VẤN đề 6 TÍCH vô HƯỚNG

VẤN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG Câu Email: ngvnho93@gmail.com uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB.BC  BC.CA  CA AB 3a A  3a B C a2 D  a2 Lời giải Họ tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho Chọn A Cách uuuu r uuur Nhận xét: Với điểm M bất kỳ, ta ln có AB  AM  MB   uuuur uuur  AM  MB  AM MB uuuu r uuur � AM MB   AB  AM  MB  �uuur uuur a2 2 AB BC  AC  AB  BC     � � r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r a2 �uuur uuu 3a 2 2 Do �BC.CA   BA  BC  CA    � AB.BC  BC.CA  CA.AB   2 � r uuu r �uuu a2 2 CA AB  CB  CA  AB     � 2 � Cách Gọi BC uuuu rM,uuN, u r Puulần ur lượt trung điểm cạnh uuurAB,uuAC, u r uu ur Do tam giác ABC nên BM , CP, AN hình chiếu BC , CA, AB lên cạnh BA, CB, AB Áp dụng cơng thức chiếu, ta có r uuur uuur �uuur uuur uuur uuuu a a2 AB BC  AB BM   AB MB   AB MB   a   � 2 � u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a a � �BC.CA  BC.CP   BC.PC   BC.PC  a   2 � u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r � a a CA AB  CA AN  CA.NA  CA.NA  a   � 2 � uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur 3a Cộng vế theo vế ta AB.BC  BC CA  CA AB   uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur Cách Vì tam giác ABC nên AB, BC  BC , CA  CA, AB  120      r uuur uuur uuur �uuu � 1� a AB BC  AB BC cos AB , BC  a a    � � � � 2� � r uuur uuu r � �uuur uuu �1� a BC CA  BC CA cos BC , CA  a a    Do � � � � 2� � �uuu r uuur uuu r uuu r � 1� a CA AB  CA AB cos CA , AB  a a    � � � � 2� � uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r 3a � AB.BC  BC.CA  CA AB          Câu Cho tam giác ABC có AD trung tuyến, G trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC M , N Khẳng định sau đúng? uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur A AM AN  AN MB  AM NC uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur B AM AN  AN MB  AM NC uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur C AM AN  ( AN MB  AM NC ) uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur D AM AN  ( AN MB  AM NC ) Lời giải Chọn B Trước hết ta chứng minh BM CN   1(1) AM AN �BM PG  � �BP //MN �AM AG �� Thật vậy, kẻ � CQ //MN � �CN  QG �AN AG PG QG   � PG  QG  AG � (GD  PD)  (GD  DQ )  AG AG AG � 2GD  AG ( ln đúng) Do (1) � Vậy ta có Câu BM CN  1 AM AN BM AN  CN AM  AM AN uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AN MB AM NC AM AN �   cos A cos A cos A uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuur � AM AN  AN MB  AM NC ( Do cos A �0 ) r r r r r r Cho véc tơ a , b , c thỏa mãn a  a , b  b , c  c rr rr rr A  a.b  b.c  c.a 3c  a  b 3b  a  c C A 3a  c  b 3c  a  b D B r r r r a  b  3c  Tính Lời giải Tác giả : Quang Phi Chọn A r r r r r r r r r Ta có a  b  3c  � a  b  3c � a  b   r2  9c r r 9c  a  b r r2 rr r2 � a  b  2.a.b  9c � a.b  r r r r r Tương tự ta có b  3c  a � b  3c  r r r r r Và ta lại có a  3c  b � a  3c  Suy A    r2 r2 r2 r r r2 r r a  b  9c  a � b  9c  6.b.c  a � b.c  r2 r r2 r r r2 r r b  a  9c  b � a  9c  6.a.c  b � a.c  9c  a  b a  b  9c b  a  9c 3c  a  b    6 Họ tên: Đoàn Thị Hường Câu Email: ngochuongdoan.6@gmail.com Fb: Đoàn Thị Hường Cho tam giác ABC vng A có BC = 2a , M điểm đoạn BC cho MB = 2MC Biết uuuu r uuur AM BC  a Độ dài cạnh AC là: A AC  a 33 B AC  a C AC  a 3 D AC  a Lời giải uuuu r uuur Từ giả thiết M điểm đoạn BC cho MB = 2MC nên ta có BM  BC Đặt AB = x ; AC = y ta có x  y  4a (1) (Tam giác ABC vuông A) uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Mặt khác từ AM  AB  BM  AB  BC  AB  ( AC  AB )  AB  AC 3 3 uuuu r uuur r uuur uuur uuur uuu 2 Nên có AM BC  a � ( AB  AC )( AC  AB)  a 3 uuu r uuur uuur 2 uuur2 � AC  AB  a ( Do AB AC  ) 