Vấn đề 5 min,max

M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.. D.M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC... +, Dựng hình bình hành ABCD, ta được: BAuuur=CDuuurÞ MA MBuuur- uuu

-uuur uur uuur uuur uuur uuur

uuur uur uuur uuuruuur uur uuur uuur uuruuur uur uuur uur

2 min 6

P =- R khi và chỉ khi cos(OM OAuuur uur; )= Û1 M trùng A

22

trị lớn nhất của P xy cosC yz cosA zx cosB là:

Áp dụng vào bài toán cân bằng hệ số : Chúng ta có thể ghi nhớ công thức để áp dụng nhanh

vào các bài toán cân bằng hệ số đối với đường tròn và mặt cầu như sau :

Ta có : P MA 2MB|IA IM | 2| IB IM |

   

và IA IB 6, IM 3Trong đó : | | | | | 2 1 | 2 | 1 |

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P min 3 13 chọn đáp án C.

với mọi điểm M:                                                                          3 

4 cos

4

BC BC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BD = CK hay ABC vuông cân tại A

Do G và G ' là trọng tâm ABC ,  A B C ' ' ' nên GA GB GC    0

và' ' ' ' ' ' 0.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    AA BB CC ', ', ' cùng hướng

Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com

Mail: nguyennga82nvc @gmail.com

FB: Nguyễn Nga Nvc

1 1/ / 1 1, 1 1 3 , 1 1 2 , 1 1 1 1 1 1 60

A B C D A B = a C D = a D A B =C B A = Vớimỗi điểm G di động trên cạnh 1 A B ta xác định điểm 1 1 F sao cho 1 G Fuuuur uuuur uuuur1 1=G C1 1+G D1 1 Tìm độdài nhỏ nhất của G Fuuuur1 1

Gmail: nguyencongkm2@gmail.com

Biểu thức F= 8MA2b MB2 2 c MC2 2 đạt giá trị lớn nhất bằng

Lời giải

Xét điểm I thỏa mãn: 8IA b IB c IC 0  2  2  

(1)( Dựng đường cao AH, dựng I sao cho A là trung điểm IH ; I thỏa (1))

Bình phương hai vế của (1) chú ý rằng

8(MI IA) b (MI IB) c (MI IC)

4MI 8.IA b IB c IC 4MI 3b c

động trên d Tìm giá trị nhỏ nhất của MA  2MB MC 

M

giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MA MB MC

  Dấu đẳng thức xảy ra khi a c

Vậy giá trị nhỏ nhất của cosB là 4

5, đạt dược khi tam giác ABC cân tại B

Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê

Email: hongle.ad@gmail.com

Câu 12. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a Tìm điểm M để vecto

aMA bMB cMC   

có độ dài nhỏ nhất

A M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.

B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC

C M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.

D.M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC

B

G

Theo tính chất phân giác trong: DB AB c DB c.DC

DC AC  b b , mà hai vecto DC , DB ngược hướng nên ta có DB c DC bDB cDC 0 b IB ID  c IC ID 0

Họ và tên: Ngô Gia Khánh

Địa chỉ mail: ngkhanh4283@gmail.com

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MAuuur+MBuuur+MCuuur +3MAuuur- MBuuur+MCuuur là:

Lời giải

+, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có: MAuuur+MBuuur+MCuuur =MGuuur

+, Dựng hình bình hành ABCD, ta được:

BAuuur=CDuuurÞ MA MBuuur- uuur+MCuuur =BAuuur+MCuuur =CDuuur+MCuuur =MDuuur

+, Khi đó T = MAuuur+MBuuur+MCuuur +3MAuuur+MBuuur- MCuuur =3(MG +MD) ³ 3GD

( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC)

Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GD và đường thẳng AC hay M là trung điểm của AC+ Nhận xét 4 4 3 2 3

trong của góc A Biết biểu thị vectơ    

E là một điểm thuộc cạnh CD Biết AEB   , giá trị lớn nhất của 90 T ab là

và k AC1 k AD AE

.Suy ra

       

2 2

2 2

Vậy maxT 16.

k là số thực dương thuộc 0;1 và điểm  E thỏa mãn k EC1 k ED 0

Tìm hệ thức liên hệgiữa a, b, h, k để góc AEB   ?90

       

2 2

2 2

tại M , N Đặt AM x

AN y

AC  , gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

k x ky

k x k y

3 1

x x

2

3 1 2

x x



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

121

x x

Facebook: Nguyễn Thị Thu

Gọi E là trung điểm AB.

Gọi I là điểm thỏa mãn: IA IB   3IC 0

2IE 3IC 0

  

min  M là hình chiếu của I trên đường thẳng d.

