Vấn đề 5 min max phần 3

Câu Email: doanphunhu@gmail.com Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị qua điểm A ( 1;1) cắt trục hoành hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông đỉnh A có diện tích S ≤ Gọi M giá trị lớn hàm số Tìm giá trị lớn M A MaxM = B MaxM = C MaxM = D MaxM = Họ tên tác giả :Đoàn Phú Như Tên FB: Như Đoàn Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số qua A ( 1;1) nên ta có a + b + c = , (1) Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình ax + bx + c = B ( x1 ;0 ) , C ( x2 ;0 ) Tam giác ABC vuông đỉnh A nên BC2 = AB2 + AC2 ⇔ ( x1 − 1) + + ( x − 1) + = ( x − x1 ) ⇔ x1 x − ( x1 + x ) + = ⇔ 2a + b + c = , (2) Từ (1) (2) ta có a = −1, c = − b Ta có BC = ( x2 − x1 ) diện tích S ≤ nên = ( x2 + x1 ) b − 4ac − x2 x1 = = b − 4b + Tam giác ABC có a BC ≤ ⇒ b − 4b + ≤ 2 ⇒ b − 4b ≤ Ta có a = −1 nên hàm số có giá trị lớn M = −∆ 4ac − b b − 4b + = = 4a 4a  y = − x2 + b = ⇔ Vì b − 4b ≤ nên M ≤ , maxM = 2, M = ⇔  b =  y = − x + 4x − 2 Câu Email: chipbong07@gmail.com Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 10, AD = Trên cạnh AB, BC , CD lấy điểm P, Q, R cho AP = BQ = CR Độ dài AP khoảng sau diện tích tam giác PQR đạt nhỏ A ( 2;3) B ( 3; ) C ( 4;5 ) D ( 5;6 ) Họ tên tác giả : Đặng Ân Tên FB: Đặng Ân Lời giải Chọn C Cách 1: Trang 1/13 - Mã đề thi 483 ( CR + BP ) BC = 40 không đổi nên diện tích hình PQR đạt nhỏ tổng diện tích tam giác BPQ, CQR đạt lớn Ta có tứ giác CRPB hình thang có diện tích S = Đặt AP = x , ≤ x ≤ x( 8− x) + x( 10 − x) 81   81 SBPQ + SCQR = = x( − x) = −  x − ÷ ≤ , ∀x ∈ [ 0;8]  2 Chọn C Cách 2: Trên cạnh AD lấy điểm T cho DT = AP Dễ chứng minh tứ giác PQRT hình bình hành S PRQ = S PQRT Dấu “=” xảy x = Đặt AP = x , ≤ x ≤ Diện tích hình PQRT đạt nhỏ tổng diện tích tam giác APT , BPQ, CQR, DTR đạt lớn SAPT + SBPQ + SCQR + SDTR = x( 8− x) + x( 10− x) = x( 18− 2x) = 2.x( 9− x) = 81 −  x − ÷ ≤ 81 Dấu “=” xảy x =  2 Chọn C Chú ý: Có thể áp dụng bđt Cơ si cho hai số không âm x − x xét hàm số y = −2 x + 18 x [ 0;8] Câu Email: phamvanthuan@gmail.com 2 Cho hàm số f ( x ) = x − 4mx + m − 2m + ( m tham số) Gọi S tập hợp tất giá trị m cho Min[ 0;2f ] ( x ) = Khẳng định sau đúng: A S ⊂ ( −4;6 ) B S ⊂ ( −3;7 ) C S ⊂ [ −2;8] D S ⊂ [ −1;9] ( Sưu tầm: Phạm Văn Thuấn - tên FB: Pham Van Thuan ) Lời giải Chọn D Có hồnh độ đỉnh xI = m ; a=4>0 Xét trường hợp sau: Trang 2/13 - Mã đề thi 483 m < ⇔ m < Suy hàm số đồng biến đoạn khoảng (0; 2) ⇒ Min f ( x ) = f ( ) = m − 2m + = ⇒ m = − TH1: [ 0;2] TH2: ≤ m m ≤ ⇔ ≤ m ≤ ⇒ Min f ( x ) = f  ÷ = −2m + = ⇒ m = − ( loại ) 2 [ 0;2] m > ⇔ m > Suy hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) ⇒ Min f ( x ) = f ( ) = m − 10m + 18 = ⇒ m = + 10 ( thoả mãn ) TH3: [ 0;2] { } Vậy S = − 2;5 + 10 ⊂ [ −1;9 ] Chọn D Câu Email: giachuan85@gmail.com Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( P) hai điểm A ( 4; −1) , B ( 10;5 ) Biết điểm M ( x0 ; y0 ) ( P ) thỏa mãn diện tích