P5 GIẢI một số bài toán min max oxyz tổng quát

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho chu vi tam gi

Nêu Phương Pháp Giải Các Bài Toán Tổng Quát Và Các Ví Dụ Minh Họa

Các bài toán tổng quát bởi : Nguyễn Văn Quý- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Phương pháp giải và các ví dụ minh họa được làm bởi tập thể thầy cô STRONG.

Bài toán 1:

Bài toán 1a: Trong không gian cho hai điểm A B , , mặt phẳng ( ) P và đường thẳng d

1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian cho hai điểm A ( 1;2;2 , 1;1;2 ) ( B ) , mặt phẳng ( ) P x y z : + + − = 2 0 Tìm

tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm A ( 0;1;1 , 2;1;1 ) ( B ) , mặt phẳng ( ) P x y z : − + − = 3 0 Tìm tọa

độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Bài toán 1b: Trong không gian cho hai điểm A B , và đường thẳng d

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc dsao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

B − Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

B Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Bài toán 2:

Bài 2. Cho hai điểm A B , và đường thẳng ( ) d Tìm trên ( ) d điểm M để

a ( MA MB2+ 2)đạt giá trị nhỏ nhất

b MA MB uuur uuur + đạt giá trị nhỏ nhất

c Tam giác MABcó diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

1( ) : 2

a Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho : MA MB2+ 2đạt giá trị nhỏ nhất

b Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho : MA MB uuur uuur + đạt giá trị nhỏ nhất

c Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho diện tích tam giác MABđạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: a Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 2 điểm A ( 3; 2;3 ; 1;0;5 − ) ( B ) và đường thẳng

Bài tập minh họa:

Bài 1:Trong không gian Oxyzcho điểm A ( 1;4;2 ) và đường thẳng ( ) : 1 2

trình mặt phẳng ( ) Q chứa ( ) d sao cho d A, Q ( ( ) ) lớn nhất , nhỏ nhất.

Bài 2:Trong không gian Oxyzcho điểm A ( 0;0;1 ) và đường thẳng ( ) : 1 2

Bài 2: Cho hai đường thẳng

Bài toán 4 Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d ′ (d ′ không

song song với d) một góc lớn nhất

Bài toán 4.1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa

− hai điểm A ( 1;2; 2 , 2;0; 1 − ) ( B − ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q

chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( ) P một góc nhỏ nhất.

A 4 x y z + − − = 2 10 0 B x + + + = 2 3 1 0 y z C x z − − = 3 0 D 2 x y z + − − = 6 0

Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A ( ) 1;1;0 , B ( 2;3;2 ) và mặt phẳng

( ) α : x − + − = 2 y 2 5 0 z Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và tạo với ( ) α một góc

Câu 6a. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B và đường thẳng d Viết

phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d và cách điểm B một khoảng lớn nhất

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;3;1 ) , B ( 1; 1;0 − ) và

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0; 2; 1 − − ) , B ( 2; 1;1 − ) và

Câu 6b. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B và đường thẳng d Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua A, cắt d và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 0; 1;2 − ), B ( ) 2;1;1 và đường thẳng

Bài toán 7: Cho ( ) P , điểm A B C , , Tìm tọa độ điểm M trên ( ) P sao cho:

a) m MA n MB k MC 2+ 2+ 2 nhỏ nhất b) m MA n MB k MC uuur + uuur + uuuur nhỏ nhất.

Câu 1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;2; 1 − ) , B ( 3; 2;1 − ) , C ( 5; 1;2 − ) Tìm điểm M

trên mặt phẳng Oyz sao cho MA MB MC2+ 2− 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;2; 1 − ) , B ( 3; 2;1 − ) , C ( 5; 1;2 − ) Tìm điểm M

trên mặt phẳng ( ) P x : + − − = 2 y z 5 0 sao cho MA MB MC2− 2− 2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;2; 1 − ) , B ( 3; 2;1 − ) , C ( 5; 1;2 − ) Tìm điểm M

trên mặt phẳng Oxz sao cho MA uuur + 2 MB uuur uuuur − 4 MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;2; 1 − ) , B ( 3; 2;1 − ) , C ( 5; 1;2 − ) Tìm điểm M

trên mặt phẳng ( ) P x y : + − + = 2 6 0 z sao cho MA MB MC uuur uuur uuuur − 5 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 8

Bài toán 8.1 Cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2 2

:

S x a − + − x b + − x c = r , mp ( ) α : Ax By Cz D + + + = 0 Tìm điểm M trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ nó đến mặt cầu đạt max hoặc đạt min?

