Vấn đề 5 min max phần 3

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số.. Tìm giá trị lớn nhất của M.. Độ dài của AP trong khoảng nào sau đây thì diện tích tam giác PQR đạt nhỏ nhất... Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn kh

Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 1. Cho hàm số y ax 2bx c có đồ thị đi qua điểm A1;1 và cắt trục hoành tại hai điểm ,B C

sao cho tam giác ABCvuông đỉnh A và có diện tích S  2 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số Tìm giá trị lớn nhất của M

A MaxM 1 B MaxM 2 C MaxM 3 D 3

2

MaxM 

Họ và tên tác giả :Đoàn Phú Như Tên FB: Như Đoàn

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số đi qua A1;1 nên ta có a b c  1, (1)

Gọi x x là nghiệm phương trình 1; 2 ax2bx c  thì 0 B x 1;0 , C x 2;0 Tam giác ABC vuông đỉnh A nên BC2 = AB2 + AC2      2

1 2

2 2

2

x       



 x1x2 x1x220 2abc0, (2)

Từ (1) và (2) ta có a1,c 2 b

2

4

a



2BC  b  b   b  b .

Ta có a 1 nên hàm số có giá trị lớn nhất là

ac b b b M

Vì b2 4b nên 0 M 2, maxM = 2,

2 2

2

M





Email: chipbong07@gmail.com.

Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD, AB10, AD8 Trên các cạnh AB BC CD lần lượt lấy các điểm, ,

, ,

P Q R sao cho AP BQ CR  Độ dài của AP trong khoảng nào sau đây thì diện tích tam

giác PQR đạt nhỏ nhất.

A 2;3  B 3;4  C 4;5  D 5;6 

Họ và tên tác giả : Đặng Ân Tên FB: Đặng Ân

Lời giải

Cách 1:

Ta có tứ giác CRPB là hình thang và có diện tích   40

2

CR BP BC

S   không đổi nên diện

tích hình PQR đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 2 tam giác BPQ CQR đạt lớn , nhất

Đặt AP x , 0 x 8

2

BPQ CQR

2

     

, x0;8

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 9

2

x  Chọn C

Cách 2: Trên cạnh AD lấy điểm T sao cho DT AP Dễ chứng minh được tứ giác PQRT là

hình bình hành và 1

2

PRQ PQRT

S  S

Đặt AP x , 0 x 8 Diện tích hình PQRT đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 4

tam giác APT BPQ CQR DTR đạt lớn nhất, , ,

APT BPQ CQR DTR

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 9

2

x  Chọn C

Chú ý: Có thể áp dụng bđt Cô si cho hai số không âm x và 9 x hoặc xét hàm số

2

y x  x trên 0;8 

Email: phamvanthuan@gmail.com

Câu 3. Cho hàm số f x  4x2 4mx m 2 2m2 ( m là tham số) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

của m sao cho  

 0;2 

3

Min f x  Khẳng định nào sau đây đúng:

A.S   4;6 B. S   3;7 C. S   2;8 D S   1;9

( Sưu tầm: Phạm Văn Thuấn - tên FB: Pham Van Thuan )

Lời giải Chọn D

Có hoành độ của đỉnh ; 4 0

2

I

m

x  a  Xét 3 trường hợp sau:

TH1: 0 0

2

m

m

   Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn khoảng (0; 2).

 

 

0;2

2

m

m

 0;2 

1

m

2

m

m

   Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

 

 

0;2

Vậy S  1 2;5 10   1;9 Chọn D

Email: giachuan85@gmail.com

Câu 4. Cho hàm số y x 2 5x có đồ thị là 8  P và hai điểm A4; 1 , B10;5 Biết điểm

 0; 0

M x y trên  P thỏa mãn diện tích tam giác MAB nhỏ nhất Tính tổng x0y0

Họ và tên tác giả: Trần Gia Chuân Tên FB: Trần gia Chuân

Lời giải Chọn.

