chuyen de PT mu va logarit

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LƠGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phương pháp: Phương pháp sử dụng nhiều để giải hệ mũ việc sử dụng ẩn phụ Tuỳ theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu hệ đại số biết cách giải ( hệ bậc ẩn, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II hệ đẳng cấp bậc 2) Bước 3: Giải hệ nhận Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu II VD minh hoạ: 32 x + + 22 y + = 17 VD1: Giải hệ phương trình:  x +1 (I) y  2.3 + 3.2 = u = 3x Giải: Đặt  điều kiện u, v>0 Khi hệ (I) biến đổi dạng: y v = 9u − 6u + =  x  9u + 4v = 17  x = −1  u = 3 = ⇔ ⇔ 3⇔ 3⇔  − 6u y =1 6u + 3v = v = v = 2 y =   Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1)  m3 x +1 + y = 2m VD2: Cho hệ phương trình:  x +1 + m2 y = m + 3 a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m ngun để nghiệm hệ nghiệm nguyên u = x +1 Giải: Đặt  điều kiện u ≥ v>0 Khi hệ (I) biến đổi dạng: y v =  mu + v = 2m (II) Ta có:  u + mv = m + m 2m m 2m D= = m − ; Du = = 2m2 − m − 1; Dv = = m2 − m m m +1 m m +1 a) Hệ có nghiệm khi:   m − ≠ D ≠  m ≠ ±1   Du   2m +  ≥3⇔  ≥ ⇔ −2 ≤ m < −1 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1 u = D m +    m < −1 ∨ m ≥  Dv   m v = D  m + > Vậy hệ có nghiệm −2 ≤ m < −1 a) Với m nguyên ta có m=-2 hệ có nghiệm là: u = 3 x +1 =  x + =  x = ⇔ ⇔ ⇔  y y = =  v = y =1   Vậy với m=-2 hệ có nghiệm nguyên (0;1) 2cot gx + sin y =3 9 VD3: Cho hệ phương trình:  sin y cot gx = 2m 9 − 81 a) Giải hệ phương trình vớim=1 b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn ≤ y ≤ π u + v = 2m Giải: Biến đổi hệ dạng:  u.v = −3 Khi u, v nghiệm phương trình f (t ) = t − 2mt − = (1) a) Với m=1 ta được: 9sin y = t = −1 u >0;v 0 y v = 2 u − 4uv + v = 1(1) Khi hệ (I) biến đổi dạng:  (II) v − 4uv = 4(2) Để giải hệ (II) ta sử dụng cách sau: Cách 1: Khử số hạng tự từ hệ ta được: 4u − 13uv + 3v = (3) t = 2 Đặt u=tv, đó: (3) ⇔ v 4t − 13t + = ⇔  t =  + Với t=3 ta u=3v đó: (2) ⇔ −8v = vơ nghiệm 1 + Với t = ta u = v ⇔ v = 4u đó: (2) ⇔ 4u = ⇔ u = 4 x − =  x2 −1 = u =  x = ±1  ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ y v = y =  = y = ( ) Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (1;2) (-1;2) Cách 2: Nhận xét (u;v) nghiệm hệ u ≠ v2 − Từ (2) ta u = (4) Thay (4) vào (1) ta được: 2v − 31v − 16 = (5) 3v t = 16 u =  2 Đặt t = v , t > ta được: (5) ⇔ 2t − 31t − 16 = ⇔  ⇔ v = 16 ⇔ v = ⇒  v = t = − (1) 4 x −1 =  x − =  x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ y y = 2 = y = Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (1;2) (-1;2)  22 x +1 = 3.2 x = y − VD5: Giải hệ phương trình:  2x  y − y = − Giải: Đặt u = x điều kiện u ≥ Hệ có dạng:  2u − 3u = y − ⇒ u2 − y2 − 3( u − y ) = − u2 − y2  2  y − y = u − u = y ⇔ ( u − y ) ( u + y − 1) = ⇔   y = 1− u + Với u=y, hệ phương trình tương đương với:   x =  x =   u = y u = y u = y =   y =  