Bài tập minh họa

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho:

mặt cầu ( ) ( ) (2 ) ( )2 2

S x + + − y + − z = và mặt phẳng ( ) α : 2 3 x − + − = y 6 72 0 z Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến mp( ) α là:

Tìm điểm M trên mặt cầu ( ) S sao cho khoảng cách từ

nó đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài tập minh họa

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu ( ) ( )2 2 ( )2

Phungthan.ddn@gmail.com

Bài toán 1:

Bài toán 1: Trong không gian cho hai điểm A B , , mặt phẳng ( ) P và đường thẳng d

1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

1/ Xét vị trí tương đối của hai điểm A B , so với ( ) P .

- Nếu A B , nằm về hai phía so với ( ) P thì không tồn tại điểm M

- Nếu A B , nằm về một phía so với ( ) P thì :

Tìm điểm A ′ đối xứng với A qua ( ) P .

Viết phương trình đường thẳng A B ′

Gọi I A B = ′ ∩ ( ) P

Với mọi điểm M thuộc ( ) P ta có MA MB MA MB A B + = ′ + ≥ ′

Chu vi tam giác MABlà MA MB AB A B AB + + ≥ ′ +

Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất bằng A B AB ′ + khi M I ≡

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian cho hai điểm A ( 1;2;2 , 1;1;2 ) ( B ) , mặt phẳng ( ) P x y z : + + − = 2 0 Tìm

tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

Ta có ( xA + + − yA zA 2 ) ( xB + + − = > yB zB 2 6 0 ) suy ra A B , nằm về một phía so với ( ) P .

Gọi∆ là đường thẳng qua A vuông góc với ( ) P Đường thẳng ∆ có phương trình :

122

GọiH = ∆ ∩ ( ) P , tọa độ là nghiệm của hệ

Gọi A ′ đối xứng với A qua ( ) P , khi đó A ′ − ( 1;0;0 ) .

Ta có uuur A B ′ = ( 2;1;2 ) , phương trình đường thẳng A B ′ :

1 22

x y z t

Với mọi điểm M thuộc ( ) P ta có MA MB MA MB A B + = ′ + ≥ ′

Chu vi tam giác MABlà MA MB AB A B AB + + ≥ ′ +

Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất bằng A B AB ′ + khi M I ≡

Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm A ( 0;1;1 , 2;1;1 ) ( B ) , mặt phẳng ( ) P x y z : − + − = 3 0 Tìm tọa

độ điểm M thuộc ( ) P sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

Ta có ( xA− + − yA zA 3 ) ( xB− + − = > yB zB 3 3 0 ) suy ra A B , nằm về một phía so với ( ) P .

Gọi∆ là đường thẳng qua A vuông góc với ( ) P Đường thẳng ∆ có phương trình :

11

Gọi A ′ đối xứng với A qua ( ) P , khi đó A ′ − ( 2; 1;3 ) .

Ta có uuur A B ′ = ( 0;2; 2 − ), phương trình đường thẳng A B ′ :

211

Gọi I A B = ′ ∩ ( ) P , tọa độ là nghiệm của hệ

211

x y z t

2 2

I  

⇒   ÷ .

Với mọi điểm M thuộc ( ) P ta có MA MB MA MB A B + = ′ + ≥ ′

Chu vi tam giác MABlà MA MB AB A B AB + + ≥ ′ +

Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất bằng A B AB ′ + khi M I ≡

tanbaobg@gmail.com

Bài toán 1: Trong không gian cho hai điểm A B , và đường thẳng d

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc dsao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua A B , và vuông góc với d .

+ Sử dụng mệnh đề: chu vi của tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của( ) α với đường thẳng AB.

+ Xác định giao điểm M của ( ) α và d và kết luận M là điểm cần tìm.

Trường hợp 2: Đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng d.

Ta làm như sau

+ Tham số hoá điểm M theo phương trình đường thẳng d đã cho

Tính độ dài MA MB ; + Sử dụng mệnh đề: Chu vi của tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA MB +

nhỏ nhất

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB + và kết luận

Chú ý Người ta thường tìm giá trị nhỏ nhất của MA MB + bằng bất đẳng thứchoặc hàm số

B − Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải

Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo

Ta có uuur AB = ( 7;5; 4 − ) Chọn u r = − ( 2; 2;1 ) là một véc tơ chỉ phương của d .

Vì uuur r AB u 0 = nên d AB ⊥

Gọi ( ) α là mặt phẳng qua A B , và vuông góc d Suy ra phương trình của ( ) α là:

( ) α : 2 2 x − + + = y z 9 0

Vì A và B cố định nên chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA MB +

nhỏ nhất Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của ( ) α và đường thẳng AB.