3 � 2 y  x  a (2) 3 Từ (1) (2) ta có y  a 33 Chọn đáp án A Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên Câu Mail: huunguyen1979@gmail.com �  900 , AB  1, AC  Dựng điểm M cho AM  BC , AM  Cho tam giác ABC có BAC uuuu r uuu r uuur Đặt AM  x AB  y AC Tính T  x  y ? A T  153 20 B T  151 20 C T  Lời giải Chọn A 157 20 D x  159 20 uuuu r uuu r uuur Từ AM  x AB  y AC � AM  x AB  y AC �  x  y uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Và AM BC  x AB.BC  y AC.BC �  x AB( AC  AB )  y AC ( AC  AB) �   x  y � 144 �x  y  �x  153 �� 20 Suy T  x  y  Ta có hệ: � 20 � x  y  � �x  y Câu Email: truongthanhha9083@gmail.com uuur uuuu r uuur uuur Cho tam giác ABC vuông A Quỹ tích điểm M thỏa mãn MB.MC  MA.BC  MA2 A Đường thẳng AC B Đường thẳng AB C Đường thẳng BC D Đường trung trực cạnh BC Lời giải Họ tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B Yêu cầu toán trở thành uuur uuu r uuur uuur uuur uuur ( MA  AB ).( MA  AC )  MA.BC  MA2 uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur � MA2  MA( AB  AC )  AB AC  MA.BC  MA2 uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur � MA( AB  AC )  MA( AB  AC ) (*) Gọi E đỉnh thứ tư hình chữ nhật ABEC Hệ thức (*) trở thành uuuruuur uuur uuur MA AE  MA.BC uuur uuur uuur � MA( AE  BC )  uuur uuur uuur � MA( AE  AC )  uuur uuu r � MA.CE  � MA  AC Câu Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB Cho tam giác ABC cạnh 3a ,  a   Lấy điểm M , N , P cạnh BC , CA , AB cho BM  a , CN  2a , AP  x   x  3a  Tìm x để AM  PN 3a 4a A x  B x  5 a 2a C x  D x  5 Lời giải Họ tên tác giả : Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon Chọn B uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur Ta có AM  AB  BM  AB  BC uuuu r uuu r uuur uuu r r uuur uuu AM  AB  AC  AB  AB  AC 3 uuur uuur uuu r uuur x uuu r AB Ta có PN  AN  AP  AC  3a uuuu r uuur r uuur � r� �2 uuu �1 uuur x uuu AC  AB Để AM  PN AM PN  � � AB  AC � � � 3a �3 � �3 � r uuur x uuu r uuur x uuu r uuur uuu � AB AC  AB  AC  AB AC  9a 9a  ۰AB � AC.cos 60 �  2x  3a  9a  3a  x AB AC.cos 60 9a 2x x � 3a � 3a �  � 9a  9a  � 3a � 3a �  9a 9a 4a 4a � 2a  ax  � x  Vậy x  AM  PN 5 Câu Nguyenducloi qv2@gmail.com Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M trung điểm AB I điểm di động uuur uuur AC đường thẳng MC Khi 2IM  AC đạt giá trị nhỏ nhất, tính tỉ số AI AC AC AC AC   2  A B C D AI AI AI AI (Họ tên tác giả : Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi) Lời giải Chọn B Gọi N trung điểm BC uuur uuur uu r uur uur uu r uur uur Có IM  AC  IA  IB  IC  IA  IB  IC  IN uuur uuur Do 2IM  AC đạt giá trị nhỏ I hình chiếu vng góc N MC Dựng hình vng ABCD Gọi P trung điểm CD H giao điểm AP với DN Dễ dàng chứng minh DN  CM � I �DN Lại có tứ giác AMCP hình bình hành, suy AP / /CM Do AP  DI H trung điểm DI Suy tam giác AID cân A Vậy AC AC   AI AD Email: buivuongphung@gmail.com Câu uuur uuur Cho ABC có trọng tâm G , H chân đường cao kẻ từ A cho BH  HC Điểm M di u u u r u u u r uuuu r uuur động BC cho BM  xBC Tìm x cho MA  GC nhỏ A B C D Lời giải Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền Chọn D Gọi I trung điểm cạnh BC uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uu r MA  GC  MC  CG  GA  GC  MC  IA uuur uuuu r uuu r uuur  BC  BM  IH  HA uuur uuur uuu r uuur  BC  xBC  CB  HA u u u r u u u r �5 �  �  x �BC  HA �6 �   uuur uuur �5 4 � Suy MA  GC  �  x �BC  HA2 � HA2 9 �6 � Dấu “=” xảy x  Email: nguyenthitrangtnh@gmail.com Câu 10 Cho tam giác ABC, nhọn, không cân nội tiếp đường tròn  O; R  Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức AC  AB  BC theo R A.8R2 B.10R2 C.12R2 D.14R2 Lời giải Họ tên: Nguyễn Thị Trăng Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có: uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur OA  OB  OC uuuu r OB  OC Khi OG  , OM  Fb: Trăng Nguyễn uuur uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur OG  OM � OG.OM  � OA  OB  OC OB  OC   uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur � OA.OB  OA.OC  2OB.OC  R    1 R  AB    R  AC   R  BC  R   2 r r2 r r r r a b  a b (chú ý a.b  ) �   � AB  AC  BC  12 R Email: phamhongquangltv@gmail.com uuur uuur � = 600 Lấy điểm E tia MP đặt ME  kMP Tìm Câu 11 Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP 2 1 A k= B k= C k= D k= Lời giải Họ tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Chọn B uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Ta có: NE  NM  ME  kMP  MN uuur uuur uuuu r MF  (MP  MN) uuur uuuu r uuur uuuu r NE  MF � (MP  MN) ( kMP  MN )=0 uuuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r2 MN.(MP  MN) MN.MP  MN 16  16 � k  uuuu r uuur uuuu r  uuuu r uuur uuur  64 16  MP.(MP  MN) MN.MP  MP (Email): Khueninhbinh2004@gmail.com uuur uuur uuur uuur Câu 12 Đẳng thức MA AD  MB.BC với điểm M Khi tứ giác ABCD hình A Hình thang vng B Hình chữ nhật C Hình thoi D Tứ giác có hai đường chéo vng góc Lời giải (Họ tên tác giả : Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham) Chọn B uuur uuur uuur uuur Đẳng thức MA AD  MB.BC với điểm M uuu r uuur � AB � BC  �AB  BC �� r uuur Cho M trùng với A, B ta �uuu BA AD  �AB  AD � Cho M trùng với C ta uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur CA AD  CB.BC � CB  BA AD  CA  AB BC     uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur � CB AD  CA.BC (vì BA AD  AB.BC  ) uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur � CB AD  CA.CB  � CB AD  CA  � CB.CD  � CB  CD   Vậy tứ giác ABCD hình chữ nhật Email: dacgiap@gmail.com Câu 13 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M , N thuộc đoạn thẳng BC AC cho uuuu r uuuu r uuur uuur BM  MC , CN  k AN AM  DN Khi k thuộc khoảng đây? A  3;5  B  5; 3 C  4; 2  D  2;  Lời giải Họ tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap Chọn B uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur Ta có: AM  AB  BM  AB  BC ; uuur uuur Từ CN  k AN N nằm hai điểm A, C nên suy uuur r uuur uuur uuu AN  AC  AB  AD 1 k 1 k uuur uuur uuur uuur uuur uuur DN  DA  AN  DA  AB  AD 1 k uuuu r uuur r uuur � uuur r uuur � uuu �uuu � AM  DN � AM DN  � �AB  BC � AB  AD � �DA  1 k � � � � uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur � AB.DA  AB  AB AD  BC.DA  BC AB  BC AD  1 k 41 k        � 5a a2   � k  4 4 1 k  Email: nnqman235@gmail.com     k 0 r r r r r r r r Câu 14 Cho hai vector a, b thỏa mãn đồng thời điều kiện a  2b  7, a  b  , vector (3a  b) r r r r vng góc với (a  b) Tính cosin góc tạo hai vector a b A  B C D  Lời giải Họ tên tác giả : Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman Chọn B r r r2 r2 rr �r �a  2b  � a  4b  4a.b  a 1 � �r r �r r r r r2 2 � � � �� a  b  2a.b  � � b 2 Ta có �a  b  rr �r r r r �r r �r r a  b  a b  (3 a  b ).( a  b )  � � � a.b  � � � rr r r a.b cos( a ; b)  r r  Suy a.b Câu 15 Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC  a; CA  b; AB  c Tìm giá trị biểu thức: K  A K  OA2 OB OC   b.c c.a a.b B K  C K  D K  Lời giải Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA, OB, OC ta ln có: uuu r uuu r uuur a.OA  b.OB  c.OC  Từ uuu r uuu r uuur a.OA  b.OB  c.OC    uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r � a 2OA2  b 2OB  c 2OC  2.a.bOA.OB  2b.c.OB.OC  2.c.a.OC OA  uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Vì OA  OB  BA � OA  OB  c � 2.OA.OB  OA2  OB  c   Tương tự ta có: a 2OA2  b2OB  c 2OC  ab  OA2  OB  c   bc  OB  OC  a   ca  OC  OA2  b   �  a  b  c   aOA2  bOB  cOC   abc  a  b  c  OA2 OB OC �   1 bc ac