Chuyên đề phương trình, HPT, BPT mũ và logarit đầy đủ

Với hệ bất phương trình mũ chứa tham số thường được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của hệ có nghĩa.. Bước 2 : Thực hiện các phép biến đổi tương đươn[r]

Chuyên Đề :  M  MŨ V  VÀ L  LO  OG  GA  AR  RI  IT  N  N gg u  uu y  yy ễ  ễễ n  T hh à  àà n  nn h  L oo n  nn g  gg  N g  n T  T h  h L  L o  CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: Dạng 1: Phương trình a f  x   a g  x  TH 1: Khi a số thỏa mãn  a  a f  x   a g  x   f  x   g  x  TH 2: Khi a hàm x a f  x a g x a  a      0  a   a  1  f  x   g  x      f  x   g  x    Dạng 2: Phương trình: 0  a  1, b  a f  x  b    f  x   log a b Đặc biệt: Khi b  0, b  kết luận phương trình vơ nghiệm Khi b  ta viết b  a  a f  x   a  f  x   Khi b  mà b biếu diễn thành b  a c  a f  x   a c  f  x   c Chú ý: Trước biến đổi tương đương f  x  g  x  phải có nghĩa II Bài tập áp dụng: Loại 1: Cơ số số Bài 1: Giải phương trình sau x 1 a x 1 1 x  16 x 1 b   3 x 3 x 1 3 c x 1  x   36 Giải: a PT  x 1 x 2 33 x  24 x  x   x  x  2 tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 1 b   3 Email: Loinguyen1310@gmail.com x  x 1   3 ( x  x 1)  31   ( x  3x  1)  x   x  3x     x  2x 8.2 x  x c   36  2.2   36   36 4  9.2 x  36.4  2x  16  24  x  Bài 2: Giải phương trình x 1 x 2 a 0,125.4 x 3 x  2      x b x 1 x 1  0, 25  2 7x c x  2.5 x  23 x.53 x Giải:  12  2         5   2  2    b Điều kiện x  1 x x 3 Pt   22  3 2(2 x 3) PT  2 x 1 x 1 c Pt   2.5  2 x2 7x 2 x 5 x x  3  x   2  x   2  x   x x6  x 1 x 1 x 3    x  9x     x  x 1    2.5 3x  10 x   103 x  x   3x  x  Bài 2: Giải phương trình:  x    x   2  log3 x  x2 Giải: Phương trình cho tương đương:  x2 0 x   x     log3 x log3 x  1    1  ln  x      0   log3 x ln  x    1    x     2 2     2        x    x    x  x  x  x      x     log x    x               1 3x2     ln  x     x      x  2 2         x    x    x   Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 3: Giải phương trình: a  10   x 3 x 1   10   x 1 x 3  b  2    x 3  x   x 1 4 Giải: x  a Điều kiện:   x  3 Vì 10   10  3 x x 1 x 1 x 3  x x 1    x2  x   x   x 1 x  Vậy nghiệm phương trình cho x   x  b Điều kiện:  x  2 x  3 2 2 x  x 1 PT  x 1 x 3 x  x 1   x 1.2 4 PT   10     2  x 2   10       x 3    x 1 x x 1         4  x 3  x 2 x 1    x 3 x    2 x 1  x   x  10 x    x 3 x9 Vậy phương trình có nghiệm x  Loại 2: Khi số hàm x Bài 1: Giải phương trình   x  x  sin    x  x2   cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: 1  x  2(*) 2  x  x      x  x   0(1)    x  x  sin x   cos x    sin x  cos x  2(2)    1 thoả mãn điều kiện (*)      Giải (2): sin x  cos x   sin x  x     x    2k  x   2k , k  Z 2 3  Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: Giải (1) ta x1,2  Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com        k    1    k      k  0, k  Z ta nhận x3  2  6 2  6 1  Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  ; x3  1  x 5 x  Bài 2: Giải phương trình:  x  3   x2  x   x2  x 4 Giải: x 5 x  Phương trình biến đổi dạng:  x  3   x      x2  x 4   x  3 2( x  x  4) x  1 x  x      0  x     x    x   3 x  x   x  x    x  x  10    Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x = 4, x = Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Giải phương trình sau a 4.9 x 1  3.2 x 1 x  b 7.3x 1  x   3x 4  x 3 x x x 4   c  27   37   HD: x 3   a   1 x    2   b  x 1 5 x 1 3   5 d  x  1 x 1   x  1 x 1 x 1   x  1 c x  10 BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình: 0  a  1, b  a f  x  b    f  x   log a b Dạng 2: Phương trình: (cơ số khác số mũ khác nhau) f x a    b g ( x )  log a a f ( x )  log a b f ( x )  f ( x )  g ( x).log a b Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com log b a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x ).log b a  g ( x) Đặc biệt: (cơ số khác số mũ nhau) f  x a a f  x f (x) Khi f  x   g  x   a b        f  x   (vì b f ( x )  ) b b Chú ý: Phương pháp áp dụng phương trình có dạng tích – thương hàm mũ II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình a (ĐH KTQD – 1998) x.8 x 1 x b 3x  2.4  500 c x  4.5x   d x 2 x x 3 x   18 Giải: a Cách 1: Viết lại phương trình dạng: x.8 x 1  500  5x.2 x 1 x  53.22  5x 3.2 x 3 x 1 Lấy logarit số vế, ta được:  x 3 x x   x x  x 3 x 3 log     log    log      x  3 log  log 2  x     x  1    x    log      x   x  log  Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x  3; x   log x  1x    5.2    x 3 Cách 2: PT  5 x 3    x 2     3( x 1) x   x 3 x 3 2 3 x x 5 x 3   1x   2    x 3 x   x  1   5.2 x   x   log5   x2  2 xx3  b Ta có  18  log3    log 18   4x  3( x  2)  x2   log3   log   x    log  x x x     x    x  x  3log     x2  x  x  3log  (VN ) x2  2 x 3 x c PT  log 2 x 4  log 52 x  Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com  x    x   log    x   x   log 5  x  x     x   log   x  2  log d Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x  x  log  x  x  log   x  x   log  , Ta có     log  log  suy phương trình có nghiệm x =  log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hoá Bài 2: Giải phương trình a c x x2 b x  3x    4.34  x log ,5 (sin x  sin x cos x  )  x  22 x 1 d x  x 1  x   3x  3x 3  3x 1 Giải: a Điều kiện x  2 PT  3x 2 x2  34  x    3x   (4  x ) log   x     log   x2  x2  x  4 x      log   x    log  x  b 1 x x x x x 1 x 2 PT    3   2 3 x x  3  x  0 x 0 2 c Điều kiện sin x  5sin x.cos x   * PT  log 21  sin x  5sin x.cos x    log 32   log  sin x  5sin x.cos x     log thỏa mãn (*) cos x   sin x  5sin x.cos x    cos x  5sin x  cos x     5sin x  cos x       x   k x   k      tan x   tan   x    l  d PT Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com  x  5.5 x  25.5x  3x  27.3x  3.3x x 5  31.5 x  31.3x      x  3 Vậy nghiệm phương trình cho x  Bài 3: Giải phương trình a x lg x  1000 x b x log  x    32 x c 7log 25  x  1  x log Giải: a Điều kiện x  d 3x.8 x1  36  lg x.lg x  lg1000  lg x   lg x   lg x    lg x    x  / 10   lg x  1 lg x  3     lg x    x  1000 b Điều kiện x  PT  log x log2  x  4  log 32  log x   log x    log x  1  log x  5   x2 log x    x  log x   32  c Điều kiện x     log5 log25 5 x 1  log x log5   log 25  x   1 log5  log 7.log x   log5 x  1  log5  x   log x    log5 x  log x      log5 x   x     x  125  x  Vậy phương trình cho có nghiệm   x  125 d Điều kiện x  1 x x 1 3x   log x 1  x log    log 3 x   x  1   x  1 log x  log  log 36   2log  x.log  x   x log  1  log 3 x   2log     x  1  log x  Vậy phương trình có nghiệm là:   x  1  log Bài 4: Giải phương trình sau : a x.5 x 1  b 3x 91 x  27 x c x x  d x x  10 Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Giải: a Lấy logarit hai vế với số 8, ta 2 1 x.5 x 1   log8 x.5x 1  log8 8 x x 1 1  log8  log8  log8  x  x  log8  1      x   x  log8    x  1   x  1 x  1 log8  x 1    x  1 1   x  1 log8 5    1   