10 chủ đề về mũ và logarit lý thuyết và phương pháp giải bài tập

CHƯƠNG II MŨ VÀ LOGARIT Trang toanpt.com Chủ đề 1: LŨY THỪA I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Luỹ thừa vói số mũ nguyên  Luỹ thừa với số mũ nguyên dương Cho a∈¡ n∈¥ * Khi a n = a1.a4.a2 3a n thừ a số  Luỹ thừa với sổ mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ Cho a∈¡ n∈¥* Khi ; a = an a−n =  Luỹ thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự tính chất luỹ thừa với số mũ nguyên dương  Chú ý: 0 Căn bậc n Cho số thực Sô a Khi Khi Khi Khi −n ( n∈¥ ) b số nguyên dương gọi bậc n n n n lẻ ; b∈¡ chẵn chẵn; chẵn; khơng có nghĩa * n số n > b a n = b :Tồn bậc b < b=0 b>0 n khơng tồn bậc n có bậc có bậc n số thực n b số số số n b b b n b n b − b =0 n Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ Cho số thực a>0 số hữu tỷ m r= n , m ∈ ¢; n ∈ ¥ , n ≥ .Khi m n a = a = n am r Luỹ thừa vói số mũ vơ tỷ Giả sử a Khi số dương α số vô tỷ ( rn ) dãy số hữu tỷ cho n lim a r = aα m →+∞ Các tính chất Cho hai số dương a; b Nhóm cơng thức Trang m; n ∈ ¡ Khi ta có cơng thức sau Nhóm cơng thức toanpt.com lim rn = α m →+∞ a m a n = a m + n a   = a m−n  m = ⇒ n = a −n ÷ n a a   (a ) m m n n m n +) Tính chất 1: n a n b n = ( ab ) , n a n b = n ab =a ( a) a = n am = m m n n n an  a  n a n a = ÷ , = bn  b  n b b  a = a ∀a ∈ ¡   a = a +) Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến):  a > 1: a m > a n ⇔ m > n  m n  < a < 1: a > a ⇔ m < n +) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác số): Với a>b>0 am > bm ⇔ m >  m m a < b ⇔ m < II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức A= A A=a ( a ) ( a ) ( B 49 12 A=a a ) ( a > 0) C 133 60 ta được: A=a D 23 12 A = a2 Lời giải Ta có: 4 + + A = a a a = a a a = a 49 = a 12 Chọn A Cách : Các em cho a=2 bấm log ( 23 25 ) 49 49 = ⇒ A = a 12 12 (tại lại làm em học phần Logarit quay lại bàí ) Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức ta được: A = b b b ( b > ) A A=b B C A= b A=b Lời giải Ta có: 1 1 1 + + A = b b b = b Trang =b toanpt.com D b2 ( Các em cho bấm máy b=2 ) log 2 = ⇒ A = b Chọn C Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức ta được: a a a A= A B A = a2 A=a ( a > 0) C A=a D A=a Lời giải Ta có: 2 + + a a a a 3 = = a = a a a A= Chọn D Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức A = a a a A B A = a2 12 A=a ta được: ( a > 0) C A=a D A=a Lời giải Ta có: 1 1 + + 12 A = a a a 12 = a = a Chọn D Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức A= a A A=a B 2+ A=a 1+ 3 a 2+ a 5+ ( a > 0) C 2+ A=a ta được: 3+ D A = a1+ Lời giải Ta có: A=a 1+ a 2+ 3 a 1+ =a 1+ + + + + = aa 2+ Chọn B Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức π A=a a A A=a 2π + B A=a 2π + 3 π ( a > 0) ta được: C A=a 5π + 3 Lời giải Ta có: A = aπ aπ = aπ a π a Chọn D Trang π +3 4π + = a3 a π +3 = a π a = a toanpt.com D A=a 4π + 3 (Cách đề nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO ) Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức A A = a 3− A=(a B ) 3+ 2 A = a 3− 2 ta được: 1− a a −4 − C ( a > 0) D A = a 3+ 2 A = a 2−2 Lời giải Ta có: A = a 6+ a1− a −4− = a 6+ 2 +1− − − =a 3−2 Chọn B Ví dụ 8: Đơn giản biểu thức A= A B A=a− a ( 4+ a −a 2 ) a ta được: −1− 2 C A = a2 − a A= a− a D A = a2 − a Lời giải Ta có: A= ( a 4+ −a 2 ) a −1− 2  4+ = a   −a 2  −1−2 a ÷ ÷  =a + 2 −1− 2 −a 2 −1 a − a = a − −1− 2 a Chọn A Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức ta được: A = a3 A A=a B A=a a3 a C 18 A=a D A = a 16 Lời giải Ta có: A = a3 3 − 12 −1 5 3 a a −2 a a = = a a = a.a = a =a a 6 18 Đương nhiên tốn ta cho   5 log  3 23 ÷ = ⇒ A = a  ÷ 18 18   a=2 bấm Chọn B Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức  b b  A = 1 − + ÷ :  a − b b ÷ a a   A A = a−b Trang B A=a C 1 A= a toanpt.com ta được:  ÷ ÷  ( a; b > ) D A = a+b Lời giải Ta có:  b A =  − ÷ : a÷   ( a− b )   a− b =  ÷ : a ÷   ) ( a − b2 = a Chọn C Với toán em sử dụng