song song với cắt đường tròn K (O ) C MC cắt đường tròn Chứng minh MK = AK EK (O ) E (O ) Các tia MK = K B Các tiếp A AE B và cắt MB cắt Lời giải: Do MB / / AC nên · · BMC = ACM (1), ta lại có · · · ACM = ACE = MAE (cùng chắn suy ¼ AE ) (2) Từ (1) (2) D K ME : D K AM · · EAB = EBK Þ (g.g) (cùng chắn BK = AK EK » BE MK EK = AK MK ) Từ hay MK = AK EK D EBK : D BAK (4) Từ (3) (4) suy MK = K B Þ (g.g) nghĩa (3) Ta thấy BK EK = AK BK MK = MB (C ) hay (đpcm) (C ) O AB Ví dụ Cho đường trịn tâm , dây cung không O I AB A qua trung điểm Một đường thẳng thay đổi qua cắt 8 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share (C ) AP AQ Chứng minh tích BPQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác qua điểm cố B định khác đường trịn tâm O bán kính OI P Q Lời giải: Ta có · · PQI = PIA (cùng chắn AP AI = Þ AP AQ = AI AI AQ BPQ cắt Khi AB AD AP = AQ AB hay ), nên D API : D AIQ (g.g) Suy (không đổi) Giả sử đường trịn ngoại tiếp tam giác D (D ¹ B) D ADP : D AQB º PI , suy AD.AB = AP AQ = AI (không đổi) Do điểm D điểm cố định (đpcm) · BAC = 600 M ,N,P có trực tâm Gọi A, B,C ABC I theo thứ tự chân đường cao kẻ từ tam giác BC trung điểm INP a) Chứng minh tam giác E K PB NC b) Gọi trung điểm Chứng minh I ,M ,E ,K điểm thuộc đường trịn Ví dụ Cho tam giác nhọn c) Giả sử IA ABC H · NIP · BCP phân giác Tìm số đo Lời giải: 9 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share a) Từ giả thiết ta có IN = IP = BC I NP cân I nên tam giác Lại B, P , N ,C nằm đường trịn tâm I , đường kính BC nên theo mối liên hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung, ta thấy I NP · · PIN = 2PBN = 600 Vậy tam giác Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 b) Rõ ràng bốn điểm I ,M ,E K nằm đường trịn đường kính c) Từ điều kiện toán ta thấy trung điểm BC nên tam giác AI ABC tia phân giác Từ suy · BAC = 600 · BCP = 300 AI , mà I ABC ,(AB = AC ) O BC Ví dụ 4) Cho tam giác cân Gọi trung điểm (O) AB, AC D, E M Dựng đường tròn tiếp xúc với cạnh điểm chuyển (O) AB, AC DE M động cung nhỏ tiếp tuyến với đường tròn cắt P ,Q Chứng minh APQ lớn BC = 4BP CQ tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác Lời giải: Ta thấy SDAPQ SDABC không đổi nên lớn SBPQC nhỏ nhất, sở để ta làm 10 10 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share xuất biểu thức có liên quan đến BP ,CQ Ta có AB, PQ, AC tiếp tuyến điểm D, M , E được: (O) nên ta có: AB ^ OD, PQ ^ OM , AC ^ OE , BD = CE Từ ta tính 1 SBPQC = R ( BP + PQ + CQ ) = R ( BD + 2DP + 2EQ + CE ) 2 = R.( BD + DP + EQ ) = R ( BP +CQ - BD ) ( Mặt khác ta có: ) 1· · µ =B µ = Cµ POQ = DOE = 1800 - A 2 nên suy · · · · · · BOP = 1800 - POQ - QOC = 1800 - QCO - QOC = CQO Û D BPO : D COQ BP BO BC Þ = Û BP CQ = BOCO = CO CQ Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: BP + CQ ³ BP CQ = BC Þ SBPQC ³ R.( BC - BD ) BP = CQ Û M trung điểm cung DE Vậy SBPQC nhỏ CHỦ ĐỀ III GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRỊN KIẾN THỨC CẦN NHỚ *) Với đỉnh (hình) A nằm đường trịn (O ) ta có góc với đỉnh đường trịn Số đo góc nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh + » + sđCD » sđBE · sđBAE = 11 11 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share + » + sđCE » sđBD · sđBAD = A *) Với đỉnh nằm ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn (O ) ta có số đo góc nằm ngồi đường trịn + Trên hình vẽ ta cú: 1ổ ẳ Ã ẳ ữ sCAE = ỗ sEmC - sBnD ữ ỗ ứ 2ố Cn lu ý đến trường hợp sau: + Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O) AD (O) A tếp tuyến , qua vẽ cát tuyến cắt đường trịn BC , 1ỉ ¼ · ¼ ữ CAD = ỗ sCmD - sBnD ữ ỗ ố ø + Với Với đỉnh A nằm đường tròn (O) AB, AC (O) tếp tuyến , ( A, B tiếp điểm) 1ổ ẳ Ã ẳ ữ BAC = ỗ sBmC - sBnC ỗ ữ ứ 2ố p Dng Gúc Cú Đỉnh Ở Trong Hoặc Ngồi Đường Trịn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cũng phần góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, định lý hệ góc có đỉnh nằm nằm ngồi đường trịn giúp tìm mối quan hệ số đo góc, chứng minh đường song song, tam giác nhau, tam giác đồng dạng với nhau, hai đường thẳng vng góc với 12 12 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 B VÍ DỤ Ví dụ ) Trên đường trịn A1, B1,C 1, D1 (O ) cho điểm A, B,C , D điểm cung AC 1 minh đường thẳng B1D1 theo thứ tự Gọi AB, BC ,CD DA Chứng vng góc với Lời giải: Gọi I giao điểm » , BC » , DA » ¼ ,CD AB Khi đường trịn (O ) AC 1 B1D1 a, b, g, d ; theo thứ tự số đo cung a + b + g + d = 3600 Ta có Nghĩa là góc có đỉnh nằm · IB = 1ổ ẳBB + sC ẳDD ữ ỗ A sA ữ 1 ỗ 1 1ứ 2ố 1ổ ¼ ¼ + sđC ¼ D + sđDD ¼ ö ữ = ỗ sA1B + sBB ữ ỗ 1 1ø è A1C ^ B1D1 Xét góc · IB A 1 = a + b + g + d) = 900 ( (đpcm) 13 13 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share A, D,C , B O Ví dụ Cho bốn điểm theo thứ tự nằm đường trịn tâm AB = 2R C D AB E F đường kính ( nằm phía so với ) Gọi A, B CD AD theo thứ tự hình chiếu vng góc đường thẳng Tia BC cắt tia a) Tính số đo I Biết · AIB AE + BF = R CD K A, K B K DC b) Trên cung nhỏ lấy điểm Gọi giao điểm với M N MN K CD Tìm giá trị lớn di động cung nhỏ Lời giải: a) Kẻ OH ^ CD ( H Ỵ CD ) ta thấy OH đường trung bình hình thang OH = suy ABFE , R AE + BF ) = ( 2 Từ tam giác suy , OCD đều, · · CD = 600 sđCOD = sđK Ta thấy · B AI có đỉnh nằm ngồi đường trịn (O ) nên · B = 1ỉ ¼ ẳCD ữ ỗ sAI sAmB - sK = 1800 - 600 = 600 ữ ỗ ố ứ 2 ( ) EM NF = AE BF MN suy (khơng đổi) lớn EM + NF EM NF nhỏ Theo trên, không đổi nên b) Ta thấy EM + NF D AEM : D NFB nhỏ Vậy giá trị lớn EM = FN = AE BF MN EF - AE BF 14 14 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Ví dụ Trong tam giác Giả sử (T ) ABC , đường phân giác đường tròn tiếp xúc với (T ) giao điểm thứ hai AP BC giao điểm a) Chứng minh AC · · EAB = MBC b) Chứng minh hệ thức , P BC D · BAC cắt cạnh qua điểm giao điểm thứ hai A BC Gọi (T ) D M BM , E BE = EP EA Lời giải: a) Gọi Do AB AD nên N giao điểm thứ hai với đường tròn (T ) phân giác ¼ = sđDN ¼ sđDM · BAC Ta có » · · = sđNP = NAP = EAB 1ỉ ¼ 1ỉ ¼ · · » ÷ » ÷ MBC = MBD = ç sđDM - sđDP = ç sđDN - sđDP ÷ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 2 (pcm) b) Từ kết câu a, ta thấy BE EA = EP BE hay BE = EP EA · · EBP = EAB Từ D EBP : D EAB (g.g), suy (đpcm) 15 15 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share (O ) Ví dụ Trên đường tròn ta lấy điểm a) Chứng minh đường thẳng tam giác ABC tam giác c) Giả sử (T ) tam giác AA1, BB1,CC theo thứ tự đường phân giác D A1B1C (T ) (T ) 2 (T ) đường cao chúng đường phân giác tam giác hai tam giác nội tiếp đường tròn (O ) D A1B1C , đồng thời đỉnh điểm cung đường tròn bị chia đỉnh tam giác tam giác AA1, BB1,CC chúng đường cao b) CHứng minh đường thẳng ABC A,C 1, B, A1,C , B1 (T ) (T ) cạnh tam giác Chứng minh hình lục giác giao đường chéo nối đỉnh đối song song với (T ) đồng quy điểm Lời giải: 16 16 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share a) Ta chứng minh đó: AA1 ^ B1C Thật vậy, gọi M giao điểm AA1 B1C , 1ỉ ¼ 1ỉ ¼ · ¼ ÷ ¼BC ¼ B + sđBC ÷ AMB = ỗ sAB1 + sA = ỗ sAB1 + sA ữ ữ ỗ ỗ 1 1 ứ 2è ø 2è ( ) · · · AB + BCC · · · = ABB +A = ABC + CAB + BCA = 900 1 (đpcm) BB1 ^ AC ;CC ^ A1B1 1 Chứng minh tương tự ta có b) Gọi M1 giao điểm BB1 AC Ta có · A = 1ỉ ¼ B + sđA · ÃCC ẳC ữ= BCA ỗ BM sAC +A ỗ 1 ø 1 ÷ 2è · Ã A = 1ổ ẳ B +B ẳC ữ Ã CC ỗ BM sAC = BCA + B ữ ỗ 1 1 ø 2è (2) suy · A =B · CC AC 1 1 Tức CC minh tương tự, ta thu chứa đường phân giác · BC A 1 (1) Lại có (2) Vì · A = BM · A = 900 BM chứa đường phân giác AA1 , nên từ (1) · B AC 1 Chứng · A C BB B 1 1 chứa đường phân giác , 17 17 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share c) Kí hiệu đỉnh tam giác cung đường » ¼ ,CA BC AA1, BB1,CC » AB A, B C A1, B1 ; (T ) tương ứng Khi quy điểm Giả sử IK / / AC K giao điểm Thật vậy, ta thấy tam giác , dẫn đến AB1I cân IK / / AC B1 AB C1 điểm tam giác chứa đường phân giác tam giác I · IA = K · AI = IAC · K (T ) B1C (T ) A1B1C Các nên chúng đồng Ta cần chứng minh nên tam giác AK I cân K Từ (đpcm) Thầy cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 CHỦ ĐỀ ÁP DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khái niệm cung chứa góc giúp giải nhiều tốn quỹ tích, dựng hình, chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn B VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác cân Kẻ DM / / AB ( M Ỵ AC ), ABC ( AB = AC ) DN / / AC ( N Î AB ) D Gọi điểm cạnh D' điểm đối xứng MN D' D BC qua Tìm quỹ tích điểm điểm di động cạnh Lời giải: 18 18 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share BC D Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy B, D, D ' nằm đường tròn tâm · · · BND = DMC = BAC định, D' nhìn BC N NB = ND = ND ' Từ · ' D = DMC · BD , nên từ (1) (2) suy góc · BAC ,(1) ba điểm · 'C = BAC · BD D' khơng đổi, (2) Lại có (khơng đổi) Vì khác phía với D BC cố (tức · BAC A MN D' phía với so với ) nên nằm cung chứa góc vẽ đoạn BC ABC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ) Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm cung ¼ BAC D' cung chứa góc BAC đường trịn ngoại tiếp tam giác đoạn ABC BC Đó Lưu ý: Quy trình để giải tốn quỹ tích sau: Để tìm quỹ tích điểm bước M thỏa mãn tính chất *Phần thuận: Chỉ điểm có tính chất (T ) *Kết luận: Quỹ tích điểm có tính chất ta tiến hành thuộc hình *Phần đảo: Chứng tỏ điểm thuộc hình M (T ) (T ) (H) (H) có tính chất hình (H) (T ) Chú ý số toán, sau phần thuận, trước phần đảo ta thêm phần giới hạn quỹ tích (Bạn đọc tham khảo thêm phần quỹ tích cuối sách này) 19 19 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Ví dụ Cho đường trịn cung lớn · ACB BC cho B điểm dây cung đường tròn cắt đường tròn CD (O ) DI = DB (O ) Đường thẳng b) Chứng minh đường thẳng c) Trên tia đối tia điểm A AB ( điểm a) Chứng minh tam giác M (O ) K AC AI A D BI BC khác cố định Gọi B , A khác điểm khác C C điểm di động ) Tia phân giác Lấy điểm cắt đường tròn (O ) I thuộc đoạn điểm K khác cân qua điểm lấy điểm A M di động cung lớn cho BC J AM = AC cố định Tìm quỹ tích đường tròn (O ) Lời giải: a) Ta có 1ỉ » 1ỉ » · · ¼ ¼C ữ; sDIB ữ DBK = ỗ sDA + sAK = ỗ sBD + sK ỗ ỗ ữ ữ ố ø è ø 2 Vì » + sđDA » sđBD hay D K AC cân D DBI K cân nên ¼C + sđAK ¼ sđK Suy AK = CK (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy AI D J I tâm đường trịn nội tiếp D ABC ¼ BC nên đường thẳng ln qua điểm (điểm cung không chứa J ràng điểm cố định 20 20 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share A ) Rõ Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Toán Học Sơ Đồ 0945943199 1· · BMC = BAC · D AMC A BAC c) Phần thuận: Do cân , nên Giả sử số