tam giác MAB nhỏ Tính tổng x0 + y0 A C B D Họ tên tác giả: Trần Gia Chuân Tên FB: Trần gia Chuân Lời giải Chọn + Vẽ đồ thị ( P ) , nhận thấy A , B không thuộc bề lõm ( P ) , suy yêu cầu toán thỏa mãn M tiếp điểm tiếp tuyến với ( P ) song song với đường thẳng AB  a + b = −1 ⇒ y = x−5 + Gọi y = ax + b đường thẳng qua A , B suy  10a + b = + Đường thẳng ∆ song song với đt y = x − có dạng y = x + b , ∆ tiếp tuyến ( P ) phương trình hồnh độ giao điểm : x − x + − b = ( P ) ∆ có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = + b = ⇔ b = −1 (chú ý b = −1 điều kiện tiếp xúc) Khi M ( 3; ) , x0 + y0 = Trang 3/13 - Mã đề thi 483 Congnhangiang2009@gmail.com Câu Giá trị nhỏ hàm số y = x − 2mx − m + 5m − đạt giá trị lớn m = phân số tối giản, b > A a + b = ) Tính a + b B a + b = C a + b = a a ,  b b D a + b = −1 (Họ tên tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn) Lời giải Chọn C Hàm số y = x − 2mx − m + 5m − có giá nhỏ y ( m ) = −2m + 5m − Biểu thức y ( m ) = −2m + 5m − đạt giá trị lớn m = ⇒ a = , b = ⇒ a +b = Câu Email: buivuongphung@gmail.com 2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x + ( m − ) x − 3m − 4m + = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 − x1 x2 − 24 ≤ Gọi M N giá trị lớn 2 giá trị nhỏ biểu thức P = x1 + x2 + x1 x2 − 13 ( x1 + x2 ) Tính M + N : A −64 B −44 C − 87 Họ tên: Vũ Thị Chuyền D − 127 FB: Vũ Thị Chuyền Lời giải Chọn A Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 − x1 x2 − 24 ≤ m ≥  4m − ≥ ∆ ' ≥  −3 ≤ m ≤ −1  ⇔ ⇔ ⇔   m ≤ −1 ⇔  (*) 1 ≤ m ≤  x1 + x2 − x1 x2 − 24 ≤ 6m + 6m − 36 ≤  −3 ≤ m ≤  Vậy P = x12 + x2 + x1 x2 − 13 ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − 13 ( x1 + x2 ) = −2m + 2m − 20 + Bảng biến thiên P với điều kiện (*) Từ bảng biến thiên ta được: M = −20 m = , N = −44 m = −3 Suy M + N = −64 Email: hoanggiahung.bdh@gmail.com Trang 4/13 - Mã đề thi 483 Câu Cho hàm số: f ( x ) = ax + bx + ( a > ) Biết hàm số đồng biến ( −1; +∞ ) Khi giá trị lớn biểu thức P = A B 8a là: 3a + 2ab + b 11 C D Họ tên tác giả : Hoàng Gia Hứng Tên FB: Hoàng Gia Hứng Lời giải Chọn B Do a > nên hàm số đồng biến ( −1; +∞ ) thì: Khi : P= −b b ≤ −1 ⇔ ≥ 2a a 8a 8 = = b 2 3a + 2ab + b t + 2t + với t = ≥ b b a  ÷ +2 +3 a a Ta có t + 2t + = ( t + 1) + ≥ 11, ∀t ≥ Dấu ‘=” xảy t = 2 Do : P ≤ Câu 8 b Suy maxP= = Chọn B 11 11 a Email: huunguyen1979@gmail.com Cho parabol ( P ) : y = x + 2018 x + đường thẳng d : y = mx + Biết d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ T = x1 − x2 ? A T = 2018 B T = C T = D T = Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) d : x + 2018x + = mx + ⇔ x − (m − 2018) x − = Nhận thấy phương trình ln có nghiệm trái dấu x1 , x2 với m ∈ R Ta có x1.x2 = −1 ⇔ x2 = − 1 1 = x1 + ≥ (do x1 , dấu) Suy T = x1 + x1 x1 x1 x1 Dấu “=” xảy m = 2018 Email: huunguyen1979@gmail.com Câu Cho x, y , z ∈ [0; 2] Tìm giá trị lớn T = 2( x + y + z ) − ( xy + yz + zx) ? A T = B T = C T = D T = Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên Lời giải Chọn C Trang 5/13 - Mã đề thi 483 Ta có T = f ( x) = (2 − y − z ) x + 2( y + z ) − yz Nếu y + z = f ( x ) = − yz ≤ − yz ≤ Nếu y + z ≠ f ( x ) hàm số bậc Ta có f (0) = −(2 − y )(2 − z ) + ≤ f (2) = − yz + ≤ Vậy MaxT = x = 0, y = z = x = 2, y = z = Email: Lehoayenphong1@gmail.com Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2ax + với a tham số.Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số [ 0;1] Biết có hai giá trị a để M − m = tổng hai giá trị a A C −1 B D Họ tên:Lê Hoa Tên Fb: Lê Hoa Lời giải Chọn B 2 Hàm số f ( x ) = x − 2ax + có hệ số x dương, tọa độ đỉnh I ( a;1 − a ) , f ( ) = f ( 1) = − 2a HT1: Xét a < hàm số f ( x ) đồng biến ( 0;1) ⇒ M = f ( 1) , m = f ( ) Khi M − m = 4⇔ a = −3 (thỏa mãn) TH2: Xét a > hàm số nghịch biến ( 0;1) ⇒ M = f ( ) , m = f ( 1) Khi M − m = 4⇔ a = ( thỏa mãn) ( Đến đủ hai giá trị a chọn đáp án) TH3: Xét ≤ a ≤ m = f ( a ) = -a2 + 1, M = max { f ( ) ; f ( 1) } -Nếu M = f ( ) ⇒ M − m = 4⇔ a = ±2 không thỏa mãn a = -Nếu M = f ( 1) ⇒ M − m = ⇔  không thỏa mãn  a = −1 Vậy có hai giá trị a thỏa mãn a = −3 , a = suy chọn B 2 Cách 2: (Cách thầy Nguyễn Văn Quý) 2 Đồ thị hàm số f ( x ) = x − 2ax + parabol có tọa độ đỉnh I ( a;1 − a ) , f ( ) = , f ( 1) = − 2a  a = Xét trường hợp a ∉ [ 0;1] M − m = f (1) − f ( 0) = − 2a − = 2a + = ⇔  a = −  ( Đến đủ hai giá trị a chọn đáp án) Trang 6/13 - Mã đề thi 483 Email: nguyenvandieupt@gmail.com ax + b đạt giá trị lớn giá trị nhỏ x2 + -1 Tính giá trị biểu thức P = a + b A P = 12 B P = 21 C P = 19 D P = 29 Câu 11 Gọi a, b số thực để biểu thức F = Họ tên tác giả : - Nguyễn Văn Diệu Tên FB: dieuptnguyen Lời giải Chọn C max( F − 4) = max(−4 x + ax + b − 4) = ¡ ⇔ ¡ Các số thực a, b thõa mãn toán ⇔  min( F + 1) = x + bx + b + 1) = min(  ¡ ¡ 2 Đặt f ( x ) = −4 x + ax + b − , g ( x ) = x + bx + b + Dễ thấy f ( x ) , g ( x ) hàm số bậc hai có hệ số -4 Nên max đạt đỉnh  a + 16 ( b − ) =  a = 16 ⇔ Từ ta có  b =  a − ( b + 1) = Email: nhnhom@gmail.com Câu 12 Cho phương trình bậc hai x − 2mx + m − 2m + = ( x ẩn m tham số) Khi m thuộc đoạn để phương trình cho có hai nghiệm không âm x1 , x2 giá trị P = x1 + x2 nhỏ A m ∈ [ 2; 4] C m ∈ [ 5;8] B m ∈ ( 4;5) D m ∈ ( 8;+∞) Lời giải Họ tên tác giả : Nguyễn Minh Thuận Tên FB: Minh Thuận Chọn A Phương trình x − 2mx + m − 2m + = có hai nghiệm khơng âm ∆ ' = m − m2 + 2m − ≥  ⇔  S = 2m ≥ ⇔ m ≥  P = m − 2m + ≥  Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = 2m; x1 x2 = m − 2m + Suy P = x1 + x2 = ( x1 + x2 Mà P = x1 + x2 nhỏ Vậy P = x1 + x2 = 2m + ) = x1 + x2 + x1 x2 = 2m + 2m + ( m − 1) ( m − 1) ( m − 1) +3 + nhỏ + ≥ dấu xảy m = Đáp án: m ∈ [ 2; 4] Trang 7/13 - Mã đề thi 483 Email: phamcongdung2010@gmail.com Câu 13 Cho hàm số y = x + (6 − m) x + − 2m (1) Giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức A = 1 + đạt 2018 ( x1 + 2) ( x2 + 2) 2018 giá trị nhỏ B m ∈ (−3;0) A m ∈ ¡ C m ∈ ( 0;3) D m ∈ φ Lời giải Họ tên tác giả : Phạm Công Dũng Tên FB:Phạm Công Dũng Chọn B Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục hoành nghiệm phương trình x + (6 − m) x + − 2m = (*) Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m + 4m + 12 > 0, ∀m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (*) Theo Viét ta có m−6  x + x =   − m x x =  Ta có ( x1 + ) ( x2 + ) = = −2 ( x1 x2 + x1 + x2 + ) Theo bất đẳng thức Cơsi ta có 1 1 + ≥2 ( ) 2018 = 21010 2018 2018 ( x1 + 2) ( x2 + 2) ( x1 + 2) ( x2 + 2) Dấu “=” xảy 1 = ⇔ x1 + = x2 + 2018 ( x1 + 2) ( x2 + 2) 2018 Do x1 , x2 phân biệt nên ta có x1 + = − x2 − ⇔ x1 + x2 = −4 ⇒ m−6 = −4 ⇔ m = −2 Email: phamhongquangltv@gmail.com Câu 14 Cho phương trình: x + 2(m + 1) x + m + 4m + = Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm GTLN A = x1 x2 − ( x1 + x2 ) A B C D Họ tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Lời giải Chọn D PT :2 x +2( m + 1) x + m + 4m + = (1) Phương trình có nghiệm V' = −(m + 6m + 5) ≥ − ≤ m ≤ −1 Trang 8/13 - Mã đề thi 483  x1 + x2 = − ( m + 1)  =>   x1 x2 = m + 4m +  ( Ta có : A = ) m + 8m + Xét hàm số f ( m) = m + 8m + có BBT [ −5; −1] là: m -5 f(m) -4 -1 -8 -9 f (m) = =>Max A = m = −4 => [Max −5; −1] Email: phuongthu081980@gmail.com Câu 15 Cho hàm số y = x − x + x − x + m − 2018m Tổng S tất giá trị nguyên dương m thỏa mãn điều kiện: T ≤ 2019 (với T giá trị nhỏ hàm số x ≥ ) bằng: A S = 2019.1010 B S = 2019.1009 C S = 2019.2018 D S = 2021.1009 Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui Lời giải Chọn A Ta có y = x − x + x − x + m − 2018m Vì x ≥ ⇒ t = x − x ≥ Ta có y = t + 2t + m − 2018m ≥ m − 2018m, ∀t ≥ y = m − 2018m Suy T =[ 0;min +∞ ) T ≤ 2019 ⇔ m − 2018m ≤ 2019 Do m nguyên dương nên ≤ m ≤ 2019, m ∈ N Do S = + + + … + 2019 = 2019 1010 Email: phuongthu081980@gmail.com Câu 16 Cho hàm số: y = f ( x ) = mx − x − m − (C) Khi giá trị lớn hàm số (C) đạt giá trị nhỏ m thuộc khoảng sau đây? A ( 0;3) B ( − 2;0 ) C ( − ∞;−2) D ( 3;+∞) Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui Lời giải Chọn B Trang 9/13 - Mã đề thi 483 +)BBT x m −∞ − y −∞ m + m +1 m +∞ -∞ + ) m ≥ khơng có GTLN + ) m < từ BBT ta có GTLN − Vì m2 + m + m  − >  1  1 m < ⇔ m ⇒ − ÷+ ( −m ) ≥ ⇔  − ÷+ ( −m ) −1 ≥  m  m  −m >  1 Dấu đẳng thức xảy ⇔  − ÷ = ( −m ) ⇔ m = −1  m m ⇔ m < Dựa vào đồ thị M = g (−m) = < không thỏa mãn tốn Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn toán (Trong lời giải trên, hệ trục tọa độ phải Oay Oxy) Email: Samnk.thptnhuthanh@gmail.com Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) = x + x + Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = f ( f ( x)) , với −3 ≤ x ≤ Tổng S = m + M A S = B S = 56 C S = 57 D S = 64 Họ tên tác giả : Nguyễn Khắc Sâm Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm Lời giải Chọn B Ta có f ( f ( x )) = f ( x ) + f ( x ) + Đặt t = f (x) , Xét hàm t = f ( x ) = x + 6x + [ −3;0] Ta có bảng biến thiên: - x t = x2 + 6x + - Từ bảng biến thiên ta được: −4 ≤ t ≤ Khi hàm số viết lại: f (t ) = t + 6t + 5, Lập bảng biến thiên hàm f (t ) = t + 6t + 5, [ −4;5] t f (t) = t + 6t + - - 60 -3 - Ta m = −4 , M = 60 Vậy S = 56 Cách 2: Tìm mix, max y = f ( f ( x)) = f ( x) + f ( x) + x ∈ K = [ −3;0] không cần BBT Trang 11/13 - Mã đề thi 483 Ta có: y ' = f ( x ) f '( x ) + f '( x)  x = −3 ∈ K 2 x + =  f '( x) = y ' = ⇔ f ( x) f '( x) + f '( x) = ⇔  ⇔ ⇔  x = −2 ∈ K  f ( x ) = −3  x + x + = −3  x = −4 ∈/ K y ( −3) = f ( f ( −3) ) = f ( −4 ) = −3 y ( −2 ) = f ( f ( −2 ) ) = f ( −3) = −4 y ( ) = f ( f ( ) ) = f ( ) = 60  y = −4 = m ⇒ S = M + m = 56 Vậy   max y = 60 = M Email: anhtu82t@gmail.com Câu 19 Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c , thỏa mãn f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ − 1;1] biểu thức a + 2b đạt giá trị lớn Tính P = 5a + 11b + c , biết a > A P = 10 B P = C P = 16 D P = 12 Họ tên tác giả : Đồng Anh Tú Tên FB: Anh tú Lời giải Chọn B (1)  −1 ≤ c ≤  Thay x = −1, x = 0, x = vào hàm số f ( x ) , ta  −1 ≤ a + b + c ≤ (2)  −1 ≤ a − b + c ≤ (3)   −1 − c ≤ a + b ≤ + c Từ (2), (3) ta có  , kết hợp với (1) , ta  −1 − c ≤ a − b ≤ + c  −2 ≤ a + b ≤   −2 ≤ a − b ≤ 2 8 32  a + 2ab + b ≤ ⇒ a + b ≤ Vậy a + 2b = (a + b ) − b ≤ (a + b ) ≤ Suy  2 3 3  a − 2ab + b ≤ a + 2b lớn nhât b = 0, a = thay vào (2) , ta −3 ≤ c ≤ −1 kết hợp với (1) c = −1 Thử lại với b = 0, a = c = −1 thỏa mãn f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ − 1;1] Vậy b = 0, a = c = −1 Nên Nên P = Email: trungkien1980vn@gmail.com Câu 20 Cho Parabol ( P ) : y = ax , a tham số dương, đường thẳng d : y = x − Biết đường thẳng d cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt A, B Gọi H, K hình chiếu vng góc điểm A, B trục hồnh Có giá trị tham số a để hình thang ABKH có diện tích ? A B C D Trang 12/13 - Mã đề thi 483 Họ tên tác giả : Nguyễn Trung Kiên Tên FB: Nguyễn Trung Kiên Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: ax = x − ⇔ ax − x + = Điều kiện: ∆ ' = − a > ⇒ < a <   x1 + x2 = a Theo định lý Viet:   xx =  a S= 1 ( AH + BK ) HK = ( ax12 + ax22 ) x1 − x2 2 = a ( x1 + x2 ) − x1 x2  = a  2 4 2  1 −  − =  − 1÷ − = 2  a a a a a  a a Đặt t = ( 2t − 1) ( x1 + x2 ) , t > Ta a t − t = ⇒ ( 2t − 1) 2 (t − x1 x2 − t ) = 18 ⇒ 4t − 8t + 5t − t − 18 = ⇒ ( t + 1) ( t − ) ( 4t + 5t + ) = ⇒ t = Vậy có giá trị thỏa a = Trang 13/13 - Mã đề thi 483 ... (t) = t + 6t + - - 60 -3 - Ta m = −4 , M = 60 Vậy S = 56 Cách 2: Tìm mix, max y = f ( f ( x)) = f ( x) + f ( x) + x ∈ K = [ 3; 0] không cần BBT Trang 11/ 13 - Mã đề thi 4 83 Ta có: y ' = f ( x )... + 6m + 5) ≥ − ≤ m ≤ −1 Trang 8/ 13 - Mã đề thi 4 83  x1 + x2 = − ( m + 1)  =>   x1 x2 = m + 4m +  ( Ta có : A = ) m + 8m + Xét hàm số f ( m) = m + 8m + có BBT [ 5; −1] là: m -5 f(m) -4... (chú ý b = −1 điều kiện tiếp xúc) Khi M ( 3; ) , x0 + y0 = Trang 3/ 13 - Mã đề thi 4 83 Congnhangiang2009@gmail.com Câu Giá trị nhỏ hàm số y = x − 2mx − m + 5m − đạt giá trị lớn m = phân số tối giản,