y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     x 2   x = ±1 u = y =  2u − 3u = u − u − 3u + =   =    y =   y =  + Với y=1-u, hệ phương trình tương với: ( ) ( )  y = − u  y = 1− u ⇔ vô nghiệm  2 u − 3u + =  2u − 3u = ( − u ) − Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1), (1;2) (-1;2) 9log2 ( xy ) − = ( xy ) log2 (1) VD6: Giải phương trình:  2 ( x + 1) + ( y + 1) = 1(2) Giải: Điều kiện xy>0 t + Giải (1): Đặt t = log ( xy ) ⇒ xy = Khi phương trình (1) có dạng: ( ) t − = 2t log ⇔ 32t − = 2.3t ⇔ 32t − 2.3t − = (3) Đặt u = 3t , u > , phương trình (3) có dạng: u = −1(1) u − 2u − = ⇔  ⇔ 3t = ⇔ t = ⇔ xy = u = + Giải (2): ⇔ x + y + x + y + = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − xy + = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − = (4) Đặt v=x+y, phương trình (4) có dạng: v = x + y = v + 2v − = ⇔  ⇔  v = −3  x + y = − x + y = Với x+y=1 ta được:   xy = 2 Khi x, y nghiệm phương trình: X − X + = vơ nghiêm  x + y = −3 Với x+y=-3, ta được:   xy = X =1 x = x = 2 ⇔ Khi x, y nghiệm phương trình : X − X + = ⇔   X = y = y =1 Vậy hệ có cặp nghiệm (1;2) (2;1)  23 x +1 + y − = 3.2 y +3 x (1) VD7: Giải hệ phương trình:   x + + xy = x + 1(2) Giải:  x ≥ −1 x =  x ≥ −1 x +1 ≥   ⇔ ⇔  x = ⇔   x ≥ −1 Phương trình (2) ⇔   3x + + xy = x +  x ( x + y − 1) =  3 x + y − =    y = − x 8 y −2 y y y y + Với x=0 thay vào (1) ta được: + = 3.2 ⇔ + = 12.2 ⇔ = ⇔ y = log 11 11 x ≥ −  + Với  thay y=1-3x vào (1) ta được: 23 x +1 + 2−3 x −1 = 3.2 (3) y = − x  Đặt t = 23 x +1 t ≥ −1 nên t ≥ t = − 8(1) (3) ⇔ t + = ⇔ t − 6t + = ⇔  ⇔ 23 x +1 = + t t = + ( ) ( ⇔ x = log + − 1 ⇒ y = − log +  3 ) ( ) 1   x =  x = log + − 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm:    y = log 11  y = − log +  BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết Bước 3: Giải hệ nhận II VD minh hoạ: x y 3 − = y − x (1) VD1: Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 12(2) Giải: Xét phương trình (1) dạng: 3x + x = y + y (3) Xét hàm số f (t ) = 3t + t đồng biến R Vậy phương trình (3) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Khi hệ có dạng: ( ) x = y x = y x = y x = y = ⇔ ⇔ ⇔   2  x = ±2  x = y = −2  x + xy + y = 12 3 x = 12 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;2) (-2;-2) x  + x = + y VD2: Giải hệ phương trình:  y  + y = + x x  + x = + y ⇒ x + 3x + = y + y + (1) Giải: Biến đổi tương đương hệ dạng:  y 3 + x = + y t Xét hàm số f ( t ) = + 3t + hàm đồng biến R Vậy phương trình (1) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x = y x = y ⇔ x Khi hệ thành:  x (II) 2 + x = + y 2 = − x(2) + Giải (2): Ta đốn x=1 21 = − Vế trái hàm đồng biến vế trái hàm số nghịch biến x=1 nghiệm phương trình Khi hệ (II) trở thành: x = y ⇔ x = y =1  x = Vậy hệ cho có nghiệm x=y=1  x − y = ( y − x ) ( xy + ) (1) VD3: Giải hệ phương trình:  2  x + y = 2(2) Giải: Thay (2) vào (1) ta được: x − y = ( y − x ) x + y + xy ⇔ x − y = y − x ( ) ⇔ x − x3 = y − y (3) t Xét hàm số f ( t ) = + t đồng biến R Vậy phương trình (3) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Khi hệ có dạng: x = y x = y x = y x = y = ⇔ ⇔ ⇔  2  x = ±1  x = y = −1 x + y = 2 x = Vậy hệ có cặp nghiệm (1;1) (-1;-1) BÀI TỐN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: Nhiều toán cách đánh giá tinh tế dựa các: + Tam thức bậc hai +Tính chất hàm số mũ +Bất đẳng thức +…… Ta nhanh chóng nghiệm hệ biến đổi hệ dạng đơn giản II VD minh hoạ:  x − y −1 + x = + y −1  VD: Giải hệ phương trình:   x.3 y −1 = u = x  u − v + u + v = 2(1) Giải: Đặt  y −1 điều kiện u>0 v ≥ Hệ có dạng:  (I) uv = 1(2) v = Biến đổi (1) dạng: 2 ⇔ = ( u − v ) + ( u + v ) + u − v = u + v + u − v ≥ u + v ≥ 4uv = ( ) ( ) Khi hệ tương đương với: 2 u − v = x  x = x = 2 = ⇔ u = v =1⇔  ⇔ ⇔ u = v y −1 =  y −1 = 3  y = ±1 uv =  Vậy hệ có căp nghiệm (0;1) (0;-1) CHỦ ĐỀ 4: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Dựa vào phép toán biến đổi tương đương cho bất đẳng thức hệ bất phương trình, ta A > B +  → A+C > B + D tìm nghiệm hệ Phép tốn thường sử dụng là:  C > D Việc lựa chọn phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ bất phương trình mũ thường thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực phép biến đổi tương chuyển hệ bất phương trình đại số biết cách giải Bước 3: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa lời kết luận cho hệ Với hệ bất phương trình mũ chứa tham số thường thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực phép biến đổi tương đương ( phương pháp sử dụng nhiều phép biến đổi tương đương ) để nhận từ hệ bất phương trình ẩn chưa tham số Bước 3: Giải biện luận theo tham số bất phương trình nhận Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa kết luận cho hệ Chú ý: Đối với hệ bất phương trình mũ ẩn thường giải bất phương trình hệ, kết hợp tập nghiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình II VD minh hoạ: 2  22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + (1) VD1: Giải hệ bất phương trình:   x − < − x + x − 3(2) Giải: 2 2 Giải (1): 2.22 x − 9.2 x + x + 4.22 x = ⇔ 2.2 x − x − + 4.2 x − x = Đặt t = x − x điều kiện t ≥ Khi phương trình có dạng: t = 4 2t + − = ⇔ 2t − 9t + = ⇔  ⇔ x − x = t = (1) t   x = −1 ⇔ x2 − x = ⇔ x2 − x − = ⇔  (3) x =  5  1≤ x <  x <  2 x − <      1 ≤ x ≤  − x + x − ≥ 14  ⇔ ⇔  x ≥ ⇔1≤ x < Giải (2):  (4)  2x − ≥    x ≥      − x + x − > ( x − 5) 2   < x < 14    5 x − 24 x + 28 <    Kết hợp (3) (4) ta nghiệm hệ x=2 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phương pháp: Việc lựa chọn đặt ẩn phụ thích hợp cho hệ phương trình mũ, ta chuyển hệ hệ đại số biết cách giải Cụ thể ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ cho hệ điều kiện cho ẩn phụ Bước 3: Giải hệ nhận từ suy nghiệm x; y Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa lời kết luận cho hệ II VD minh hoạ:  22 x − = y −  VD: Giải hệ bất phương trình:  (I) 2x 2y ≤0 log − u = x Giải: Đặt  ; u, v ⇔ m > x u = Đặt:  , điều kiện u, v>0 Hệ biến đổi dạng: y v = 2 2 u + v + 2v + ≤ m u + ( v + 1) ≤ m(1) ⇔ (I)  2 2 u + v + 2u + ≤ m v + ( u + 1) ≤ m(2) Điều kện cần: Giả sử hệ có nghiệm (u0;v0) suy (v0;u0) nghiệm hệ Vậy để hệ có nghiệm điều kiện cần u0=v0 Khi đó: u0 + ( u0 + 1) ≤ m ⇔ 2u0 + 2u0 − m + ≤ (1) Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm m=1/2  u + ( v + 1) ≤   Điều kiện đủ: Với m = hệ có dạng:  v + ( u + 1) ≤  Ta cần (1) phải có nghiệm ⇔ ∆ = ⇔ m = (II) ⇒ u + ( v + 1) + ( u + 1) + v ≤ ⇔ 2u + 2u + 2v + 2v + ≤ 2 2  2  2 ⇔  u + + v + ≤ ⇔ u = v = − ÷  ÷  ÷ ÷     Nhận xét u = v = − thoả mãn hệ (II) suy x=y=-1 Vậy hệ có nghiệm m=1/2 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: Nhiều bất phương trình đánh giá tinh tế dựa trên: + Tam thức bậc + Các bất đẳng thức như: Côsi, Bunhiacôpxki…… + Tính chất trị tuyệt đối ……… Ta nhanh chóng nghiệm II VD minh hoạ:  x + y + − y ≤ y (1) VD1: Giải hệ bất phương trình:  (I)  2 x + y − y + y = −1(2) y y 1 − y ≥ 2 ≤ 2 ≤  y ≤ ⇔ y x ⇔ x ⇔ Giải: Điều kiện:  x + y (*) y  − ≥ 2 − ≥ 2 ≥  x ≥ x 1− 2y  = x (*) ⇔ + ≤ ¬ → ⇔ x = y = (3) Giải (1):  y 2y 1 − = Thay (3) vào (2) thấy thoả mãn Vậy hệ có nghiệm x=y=0 3 x2 − x −3 −log3 = 5−( y + ) (1)  VD2: Giải hệ phương trình:   y − y − + ( y + 3) ≤ 8(2) Giải: ( Giải (1) ta được: 5−( y + 4) = x − x −3 − log ) ≥ 3− log3 = 5−1 ⇒ − ( y + ) ≥ −1 ⇔ y ≤ −3 (3) Giải (2) với y ≤ −3 ta được: −4 y + ( y − 1) + ( y + 3) ≤ ⇔ y + y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ (4) Từ (3) (4) suy y=-3, hệ thành:   x = −1  x2 − 2x − =  x = −1; y = −3  ⇔   x = ⇔    x = 3; y = −3  y = −3  y = −3  Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (-1;-3) (3;-3) CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ LƠGA RIT CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi lơgarit người ta lơgarit hố theo số vế phương trình, bất phương trình Chúng ta lưu ý phép biến đổi sau: 0 < a ≠ Dạng 1: Phương trình: log a f ( x) = b ⇔  b  f ( x ) = a 0 < a ≠ Dạng 2: Phương trình: log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) > Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f(x)>0 g(x)>0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp f(x) g(x) II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: ( log x ) = log x.log x + − ( ) x >  ⇔ x > Phương trình viết dạng: Giải: Điều kiện:  x + ≥   2x +1 −1 > 1   log x ÷ = log x.log 2  ⇔ log 32 x = log x.log log x = ⇔ log x − log ( ( ( ) 2x +1 −1 ⇔ ) log 32 x = log x.log 2 x + − ⇔ log x − log  ( ( ) 2x +1 −1 ) x + −  log x =  x = ⇔ 2x + −1 =  x = 2x +1− 2x +1 +1 ) x =1 x = x >0 ⇔ ¬  →  ( x + 1) = ( x + ) 2 x + = x + x = x =1 x >0 ⇔ ¬  → x =  x − 4x = Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=4 VD2: Giải phương trình: log x + log x = log x Giải: Điều kiện x>0 Ta biến đổi số 3: log x = log 3.log x phương trình có dạng: log x = log 3.log x 10 