Giả sử M ( 1 2 ; 2 2 ;3 + m − − m + ∈ m d m ) ( , ∈ ¡ ) Thay tọa độ điểm M vào phươngtrình ( ) α ta được 2 1 2 ( + m ) ( + 2 2 2 + m ) ( + + + = ⇔ = − m 1 9 0 ) m 2

2 2

m = −

.Bảng biến thiên:

b MA MB uuur uuur + đạt giá trị nhỏ nhất

c Tam giác MABcó diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

1( ) : 2

a Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho : MA MB2+ 2đạt giá trị nhỏ nhất

b Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho : MA MB uuur uuur + đạt giá trị nhỏ nhất

c Tìm điểm M trên ( ) ∆ sao cho diện tích tam giác MABđạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a M ∈ ∆ ( )nên M (1 ; 2 ; 2 ) − − + t t t

(t;6 t;2 2 t) ( 2 ;4 ;4 2 )

( ') 6 ' 2(2 ' 2 ) 0 19 0

Gọi I là điểm thỏa mãn sao cho IA IB uur uur r + = 0 thì I là trung điểm của AB

Khi đó MA MB MI IA MI IB uuur uuur uuur uur uuur uur + = + + + = 2 MI uuur = 2 MI uuur

MI

uuur

đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d

Phương trình tham số của đường thẳng

Ta có 2 đường thẳng AB và d chéo nhau.

Gọi C là điểm trên d và H là hình chiếu vuông góc

của C trên đường thẳng AB

Vì

1

11 2

Ta có C ( 1; 0; 2 ) ⇒ AC = 29.

Bài toán 3:

Bài tập minh họa:

Bài 1:Trong không gian Oxyzcho điểm A ( 1;4;2 ) và đường thẳng ( ) : 1 2

*) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa ( ) d sao cho d A, Q ( ( ) ) lớn nhất

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên ( ) Q và Klà hình chiếu vuông góc của Atrên ( ) d .

Theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên thì AH AK ≤ nên AH lớn nhất khi H K ≡ Vậy mặt phẳng ( ) Q cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K

Ta có K d ∈ ( ) nên K ( 1 ; 2 ;2 − − + t t t ) ⇒ AK uuur = − − ( t t ; 6;2 2 t − )

( ) d có vectơ chỉ phương a r = − ( 1;1;2 ) .

5 AK

Phương trình mặt phẳng ( ) Q là : 5 ( ) ( ) ( ) x − + 1 13 y + − 2 4 z − = 0 0 ⇔ + 5 13 4 21 0 x y z − + =

*) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa ( ) d sao cho d A, Q ( ( ) ) nhỏ nhất.

Khoảng cách d A, Q ( ( ) ) nhỏ nhất ⇔ AH = 0 khi đó A thuộc mặt phẳng ( ) Q tức là ta lập mặt

phảng ( ) Q chứ điểm Avà đường thẳng ( ) d .

Ta có : uuuuur AM0 = ( 0; 6; 2 − − ) và   uuuuur r AM a0;  = −  ( 10;2; 6 − = − ) 2 5; 1;3 ( − )

.Mặt phẳng( ) Q chứa và A ( 1;4;2 ) có một vectơ pháp tuyến u r = − ( 5; 1;3 ) .

Phương trình ( ) ( ) ( Q :5 x − − 1 1 y − + 4 3 ) ( ) z − = ⇔ − + − = 2 0 5 x y z 3 7 0.

Bài 2:Trong không gian Oxyzcho điểm A ( 0;0;1 ) và đường thẳng ( ) : 1 2

Tác giả:Trần Thị Tú Phương ; Fb: Trần Phương

*) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa ( ) d sao cho d A, Q ( ( ) ) lớn nhất

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên ( ) Q và Klà hình chiếu vuông góc của Atrên ( ) d .

Theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên thì AH AK ≤ nên AH lớn nhất khi H K ≡ Vậy mặt phẳng ( ) Q cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K

Ta có K d ∈ ( ) nên K ( 1 2 ; ;2 3 + t t + t ) ⇒ AK 1 2 ; ;3 1 uuur = + ( t t t + ) .

( ) d có vectơ chỉ phương a r = ( 2;1;3 ) .

5 AK

Phương trình mặt phẳng ( ) Q là : 4 ( ) ( ) ( ) x − − 1 5 y − − − = ⇔ − − − = 0 z 2 0 4 5 x y z 2 0.

*) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa ( ) d sao cho d A, Q ( ( ) ) nhỏ nhất.