đo 2a A BC M (khơng đổi) di động cung lớn thuộc cung chứa góc a BC O dựng đoạn phía điểm Phần đảo: Tiếp tuyến BC điểm vẽ đoạn X Bx với đường tròn Lấy điểm M BC ( M ¹ X ;M ¹ C ) BC Nếu thuộc cung lớn đường tròn A AC = AM cân hay M º Cx (O ) MB (O ) º Cx vẽ đoạn (một phần cung chứa góc cắt đường trịn Vì a cắt cung chứa góc (O ) · · BAC = 2a;AMC =a tích điểm cung , phần cung chứa góc O C X phía trừ hai điểm A a rõ ràng suy D AMC Kết luận: Quỹ a vẽ đoạn BC C ,D d nằm đường thẳng hai điểm thuộc d B d hai nủa mặt phẳng đối bờ Hãy dựng điểm cho Ví dụ Cho trước điểm · · ACB = ADB A Lời giải: 21 21 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share A *Phân tích: Giả sử dựng điểm D d B d cho · · 'B ADB = AD · · ACB = ADB Gọi D' · · 'B ACB = AD C điểm đối xứng qua Khi , Suy D' AB nằm nửa cung chứa góc dựng đoạn Từ ta thấy B d D ACD ' giao điểm với đường tròn ngoại tiếp *Cách dựng: Dựng điểm D' điểm đối xứng ACD ' Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác Dựng giao điểm B đường thẳng d D qua đường thẳng với đường tròn *Chứng minh: Rõ ràng với cách dựng trên, ta có ( ACD ') d · · 'B = ADB · ACB = AD Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 A,C , D *Biện luận: Nếu ba điểm không thẳng hàng, ba điểm CD d thẳng hàng khơng vng góc với tốn có nghiệm hình A,C , D d CD + Nếu ba điểm thẳng hàng đường trung trực đoạn tốn có vơ số nghiệm hình A,C , D d ^ CD d + Nếu ba điểm thẳng hàng, đường trung CD trực tốn khơng có nghiệm hình Lưu ý: Khái niệm cung chứa góc áp dụng để chứng minh nhiều điểm A, B,C , D thuộc đường trịn Ví dụ để chứng minh bốn điểm nằm A B CD đường tròn, ta chứng minh hai điểm nhìn hai góc Nói cách khác, tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc bốn đỉnh tứ giác thuộc đường trịn 22 22 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Ví dụ Giả sử D Ỵ BC AD đường phân giác góc M tam giác ABC ( · · ABN = CBM BM lấy hai điểm cho cắt đường ACM E CN tròn ngoại tiếp tam giác điểm thứ hai cắt đường tròn ngoại ABM F tiếp tam giác điểm thứ hai ) Trên AD A a) Chứng minh bốn điểm b) Chứng minh ba điểm c) Chứng minh A, E , F · · BCF = ACM N B,C , E , F nằm đường trịn thẳng hàng , từ suy · · ACN = BCM Lời giải: Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9(bản đủ chun đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 0945943199 a) Ta có · · BFC = BAN · · BAN = CAN , suy Từ bốn điểm (cùng chắn cung · · BFC = BEC B,C , E , F ¼ BN ); · · BEC = CAN (cùng chắn ¼ CM ), mà nằm đường tròn (đpcm) · · CFE = NFA b) Từ kết trên, ta có Do hai tia A, E , F ba điểm thẳng hàng (đpcm) FA FE trùng nghĩa 23 23 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share c) Vì · · BCF = BEF , dẫn đến · · ACN = BCM · · ACM = BEF nên · · BEF = ACM Từ suy (đpcm) /// 24 24 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share · · ACM = BCF ... ôn HSG 9( bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Toán Học Sơ Đồ 094 594 3 199 CHỦ ĐỀ ÁP DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khái niệm cung chứa góc giúp... đẹphttps://www.facebook.com/groups/8800256 290 48757/?ref=share A ) Rõ Thầy cô cần đủ chuyên đề đẹp – chất ôn thi vào 10 Nâng Cao –Kết hợp ôn HSG 9( bản đủ chuyên đề word 1500 trang) –Thì liên hệ zalo Tốn Học Sơ Đồ 094 594 3 199 1· · BMC = BAC · D AMC A... sách này) 19 19 Nhóm tài word THCS chất đẹphttps://www.facebook.com/groups/8800256 290 48757/?ref=share Ví dụ Cho đường tròn cung lớn · ACB BC cho B điểm dây cung đường tròn cắt đường tròn CD (O