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1) BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết Bước 3: Giải hệ nhận II VD minh hoạ: log x + = + log y Giải hệ phương trình:  log y + = + log x Giải: Điều kiện x; y>0 Biến đổi tương đương hệ dạng: log ( x + 3) = ( + log y ) log ( x + 3) = ( + log y ) ⇔ (I)   log ( y + 3) = ( + log x ) 2 ( + log x ) = log ( y + ) ⇒ log ( x + 3) + log x = log ( y + 3) + log y (1) Xét hàm số: f ( t ) = log ( t + 3) + log t Miền xác định D = ( 0; +∞ ) + > 0, ∀t ∈ D ⇒ hàm số đồng biến Đạo hàm f ( t ) = ( t + 3) ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y  x = y Khi hệ (I) trở thàmh:  (II) log ( x + 3) = ( + log x ) (2) 2 + Giải (2): ⇔ x + = 22( 1+log3 x ) ⇔ x + = 4.2log3 x ⇔ x + = 4.2log3 2.log2 x ( ) ⇔ x + = x log3 ⇔ x + = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x − log3 = (3) 1− log − log Xét hàm số g ( x ) = x + 3.x Miền xác định D = ( 0; +∞ ) − log −1− log < 0∀x ∈ D ⇒ hàm số nghịch biến Đạo hàm: g ' ( x ) = ( − log ) x − 3log 4.x Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương trình bới đó: 11−log3 + 3.11−log3 = ⇔ = x = y ⇔ x = y =1 Khi hệ (II) trở thành:  x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: II VD minh hoạ: 26 e x − e y = ( log y − log x ) ( xy + 1) (1) VD1: Giải hệ phương trình:  2  x + y − 1(2) Giải: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT( 1) > ⇒ (1) vô nghiệm - Nếu x > y ⇔ log x > log y , đó:  VP < ( )  VT( 1) < ⇒ (1) vô nghiệm - Nếu x < y ⇔ log x < log y , đó:  VP > ( )  - Vậy x=y nghiệm (1) x = y x = y x = y  ⇔ ⇔ ⇔ x= y= Khi hệ có dạng:  2  x + y = 2 x =  x =   1  ; Vậy hệ có cặp nghiệm  ÷  2 log ( x + y ) = x + y − VD2: Giải hệ phương trình:  log x + y + ( xy + 1) = x + y − x + y > x + y >  ⇔ Giải: Điều kiện:  xy + > 0 < x + y + ≠  xy + >  Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t = t − u Đặt u = log t ⇒ t = phương trình có dạng:  log t = u = x + y = Bernoulli 2u = u + ¬  → ⇔ ⇔ u = x + y =  log t = x + y =  x + y =  x = 0; y =  x + y = ⇔ ⇔ ⇔ + Với x+y=1 hệ có dạng:   xy + =  xy =  x = 1; y = log ( xy + 1) = x + y = x + y =  x + y = ⇔ ⇔ + Với x+y=2 hệ có dạng:   xy = log ( xy + 1) =  xy + = Khi x; y nghiệm phương trình: t − 2t + = vơ nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT I.Hàm số mũ PHƯƠNG TRÌNH MŨ 27 1) x +1 + x + = x + + 2) x +8 − 4.3 x +5 + 27 = x 3) 4.3 x − 9.2 x = 5.6 4) 8.3 x + 3.2 x = 24 + x 72x x 5) = 6.( 0.7 ) + x 100 6) 125 x + 50 x = x +1 7) x + x.3 x + 31+ x = x x + x + x −1 8) x.8 x = 500 9) x +1 + x −2 − x −3 + x −4 = 750 10) 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 11) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 12) x = x −1 13) x +1 − 3.5 x −1 = 110 14) 3.4 x + 2.9 x = 5.6 x 15) x +8 − 4.3 x +5 + 27 = 16) 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 1 17) 6.9 x − 13.6 x +6 + 6.4 x = 18) ( + ) x −1 x − x +1 ( + 2− 19) + − + 2 20) 2 x −3 = x +3 x −5 x x ( ) x+2 ) x − x −1 ( ) ( 101 10 − ( =0 21) x − x + = x + − 32 x −1 22) x + log − x = x = )( 23) + + + − 24) 25 x + 15 x = 2.9 x 25) x −2 + 16 = 10.2 x −2 2 26) 2 x +1 − 9.2 x + x + 2 x + = 12 3x x 27) − 6.2 − 3( x −1) + x = 2 ) x ( = 2+ ) ) x 28) + = x 29) x = 128 30) x + x − = 31) 25 X − 6.5 x +1 + 53 = 32) x + 5.3 x + = 33) x − 25.3 x − 54 = 28 34) 35) 36) 37) 38) 2+ x + 32− x = 30 2( x +1) − 82.3 x + = x + 9.5 x = x + 9.7 x 2 x −1 − 36.3 x −3 + = 2 x +1 − x +1 − = 39) x + + x = x +1 40) x = 32 x + 2.5 x + 2.3 x 2 2 41) x −1 − x = x −1 − x + 2− x x x −1 42) = 10 x x 43) + + 16 − = x +3 ( ) ( 44) 3.16 + 2.81 = 2.36 x x 45) ( + ) lo2 x ) x + x −    log x = 1+ x2 ) ( 46) x x + − x − = x + − x − 47) x log = x 3log x − x log x 48) x.8 x + = 49) 2.x log x + x −3 log8 x − = 50) x + x log = x log 51) ( x − ) log ( x −2 ) = 4( x − ) 52) lg10 x − lg x = 2.3lg100 x x x x 1 1 1 53) x −   + x −   −   = −2 x + 3 2 6 x −1 x −1 54) 5.3 − 7.3 + − 6.3 x + x +1 = 55) 12.3 x + 3.15 x − x +1 = 20 56) log 2 x − x log = 2.3log x 57) x + x = x + 2 58) x −1 − x − x = ( x − 1) PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1) log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log 2) log 5− x x − x + 65 = ( ) 29 3) lg + lg( x + 10 ) − = lg( 21x − 20 ) − lg( x − 1)  1 1  1  4) lg x − lg x −  = lg x +  − lg x +   2 2  8  2 5) lg x − lg x = lg x − 6) log x − log x + = 3 7) log ( x ) + log 2 8) log (4 x x2 =8 ) ( ) − − log x − = x + log x x = log x x 9) log x 2 10) log − log x = x 11) log x x + 40 log x x − 14 log16 x x = 12) log x log x log x = log x log x + log x log x + log x log x x3 = + log x 14) lg( lg x ) + lg lg x − = 15) log ( x + 1) + log ( x + 1) = 16) log x − − log ( x − 10) + = 13) log ( x ) log x − log [ ( ) ] ( ( ) ) 17) log x + x = log x 18) log x − x −2 x = 2 19) log x x log x = 12 20) log x ( x + 1) − lg 4,5 = 3 3   21) log  x +  + log  x −  = x x   22) x + lg x − x − = + lg( x + ) 23) log x − − log ( x − 10) + = ( 24) log 25) log ( ) ) x log x 3 + log 2+ (x ) 3 3= − x − = log 2+ 26) log 92 x = log x log [ (x ] ) − 2x − 2x +1 −1 27) log x − log 3 x − = 28) log x + log x x + log x = log x 30 29) lg( x + 10) + lg x = − lg log ( x +1) 30) x − = log x + − log x 31) ( x + 3) log ( x + ) + 4( x + ) log ( x + ) = 16 32) log ( x +3 ) − − x + x = 2 log 36 + log 81 = log x −4 x −15 33) log ( ) ) ( ( ) 34) log x +1 x + = 35) 36) log 22 x + ( x − 1) log x + x − = 37) log x + log x = ( ) 38) log − x = log − x − 39) log x + x + + log x + x + 12 = + log ( ( ) ( ) ( ) ) x − + + x − log x − x = x x +1 41) log 5 − log 25 − = 40) ( 42) log 43) log 2+ 44) ( ) ( ) ( ) x + x = log x ) log 2 + log ( x ) = x 45) log ( x + + x + log 2− ) x2 +1 − x = ( ) x + log x + log 3 x = 3 =0 47) log x + log x = log log 225 = + log ( x + 1) 48) log ( x − 1) + log x +3 46) log x − log x + ( ) ( ) x x +1 49) log + = x − log − 50) log x + log x = + log x log x ) ( ( ) ( 51) log x − x − log x + x − = log 20 x − x − ( ) [ ] [log (9 − 6)] = ( + 4) − x = log ( 52) log + 5.3 = x +1 x 53) log x − 4.3 − = x + x 54) log x ) x x 55) log x 56) log ( x + 1) = log x +1 16 x ) + 12 − 31 ( ) ( log x ) log x 57) + 2 + x − 2 58) log x − = log ( x − 1) ( ) = 1+ x2 59) log ( log ( log x ) ) = 60) 61) x − lg x + + x − lg x + = ( ) ( ) ( ) ( ) 62) log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) − x + = ) ( ( ) ( 63) log x − x − log x + x − = log x − x − 64) log x + log x + log x = ( ) 16 ( ) ) x +1 65) log 5 − log 25 − = 66) log x + log x = log log 225 x 67) log ( x + 8) − log ( x + 26 ) + = 68) x log x 27 log x = x + 69) log ( x + ) + log x + x + = ( ) ( ) 71) ( x − 1) lg ( x + 1) + 2( x − 1) lg( x + 1) = 72) log ( x + 1) + log = log ( x + 2) − log ( x − ) 2 70) log1−2 x x − x + − log1−3 x x − x + − = 2 2 2 5 25 73) ( x + ) log ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) − 16 = 3 74) log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 x3 log log x − log = + log x 75) 3 x 2 76) log x +7 + 12 x + x + log x +5 x + 23 x + 21 = ( ) 2 77) x log x − x − − x log ( (5x ) ) − 2x − = x + 2x 78) log x log x = log x + log x − 79) ( x − 3) log ( x − 1) + log x −1 = ( x − 3) log x −1 + log x − 2 x  80) log x + x log ( x + 3) =  + log ( x + 3)  log x 2  BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) + x −x ≤9 32 +1 x x 2)   + 3  = 12     3) 16 log a x ≥ + 3.x log a 4) ( ) +1 − x2 + x + 2−x ( + x +1 ) < −1 − x2 + x 5) x − 8.3 x + x + − 9.9 x + > 6) x −4 + x − x −2 ≥ 7) x +1 − 16 x < log ( ) 8) x − 2( x −1) + 1  9) 2 x +1 − 21  2 −1 ( x −1) > 52 x +3 +2≥0 −1 10) 9.4 x + 5.6 − x < 4.9 x 4 11) 8.3 x + x + x +1 ≥ x x 12) x + x + < ( ) z2 −x 2 13) 6.9 − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ 14) − x − x + x > x.3 x − x − 3x + x x 15) x + x x + 31+ x < 2.3 x x + x + 16) ( 5+2 ) x −1 ≥ ( ) x −1 − x +1 2 17) 25 x − x +1 + x − x +1 ≥ 34.15 x − x 18) ( log5 x ) + x log5 x ≤ 10 19) log3 x−2 x 20) ( 0,12 ) 21) x −4 log 3x + x + x −5 ) −1 6x 2x −1 − ( x + 1) log ( − x ) 10) log x ( x + 5) ≤ 11) log x + log x ≤ ( ) ( ) x + 8x − 2x − + ≤ x 13) x − 16 x + log ( x − 3) ≥ 14) log x − x + + log x − > log ( x − 3) 3 12) x − x + + log ( ) 2x − 17) log x − x + log ( x + 1) 15) log 3 ( ( 20) log ( x ) 18) log x + x ≤ 2 19) log x − 11x + 43 < 2 21) ) ) − x + < −2 log ( x + 1) ≤ log ( − x ) 22) log x + 6x + < − log ( x + 1) 2( x + 1) 34 18 − x  x 23) log 18 − log   ≤ −1   x 24) log x log − < log ( x − 1) + log ( x + 1) + log ( − x ) < 25) ( ) [ )] ( 3 26) log x − x ( − x ) > ( ) 27) log x x + x − > ( ) ) ( 2  2 28) + x − x + 12  − 1 ≤ 14 x − x − 24 + log x x x  29) log x x − x + > 30) =  3x −  x log − log 31) 1  16  ≤  4 ( ) ( 32) log 0,3 ) ( ) x + − x +1 > x − > log ( x + 3) 33) log x − x + + log 34) ( ) ( ) log x − x + 11 − log11 x − + 11 2 − x − 3x >0  1 35) ( log x ) ≥  log x −  4   4x −  ≤ 36) log x   x−2  37) log ( x − 1) > log 1 − − x 2 2 ( ) log x − log x > 2 x−5 ≥0 39) log ( x − ) − 38) 40) log x + < log ( − x − ) + log ( x + 2) > 41) 2x +1 x ( ) log x − 42) − log x 8 35 [ )] ( x 44) log x log − ≤ 45) log x − log x < log x log x 46) ( ) log x − x +  2x −1   >1 48) log x   x −1  + log 32 x >1 49) + log x 50) log x − log x > log 35 − x >3 51) log ( − x ) 52) log x − x +1 x − x − < 53) log x − log x > 2 log ( x + 1) − log ( x + 1) 54) >0 x − 3x − lg x − x + >2 55) lg x + lg 2 56) log x x − 18 x _ + 16 > ( ) ( ) ( ) 57) log x 64 + log x 16 ≥ 2 58) log x + log x < 1  59) log x  x −  ≥ 4  60) x + log x − x + > − ( x + 1) log ( − x ) ( ) 61) log ( x+ − ≤ log x) x +1    log ( x − 1) 62) log 25 ( x − 1) ≥ log   2x −1 −1 63) ( ) ( log x + x + + > log 2 x + x + )  x3   32  64) log x − log   + log   < log x x    2 36 65) ( ) log 22 x + log x − > log x − ( 66) log x −1 ) ( + − > log x −1 + ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGA I Hệ phương trình mũ x   y +4 x 5 y −   3 x =y 1)   x = y −1  xy + xy  = 32 2) 4 log ( x − y ) = − log ( x + y ) x  1y 2y  = 3 3)   x + y = 2x −  x y 3y  2yx 2 = 2 x 4)  x ( 1− y )  y y =   xy = 5)  2 lg x + lg y = 3 x − y = 77  y 6)  3 x − 2 =  y log y x = + y 7)  log x xy = log y x 3.2 x − 2.3 y = −6 8)  x +1 2 − y +1 = −19 x− y  x + y = 9)  x − y 5 = 5.3 x − y −3  2 x = y − y  10)  x + x +1 =y  x  +2 37 ( )  x + y y − x = 11)  4 8 x + y − x − y = 3lg x = lg y 12)  ( x ) lg = ( y ) lg  log xy  y.x = x2 13)  log y log y ( y −3 x ) = 2 x +1 + y −2 = 3.2 y +3 x 14)   x + xy + = x + 2 x + xy + y = 14  15)  log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) =  − 2 x + + y = 16)  y x  + 2 + + = II.Hệ phương trình lôgarit  x − y = ( log y − log x )( + xy ) 1)  3  x + y = 16 lg x lg y 3 = 2)  ( x ) lg = ( y ) lg log x + log y = + log 3)  log ( x + y ) = 2( log y x + log x y ) = 4)   xy =  x log8 y + y log8 x = 5)  log x − log y = ( ( ( ) ) ( ) ( ) )  x log8 y + y log8 x = 6)  log x − log y = log x + y − log ( x ) + = log ( x + y )  7)  x log ( xy + 1) − log 4 y + y − x + = log y −  log ( log x ) = log ( log y ) 8)  log ( log x ) = log ( log x ) ( ) ( ) 38 2 x + xy + y = 14  9)  log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) = log x ( x + y ) = 10)  log y ( y + x ) = log x ( x + y ) + log y ( y + x ) = 11)  log x ( x + y ) log y ( y + x ) = 1  log x − log y = 12)   x + y2 − 2y =   x log3 y + y log3 x = 27 13)  log y − log x = 14) 15) 16) 17) 5 log x − log y = −8  5 log x − log y = −9 lg x = lg y + lg ( xy )  lg ( x − y ) + lg x lg y = 2 log1− x ( − xy − x + y + ) + log 2+ y x − x + =  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + ) =  4− x  x + − y =  x log x + y =  ( ( ) ) 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 18)   x + y − x − y = 12  xy + xy  = 32 19) 4 log ( x − y ) = − log ( x + y )  x + log y = 20)  x  y − y + 12 = 81y ( ) log xy =  x 21)  log y =  2  1− x2 x + xy + = y 2 22)  2  2  x y + 2x − 2x y − 4x + = ( ) 39 40