Khoảng cách d A, Q ( ( ) ) nhỏ nhất ⇔ AH = 0 khi đó A thuộc mặt phẳng ( ) Q tức là ta lập mặt

Trước hết ta xét trường hợp d và d ′ chéo nhau

Gọi M là một điểm nào đó thuộc d, dựng đường thẳng qua M và song song với d ′ Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó Hạ AH ⊥ ( ) P , AK d ⊥

Góc giữa mặt phẳng ( ) P và đường thẳng d ′ là ·AMH.

AM không đổi nên ·AMH lớn nhất khi cos AMH · nhỏ nhất hay H K ≡

Mặt phẳng ( ) P cần tìm là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AKM ) , hay vectơ

pháp tuyến của ( ) P vuông góc với hai vectơ u uurd

và   u u uur uurd, d′ 

Nên vectơ pháp tuyến của ( ) P là n uuur( )P =   u u u uur uur uurd,   d, d′   .

Trường hợp d và d ′ cắt nhau tại M, bài toán giải tương tự như trên Kết luận không thay đổi:vectơ pháp tuyến của ( ) P là n( )P =  u u ud,   d, d′  

uuur uur uur uur

2 Phương pháp hàm số: Bài toán 4 còn có thể giải bằng phương pháp chuyển về tìm giá trị

lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số theo các bước:

• Gọi ( ) P : Ax By Cz D + + + = 0, A B C2+ + >2 2 0

• Vì ( ) P chứa d nên ( ) P đi qua hai điểm M N d , ∈ Khi đó các tham số A B C D , , , sẽ phụ thuộc vào hai trong bốn tham số, chẳng hạn đó là A, B (Ta giải điều kiện n MN r uuuur = 0 để rút hai

ẩn C, D theo A, B)

• Xác định góc giữa đường thẳng d ′ và mặt phẳng ( ) P Đây là một phân thức hai biến A,B

với tử thức và mẫu thức cùng bậc, nên có thể chuyển về một biến

A t B

=

• Khảo sát hàm f t ( ) để xác định giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

• Kết luận mặt phẳng cần tìm

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Cho hai đường thẳng

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học.

Vận dụng kết quả đã chứng minh trong phần lí thuyết, ta có mặt phẳng ( ) P cần tìm qua M và

có vectơ pháp tuyến của ( ) P là n( )P =  u u ud,   d, d′  

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học.

Đường thẳng d đi qua điểm M ( 2;1; 1 − ) và có vectơ chỉ phương u uurd = ( 1;2; 2 − ).

Đường thẳng d ′ có vectơ chỉ phương u uurd′= ( ) 1;1;2

Ta có mặt phẳng ( ) P cần tìm qua M và có vectơ pháp tuyến của ( ) P là n uuur( )P =   u u u uur uur uurd,   d, d′   .

d P

α = khi( ) P :10 11 16 15 0 x + y + z − =

Bài toán 4 Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d ′ (d ′ không

song song với d) một góc lớn nhất

Lời giải

Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng Kt d // ′

Lấy M Kt ∈ ( M K ≠ ) và gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) P và d

Khi đó sin , ( d P ′ ( ) ) = cos · KMH = MH KM ≤ KM MI .

Vậy góc giữa d và ( ) P lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I

Bài toán 4.1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trí Chính; Fb: Nguyễn Trí Chính

1 2: 2 43

Có     a b AB r , r uuur = − − − = − ≠ 10 24 2 36 0, a b r . r = − ≠ 5 0.

Suy ra d và d ′ chéo nhau nhưng không vuông góc nhau

Có d ⊂ ( ) P , Lấy N d ∈ , qua N vẽ đường thẳng ∆ sao cho ∆ ∥ d ′

Lấy điểm M ∈ ∆ , vẽ MK d ⊥ tại K, MH ⊥ ( ) P tại H

Có N M K , , , ∆ là các yếu tố cố định, MH thay đổi và MH MK ≤

− hai điểm A ( 1;2; 2 , 2;0; 1 − ) ( B − ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q

chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( ) P một góc nhỏ nhất.

Ta có ( ) P có véctơ pháp tuyến n r = ( 1;1; 1 − ) và u uurd = − ( 1; 2;1 ) ⇒ = u uur r uur∆   n u , d  = − − − ( 1; 2; 3 )

Suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) Q là n uuur( )Q =   u u uur uurd, ∆  = ( 8;2; 4 2 4;1; 2 − = ) ( − )

( ) ( ) ( Q : 4 x 1 y 2 2 ) ( ) z 2 0 4 x y 2 10 0 z

Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com

Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A ( ) 1;1;0 , B ( 2;3;2 ) và mặt phẳng

( ) α : x − + − = 2 y 2 5 0 z Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và tạo với ( ) α một góc

Câu 6a. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B và đường thẳng d Viết

phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d và cách điểm B một khoảng lớn nhất

Phương pháp giải