Vấn đề 3 quỹ tích

VẤN ĐỀ QUỸ TÍCH Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng Email: dungtoanc3hbt@gmail.com Câu uur uuu r uuu r r ABC J J A  J B  J C  0, gọi E điểm thuộc Cho tam giác với điểm thoả mãn uuur uuur AB thoả mãn AE  kAB Xác định k để C , E , J thẳng hàng A k � 2; 1 B k � 1;0  C k � 0;1 D k � 1;  Lời giải Ta co uur uuu r uuu r r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r uuur uuur r 2J A  5J B  3J C  � 2J E  2EA  5J E  5EB  3J C  � 7J E  3J C  2EA  5EB  uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur Để C , E , J thẳng hàng thì 2EA  5EB  � 7EA  5AB  � AE  AB � k  7 Chọn C Câu Leminh0310@gmail.com Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh Biết tập hợp điểm M thỏa mãn MA2  MB  2MC  MD  đường tròn co bán kính R Khẳng định sau đúng? �3 � �1 � A R � 0;1 B R � 1;  C R �� ; � D R �� ; � �2 � �2 � Lời giải (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh) Chọn C uuu r uuur r � OA  OC  � Vì ABCD hình vuông tâm O nên ta co: �uuur uuur r OB  OD  � Theo giải thiết: MA2  MB  2MC  MD  uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur � MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD      � MO  2OA2  OB  2OC  OD    9 uuuu r uuu r uuur uuur uuur  2MO  2OA  2OC  OB  OD   4 4 4 43 r � MO 3  � MO  Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm O bán kính R  Câu Email: thuyhung8587@gmail.com Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn : uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  2MA  MB  MC : B Đường thẳng qua B C D Một điểm A Đường thẳng qua A C Đường tròn Lời giải uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  2MA  MB  MC uuur uuur uuuu r uuur uuur uuu r � MA  MB  MC  3MA  MA  2MI , ( I : trung điểm BC ) uuuu r uuur uuur uuu r � MG  MA  MA  MI , ( G : trọng tâm VABC )   uuur uur � MJ  IA � MJ  IA ,( J trung điểm AG ) AG AG (không đổi) Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm J , bán kính R  2 Chọn đáp án C � JM  (Họ tên tác giả : Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung) Câu ngoletao@gmail.com Cho tam giác ABC co hai đỉnh B, C cố định với BC  2a Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm đoạn BC Nếu đỉnh A thay đổi thỏa uuur uuuu r MA.MH  MA2  4a thì điểm A ln thuộc đường tròn cố định co bán kính A 2a B a D a C a Lời giải (Họ tên tác giả : Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Chọn B A H B C M Ta co uuur uuuur uuu r uuu r uuur uuur MA.MH  BA  CA BH  CH   r uuur uuu r uuur uuu BA.BH  CA.CH (do BA  CH , CA  BH      r uuur uuu r uuur uuu BA.BH  CA.CH (định lý chiếu vectơ)  BC   Suy uuur uuuu r MA.MH  MA2  4a � 4a  MA2  4a � AM  a Câu Cho hai điểm A B cố định Tìm giá trị k  để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2  MB  k đường tròn 2 2 2 2 A k  AB B k  AB C k � AB D k  AB 3 3 Lời giải Chọn D uuu r uuu r r Gọi E điểm thỏa mãn: EA  EB  ta co uuu r uuu r r EA  EB  ta co: uuur uuu r uuur uuu r 2 2 MA2  MB  k � ME  EA  ME  EB  k � 3ME  k  EA  EB  *    Mà EA  EB  � EA   2 AB ; EB  AB nên  * � 3ME  k  AB 3 1� � � ME  � k  AB � 3� � 2 Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M rỗng 2 Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M điểm E 1� � k  AB � Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M đường tròn tâm E bán kính R  � 3� � PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm Email: Phamthanhliem1@gmail.com Câu Cho tam giác vuông ABC A Tìm tập hợp M cho MB  MC  MA2 A.Đường thẳng B.Đường tròn C.