CASIO cách cho Thay a = 4; b = ta a = 4; b = thử đáp án A= Chọn C Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức −2 ab A= A 11 A = a b B −1 11 A = a b ( ab ta được: ) ( a; b > ) ab C −1 A = a b D −1 A = a b Lời giải Ta có: A= ( ab−2 ab2 ) 2 ( ab ) = ab−2 a2 b3 = 5 a2 b a2 b a b = a b −1 11 = a16 b a b Chọn A Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức  a5  A =  5−2 ÷ b ÷   A B 3+ A= a 3+ A= a ta được: 5+ a−2− b−1 ( a;b > 0) C 3+ A= a b D b a3+ Lời giải Ta có: (a ) A= (b ) 5− 5+ 5+ b 2+ a = a5+ b 2+ ba = a3+ Chọn D Ví dụ 13: Đơn giản biểu thức: A= A A = ab B b+ b a A = ab 3 a+ b ta được: a ( a;b > 0) C A = ab Lời giải Trang toanpt.com D A= a− b Ta có: 1   a3 b3  a6 + b6 ÷ a b + b a   = ab A= = 1 1 a6 + b6 a6 + b6 3 Chọn B Ví dụ 14: Đơn giản biểu thức 3 a −a A= B A = a+ b 2 −1 b −b − a −a A ta được: −1 ( a;b > 0) b +b C A = a− b A = a + b+ D A = a− b+ Lời giải Ta có: A= ( a3 1− a2 a ( 1− a) )− −1 ( b 1− b2 −1 b ( b + 1) ) = 1+ a − ( 1− b) = a + b Chọn A Ví dụ 15: Đơn giản biểu thức: −1 −1 2 a +a A= + a +a A A = a2 + b B ta được: b −b b4 − b4 C A = a2 + a − b A = a2 − a − b D A = − ( a + b) Lời giải Ta có: −1 A= ( a 1+ a3 −1 a ( 1+ a) )+ ( b4 1− b2 ) =a + b2 − − = a − a + 1− ( b + 1) = a2 − a − b a+ b− b ( b − 1) Chọn C Ví dụ 16: Đơn giản biểu thức   a + b  a + b − ab ÷   a;b > 0; a ≠ b A= ( ) 2   3 3 a − b  a + b + ab ÷   ( ( A a+ b A= a− b B a− b A= a+ b ) ) C A=1 Lời giải Trang ta toanpt.com D 1 a3 + b3 A= a− b Ta có:   a + b  a3 + b3 − ab ÷  = A= 2   a − b  a3 + b3 + ab ÷   ( ) ( ) ( a ) + ( b) ( a ) − ( b) 3 3 3 3 a+ b a− b = Chọn A Ví dụ 17: Cho A .Tính giá trị biểu thức 2x = A = 4x + 3.2− x − B A=8 C A= D A = 11 A = 17 Lời giải Ta có ( ) A = 2x + − = + 1− = 2x Chọn B Ví dụ 18: Cho A 3x = Tính giá trị biểu thức 2x−1  1 A = 32x−1. ÷  3 B A = 39 C A = 25 + 9x+1 D 81 A= A= 45 Lời giải Ta có : A = 3x+1 2x+1 ( ) + 9x.9 = 3− x+ + 3x + 3x x ( ) = = 81 Chọn C Ví dụ 19: Biết A =5 x Tính giá trị biểu thức B 28 A= 2x x  3   A =  ÷  + 4− x+ ÷  2   C 31 A= D A=6 A= 141 25 Lời giải Ta có: x  3 A=  ÷  2 x x 16 16 141   16    ÷ + x =  ÷ + = 2x + = 25 25  3  3 2x ( ) Chọn D Ví dụ 20: Cho A = a; = b x x A = a + ab + b B Hãy biểu diễn A = 24 + + x A = a b + ab + b 2 C x theo a b A = ab + ab + a Lời giải Trang x toanpt.com D A = a3 + ab + b2 Ta có: A = ( 23.3) + ( 2.3) + ( 32 ) = 23x.3x + 2x.3x + 32x = a3b + ab + b2 x x x Chọn A Ví dụ 21: Cho A ( ) tính giá trị biểu thức x 2+1 = A= B A = 18 C A=0 ( ) −1 2x ( + 3+ 2 D 82 A= A= ) x 28 Lời giải Ta có: ( )( ) 2+1 Do A=   ( ( ) ( − = 1; 3+ 2 = ) −1 2x 2+1   +  ( ) x 2+1  =  ) 2+1 ( ) 2+1 −2x + ( ) 2+1 2x = 3−2 + 32 = 82 Chọn C Ví dụ 22: Cho A =4 x tính giá trị biểu thức x T = 25x − 52− x + 52 B T = 14 C 47 T= T = 118 D T=6 Lời giải Ta có: ( ) T = 5x − 25 25 47 + 5x = 16 − + 2= x 4 Chọn B Ví dụ 23: Cho A a = 2x ;b = 5x B T = ab( a + b) Hãy biểu diễn T = 20x + 50x C ab T= a+ b theo a b T = a2 + ab2 D T = ab + a2b Lời giải Ta có: T = ( 22.5) + ( 52.2) = 22x.5x + 52x.2x = a2b + ab2 = ab( a + b) x x Chọn A Ví dụ 24: Cho − a A − >a B 1> a > b > a >b x x Khẳng định sau C 1> b > a > a> b> Lời giải Ta có: − 3< − Trang nên a− > a− ⇔ < a < toanpt.com D b> a> Mặt khác a > b ⇔ a> b x x 1> a > b > Chọn A Ví dụ 25: Cho ( a − 1) A −3 −4 > ( a − 1) B a;b > Khẳng định sau b > b 3 C < a < 2;b > D < a < 2;b < a > 2; b > Lời giải Ta có: −3 −4 > nên −3 −4 ( a − 1) > ( a − 1) Mặt khác ⇔ a − 1> 1⇔ a > 2 b > b ⇔ b > b ⇔ b> 3 Do a > 2; b > Chọn D Ví dụ 26: Khẳng định A (x C ( + 1) 2017 ) 2+1 > ( x + 1) x2 +1 > ( 2016 ) −1 1− x2 B ( ∀ x ∈ R) ( ) ( −1 > ) −1 D Cả A C ( ∀ x∈ R) Lời giải A sai vifkhi không thỏa mãn x= C ( nên ( ) −1 ) 2+1 x2 +1 > 1− x2 ( =  ( ) −1 ) 2+1   1− x2 −1 1− x2 = ( ) 2+1 x2 −1 ( ∀ x∈ R) Chọn C Ví dụ 27: Cho ( a − 2) A 2< a< b< ( a − 2) > B ( a − 1) 2< b< a < − > ( b − 1) C − b> a> Khẳng định đúng? D a> b> Lời giải Ta có: ( a − 2) Suy > ( a − 2) ⇔ ( a − 2) 3  > ( a − 2) ⇔ < a − <  < ÷ 2  2< a< Trang 10 toanpt.com CHỦ ĐỀ 10: ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT-GTLN, GTNN CỦA MŨ VÀ LOGARIT NHIỀU BIẾN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Công thức 1: Lãi kép: T = A(1 + r ) n A số tiền ban đầu, r lãi suất/ kỳ hạn n số kỳ hạn T số tiền gốc lẫn lãi thu Như số tiền lãi π = T − A = A(1 + r )n − A Công thức 2: Tăng trưởng dân số: N = N (1 + r )n N0 dân số năm ban đầu, r tỷ lệ tăng dân số/ năm, n số năm N dân số năm cần tìm Cơng thức 3: Hao mịn tài sản diện tích rừng bị giảm + Hao mòn tài sản: H = H (1 − r ) n H0 giá trị tài sản lúc ban đầu, H giá trị tài sản sau n năm r tỷ lệ hao mịn tính theo năm + Diện tích rừng bị giảm: T = T0 (1 − r ) n T0 diện tích rừng ban đầu, T diện tích rừng sau n năm r tỷ lệ rừng giảm năm Công thức 4: Tăng trưởng bèo tăng trưởng vi khuẩn Giả sử lượng bèo ban đầu T0 lượng bèo tăng gấp lần sau n lượng bèo (nếu tăng k lần cơng thức T = T0 k n ) Công thức 5: Giờ hàng tháng số tiền m (tiền) T = m(1 + r ) n + m(1 + r ) n−1 + + m(1 + r ) = m(1 + r ) (1 + r ) n − r Cơng thức 6: Trả góp hàng tháng số tiền m (tiền) T (1 + n)n = m(1 + r ) n −1 + + m ⇒ T (1 + r ) n = m VÍ DỤ MINH HỌA Trang 180 toanpt.com (1 + r ) n − r T = T0 2n PHẦN 1: BÀI TOÁN LÃI SUẤT Ví dụ 1: Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian, lãi suất không đổi người khơng rút tiền A 13 năm B 12 năm C 14 năm D 11 năm Lời giải Gọi n∈¥+ số năm cần để có 100 triệu đồng Suy năm n 50(1 + 6%) > 100 ⇔ n > 11,9 ⇒ n = 12 Chọn B Ví dụ 2: Đầu năm 2016, ơng A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng? A Năm 2002 B Năm 2021 C Năm 2020 D Năm 2023 Lời giải Tổng số tiền ông A trả lương cho nhân viên sau n năm là: Giải T = T0 (1 + r ) n = 1(1 + 15%)n (1 + 15%) ≥ ⇒ n ≥ 4,95 ⇒ n = Chọn B Ví dụ 3: Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất 6,5%/năm Biết rằng, sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x∈¥ ) ơng Việt gửi vào ngân hàng để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng A 150 triệu đồng B 154 triệu đồng C 145 triệu đồng D 140 triệu đồng Lời giải Công thức lãi kép T = A(1 + r ) n Tiền lãi ông Việt có sau năm tiền gốc + lãi trừ số tiền gốc ban đầu Ta có: A(1 + 6, 5%) − A ≥ 30 ⇔ A ≥ 30 (1 − 6,5%)3 − triệu ≈ 144, 26 Chọn C Ví dụ 4: Trong nơng nghiệp bèo hoa dâu dùng làm phân bón, tốt cho trồng Mới nhóm nhà khoa học Việt Nam phát bèo hoa dâu dùng để chiết xuất chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch hỗ trợ điều trị bệnh ung thư Bèo hoa dâu thả nuôi mặt nước Một người thả Trang 181 toanpt.com lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ Biết sau tuần bèo phát triển thành lần lượng có tốc độ phát triển bèo thời điểm Sau ngày bèo vừa phủ kín mặt hồ? A B x log 25 C 25 37 D 24 7x x log3 24 Lời giải Gọi A lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ lượng bèo Sau tuần số lượng bèo 3A suy n tuần lượng bèo là: Để lượng bèo phủ kín mặt hồ 100 A 3n A 100 100 A = A ⇒ n = log3 = log3 25 ⇒ 4 thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là: n t = log 25 Chọn A Ví dụ 5: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A khơng đủ nộp học phí nên Hùng định vay ngân hàng năm năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm Sau tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (khơng đổi) với lãi suất 0,25%/tháng vịng năm Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết hàng đơn vị) là: A 232518 đồng B 309604 đồng C 215456 đồng D 232289 đồng Lời giải Vậy sau năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là: s = 3000000 ( + 3% ) + ( + 3% ) + (1 + 3%) + (1 + 3%)  = 12927407, 43   Lúc ta coi bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu 12.927.407,43 đồng, số tiền bắt đầu tính lãi trả góp năm Ta có cơng thức: ⇒T = N (1 + r ) n r (1 + r )n − = 12927407, 4(1 + 0, 0025) 60 0,0025 (1 + 0, 0025)60 − ≈ 232289 Chọn D Ví dụ 6: Các lồi xanh q trình quang hợp nhận lượng cacbon 14 (một đồng vị cacbon) Khi phận nào… tượng quang hợp ngưng khơng nhận thêm cacbon 14 Nhưng cacbon 14 phận phân hủy cách chậm chạp, chuyển hóa thành Nito 14 Biết gọi Trang 182 P(t ) số phần trăm cacbon 14 lại phận sinh toanpt.com trưởng từ t năm trước P(t ) tính theo cơng thức t 5730 = 100.(0, 5) (%) P (t ) Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 cịn lại mẫu gỗ 53% Hãy tính niên đại cơng trình kiến truc A 5530 năm B 6241 năm C 5064 năm D 5248 năm Lời giải T có: P (t ) = 100.(0,5) 5730 năm = 53 ⇒ 5248 Chọn D Ví dụ 7: Các nhà nghiên cứu cho biết dân số giới năm 1950 2,56 tỉ người năm 1960 3,04 tỉ người Đồng thời nhà nghiên cứu cịn cơng bố dân số giới tăng hàng năm theo hàm mũ theo thời giưn có dạng sau P (t ) = P(0).e P(t ) kt P (0) dân số giới thời điểm chọn làm mốc, dân số giới thời điểm t (năm) hệ số k số Hãy ước lượng dân số giới vào năm 2020 có khoảng tỉ người A tỉ người ≈8 B ≈ 8,33 tỉ người C ≈ 8, tỉ người D tỉ người ≈ 8,52 Lời giải Dựa vào đề ta có 3.04 = 2,56.e10 k ⇒ k ≈ 0, 0172 Suy dân số giới ước tính năm 2020 P (2010) = 2,56.e 0,0172.70 tỉ người ≈ 8,52 PHẦN 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Ví dụ 1: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ ln x + ln y ≥ ln( x + y ) P = x+ y A B P=6 C P = 3+2 D P = 2+3 P = 17 + Lời giải Từ giả thiết, ta có 2 ln x + ln y ≥ ln( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x Vì x =1 khơng thỏa mãn (*) y > ⇒ x >1⇒ P = x + y ≥ Xét hàm f ( x) = Trang 183 x +x x −1 khoảng (1; +∞) , có f '( x) = toanpt.com (*) x2 + x = f ( x) x −1 x2 − x + ( x − 1) , ∀x ≠ Phương trình 2+  x > f '( x) = ⇔  ⇔x= 2 x − x + = Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số Vậy giá trị nhỏ biểu thức P f ( x) suy  2+  f ( x) = f  ÷ ÷= + 2 (1;+∞ )   3+ 2 Chọn B Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x + y >1 nhất, giá trị nhỏ biểu thức A P = 2x + y log x2 + y ( x + y) ≥ Gọi M, m giá trị lớn Tính M+m B C D Lời giải Vì 2 suy x + y >1 y = log x2 + y Khi log x2 + y ( x + y ) ≥ log x2 + y f ( x) hàm số đồng biến tập xác định ( x2 + y ) ⇔ x + y ≥ x2 + y ( ) 1 1   ⇔ x − x + y − y ≤ ⇔  x − x + ÷+ y − y + ≤ ⇔  x − ÷ + ( y − 1)2 ≤ 4 2   Xét biểu thức P, ta có 1 1   P = x + y =  x − ÷+ y − + ⇔  x − ÷+ y − = P − 2 2   Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có 2    1  1 2 2 x + + y − ≤ (2 + ) x + + y −   ( ) ÷  ÷    2 2       Pmin = −  25 5  ⇔ ( P − 2) ≤ = ⇔ − ≤ P−2≤ ⇔ − ≤ P ≤ →  2 2 P =  max Vậy tổng M +m=  1 +  − ÷=  2 Chọn C Ví dụ 3: Xét số thực a, b thỏa mãn điều kiện a P = log 2a ( a ) + 3log b  ÷ b b Trang 184 toanpt.com a > b >1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức A B Pmin = 19 C Pmin = 13 D Pmin = 14 Pmin = 15 Lời giải Ta có  log 2b (a ) =  log a  a  b Khi đó, biểu thức P= Đặt t = log a b Xét hàm số với f (t ) Tính giá trị  4 a÷ = = = 2 ÷  (1 − log a b)2 a log a a − log a b ) (   log a ÷ b  (1 − log a b) f '(t ) = − (1 − log a b) suy a > ⇒t >0  b > , có + 3log b a − = P = f (t ) = (1 − t ) − t 1 f  ÷ = 15, lim f (t ) = +∞ t →1 3 −3 log a b + −3 t (1 − t ) lim f (t ) = +∞ t →0 Dựa vào bảng biến thiên, suy giá trị nhỏ hàm số Vậy giá trị nhỏ cần tìm + , f (t ) = ⇔ t = f (t ) 15 Pmin = 15 Chọn D Ví dụ 4: Cho số thực a, b thỏa mãn B Pmin = 36 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 27 (2 log ab a + log ab b) + log a b + P= A a > 1, b > C Pmin = 24 D Pmin = 48 Pmin = 32 Lời giải Xét biểu thức P, ta có P= Đặt  27  +  ÷+ log a b +  log a ab logb abb  t = log a b(t > 0) ⇔ log b a = t Xét hàm số f (t ) = Khi với 27  t +   ÷ + 4t t+2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy Trang 185 P= 27  t  +  ÷ + 4t +  t +1 t +1  t ∈ ( 0; +∞ ) f (t ) , có f '(t ) = (t − 2)(2t + 5)2 (t + 1)3 = đạt giá trị nhỏ toanpt.com ⇔t =2 f (2) = 32 ⇒ Pmin = 36 Chọn A Ví dụ 5: Cho hai số thực số thực m cho b=a A m a ≥ b >1 Tính B 23 M −m = Biết rừng biểu thức đạt giá trị lớn M có a T= + log a log ab a b P = M +m C 81 M −m = 16 D 19 M −m = M −m = 51 16 Lời giải Xét biểu thức T, ta có Đặt t = log a b Xét hàm số với t ∈ ( −∞;1] , khoảng f (t ) Tính giá trị T = log a (ab) + log a a − log a b = log a b + − log a b + T = f (t ) = 2t + − t + t ∈ ( −∞;1]  15  33 f (1) = 4, f  ÷ =  16  , có f '(t ) = − 15 ; f '(t ) = ⇔ t = 16 1− t lim f (t ) = −∞ t →−∞ Dựa vào bảng biến thiên, suy giá trị lớn hàm số Vậy 33 M= 15 b = a ⇔ m = log a b = t = 16 f (t ) suy m M −m = 33 51 16 Chọn D Ví dụ 6: Cho a, b số thực dương khác Biết biểu thức M b=a A m Tính M +m B M +m = b log a + log b a a P= log a (ab) + logb a M +m= C M +m= Lời giải Xét biểu thức P, ta có P= Trang 186 log a b − log a a + log b a log a b + log b a − = log a a + log a b + logb a log a b + log b a + toanpt.com D M +m=0 đạt giá trị nhỏ Đặt t = log a b ⇔ logb a = t Xét hàm số f (t ) Tính giá trị khoảng t ∈¡ , (−∞; +∞) f (1) = , f (−1) = 3 xảy Vậy với t + −1 t − t +1 t P = f (t ) = = t + +1 t + t +1 t , có 2(t − 1) f '(t ) = (t + t + 1) lim f (t ) = , f '(t ) = ⇔ t = ±1 suy giá trị nhỏ hàm số t →∞ f (t ) Dầu “=” t = ⇔ log a b = ⇒ a = b 1 M = , b = am = a ⇒ m = → M + m = + = 3 Chọn C Ví dụ 7: Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn b = 3ab + 4a lớn giá trị nhỏ biểu thức b P = log b 4a + log 4 32  a ∈  4;   Tính tổng Gọi M, m giá trị T =M +m A B 3701 T= 124 C T= 2957 T= 124 D T= 1897 62 Lời giải Từ giả thiết, ta có a a a b = 3ab + 4a ⇔  ÷ + − = ⇔ = ⇔ b = 4a b b b Khi = b 3 P = log b 4a + log = log b b + (log b − log 4) = + log b − b 4 4 log b 8 3 3 log b 3 + log b − = + log b − = + log b − − log b 1− log b − log b Đặt t = log b Xét hàm số Trang 187 với a ∈  4; 232  ⇒ 16 ≤ b ≤ 234 ⇒ ≤ log b ≤ 34 ⇒ t ∈ [ 3; 4]   t f (t ) = + t t −3 với t ∈ [ 4;34] , ta có f '(t ) = toanpt.com 3(t − 6t + 5) 4(t − 3)2 ; ∀t ∈ [ 4;34] Phương trình Suy  ≤ t ≤ 34 25 1649 f '(t ) = ⇔  ⇔ t = ⇒ f (4) = 7, f (5) = ; f (34) = 62 t − 6t + = 1649   778 f (t ) = f (34) = M = Pmax = [max  4;34 62 ] 3701   31 ⇒ ⇒T = M +m=  124  f (t ) = f (5) = 25  m = P = 19 [ 4;34]  Chọn A Ví dụ 8: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y +1 + ln = xy − x − y xy A B m= Tìm giá trị nhỏ m biểu thức C m =1 P = xy D m= m=0 Lời giải Sử dụng công thức a ln = ln a − ln c b + ln , từ giả thiết, ta có x + y +1 = xy − x − y ⇔ + ln( x + y + 1) − ln xy = xy − x − y 3xy (*) ⇔ ln( x + y + 1) + 3( x + y + 1) = ln(3 xy ) + 3(3 xy ) ⇔ f ( x + y + 1) = f (3 xy ) Xét hàm số Khi f (t ) = ln(t ) + 3t với t >0 , ta có f '9t ) = + > ⇒ f (t ) t (*) ⇔ x + y + = 3xy ⇔ xy − = x + y ⇔ ( )( ) xy − xy + ≥ ⇔ ≥ AM −GM hàm số đồng biến xy ⇔ 3xy − xy − ≥ xy ≥ ⇔ xy ≥ ⇒ Pmin = ⇒ m = Chọn B Ví dụ 9: Xét số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện Pmin biểu thức A Pmin − xy log3 = xy + x + y − x + 2y P = x+ y 11 − 19 = B Pmin 11 + 19 = C Pmin 18 11 − 19 = 21 Lời giải Từ giả thiết, ta có Trang 188 Tìm giá trị nhỏ log3 (1 − xy ) − log3 ( x + y) = xy + x + y − toanpt.com D Pmin = 11 − 3 (*) ⇔ log (3 − xy ) + − xy = log3 ( x + y) + x + y Xét hàm số Suy f (t ) f (t ) = t + log t vớ > 0; ∀t > l.ln t > 0, f '(t ) = + hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Khi (*) ⇔ f (3 − 3xy ) = f ( x + y ) ⇔ − 3xy = x + y ⇔ − y = (3 y + 1) x ⇔ x = Thế vào biểu thức , ta 3− 2y y2 − y + +y= = f ( y) 3y +1 3y +1 P = x+ y = Xét hàm số f ( x) khoảng ( 0; +8) Dựa vào bảng biến thiên, suy 3− 2y 3y +1 ,có y + y − 10 f '( y ) = (3 y + 1) =0⇔ y= −1 + 11  −1 + 11  11 − f ( x) = f  ÷ ÷= (0;+∞ ) 33   Chọn B Ví dụ 10: Xét hàm số f (t ) = f ( x) + f ( y ) = với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho t t + m2 với số thực x, y thỏa mãn e A B Tìm số phần tử ISI x+ y ≤ e( x + y ) C Vô số D Lời giải Đặt a = x + y ∈¡ , xét hàm số Theo ra, ta có e ⇔ x + y =1 9x x +m x + y≤e( x + y ) g (a ) ≥ f (0) ⇔ e ≥ ea ⇔ e x + y ≥ e( x + y ) suy e x + y = e( x + y ) ⇔ x + y = , xét biểu thức + g '(a) = ea − e; g '(a ) = ⇔ a = g (a ) = e − ea Dựa vào bảng biến thiên, ta Với , ta có a f ( x) + f ( y ) = x 9+9 m =1⇔ x 9+9 m 9x x + m2 = 1− + 9x x +m 9y y + m2 = m2 x +m 9.9 x + 9m2 = 9m + x m4 ⇔ m4 = ⇔ m = ⇔ m = ± Chọn D Trang 189 toanpt.com = 9x x + m2 + 91− x 91− x + m =1 ⇔ 9(9 x + m ) = m2 (9 + x m ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,25% năm Hỏi sau năm rút tiền lãi Bác Hiếu thu tiền lãi? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi) A 48,155 triệu đồng B 147,155 triệu đồng C 58,004 triệu đồng D 8,7 triệu đồng Câu 2: Bác Hùng gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép theo kì hạn tháng với lãi suất 5,28% quý Hỏi sau năm bác Hùng thu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử lãi suất hàng quý không đổi) A 318,355 triệu đồng B 518,881 triệu đồng C 259,44 triệu đồng D 9,8 triệu đồng Câu 3: Một người gửi 25 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép theo kì hạn tháng với lãi suất 4,25% kì Hỏi sau năm người thu tiền (cả vốn lẫn lãi)?(Giả sử lãi suất hàng quý không đổi) A 17,439 triệu đồng B 34,878 triệu đồng C 69,756 triệu đồng D 9,9 triệu đồng Câu 4: Bác Bình đầu tư 15 triệu đồng vào công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 10,99% năm Hỏi sau năm rút tiền lãi bác Bình thu tiền lãi ? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi) A 4,155 triệu đồng B 3,789 triệu đồng C 5,509 triệu đồng D 3,12 triệu đồng Câu 5: Bác An đầu tư 67 triệu đồng vào công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 5,99% quý Hỏi sau năm rút tiền lãi bác An thu tiền lãi? (Giả sử lãi suất hàng quý không đổi) A 39,707 triệu đồng B 24,699 triệu đồng C 58,004 triệu đồng D 9,2 triệu đồng Câu 6: Một người đầu tư vào 25 tờ trái phiếu tờ có mệnh giá triệu đồng với lãi suất r%/năm vòng năm Sau năm người có số tiền gốc lẫn lãi 72,5 triệu đồng Hỏi lãi suất r tờ trái phiếu phần trăm năm A 7% B 8% C 9% D 10% Câu 7: Một người muốn có số tiền 100 triệu sau năm để dùng số tiền đầu tư vào quán café Với lãi suất ngân hàng 15%.năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi từ phải gửi vào ngân hàng số tiền để đáp ứng nhu cầu đó? (Chọn kết gần nhất) A 59,75 triệu đồng B 70,75 triệu đồng C 75,75 triệu đồng D 65,75 triệu đồng Câu 8: Anh A muốn có 500 triệu sau 10 năm để mua mảnh đất Anh B bạn thân anh A có cửa hàng chuyên bán điện thoại Iphone muốn anh A góp vốn đầu tư, anh B tự tin chắn với anh A mức lợi nhuận thu từ cửa hàng 12%/năm lợi nhuận hàng năm thu từ cửa hàng lại tiếp tục sử dụng để tái đầu tư Hỏi từ số tiền anh A cần phải đầu tư vào bao nhiêu? (Chọn kết gần nhất) A 160 triệu đồng B 180 triệu đồng C 200 triệu đồng D 220 triệu đồng Câu 9: Hiện bạn sinh viên A có khoản tiền, sau năm sau trường bạn A cần dùng đến số tiền để mua xe máy Hiện ngân hàng Vietinbank có loại hình gửi tiết kiệm sau: +) Kì hạn tháng, lãi suất 12% năm +) Kì hạn tháng, lãi suất 12% năm +) Kì hạn tháng, lãi suất 12% năm Trang 190 toanpt.com +) Kì hạn 12 tháng, lãi suất 12% năm Hỏi bạn A nên gửi tiền theo hình thức A Kì hạn tháng B Kì hạn tháng C Kì hạn tháng D Kì hạn 12 tháng Câu 10: Bạn NAM vay số tiền ngân hàng VIB Bank trả góp số tiền vịng 40 tháng với mức lãi suất 1,2%/ tháng Mỗi tháng bạn NAM trả số ti/.ền triệu đồng cho ngân hàng Vậy số tiền bạn NAM vay ngân hàng Chọn kết gần nhất? A 100 triệu đồng B 40 triệu đồng C 50 triệu đồng D 65 triệu đồng Câu 11: Ông A mua trả góp nhà có trị giá tỷ đồng Ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng với mức lãi suất r%/tháng, tháng ông A trả số tiền fnhau 340 triệu đồng Biết ơng A hồn nợ vịng tháng kể từ ngày vay Lãi suất vay gần với kết kết sau A r = 1, 2% / tháng B r = 1% / tháng C r = 0,8% / tháng D r = 0,9% / tháng Câu 12: Bạn AN định vay số tiền để mua xa máy hoàn nợ ngân hàng theo hình thức trả góp với mức lãi suất r%/ tháng vòng tháng Nếu số tiền bạn AN vay T triệu đồng tháng bạn phải trả số tiền 10,5 triệu đồng, số tiền bạn AN vay T + 10 triệu đồng tháng bạn phải trả số tiền 15,225 triệu đồng Vậy giá trị T là: A 24 triệu đồng B 20 triệu đồng C 18 triệu đồng D 25 triệu đồng Câu 13: Một người gửi tiết kiệm 300 triệu đồng loại kì hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45 % năm Sau 10 năm tháng, gọi T số tiền vả vốn lẫn lãi người nhận Biết người khơng rút lãi tất cac định kỳ trước đó, T gần giá tri sau nhất? A 800 triệu đồng B 890 triệu đồng C tỷ D 900 triệu đồng Câu 14: Ơng A có số tiền 50 triệu đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 1,2%/ tháng Sau tháng ông A gửi thêm vào 100 triệu đồng lãi suất tháng sau 1,6%/tháng Sau 20 tháng kể từ lúc gửi tiền ban đầu, số tiền ông A nhận gốc lẫn lãi là: (đơn vị triệu đồng, làm tròn đến số thập phân thứ nhất) A 195,6 B 187,5 C 189,9 D 197,8 Câu 15: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn tháng, lãi suất 5% quý theo hình thức lãi kép (sau tháng tính lãi cộng vào gốc) Sau tháng, người gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn lãi suất trước Cho biết số tiền vả gốc lãi tính theo công thức T = a.1 + r n , a số tiền gửi, r lãi suất n số kì hạn gửi Tính tổng số tiền người nhận năm sau gửi tiền (đơn vị: triệu đồng) A ≈ 176, 676 Trang 191 B ≈ 177, 676 C ≈ 178, 676 toanpt.com D ≈ 179, 676 Câu 16: Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng thời gian 10 năm với lãi suất 7% năm nhận số tiền T1 triệu đồng Với phương thức trả lãi khác, ngân hàng trả lãi suất người nhận số tiền A T1 + T2 = 99, 73 B T2 % 12 tháng triệu đồng Khẳng định đúng? T1 + T2 = 69, 63 C T1 + T2 = 79,53 D T1 + T2 = 89, 43 Câu 17: Lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng A thời gian vừa qua thay đổi liên tục Bạn Duy gửi số tiền ban đầu 10 triệu đồng với lãi duất 0,8% tháng Chưa đầy năm, lãi suất tăng lên 1,2% tháng nửa năm Và bạn Duy tiếp tục gửi; sau nửa năm lãi suất giảm xuống cịn 1% tháng Đồng thời bạn Duy định gửi thêm số tháng tròn Biết rút tiền bạn Duy vốn lẫn lãi 12 153 337,95 triệu đồng Tổng số tháng mà bạn Duy gửi tiết kiệm là: A 20 B 19 C 18 D 16 Câu 18: Một người lãnh lương khởi điểm 10 triệu đồng tháng Cứ sau tháng, lương lại tăng thêm 12% Sau 36 tháng làm việc lĩnh tất số tiền T, giá trị T gần với giá trị sau nhất? A 723 triệu đồng B 724 triệu đồng C 725 triệu đồng D 726 triệu đồng Câu 19: Một người gửi 20 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 15% năm lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi theo cách sau năm người thu tổng số tiền 300 triệu đồng A 18 B 19 C 20 D 21 Câu 20: Giả sử anh T có 180 triệu đồng muốn gửi ngân hàng 18 tháng Trong có hai ngân hàng A ngân hàng B tính lãi với phương thức sau: • Ngân hàng A Lãi suất 1,2%/tháng 12 tháng lãi suất 1,0%/tháng tháng cịn lại • Ngân hàng B Mỗi tháng anh T gửi vào ngân hàng 10 triệu với lãi suất hàng tháng 0,8%/tháng Hỏi số tiền mà anh T sau 18 tháng nhận (tính vốn lẫn lãi) gửi ngân hàng A hay B nhiều nhiều (đơn vị triệu đồng làm tròn đến số thập phân thứ nhất)? A TB − TA = 26, B TA = TB + 26, C TA − TB = 24, D TB = TA + 24, Câu 21: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/1 năm Ơng muốn hồn trả nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn trả nợ, hai lần hoàn trả nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn trả nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Giả sử rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ơng A hồn trả nợ A 100.1, 013 Trang 192 (triệu đồng) B 100.1, 015 toanpt.com (triệu đồng) C (triệu đồng) D 1, 01 (triệu đồng) 100.1, 01 1,015 − 1, 01 − Câu 22: Ông A muốn gửi x (triệu) tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo lãi suất 0,6%/ tháng theo hình thức: Sau tháng kể từ ngày gửi, ông bắt đầu gửi thêm x (triệu) vào tiết kiệm; hai lần gửi liên tiếp cách tháng, số tiền gửi lần x (triệu) Sau năm ông A thực giao dịch rút tiền Nếu ông A muốn có 50 triệu sau năm cần gửi liên tiếp tháng tiền? A triệu B triệu 8000 đồng