ab Chọn đáp án C K  Họ tên: Lê Thái Bình Email: lebinhle80@gmail.com Facebook: Lê Thái Bình CM CN   CB CD uuur uuuu r Gọi E điểm thỏa mãn AE  kAN Khi BE  AM Tính giá trị biểu thức T  k  k  Câu 16 Cho hình vng ABCD M, N nằm hai cạnh BC CD cho A 13 16 B C D 16 Lời giải uuu r r uuur r Đặt AB  a; AD  b Ta có uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r BE  BA  AE  BA  kAN  BA  k AD  DN r r r � 2k  r r �  a  k � b  a � a  kb � �   uuuur uuur uuuur r r AM  AB  BM  a  b uuur uuuur 2k  3 Khi BE  AM � BE AM  0�  k  0� k  3 Câu 17 Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM  điểm CD Tam giác BMN A.Tam giác C.Tam giác Vuông AC Gọi N trung B Tam giác cân D.Tam giác vuông cân Lời giải Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Q Đơn Khánh Hòa Chọn D uuur r uuu r r Đặt AD  a, AB  b uuur r r Khi đó: MB   a  3b   r uuuu r uuur r r uuur uuur uuur r b AM  AC  (a  b); AN  AD  DN  a  4 uuuu r uuur r r � MN  AC  (3a  b) 4 uuur uuuu r r r r r Ta có: MB.MN  (a  3b)(3a  b) 16 uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur � AM AN  AN MB  AM NC ( Do cos A �0 ) Họ tên:Phan Thông Email:quocthong1182@gmail.com Facebook:Quocthongphan Câu 20 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 AD=4 Gọi M trung điểm cạnh AB N uuur uuur điểm cạnh AD cho AN  k AD ,CM vng góc với BN Khi k thuộc vào khoảng sau � 1� �1 � �1 � �1 � 0; � A � B � ; � C � ; � D � ; � 16 20 � � 16 � �20 � � �9 � uuu r r uuur r Giải: Đặt AB  a , AD  b uuuu r uuu r uuuu r uuur uuu r r 1r Ta có CM  CB  BM   AD  AB  b  a 2 uuur uuu r uuur uuu r uuur r r BN  BA  AN   AB  k AD  a  kb r uuuu r uuur 1 �r r � r b  a � a  kb  � 16k   � k  Theo giả thiết ta có CM BN  � � � �   Họ tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Email: phamhongquangltv@gmail.com uuur uuur � = 600 Lấy điểm E tia MP đặt ME  kMP Tìm Câu 21 Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP 2 1 A k= B k= C k= D k= Lời giải Chọn B uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Ta có: NE  NM  ME  kMP  MN uuur uuur uuuu r MF  (MP  MN) uuur uuuu r uuur uuuu r NE  MF � (MP  MN) ( kMP  MN )=0 uuuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r2 MN.(MP  MN) MN.MP  MN 16  16 � k  uuuu r uuur uuuu r  uuuu r uuur uuur  64 16  MP.(MP  MN) MN.MP  MP Câu 22 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c M trung điểm BC , D chân đường uuur phân giác góc A Tính AD uuur uuur 4c 4bc p  p  a p  a A AD  B AD    b  c  b  c uuur uuur 4bc 4bc p  p  a p  p  a C AD  D AD   b  c  b  c Lời giải (Họ tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn D uuuu r uuu r uuur Vì M trung điểm BC nên AM  AB  AC uuuu r uuu r uuur uuu r2 uuu ruuur uuur Suy AM  AB  AC  AB  AB AC  AC 4 uuu r uuur 2 Ta lại có AB AC   c  b  a  nên       uuuu r �2  b2  c2   a2 2 2� AM  � c   c  b  a   b � 4� � Theo tính chất đường phân giác BD AB c   DC AC b uuur BD uuur b uuur DC  DC (*) Suy BD  DC c uuur uuur uuur uuur uuur uuu r Mặt khác BD  AD  AB DC  AC  AD thay vào (*) ta uuur uuur b uuur uuur uuur uuur uuur AD  AB  AC  AD �  b  c  AD  b AB  c AC c uuur uuur uuuruuur uuur 2 �  b  c  AD  b AB  2bc AB AC  c AC       uuur 2 �  b  c  AD  b c  2bc  c  b  a   c 2b 2 uuur bc � AD  b  c  a  b  c  a   b  c uuur Hay AD  4bc  b  c p  p  a Họ tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài mức độ VD, nhờ thầy góp ý! � = 600 Các điểm M, N xác định Câu 23 Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC uuur uuur uuu r uur MC =- MB NB =- NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với A 6c - 4b - 5bc = B 4c - 5b - 6bc = C 6c - 5b - 4bc = D 4c - 6b - 5bc = Lời giải Chọn D uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r Ta có: MC =- 2MB � AC - AM =- 2( AB - AM ) � AM = AB + AC uuu r uur uur Tương tự ta có: 3CN = 2CA + CB Vậy: uuur uuu r AM ^ CN � AM � CN = uuu r uuu r uur uur � (2 AB + AC )(2CA + CB ) = uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r  (2 AB + AC )( AB - AC ) = � AB - AC - AB AC = 2  2c - 3b - 5bc = � 4c - 6b - 5bc = Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com Câu 24 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M điểm thỏa uuuu r uuu r uuu r uuur mãn OM  2OA  OB  2OC Biết OM vng góc với BI AC  3BC.BA Tính góc � ABC A 30� B 45� C 60� D 120� Lời giải Chọn C uuuur uur uuu r uuur uuur uuu r uuur Ta có OM  BI � 2OM BI =0 � 2OA  OB  2OC BA  BC  uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur � 5OB  BA  BC  � 5OB.BA+5OB.BC  BA  BC         Gọi H , K tương ứng trung điểm đoạn AB, BC uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur Khi 5OB.BA+5OB.BC  BA  BC  � uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur OH  HB BA  OK  KB BC  BA  BC  uuu r uuur 5 �  BC  BC  BA2  BC  2.2 BA.BC  2 1 �  BA2  BC   AB  BC  AC   � AC   AB  BC  2         AC  AC 2 2 BA  BC  AC ABC  3 Do cos � Suy � ABC  60� 2 BA.BC AC Họ tên tác giả : Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe Email: kienyenthe@gmail.com Câu 25 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b Gọi M trung điểm BC Hệ thức a, b, h để AM  BD A a  h  ab  B h  a  ab  C h  b  ab  D b  h  ab  Lời giải Chọn B Ta có uuuu r uuur AM  BD � AM BD  uuu r uuur uuur � AB  AC BD  uuu r uuur uuur uuur uuu r � AB  AD  DC AD  AB  uuur uuu r �  AB  AD  DC AB       � h  a  ab  Họ tên: Vũ Huỳnh Đức Email: vutoanpvd@gmail.com Facebook: vuhuynhduc2017 uuuu r uuur BC BM  Câu 26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M, N điểm thỏa mãn , uuur uuur AN  A B Gọi I giao điểm AM CN Tính diện tích tam giác IBC theo a? A S IBC  a B S IBC  a 7 C S IBC  2a D S IBC  2a Lời giải Chọn A uur uuur uuur uur uuur uuur gI �CN � x , y ��: BI  x BN  y BC , x+y=1� BI  2x BN  3y BC , x+y=1 uur uuu r uuur 2x BA  3y BC 2x  3y  I �A M nên từ BI  ta có 3 �x+y=1 uur uuu r uuur � g� � x=6 , y=1 � BI  BA  BC 2x 7 7 �  3y  �3 uuu r uuu r uuu r 2CA  1CB CN= Từ giả thiết ta có 3 uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuur � � g CN.BI  � � � CA  CB � � BA  BC � ��7 �3 � uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r  BA CA  BA CB  BC CA  BC CB  21 21 21 21 �  BIC vuông I uur uuu r uuur uuu r uuur BA  BC �  21a gBI  BA  BC � BI  � � � 7 �7 � 49 gIC  BC  BI  a2  21a  28a � IC  a 49 49 Vậy S IBC  BI IC  a Họ tên tác giả : Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com r uuuu r uuur uuur uuu Câu 27 Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA , uuu r uuu r AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15 A k  B k  C Lời giải Chọn A D k  uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuu r BM  k BC � AM  AB  k ( AC  AB ) � AM  (1  k ) AB  k AC r uuur uuu AB  AC 15 uuuu r uuur Để AM vng góc với PN AM PN  uuu r uuur � uuu r uuur � � �� (1  k ) AB  k AC  AB  AC � � � � � 15 � r uuur 4(1  k ) k  k 4k uuu � AB  AC  (  ) AB AC  15 3 15 4(1  k ) k  k 4k �  (  )cos600  15 3 15 �k uuur uuur uuu r +) PN  AN  AP   Email: duyhung2501@gmail.com Câu 28 : Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC  a; CA  b; AB  c Tìm giá trị biểu thức: K  A K  OA2 OB OC   b.c c.a a.b B K  C K  D K  Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA, OB, OC ta ln có: uuu r uuu r uuur a.OA  b.OB  c.OC  Từ uuu r uuu r uuur a.OA  b.OB  c.OC    uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r � a 2OA2  b 2OB  c 2OC  2.a.bOA.OB  2b.c.OB.OC  2.c.a.OC OA  uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Vì OA  OB  BA � OA  OB  c � 2.OA.OB  OA2  OB  c   Tương tự ta có: a 2OA2  