Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 Chuyªn ®Ị: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: • n n thua so a a.a .a= 123 (n Z ,n 1,a R) + ∈ ≥ ∈ • 1 a a= a∀ • 0 a 1= a 0∀ ≠ • n n 1 a a − = { } (n Z ,n 1,a R/ 0 ) + ∈ ≥ ∈ • m n m n a a= ( a 0;m,n N> ∈ ) • m n m n m n 1 1 a a a − = = 2. Các tính chất : • m n m n a .a a + = • m m n n a a a − = • m n n m m.n (a ) (a ) a= = • n n n (a.b) a .b= • n n n a a ( ) b b = 3. Hàm số mũ: Dạng : x y a= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : D R= • Tập giá trò : T R + = ( x a 0 x R> ∀ ∈ ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : x y a= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a= nghòch biến trên R • Đồ thò hàm số mũ : Minh họa: GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 1 a>1 y=a x y x 1 0<a<1 y=a x y x 1 Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a log N M a N= ⇔ = Điều kiện có nghóa : N a log có nghóa khi > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : • a log 1 0= a log a 1= • M a log a M= log N a a N= • a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N= + 1 a a 1 a 2 2 N log ( ) log N log N N = − • a a log N .log N α = α Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N= 3. Công thức đổi cơ số : • a a b log N log b.log N= • a b a log N log N log b = * Hệ quả: • a b 1 log b log a = và k a a 1 log N log N k = 4. Hàm số logarít: Dạng a y log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =D R • Tập giá trò =T R • Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x= đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a y log x= nghòch biến trên + R • Đồ thò của hàm số lôgarít: GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 2 0<a<1 y=log a x 1 x y O a>1 y=log a x 1 y x O Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M(x) = a N(x) (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : x 10 x 5 x 10 x 15 16 0,125.8 + + − − = Bài tập rèn luyện: a, 3 17 7 5 128.25,032 − + − + = x x x x (x=10) b, ( ) ( ) 2 2 2 4 log (2 3 5) log (3 5) 2 3 7 4 3 x x x− + + − = + c, 2 1 2 1 2 3 1 x x x x − + − + = d, 2 1 1 2 3 0,12 5 x x x − + − = ÷ ÷ e, ( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 2 3 x x x − − + − = + 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2f(x) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . . or . . . 0 2 . . 3 . . . 4 . a+b . a-b 5 . a+b . a-b . f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x a a c a a a c a a c a b c c c α β α β γ α β α β γ α β α β γ − + = + + + = + = + = + = + = Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x 8 x 5 3 4.3 27 0 + + − + = 2) x x x 6.9 13.6 6.4 0− + = 3) x x ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 4) 322 2 2 2 =− −+− xxxx 5) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 6) 07.714.92.2 22 =+− xxx 7, ( ) ( ) 2 5 21 5 21 10.2 x x x − + − = Bài tập rèn luyện: 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1 ± x ) 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 3) 13 250125 + =+ xxx (x=0) 4) 12 21025 + =+ xxx (x=0) 5) x x ( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2 ±= x GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 3 víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c 2f(x) råi ®Ỉt Èn phơ víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b) f(x) víi a b a b . 1 c c + − = ta ®Ỉt Èn phơ t= ( a b c + ) f(x) Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 . Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x 2) 0422.42 2 22 =+−− −+ xxxxx Bài tập rèn luyệnï: a, 20515.33.12 1 =−+ + xxx ( 3 5 log 3 = x ) b, 2 2 2 2 1 2 4 .2 3.2 2 8 12 x x x x x x x + + + = + + + 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . . . 3 . a+b . a-b 4 . a+b . a-b . 5 a ( ) 6 f x g x f x f x f x f x f x f x f x x x f g a b a b c c c b f x a b g f α β γ α β α β γ = + = + = + = + = − = − Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 x + 4 x = 5 x 2) 2 x = 1+ x 2 3 3) x 1 ( ) 2x 1 3 = + 4; 3.25 x-2 +9(3x-10).5 x-2 +3-x=0 5; 2 2 2 log log 3 log 9 2 .3 x x x x− = Bài tập rèn luyện: 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 2) x x −= 32 (x=1) 3; 2 2 log 3 log 5 x x x+ = 4; 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − = − 5; 2 x + 3 x = x + 4 6; 2 2 sin cos 8 8 10 cos 2 x x y+ = + IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N= (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) + = x log (x 6) 3 2) x x 1 2 1 2 log (4 4) x log (2 3) + + = − − 3) )3(log)4(log)1(log 2 1 2 2 1 2 2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 4 víi a b a b . 1 c c ≠ + − víi (a+b).