C triệu 3000 đồng D triệu 900000 đồng Câu 23: Thầy Hùng ĐZ có dự định mua xe Lexus RX 350 với trị giá khoảng tỷ đồng Thấy định gửi Ngân hàng Techcombank tỷ đồng tròng vòng năm để tiết kiệm tiền mua xe với mức lãi suất sau: • Lãi suất 1,0%/tháng 12 tháng • Lãi suất 1,1%/tháng 18 tháng • Lãi suất 1,2%/tháng tháng cuối Biết Ngân hàng Techcombank tính lãi gộp theo quý Tổng số tiền gốc lẫn lãi mà thấy Hùng ĐZ nhận sau năm gần với giá trị giá trị sau: A 2,93 tỷ B 3,12 tỷ C 3,4 tỷ D tỷ Câu 24: Một người gửi tiền bảo hiểm cho từ lúc tròn 10 tuổi, hàng năm đặn gửi cho số tiền 10 triệu đồng/ tháng với lãi suất 18%/ năm Trong q trình khơng rút tiền khỏi tài khoản Sau năm rút số tiền để nuôi học đại học Kinh Tế Quốc Dân Khi số tiền rút bao nhiêu? A 100(1, 058 − 1) 1, 05 − B 590(1,188 − 1) 1,18 − C 590(1,188 − 1) D 10(1,188 − 1) Câu 25: Một người gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi theo cách sau năm người thu tổng số tiền 20 triệu đồng A B C D Câu 26: Ông A có số tiền 100 triệu đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 1,2%/tháng Sau tháng ông A gửi thêm vào 100 triệu đồng lãi suất tháng sau 2%/ tháng Sau 20 tháng kể từ lúc gửi tiền ban đầu, số tiền ông A nhận gốc lẫn lãi là: (đơn vị triệu đồng, làm tròn đến số thập phân thứ nhất) A 312,4 B 266,3 C 289,9 D 254,5 Câu 27: Một người vay vốn ngân hàng với số vốn 100 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% tháng, tính theo dư nợ, trả theo quy định Hỏi hàng tháng người phải trả đặn vào ngân hàng khoản tiền gốc lẫn lãi để đến tháng thứ 48 người trả hết gốc lẫn lãi cho ngân hàng? A Khoảng triệu đồng B Khoảng 2,5 triệu đồng C Khoảng 2,7 triệu đồng D Khoảng 3,2 triệu đồng Trang 193 toanpt.com Câu 28: Một người lãnh lương khởi điểm triệu đồng tháng Cứ sau tháng, lương lại tăng thêm 15% Sau hai năm làm việc lĩnh tất số tiền T, số tiền T lại gửi vào ngân hàng với lãi suất 3% năm, năm sau đó, số tiền lãi người có là: A 11,56 triệu đồng B 12,18 triệu đồng C 11,70 triệu đồng D 12,45 triệu đồng Câu 29: Ông A gửi tiết kiệm 200 triệu theo hình thức lãi kép với lãi suất r sau năm lãi suất ngân hàng tăng lên r + 0, 01 Thấy ông A gửi vào tài khoản tiết kiệm thêm 50 triệu đồng Hỏi sau năm số tiền gốc lẫn lãi mà ông A thu là: A C B T = 250(1 + r) D T =  200(1 + r)3 + 50  (1 + r)   T =  200(1 + r)3 + 50  (r + 1, 01)   T =  200(1 + r)3 + 50  (1,1 + r)   Câu 30: Ông X vay số tiền để mua nhà hồn nợ ngân hàng theo hình thức trả góp với mức lãi suất r %/ tháng vòng tháng Nếu số tiền ông X vay T triệu đồng tháng ơng phải trả số tiền 79 triệu đồng, cịn số tiền ơng X vay T + 100 triệu đồng tháng ông phải trả số tiền 118,5 triệu đồng Vậy giá trị T r (Chọn kết gần nhất): A C T = 100 T = 200 triệu đồng triệu đồng B r = 9% D r = 10% T = 200 triệu đồng T = 120 r = 9% triệu đồng r = 9% Câu 31: Anh A dự kiến cần số tiền để đầu tư sản xuất, đầu năm thứ anh A gửi vào ngân hàng số tiền 200 triệu đồng, đầu năm anh A lại gửi thêm số tiền lớn số tiền anh gửi đầu năm trước 50 triệu đồng Đến cuối năm thứ số tiền anh A có 898,7 triệu đồng Vậy lãi suất ngân hàng là? (Chọn kết gần kết sau) A 9%/năm B 10%/năm C 11%/năm D 12%/năm Đáp án 1-A 11-B 21-C 31-B 2-B 12-B 22-B Trang 194 3-B 13-D 23-A 4-C 14-B 24-C 5-A 15-A 25-D 6-C 16-C 26-B toanpt.com 7-D 17-D 27-C 8-A 18-B 28-B 9-A 19-C 29-B 10-D 20-B 30-B ... 12-B 22-B toanpt.com CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hàm số mũ Định nghĩa Cho số thực Hàm số a >  a ≠ y = ax gọi hàm số mũ số a Tính chất - TXĐ.. .Chủ đề 1: LŨY THỪA I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Luỹ thừa vói số mũ nguyên  Luỹ thừa với số mũ nguyên dương Cho a∈¡ n∈¥ * Khi a n = a1.a4.a2 3a n thừ a số  Luỹ thừa với sổ mũ. .. 1) Chọn C Trang 17 toanpt.com CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.Định nghĩa Cho số dương a,b với Như a ≠1 thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi logarit số a b kí hiệu log a