+ Vẽ đồ thị  P , nhận thấy A , B không thuộc bề lõm của  P , suy ra yêu cầu bài toán thỏa

mãn khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với  P song song với đường thẳng AB

+ Gọi y ax b  là đường thẳng qua A , B suy ra 4 1 5

a b

y x

a b

 





 

+ Đường thẳng  song song với đt y x 5 có dạng y x b,  là tiếp tuyến của  P khi

phương trình hoành độ giao điểm : x2 6x 8 b0của  P và  có nghiệm kép

       (chú ý b 1 là điều kiện tiếp xúc)

Khi đó M3; 2, vậy x0y0 5

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 2mx m 25m 2 đạt giá trị lớn nhất khi m a

b

 , 





b

a

là phân số tối giản, b 0  Tính a b

A a b 7 B a b 5 C a b 9 D a b 1

(Họ và tên tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)

Lời giải

Hàm số y x 2 2mx m 25m 2có giá nhỏ nhất là   2

y m  m  m Biểu thức y m 2m25m 2 đạt giá trị lớn nhất khi 5

4

m 

5

a

  , b 4  a b 9

Email: buivuongphung@gmail.com

Câu 6. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x22m 2x 3m2 4m 8 0 có hai

nghiệmx x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1x2  2x x1 2 24 0 Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2  

P x x  x x  x x Tính M N :

2

2



Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 2x x1 2 24 0

2 2

1

1

m

m

m

 





(*)

P x x  x x  x x  x x  x x  x x  m  m + Bảng biến thiên của P với điều kiện (*)

Từ bảng biến thiên ta được: M 20 khi m 1, N 44 khi m 3 Suy ra MN 64

Email: hoanggiahung.bdh@gmail.com

Câu 7. Cho hàm số: f x ax2bx 2 a 0    Biết rằng hàm số đồng biến trên 1; Khi đó giá

trị lớn nhất của biểu thức

2

8a P

3a 2ab b



  là:

8

4

3.

Họ và tên tác giả : Hoàng Gia Hứng Tên FB: Hoàng Gia Hứng

Lời giải

Chọn B

Do a 0 nên hàm số đồng biến trên 1;thì: b 1 b 2



Khi đó :

2

2

P

 

 

với t b 2

a

 

Ta có t22t 3  t 12 2 11, t 2  Dấu ‘=” xảy ra khi t 2

Do đó : P 8

11

 Suy ra maxP= 8

11 khi

b 2

a  Chọn B

Email: huunguyen1979@gmail.com

Câu 8. Cho parabol  P y x:  22018x3 và đường thẳng :d y mx 4 Biết d cắt  P tại hai

điểm phân biệt A B, có hoành độ lần lượt là x x Tìm giá trị nhỏ nhất của 1, 2 T x1 x2 ?

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Lời giải

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d :

x2

+ 2018x + 3 = mx + 4

2 ( 2018) 1 0

Nhận thấy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu x x với mọi1, 2 m R

1

1

x

2

1

1 ,

x

x cùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khi m 2018

Email: huunguyen1979@gmail.com

Câu 9. Cho , ,x y z [0; 2] Tìm giá trị lớn nhất của T 2(x y z  ) ( xy yz zx  )?

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Lời giải

Chọn C

Ta có T f x( ) (2  y z x ) 2(y z ) yz

Nếu y z 2thì ( ) 4f x   yz4 do yz0

Nếuy z 2 thì ( )f x là hàm số bậc nhất

Ta có (0)f (2 y)(2 z) 4 4  và (2)f  yz 4 4

Vậy MaxT 4 khix0,y z 2hoặc x2,y z 0

Email: Lehoayenphong1@gmail.com

Câu 10. Cho hàm số   2

yf x  x ax với a là tham số.Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số trên 0;1 Biết rằng có hai giá trị của a để  M m 4 khi đó tổng hai giá trị của a bằng

Họ tên:Lê Hoa Tên Fb: Lê Hoa

Lời giải Chọn B

Hàm số f x   x2 2ax1 có hệ số của x2 bằng 1 dương, tọa độ đỉnh I a ;1 a2 ,f  0 1

 1 2 2

f   a

HT1: Xét a 0 khi đó hàm số f x  đồng biến trên 0;1  M f  1 ,mf  0

2

M m   a (thỏa mãn)

TH2: Xét a 1 khi đó hàm số nghịch biến trên 0;1   M f  0 ,mf  1

2

M m   a ( thỏa mãn)

( Đến đây đủ hai giá trị a chọn luôn đáp án)

TH3: Xét 0 a 1 khi đó mf a  = -a2 + 1,M max f  0 ;f  1

-Nếu M f  0  M m  4 a2 không thỏa mãn

4

1

a

M m

a





 không thỏa mãn

Vậy có hai giá trị a thỏa mãn là 3

2

a , 5

2

a  suy ra chọn B

Cách 2: (Cách của thầy Nguyễn Văn Quý)

Đồ thị hàm số f x   x2 2ax1là một parabol có tọa độ đỉnh  2

;1

I a  a ,

 0 1

f  , f  1  2 2a

Xét trường hợp a0 ; 1 thì    







































2 3 2

5 4

1 2 1 2 2 0 1

a

a a

a f

f m M

( Đến đây đủ hai giá trị a chọn luôn đáp án)