(a-b) ≠1 víi b ≠ a.c Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 4; 2 2 2 2 2 log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = + 2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) f(x) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a ( ) a a a 1 log log ( ) ( ).log 2 b log b log log b f x f x f x g x f x g x f x a b a b a b a b f x g x b b a a a = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ÷ VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau. a, 2 x .3 x+1 =12 b; 2 x x-x x = 10 c; 3 1+log x 2 x = 3 .x d; 2x 2 x 7 5 5 7= e; 3 x x x+2 .8 = 6 3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 3 2 2 4 log x log x 3 + = 2) 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3; x 2x 2 log 2.log 2.log 4x 0= 4; ( ) 2 3 3 x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + = 5; 2 2 3x 7 2x 3 log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4 + + + + + + + = 6; 2 25 5 log (5 ) 1 log 7 7 0 x x − − = 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 Ví dụ : Giải phương trình sau : 2 7 2 7 log x 2.log x 2 log x.log x+ = + Bài tập rèn luyệnï: )112(log.loglog.2 33 2 9 −+= xxx (x=1;x=4) 2 3 2 3 log x log x log x.log x+ = 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) . do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : a; 2 2 2 log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + b; 2 3 log (x 1) log (x 2)+ = + c; 2 2 log (x x 5) 2 x+ − = − V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x x 1 x 2x 1 3 ( ) 3 − − − ≥ 2) 2 x 1 x 2x 1 2 2 − − ≥ 3; ( ) 2 3 2 1 1 x x x − + − ≤ Bài tập rèn luyện: a; 11 3322 −+ +≤+ xxxx ( 2 ≥ x )b; 2 3 2 1 2 1 x x x − − ≤ ÷ + GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 5 Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x x 2 2 3.(2 ) 32 0 + − + < 2) x 3 x 2 2 9 − + ≤ 3) 2 1 1 x x 1 1 ( ) 3.( ) 12 3 3 + + > 4) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 5) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2 ≤ x ) 6; 0449.314.2 ≥−+ xxx ( 3log 7 2 ≥ x ) VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N< ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log (5x 8x 3) 2− + > 2) − < 2 3 3 log log x 3 1 3) 2 3x x log (3 x) 1 − − > 4) x x 9 log (log (3 9)) 1− ≤ 5) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ − xx 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) x x 2 3 2 log (3 2) 2.log 2 3 0 + + + − > 2) 2 2x x log 64 log 16 3+ ≥ 3) 2 3log 3)(log 2 2 2 > + + x x ( 2 1 8 1 << x ) 3. Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) 1 2 b f x f x g x a b a b a > > VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau. a, 2 x .3 x+1 <24 b; 5 ≥ x-1 x x .8 500 c; 2x 2x 7 5 5 7≥ d; 2x 4 (2x) ≥ 2 log x VII. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mò vµ LOGARIT cã tham sè DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−− xx m ( 10 ≥∨< mm ) Bài 2: Cho phương trình: 022.4 1 =+− + mm xx Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx ≠ sao cho 3 21 =+ xx (m=4) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm xx ( 4 3 1 −<<− m ) DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: xxx m 36.81.216.5 =+ ( 102 < m ) Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 0)4(log)1(log1 2 5 2 5 >++−++ mxxx có nghiệm x ]3,2[ ∈ ( 2921 ≤≤− m ) Bài 3: Tìm m để phương trình: 02 3 1 3 1 1 =++ − − m x x có nghiệm ( 2 −≤ m ) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 0544)5(16 2 11 2 11 =+++− −−−− mm xx BÀI TẬP RÈN LUYỆN GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 6 Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12 Bài 1: Giải các phương trình 1) 1 2 12 2 1 2.62 )1(3 3 =+−− − xx xx (x=1) 2) )4(log4log2)1(log 3 8 2 2 4 xxx ++−=++ ( 622;2 −== xx ) 3) )2(loglog 37 += xx (x=49) 4) )2(loglog 75 += xx (x=5) 5) 072.32.5 35 13 =+− − − x x (x=1) 6) 3 28 12 2 1 log4log232log +=− − x x ( 2 5 = x ) 7) x xx x 1 3 2 2 log 3 2 log = −− (x=1,x=2,x=4) 8) 05 8 log3 2 2 log 2 =− − + x x x x ( 2, 2 1 == xx ) 9) xxxx 26log)1(log 2 2 2 −=−+ ( 2, 4 1 == xx ) 10) x x x 4 4 log 2 )10(log.2log21 =−+ (x=2,x=8) Bài 2: Giải các bất phương trình 1) 09.93.83 442 >−− +++ xxxx (x>5) 2) 23.79 12 2 2 2 ≤− −−−−− xxxxxx ( 20 4 1 ≥∨≤≤− xx ) 3) xxx −+− < 112 2 1 2 1 36 ( 1101 >∨<<∨−< xxx ) 4) 0128 8 1 4 1 13 ≥− − − xx ( 3 4 −≤ x ) 5) )1(log1)21(log 5 5 ++<− xx ( 2 1 5 2 <<− x ) 6) xx 22 loglog2 >− ( 2 4 1 <≤ x ) 7) 1)93(loglog 9 <− x x ( 10log 3 > x ) 8) )13(log 1 )3(log 1 2 2 4 − < + x xx ( 1 3 2 << x ) 9) 0 1 )3(log)3(log 3 3 1 2 2 1 > + +−+ x xx (-2 < x <-1) Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau: 1. 2 1 2 3 2 log 2 x x y x − − = + 2. 3 8 0,3 2 log ( 1) 2 2 8 x x x y x x − − − − − = + − − GV: Ph¹m Xu©n Trung GV: Ph¹m Xu©n Trung 7 . c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2f(x) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . . or . . . 0 2 . . 3 . . . 4. (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (