SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Bài (5 diểm) : Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn: a3 b3 2(c3 8d ) Chứng minh rằng : (a+b+c+d) chia hết cho 3 Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho x x là số nguyên tố Bài (5 điểm): Giải phương trình x 11x 19 x x 3( x 2) 1 Tìm tất cả các bộ số (x;y;z) thỏa mãn x y z và và x y z 17 x y z Bài (3 điểm): Cho 3 số x,y,z, thỏa mãn : x; y; z P 3 và xy yz xz Tìm GTNN của 4x 4y 4z 2 4x y 4z2 cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh : a 2016 a 2015 bca Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC cạnh bằng a.Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q # B,C).Trên tia đối tia BA lấy điểm P sao cho CQ APa Gọi M là giao điểm của AQ và CP. CM 4 điểm A,B,M,C thuộc 1 đường tròn Gọi I,J,K lần lượt là hình chiếu của M lên AB,BC,CA. a Xác định vị trí của Q để đọ dài IK lớn nhất b Chứng minh MI MJ MK không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ơ vng kích thước 10.10 gồm 100 ơ vng kích thước 1.1. Điền vào mỗi ơ vng của bảng một số ngun dương khơng vượt q 10 sao cho hai số được điền ở hai ơ vng chung cạnh hoặc chung đỉnh ngun tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ơ vng đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….