Email: nguyenvandieupt@gmail.com

Câu 11. Gọi a, b các số thực để biểu thức 2

1

ax b F

x





 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 Tính giá trị của biểu thức P a 2 b

A.P 12 B.P 21 C P 19 D.P 29

Họ và tên tác giả : - Nguyễn Văn Diệu Tên FB: dieuptnguyen

Lời giải

Các số thực a, b thõa mãn bài toán

2

2



Đặt f x 4x2ax b 4, g x  x2bx b 1

Dễ thấy f x g x là các hàm số bậc hai lần lượt có hệ số bằng -4 và 1 Nên max và min lần  ,   lượt đạt tại đỉnh của nó

Từ đó ta có  

2

3

b









Email: nhnhom@gmail.com

Câu 12. Cho phương trình bậc hai x2 2mx m 2  2m  (4 0 x là ẩn và m là tham số) Khi đó m

thuộc đoạn nào để phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x x1, 2 và giá trị của

P x  x là nhỏ nhất

A m 2;4. B m4 ; 5 C m5 ; 8 D m8 ; 

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Minh Thuận Tên FB: Minh Thuận

Chọn A

Phương trình x2 2mx m 2 2m  có hai nghiệm không âm4 0

2

     







Theo định lý Vi-ét ta có x1x2 2 ;m x x1 2 m2 2m4

Suy ra P x1 x2   x1  x22  x1x22 x x1 2  2m2 m123

Mà P x1  x2 nhỏ nhất khi 2m2 m12 nhỏ nhất.3

Vậy P x1  x2  2m2 m123  8 dấu bằng xảy ra khi m 2

Đáp án: m 2;4

Email: phamcongdung2010@gmail.com

Câu 13. Cho hàm số y2x2(6 m x)  3 2m (1) Giá trị mđể đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho biểu thức 1, 2 2018 2018

A

giá trị nhỏ nhất

A m   B m  ( 3;0). C m 0;3. D m

Lời giải

Họ và tên tác giả : Phạm Công Dũng Tên FB:Phạm Công Dũng

Chọn B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là nghiệm phương trình

2

2x (6 m x)  3 2m0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai

0 m 4m 12 0, m

Gọi x x là nghiệm của phương trình (*) Theo Viét ta có1, 2

1 2

6 2

3 2 2

m

x x

m

x x













Ta có

2

x  x   x x  x  x  

(x 2) (x 2)  (x 2) (x 2) 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2018 2018 1 2

(x 2) (x 2)  x  x 

Do x x phân biệt nên ta có 1, 2 1 2 2 2 1 2 4 6 4 2

2

m

x   x   x x      m

Email: phamhongquangltv@gmail.com

Câu 14. Cho phương trình: 2x22(m1)x m 24m  Gọi 3 0 x x là 2 nghiệm của phương trình.1, 2

Tìm GTLN của Ax x1 2 2x1x2

2

Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm

Lời giải

Chọn D

PT x  m x m  m 

Phương trình có nghiệm  ' (m26m5) 0   5m1

 

2

1 2

1 1

2





 





Ta có : 1 2 8 7

2

A m  m Xét hàm số f m( )m28m có BBT trên 7 5; 1  là:

m - 5 - 4 -1

f(m) -8 0

-9

=> Max f m5; 1  ( ) 9 =>Max A 9 4

  

Email: phuongthu081980@gmail.com

Câu 15. Cho hàm sốy x 2 2x2 x2 2x m 2 2018m Tổng S tất cả các giá trị nguyên dương của

m thỏa mãn điều kiện: T 2019 (với T là giá trị nhỏ nhất của hàm số khi x  ) bằng:2

A. S 2019.1010 B S 2019.1009 C S 2019.2018 D S 2021.1009

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

Lời giải

Ta cóy x 2 2x2 x2 2x m 2 2018m









x















y

Suy ra T 0min; ym2  2018m

2019 2018

T

Do m nguyên dương nên 1 m 2019 ,mN

Do đó S = 1 + 2 + 3 + … + 2019 = 2019 1010

Email: phuongthu081980@gmail.com

Câu 16. Cho hàm số: y f x  mx2  2x m 1  C

Khi giá trị lớn nhất của hàm số (C) đạt giá trị nhỏ nhất thì m thuộc khoảng nào sau đây?