b 2OB  c 2OC  ab  OA2  OB  c   bc  OB  OC  a   ca  OC  OA2  b   �  a  b  c   aOA2  bOB  cOC   abc  a  b  c  OA2 OB OC �   1 bc ac ab Chọn đáp án C K  Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng FB: Hùng Tăng Họ tên: Nguyễn Thị Huệ FB: Nguyễn Thị Huệ Gmail: nguyenthihue1611@gmail.com r r r r r r r r r Câu 29 Cho hai véc tơ a b thỏa mãn điều kiện a  b  1, a  2b  15 Đặt u  a  b r r r r r v  2k a  b, k �� Tìm tất giá trị k cho u , v  60   A k   B k  � Lời giải Chọn A r r r r Từ giả thiết a  2b  15 � a  2b   C k   17 D k  � 17 rr  15 � a.b  rr r r r r r2 r r2 r u.v  a  b 2ka  b  3k  , u  u  6, v  v  4k  2k  3k  r r u , v  60 �  � k  4 2 4k  2k       Họ tên tác giả : Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê Email: Lenguyet150682@gmail.com uuur uuur r uuur uuur r AD  x Tính Câu 30 Cho tứ giác ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn MB  MA  0; NC  ND  BC � cos DBC theo x để MN  BD cos � ADB A x x B  C x D x Lời giải uuuu r uuur MN  BD � MN BD  0; uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur nên cần phân tích MN theo AD Phân tích: Ta thấy � � DBC  BD; BC ; ADC  AD; BD uuur BC  Giải Ta có biểu diễn    uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur MN  MA  AN  BA  AN  BN  NA  AN  BN  AN 3 3 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2  BC  CN  AD  DN  BC  AD 3 3 uuuu r uuur uuur Vậy MN  BC  AD Do 3 uuur uuur uuur �  AD.c os � MN  BD � BC  AD BD  � BC.c os DBC ADB       Suy    � cos DBC AD x    Đáp án B � BC cos ADB Họ tên tác giả : Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran Email: tranthanhha484@gmail.com Câu 31 Cho tam giác ABC có AB  6; BC  7; CA  Gọi M điểm thuộc cạnh AB cho uuur uuur a AM  2MB N điểm thuộc AC cho AN  k AC ( k ��) Biết k   b a phân số tối giản, a,b số ngun) cho đường thẳng CM vng góc với đường b thẳng BN ( Tính giá trị biểu thức T  2018a  2019b  A T  2017 B T  2020 C T  2030 D T  2030 Lời giải Chọn B uuuu r uuuu r uuur uuu r uuur CM  AM  AC  AB  AC uuur uuur uuu r uuur uuu r BN  AN  AB  k AC  AB uuuu ruuur uuu r uuur uuur uuu r ruuur uuu r2 uuur uuu ruuur 2k uuu AB AC  AB  k AC  AB AC Suy ra: CM BN  ( AB  AC )(k AC  AB)  3 uuu r2 uuu r uuur AB2  AC  BC  CB � AB.AC  6 BN  CM � k    uuu r uuur AB  AC  Theo giả thiết, ta có : a  6; b  � T  2018.6  2019.7   2020 Họ tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất Email: nhatks@gmail.com �  600 Các điểm M, N xác định Câu 32 Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC uuur uuur uuur uuu r MC  2MB NB  2 NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vuông góc với A 6c  5b  4bc  B c  6b  5bc  C 4c  6b  5bc  D 4c  6b2  5bc  Lời giải Chọn C uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur Ta có: MC  2MB � AC  AM  2( AB  AM ) � AM  AB  AC uuur uuu r uuu r Tương tự ta có: 3CN  2CA  CB uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r Vậy: AM  CN � AM � CN  � (2 AB  AC )(2CA  CB )  uuu r uuur uuur uuur uuur uuur  (2 AB  AC )( AB  AC )   AB  AC  AB AC  5bc   4c  6b  5bc  Câu 33 Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AD 2  2c  3b  uuur uuur cho AD = kAN Tìm k để CM  BN A k=7,9 B k=8 C k=8,1 D k=7.8 Lời giải Chọn B uuur uuu r uuur uuur giải: Ta có CM = CB + BM = - AD - uuur AB uuur uuu r uuur uuur uuur BN = BA + AN = - AB + AD k uuur uuur Để CMBN CM BN = uuur uuur � uuur uuur� � uuur uuur� � � � � CM BN = � - AD - AB � - AB + AD � � � � � � � � k � � � � uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur Mà = AD.AB - AD + AB AB AD k 2k uuur uuur2 1 = - AD + AB = - ( 2a) + a2 k k uuur uuur 1 � CM BN = � - ( 2a) + a2 = k � - + = 0� k = k Vậy k = CM ^ BN Họ tên tác giả : Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com Câu 34 