Đoạn thẳng D.Một điểm Lời giải Chọn D MB  MC  MA2 � MB  MC  MA2  Gọi E điểm xác định uuu r uuur uuu r EB  EC  EA  ( E điểm thứ tư hình bình hành ABEC ) uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r Ta co: MB  MC  MA2  ME  EB  ME  EC  ME  EA   ME  EB  EC  EA2 uuu r uuur  ME  EB  EC  EB  EC     Nên tập hợp điểm M điểm E    uuu r uuur uuur uuur  ME  EB.EC  ME  AB AC  ME Vậy ME  ( Cách chứng minh phục vụ cho tam giác ABC tam giác thường đo tập hợp điểm khác ) Câu Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn Cho tam giác ABC vuông cân A co AB  5cm Gọi ( S ) tập hợp điểm M mặt uuur uuur uuur uuuu r phẳng thỏa mãn hệ thức: MA.MB  MA.MC  25 Gọi I trung điểm BC Kết luận sau đúng? A ( S ) đường thẳng trung trực đoạn thẳng AI B ( S ) đoạn thẳng AI 10 C ( S ) đường tròn cố định bán kính R  D ( S ) đường tròn tâm I bán kính R  Lời giải (Họ tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Chọn C uuur uuur uuur uuuu r 1 Từ giả thiết: MA.MB  MA.MC  �  MA2  MB  AB    MA2  MC  AC   25 2 � 2MA2  MB  MC  50  50 � 2MA2  MB  MC  100 uuur uuur uuur r uuur uuu r r uuur uuu r r Gọi D điểm thỏa mãn DA  DB  DC  � DA  DI  � DA  DI  � D trung điểm đoạn thẳng AI Ta co 2MA2  MB  MC  4MD  DA2  DB  DC 2 �5 � �5 � 125 1 Và DA  AI  BC  , DB  DC  IB  ID  � � � �  � � � � 4 � � � � Suy 2 �5 � � 125 � 75 2 MA  MB  MC  4MD  DA  DB  DC  4MD  �   MD  � � � �4 � � � � � � � 2 2 Ta co kết quả: MD  Câu 2 2 75 125  100 � MD  10 Như ( S ) đường tròn tâm D bán kính R  Cho tam giác ABC cạnh a Tập hợp điểm M MA2  MB  MC  thỏa mãn đẳng thức 5a nằm đường tròn  C  co bán kính là: A a B a C a D a Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BC uu r uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn điều kiện: IA  IB  IC  uu r uur uur r Khi đo, ta co: IA  IB  IC  uur uuuu r uu r uuur r uu r uuuu r r � IA  IM  � 3IA  AM  � AI  AM Suy : IA  a a 21 ; IB  IC  IM  BM  6 Ta lại co: MA2  MB  MC  5a 2 uuur uuur uuuu r 5a � 4MA  MB  MC  uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MI  IA  MI  IB  MI  IC       5a  uuu r uu r uur uur 5a � MI  MI IA  IB  IC  IA2  IB  IC   � MI  Câu  a a Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R  uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: MA  3MB  2MC  MA  MB  MC A Tập hợp điểm M đường tròn B Tập hợp điểm M đường thẳng C Tập hợp điểm M tập rỗng D Tập hợp điểm M điểm trùng với A Lời giải Chọn A A A uu r uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn IA  3IB  IC  N C uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uu r uur uur uuu r uuu r MA  3MB  2MC  MA  MB  MC � 2MI  IA  3IB  IC  BA  CA  1 uuu r uuur Gọi N trung điểm BC Ta được:  1 � MI   AN � IM  AN I , A , N cố định nên tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính AN Câu 10 Cho tam giác cạnh a Tập hợp điểm M ABC thỏa mãn đẳng thức 5a nằm đường tròn  C  co bán kính là: MA  MB  MC  a a a a A B C D 2 2 Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BC uu r uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn điều kiện: IA  IB  IC  uu r uur uur r Khi đo, ta co: IA  IB  IC  uur uuuu r uu r uuur r uu r uuuu r r � IA  IM  � 3IA  AM  � AI  AM Suy : IA  a a 21 ; IB  IC  IM  BM  6 Ta lại co: MA2  MB  MC  5a 2 uuur uuur uuuu r 5a � 4MA  MB  MC  uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MI  IA  MI  IB  MI  IC        5a 2 uuu r uu r uur uur 5a � MI  MI IA  IB  IC  IA2  IB  IC   � MI   a Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R  a Họ tên tác giả : Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga Email: linhnga.tvb@gmail.com Câu 11 Cho VABC đều, co cạnh a Khi đo