Vấn đề 2: Tích vô hướng và một số dạng bài tập

11. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là BA. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. a)[r]

TÍCH VƠ HƯỚNG-HỆ THỨC LƯỢNG

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page VẤN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

Dạng Góc hai vectơ

1 Nêu định nghĩa góc hai vectơ Khi góc hai vectơ 0o, 90o, 180o?

2 Cho tam giác ABC vng A có góc B 50o Tính góc cặp vectơ sau

a) (BA,BC) b) (AB,BC) c) (CA,CB)

d) (AC, BC) e) (AC,CB) g) (AC,BA)

3 Cho hình vng ABCD Tính góc cặp vectơ (AC, BA),  (AC, BD),  (AB, CD).  Từ

suy cos(AC, BA),  sin(AC, BD),  cos(AB, CD) ? 

4 Cho tam giác ABC vng A góc B = 30o Tính giá trị biểu thức sau

a) cos   

2 CB , AC tan ) BC , BA sin( BC ,

AB  

b) sinAB,ACcosBC,BAcosCA,BA

Dạng Tích vô hướng hai vectơ

5 Nêu định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ Trong trường hợp tích vơ hướng hai vectơ ln 0? Luôn dương? Luôn âm?

6 Cho tam giác ABC có cạnh a trọng tâm G Tính tích vơ hướng sau

a) AB.AC b) AC.CB c) AG.AB

d) GB.GC e) BG.GA g) GA.BC

7 Cho điểm A, B, C, D Chứng minh DA.BCDB.CADC.AB0 Từ suy cách chứng minh định lý: “Ba đường cao tam giác đồng quy”

8 Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh

0 CF AB BE CA AD

BC   

9 Cho hai véc tơ OA,OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA Khi vectơ OB' gọi

là hình chiếu vectơ OB đường thẳng OA Chứng minh ta có cơng thức hình chiếu

sau OA.OBOA.OB'

10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh rằng:

2 2

4

TÍCH VƠ HƯỚNG-HỆ THỨC LƯỢNG

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page Dạng Biểu thức tọa độ tích vơ hướng

11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a(x , y ), b1 1 (x , y ).2 2

 

Chứng minh rằng:

a) a.b  x x1 2y y1 2 b) 2

1

a  x y 

c)   2

2 2

1 2

x x y y cos a, b

x y x y

 

 

 

12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x , y ), B(x , y ) Chứng minh 1 1 2 2  12  12

AB x x  y y

13 Cho hai véc tơ a (1;2)và b(1;m)

a) Tìm m để a b vng góc với b) Tìm độ dài a b Tìm m để a  b

14 Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm M(–2; 2) N(4; 1)

a) Tìm POx cách hai điểm M, N b) Tính cơsin góc MON

15 Trong mặt phẳng toạ độ, cho i 5jva v ki 4j

1

u   

a) Tìm giá trị k để u v b) Tìm giá trị k để u  v

16 Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có đỉnh A(– 4; 1), B(2; 4), C(2, –2)

a) Tính chu vi diện tích tam giác

b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ kiểm tra tính chất thẳng hàng ba điểm I, G, H

17 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(1, 4), B(-2, -2), C(4, 2) Xác định toạ độ điểm M thuộc trục hoành cho tổng MA2 +2MB2 +3MC2 nhỏ

Dạng Bài tập tổng hợp

18 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A BA.BCAB2

19 Cho hai điểm M, N nằm đường trịn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN

a) Chứng minh AM.AIAB.AI;BN.BIBA.BI

TÍCH VƠ HƯỚNG-HỆ THỨC LƯỢNG

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 20 Cho hai đường thẳng a, b cắt M Trên a có hai điểm A B b có hai điểm C D

đều khác M cho MA.MBMC.MD Chứng minh bốn điểm A,B,C,D nằm đường tròn

21 Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a số k2 Tìm tập hợp điểm M cho MA2 – MB2 = k2

22 Cho tứ giác ABCD

a) chứng minh AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 2CA.BD

b) Từ câu a, phát biểu điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc với

23 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a O trung điểm đoạn thẳng AB

a) Chứng minh MA.MBOM2 a2

b) Cho số k2 Tìm tập hợp điểm M cho MA.MBk2

24 (ĐH khối D -2004)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-1, 0), B(4, 0),

C(0, m) (với m khác 0) Tìm toạ độ trọng tâm G theo m tìm m để tam giác GAB vng G

25 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh rằng:

2 4 2.

AC BDAB CD  R

26 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM CMR:

a) 2

4 AB ACAM  BC  

b)

2 2

2

2

AB AC BC

AM   

27 Cho hình vng ABCD; E, F đỉnh xác định , ,

3

BE BC CF   CD    

đường thẳng AE

TÍCH VƠ HƯỚNG-HỆ THỨC LƯỢNG

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 1a)

2 a2

, 1b) a2  , 1c)

2 a2

, 1d) a2  , 1e)

6 a2

, 1g)

13) ;0) (

P ,

34 

14a)

3 

, 14b)

3 

16 (k = –40) (

2 37 k 

17 (Chu vi =6 6 5, diện tích = 18) (G = (0;1), H = (1/2;1), I = (–1/4;1))