Đường thẳng d qua B và tạo với AB 1 góc 600 nên d song song AC và cắt EC tại K

KB

(Tác giả: Hoàng Thị Thúy- Facebook: Cỏ ba lá )

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC   

Chọn B.

.Khi đó BM2BN2 k BC1 k BA 2k1BC2k BA2

tam giác ABC Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MB 2MC2 MA2 là

C O

B

A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O là trung điểm AC

Gọi D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì DB DC DA    0

Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC 

Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC 

đạt giá trị nhỏ nhất

A 4

5

6

5.4

Lời giải (Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)

Khi đó P là trung điểm GE nên 3

A (95 ;100 )  B (100 ;106 )  C (106 ;115 )  D (115 ;120 ) 

Lời giải:

Gọi  ABC Ta có: ACAB BC   AC2 AB2BC2 2AB BC .cos

Suy ra:  118,96 GTNN của  nằm trong khoảng (115 ;120 )   chọn đáp án D.

Câu 28. Cho hình thang ABCD có 2AB DC 

, AC8,BD6, góc tạo bởi hai véc tơ AC và BD

bằng 120 Khi đó giá trị của (AD BC ) bằng:

D

Suy ra: ( ) 14 4 7

3

Câu 29. Cho hình thang ABCD có 2AB DC 

, AC9,BD6 Giá trị của biểu thức (BC2 AD2)bằng:

Suy ra: ( ) 14 4 7

3

trị nhỏ nhất bằng (AB AC ) với mọi giá trị thực k k 0 Giá trị của k nằm trong khoảng nào0dưới đây ?

A (0;1) B 3

( ;2)

3(1; )

D

A M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.

B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.

C M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.

D.M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC

I

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Theo tính chất phân giác trong: DB AB c DB c.DC

DC AC  b b , mà hai vecto DC , DB ngược hướng nên ta có DB c DC bDB cDC 0 b IB ID  c IC ID 0

(*)Mặt khác DB c DB c DB ac

2263

a

Lời giải

Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có: P2(MG GA   )2 3( MG GB )2 4(MG GC )

Vậy min P14a2 khi M là điểm thỏa mãn MG  5GC CB 

Họ và tên tác giả : Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC AB, Ta có:

Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB Khi đó    

MA MB MN

Ta có MA MB    MA MB   MN BA

hay MN AB

Suy ra MANB là hình chữ nhật nên  AMB90o

Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB

cos

      vuông cân tại A

Vậy min cos  4

5

  vanphu.mc@gmail.com

Câu 36. Cho ABC có trọng tâm G Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho 1

3

CH  HB

Điểm M diđộng trên BC sao cho CM  x CB.

Tìm x sao cho độ dài vecto MA GB 

( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu)

Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai

MO AB Suy ra MAB vuông tại M

nên AMB90o Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB

Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB Khi đó    

MA MB MN

     

Suy ra MANB là hình chữ nhật nên AMB90o

Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB

MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max

N O

S  AB AC  AM AN   x Xét hàm số:    2

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Dựng hình bình hành ABMC

 2

OC OM MC  OM MC 

 3Lấy      2  3 – 1 từng vế ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của BC2 AB2 AC2là 4

Đẳng thức xảy ra  M O  ABAC R BC2 3R2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC có BAC 1200 Hay là tam giác ABC cân tại A và có BAC 1200.

Họ và tên tác giả : Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang

trong đó ,N I lần lượt là trung điểm của AC BN Do đó , I cố định

H

I

N

C B

Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho MP // BC, MQ // AB Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP Giả sử DN m DAn DC Tìm giá trị lớn nhất của m + n

 1  kxDAx DC, (1)

Mặt khác DN DCCN DCy CPDCyCBBP

k DC y

DA y

1

2 2

k k k y k k k x x y ky kx y

k k

k DA

k k

k DN

11

1

2 2

3 4 4

3 2 1

1 1

k n m

3

4 max  

 m n , đạt được khi k =

2 1hay M là trung điểm AC

BH HC Điểm M di động nằm trên BC sao cho  

BM xBC Tìm x sao cho độ dài củavectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất

A 4.

5

6

5.4

Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC  

Khi đó P là trung điểm GE nên 3

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng

điểm thuộc đường tròn (O) Gọi ,N n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P MA 2MB2MC2 Khi đó giá trị của N n bằng

A 12R2 B 4R 9R2 a2 b2 c2 .

C 2R 9R2 a2  b2 c2 D 8R 9R2  a2 b2 c2 .

Lời giải

Chọn B.

đường tròn Giá trị lớn nhất của biểu thức S MA 22MB2 3MC là2

3 cos 2A 2cos 2B 2 3 cos 2C 4

    Dấu bằng xẫy ra khi A45 ,0 B 60 ,0 C 750.Vậy P min 4.