x  1 log8   x  1  x  1    x.log8  log8   x   log5 Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x   log b PT  3x 32  x 33 x   32 x    x   log 4  x  log   x  log  log  log  x  log  log c Lấy log hai vế phương trình theo số 2 Ta phương trình log 3x  log 2 x   x log  x  x   x ( log  x )     x   log 2 d PT  log (2 x.5x )  log (2.5)  log 2 x  log x  log 2  log  x  x log   log  (log 5) x  x   log  x   1  log x  log  Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Giải phương trình sau a x.x1 x  100 HD: Điều kiện x   x ( x 1).23 x  52( x 1).22( x 1)  5x  x   22  x x   log 5.( x  x  2)   x    x  1  log 2(loai) b x 3  3x HD:  x 6  3x  x 5  2x Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com  x   3( x  2)( x  4)  x   ( x  2)( x  4) log x    x  log  Bài 2: Giải phương trình sau x2 x a  b 2 x x2 x x2 4 3 x2 c x x 5 x 6 x d g 53log5 x  25 x e  36.32 x k 9.x log9 x  x Đs: a 0;  log b 2;log  c 3;  log e 4; 2  log3 f log (log 7) g f 57  75 2 x 3 x 1 x  18 i x 53  5log x d 2;  log h ; 5 k BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình  k   k 1a ( k 1) x .1a x    Khi đặt t  a x điều kiện t > 0, ta được:  k t k   k 1t k 1 1t    Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  Khi đó: a f ( x )  t , a f ( x )  t , , a kf ( x )  t k Và a  f ( x )  t Dạng 2: Phương trình 1a x   a x    với a.b   Khi đặt t  a x , điều kiện t  suy b x  ta được: 1t      1t   3t    t t Mở rộng: Với a.b  đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  , suy b f ( x )  t x 2x 2x Dạng 3: Phương trình 1a    ab    3b  chia vế phương trình cho b x  ( 2x x a a a ,  a.b  ), ta được: 1          b b 2x x x a Đặt t    , điều kiện t  , ta được: 1t   2t    b Mở rộng: f Với phương trình mũ có chưa nhân tử: a f , b f ,  a.b  , ta thực theo bước sau: f - Chia vế phương trình cho b f  (hoặc a f ,  a.b  ) 10 Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net tailieutracnghiem.net - Website chia sẻ tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn thi trắc nghiệm !! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com f a - Đặt t    điều kiện hẹp t  b Dạng 4: Lượng giác hố Chú ý: Ta sử dụng ngơn từ điều kiện hẹp t  cho trường hợp đặt t  a f ( x ) vì: - Nếu đặt t  a x t  điều kiện - Nếu đặt t  x 1 t  điều kiện hẹp, thực chất điều kiện cho t phải t  Điều kiện đặc biệt quan trọng cho lớp tốn có chứa tham số II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình 2 2 a 4cot x  sin x   (1) b 4sin x  2cos x   Giải: a Điều kiện sin x   x  k , k  Z (*) Vì   cot x nên phương trình (1) biết dạng: sin x 4cot cot g x x  2.2   (2) cot x Đặt t  điều kiện t  cot x   2cot x  20  Khi phương trình (2) có dạng: t  t  2t      2cot x   cot x  t  3 thoả mãn (*)   cot x   x   k , k  Z  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , k  Z 2 2 b PT  2sin x  21sin x     Đặt t  2sin x  t   ta t2     t   t    t  t  2t   t       t    2 24  t    2 24 t   loai   2   Với t   2sin x  2  sin x   sin x    x k 2 11 Like fanpage để cập nhật nhiều tài liệu qua Facebook : http://facebook.com/tailieutracnghiem.net ... BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình: 0... log h ; 5 k BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu... log d Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x  x  log  x  x  log   x  x   log  , Ta có     log  log  suy phương trình có nghiệm x =  log Chú ý: Đối với phương trình