A 0 ; 3 B. 2 ; 0 C   ; 2 D 3 ; 

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

Lời giải Chọn B

+)BBT

x 1

+

m

y

m



) m 0

  không có GTLN

) m 0

  từ BBT ta có GTLN là

m m m

 



1

0

m





Dấu đẳng thức xảy ra 1  m m 1 do m 0

m

Vậy GTNN bằng 1 khi và chỉ khi m 1

Email: quangnam68@gmail.com

Câu 17. Cho hàm số f x( )x2 2x m với tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 Gọi M là giá trị nhỏ

nhất của hàm số f x( 1)

x

 trên tập R\ 0  Số giá trị m nguyên để M 2 là :

Họ và tên tác giả : Nguyễn Quang Nam Tên FB:Quang Nam

Lời giải

Chọn A

Đặt t x 1 t 2

x

    , xét hàm số f t( )t2 2t m với t     ; 2  2; Đặt a t 2 2t với t     ; 2  2; suy ra a 0

Xét hàm số ( )g a  a m Khi đó M min ( )g a với a 0

+) Nếu m 0 m0

Dựa vào đồ thị

 

M g m m  m

+) Nếu m0 m0

Dựa vào đồ thị

M g m   không thỏa mãn bài toán

Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán

(Trong lời giải trên, hệ trục tọa độ phải là Oay chứ không phải Oxy).

Email: Samnk.thptnhuthanh@gmail.com

Câu 18. Cho hàm số 2

yf x x  x Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  f(f(x)), với   3 x 0 Tổng Sm M

Họ và tên tác giả : Nguyễn Khắc Sâm Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm

Lời giải

Chọn B

Ta có f f x( ( ))f x2( ) 6 ( ) 5. f x 

Đặt t  f (x), Xét hàm tf x( )x26x 5 trên 3;0

Ta có bảng biến thiên:

x - 3 0

t =x + x+

5

- 4

Từ bảng biến thiên ta được: 4 t 5

Khi đó hàm số được viết lại: f t( ) t2 6t5,

Lập bảng biến thiên của hàm f t( ) t2 6t5, trên 4;5

t - 4 - 3 5

2

f t =t + t+ -3 60

- 4

Ta được m  , 4 M 60 Vậy S =56

Cách 2: Tìm mix, max của yf f x( ( ))f x2( ) 6 ( ) 5. f x  trên x K   3;0 không cần BBT

Ta có: ' 2 ( ) '( ) 6 '( )y  f x f x  f x

2

3

'( ) 0

4

x

f x

 



 



 3   3   4 3

y  f f  f  

 2   2   3 4

y  f f  f  

 0   0   5 60

y f f f 

S M m

 







Email: anhtu82t@gmail.com

Câu 19. Cho hàm số f x( )ax2bx c , thỏa mãn ( ) 1,f x    x [ 1;1]và biểu thức 8 2 2 2

3a  b đạt giá trị lớn nhất Tính P5a11b c , biết a 0

Họ và tên tác giả : Đồng Anh Tú Tên FB: Anh tú

Lời giải

Thay x1,x0,x1 vào hàm số ( )f x , ta được

1 1 (1)

c

a b c

a b c

  





    



    



Từ (2),(3) ta có 1 1

c a b c

c a b c

     





     

a b

a b





 Suy ra

4

a ab b

a b

a ab b





3a  b 3 a b  3b 3 a b  3

Nên 8 2 2 2

3a  b lớn nhât khi b0,a2 thay vào (2) , ta được   3 c 1 kết hợp với (1) thì

1

c  Thử lại với b0,a2c 1 thỏa mãn ( ) 1,f x    x [ 1;1] Vậy b0,a2c 1

Nên P 9

Email: trungkien1980vn@gmail.com

Câu 20.

Cho Parabol  P y ax:  2, trong đó a là một tham số dương, và đường thẳng : d y2x1

Biết đường thẳng d cắt Parabol  P tại hai điểm phân biệt A, B Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của các điểm A, B trên trục hoành Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hình

thang ABKH có diện tích bằng 6 2 ?

Họ và tên tác giả : Nguyễn Trung Kiên Tên FB: Nguyễn Trung Kiên

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: ax2 2x 1 ax2 2x  1 0

Điều kiện:   ' 1 a 0 0a1

Theo định lý Viet:

1 2

2 1

x x

a

x x a









S  AH BK HK  ax ax x  x

 1 22 2 1 2  1 22 4 1 2

2

a

2

a

Đặt t 1,t 1

a

  Ta được

2 1t  t2 t 3 2 2 1t 2t2 t18 4t4 8t35t2 t 18 0

 t1 t 2 4  t25t9  0 t2

Vậy chỉ có một giá trị duy nhất thỏa là 1

2

a 