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Gọi E , F hình chiếu vng góc C AB, AD Biểu thức sau A AB AH  AD AF  AC C AB AE  AD AH  AC B AB AE  AD AF  AC D AB.AE  AD AF  AC AH Lời giải F Chọn B Vì E , F hình chiếu vng góc C AB, AD nên ta có: uuur uuur uuur uuur AB AE  AC AB uuur uuur uuur uuur AD AF  AC AD C D H A B E uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Suy ra: AB AE  AD AF  AC AB  AD  AC (*)   Do AC đường chéo lớn nên � ABC �900 B nằm hai điểm A, E Suy uuur uuur AB AE  AB AE uuur uuur Tương tự ta có: D nằm hai điểm A, F Suy AD AF  AD AF Vậy đẳng thức (*) trở thành: AB AE  AD AF  AC Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 35 Cho hình thang vng ABCD , đường cao AD  h , cạnh đáy AB  a, CD  b Tìm hệ thức a, b, h để BD vng góc trung tuyến AM tam giác ABC A h  a  a  b  B h  a  b  a  C h  h  b   a  a  b  h  D 2h  a  a  b  Lời giải Chọn A uuuu r uuur uuur Thay AM  AB  AC , ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur AM  BD � AM BD  � AB  AC BD  � AB.BD  AC BD  (1)     uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r2 mà AB.BD  AB AD  AB   AB   a   uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r AC.BD  AD  DC AD  AB  AD  DC AB  h  ab    nên:  1 � h  a  a  b  Họ tên tác giả : Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam Email: quangnam68@gmail.com Câu 36 Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn (O, R) , M điểm cung BC ( cung BC không chứa điểm A) Chọn đẳng thức đẳng thức sau : A MA  MB.sin C  MC.sin B B MA  MB.cos C  MC.cos B C MA  MB.sin B  MC.sin C D MA  MB.cos B  MC.cos C Lời giải Chọn C uuur uuur uuuu r uuur uuuu r MA uuuu r MA Ta có 2MO.MA  MA � 2MO  MA � 2sin A.MO  sin A.MA (1) MA MA uuur uuuu r uuuu r MB uuuu r MC Tương tự 2sin B.MO  sin B.MB (2) , 2sin C.MO  sin C.MC (3) MB MC Từ (1), (2) (3) :  sinA.MA  sin B.MB  sin C.MC  uuur uuur uuuu r uuuu r MA MB MC  MO( sin A  sin B  sin C ) MA MB MC uuuu rr  MO.0  A O B C M uuur uuur uuuu r MA MB MC r Ta chứng minh  sin A  sin B  sin C  (*) MA MB MC uuur uuur uuuu r r Thật , (*) �  MB.MC.sin A.MA  MA.MC.sinB.MB  MB.MA.sinC.MC  2 uuur uuur uuuu r r �  S a MA  Sb MB  Sc MC  ( đúng) ( với S a , Sb , S c diện tích tam giác MBC, MAC, MAB) Vậy  MA.sin A  MB.sin B  MC.sin C  � MA.sin A  MB.sin B  MC.sin C (*) Theo ra: sin A  sin 900  thay vào (*) : MA  MB.sin B  MC.sin C Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương Email: lieuluong.290983@gmail.com Câu 37 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c M trung điểm BC , D chân đường � Tính uuur phân giác góc A AD uuur uuur 4c 4bc AD  p p  a AD     p  a A B 2 b  c    b c uuur uuur 4bc 4bc AD  p p  a p p  a   C D AD  2 b  c b  c     Lời giải Chọn D uuuur uuur uuur * Vì M trung điểm BC nên AM  AB  AC  Suy uuuur uuur uuur AM  AB  AC    uuur2 uuuruuur uuur � 1� AB  ABAC  AC � � 4� � uuur uuur � uuur2 uuur uuur uuur � AB AC  AB  AC  AB  AC � Ta có 2� � �       1� AB  AC  CB2 � c2  b2  a2 nên � 2� Hình 2.3   b2  c2  a2 uuuur � 2 2 2� AM  � c  c  b  a  b � 4� �   * Theo tính chất đường phân giác BD AB c   DC AC b uuur BD uuur c uuur DC  DC (*) Suy BD  DC b uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác BD  AD  AB DC  AC  AD thay vào (*) ta uuur uuur c uuur uuur uuur uuur uuur AD  AB  AC  AD �  b c AD  bAB  cAC b u u uuur uuuruuur uuur 2 ur �  b c AD  bAB  2bcABAC  cAC uuur �  b c AD  b2c2  2bc c2  b2  a2  c2b2 uuur bc � AD   b c  a  b c  a b  c          uuur Hay AD  4bc  b c  p p  a Họ tên tác giả : Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung Email: trungthuong2009@gmail.com Câu 38 Trong thi giải trí tốn học tổ chức hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có trò chơi sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với góc 300 hình vẽ Trên đường thẳng Ox Oy người ta để hai vật nặng trọng lượng Buộc hai vật thể với cứng AB  1m cho vật chuyển động hai đường ray Nối hai vật sợi giây vòng qua cột có gốc O Người tham dự thi đứng vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động Oy Người thắng người kéo vật thể xa so với điểm gốc O Hãy dùng kiến thức tốn học để tính tốn vị trí xa mà người tham dự thi đạt A 1m B 2m C 3m Lời giải Chọn B + Đặt OB  x; OA  y ( x, y  0) Khi theo định lý cosin ta có: AB  x  y  xy cos 300  x  y  3xy D 2m Do ta có hệ thức: x  y  3xy  Xét phương trình bậc hai: y  xy  x   Phương trình có nghiệm y   x  4( x  1) �0 �  x �2 Vậy học vị trí xa mà học sinh đạt cách O khoảng 2m Câu 39 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM Tính cos A  AL A cos A  2 B cos A  1 C cos A  D cos A  Lời giải Chọn D uuu r r b uuu c uuur AB  AC Ta có: AL  bc bc uuu r uuu r uuur uuur uuuu r CA  CB AB  AC CM   2 uuu r uuuu r Theo giả thiết: AL  CM � AL.CM  uuu r uuur uuur uuur � b AB  c AC AB  AC  � bc  bc cos A  2cb cos A  2cb     �  c  2b    cos A   � c  2b (do cos A  1) b2  a2 c a  b2   r uuur uuu r uuur uuu AL2  AB  AC  AB  AC  AB AC   9b  a  9 Khi đó: CM      CM CM a  b  �   � a  3b 2 AL AL 9b  a cos A  b  c  a 5b  a   2bc 4b 2 doantv.toan@gmail.com Câu 40 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  1; CD  Điểm M thuộc cạnh AD N trung điểm BC cho MN  BD Phân số tối giản A 29 B 18 m BN  có m  n n NC C.16 D 27 Lời giải (Họ tên tác giả : Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn) Chọn B uuur uuu r uuur Ta có BD  ( BA  BC ) uuur uuur m BN BN m m uuur  �  � BN  BC  k BC n NC BC m  n mn uuuu r uuur uuur uuur � �uuur uuu r MN  MA  AB  BN  � k  �BC  AB � 2� uuur uuuu r 11 11 � 1� k  � � k   � m  11, n  BD.MN  nên 1  � 18 11  � 2� Họ tên tác giả : Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa Email: phamquynhanhbaby56@gmail.com Câu 41 Cho tam giác ABC có AB = c ; BC = a , CA = b Gọi M trung điểm AB D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Biết trung tuyến CM vuông góc với phân giác AD Khi đẳng thức sau đúng? A b  2c B c  2b C a  b  c D c  a  b Lời giải Chọn B DB AB c = = DC AC b uuur uuur uuur r uuur uuur c uuur DB , DC ngược hướng suy DB =- DC � b.DB + c.DC = b uuur r b uuu c uuur AB  AC Ta có: AD  bc bc uuu r uuu r uuur uuur uuuu r CA  CB AB  AC Vì CM trung tuyến nên CM   2 uuu r uuuu r Theo giả thiết: AL  CM � AL.CM  uuu r uuur uuu r uuur � b AB  c AC AB  AC  � bc  bc cos A  2cb cos A  2cb  Ta có D chân đường phân giác góc A nên    �  c  2b    cos A   � c  2b (do cos A  1) Vậy c = 2b � Khi Câu 42 Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ BC A MA  MB  MC B MA  MB  MC C MA  MB  MC D MA  MB  MC Lời giải Chọn A uuuu r uuur uuuu r uuu r R  OA2  (OM  MA)2  R  MA2  2OM OA uuur Ta có uuuu r uuur uuuu r MA � MA  2.OM MA  � MA  2.OM 0 MA Tương tự uuur uuuu r MB MB  2.OM 0 MB uuuu r uuuu r MC MC  2.OM 0 MC uuur uuur uuuu r uuuu r MA MB MC Suy  MA  MB  MC  2OM (   )0 MA MB MC uuur uuur uuuu r MA MB MC Vì  véc tơ đơn vị đôi tạo với góc 1200 nên ; ; MA MB MC uuur uuur uuuu r MA MB MC r     ,  MA  MB  MC  MA MB MC ... 3b)(3a  b) 16 r2 r2 rr (3a  3b  8a.b)  � MB  MN  1 16 uuur r r r r2 r r r2 MB  (a  3b)  (a  9b  6a.b)  a 16 16 uuuu r2 r r r r r2 r r2 MN  (3a  b)  (9a  b  6a.b)  a 16 16  Suy... )=0 uuuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r2 MN.(MP  MN) MN.MP  MN 16  16 � k  uuuu r uuur uuuu r  uuuu r uuur uuur  64  16  MP.(MP  MN) MN.MP  MP (Email): Khueninhbinh2004@gmail.com uuur... 9c  6. b.c  a � b.c  r2 r r2 r r r2 r r b  a  9c  b � a  9c  6. a.c  b � a.c  9c  a  b a  b  9c b  a  9c 3c  a  b    6 Họ tên: Đoàn Thị Hường Câu Email: ngochuongdoan .6@ gmail.com