tập hợp điểm uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur a là: MA.MB  MB.MC  MC.MA  a A Đường tròn co bán kính R  a B Đường tròn co bán kính R  C Đường tròn co bán kính R  a D Đường tròn co bán kính R  a Lời giải Chọn C M cho Gọi G trọng tâm VABC Suy G tâm đường tròn ngoại tiếp VABC G cố định uuur uuur uuuu r uuuu r Ta co MA  MB  MC  3MG uuur uuur uuuu r uuuu r � MA  MB  MC  MG uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur � MA2  MB  MC  MA.MB  MB.MC  MC MA  9MG       uuur uuur uuuu r2 Mà MA2  MB  MC  MA  MB  MC uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur  MG  GA  MG  GB  MG  GC uuuu r uuu r uuu r uuur  3MG  GA2  GB  GC  2.MG GA  GB  GC uuuurr  3MG  GA2  GB  GC  2.MG.0          3MG  3GA2 �2 a �  3MG  � �3 � � � � 2  3MG  a uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur 2 Ta co 3MG  a  MA.MB  MB.MC  MC.MA  9MG   uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur a2 � MA.MB  MB.MC  MC.MA  3MG  2 a a �   3MG 2a � MG    Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm G bán kính R  a Họ tên tác giả : Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An Email: antq4949@gmail.com uuur uuur Câu 12 Cho ABC tìm tập hợp điểm M : MB.MC  AM Lời giải uuur uuur uuu r uur uuu r uur 2 Gọi I trung điểm BC , ta co: MB.MC  AM � MI  IB MI  IC  MA    uur uur uuu r uur uur uuruur BC 2 2 � MI  IC.IB  MI IC  IB  MA � MI  MA   IC IB  uuu r uuur uuu r uuur uur uuu r uuur BC BC � MI  MA MI  MA  � AI MI  MA  (*) 4 uuu r uuur uuuu r Gọi O trung điểm AI , suy ra: MI  MA  MO uur uuuu r BC uur uuuu r BC uur uuuu r BC Suy ra:  * � AI MO  � 4OI MO  � OI OM   4 16 uur uuur BC BC Trên tia đối tia OI lấy điểm H cho OI OH  hay OI OH   , suy 16 16 điểm H xác định        Dựng đường thẳng  qua H vuông goc với OI , đo với điểm M nằm  ta co: uur uuuu r uur uuur uuuur uur uuur uur uuuur uur uuur BC OI OM  OI OH  HM  OI OH  OI HM  OI OH   16   Vậy tập hợp điểm M đường thẳng  Email: Bichhai1975@gmail.com Câu 13 Cho tam giác ABC cạnh Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức uuu r uuur uuur uuur uuu r 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA đường tròn cố định co bán kính bằng: A B 3 C D Lời giải Họ tên: Lê Thị Bích Hải Tên face: Bich Hai Le Chọn B Gọi G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur Ta co MA  3MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC       uu r uur uur uur uu r r uur uur uur r Chọn điểm I cho IA  3IB  IC  � IA  IB  IC  IC  IA  uu r uur uur uur Mà G trọng tâm tam giác ABC � IA  IB  IC  IG uur uur uur r uur uur uur r uur uuu r Khi đo IG  IC  IA  � IG  AI  IC  � IG  CA   uuur uuur uuuu r uuur uuur uuu r uu r uur uur uuu r Do đo 2MA  3MB  4MC  MB  MA � MI  IA  3IB  IC  AB � MI  AB   Vì I điểm cố định thỏa mãn   nên tập hợp điểm M cần tìm đường tròn tâm I , bán AB  kính r  thongqna@gmail.com Câu 14 Cho tam giác  ABC co trọng tâm uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r G Tìm tập hợp điểm uuuu r uuu r uuur  MA  MB  MC  BC    MA  MC  3MG    CB  AC  A Đường tròn đường kính AB C Đường tròn đường kính AC 2 M thỏa mãn B Đường trung trực đoạn thẳng AB D Đường trung trực đoạn thẳng AC Lời giải (Họ tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A uuur uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Ta co MA  MB  MC  BC  MA  CB  BC  MA Gọi điểm I trung điểm cạnh AC uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r  uuur uur   uuur uuur Ta co MA  MC  3MG  MI  3MG  MB  BI  MB  BG uuur uur uuur uur   MB  BI  BI   MB   uuur uuur uuuu r uuur Do đo MA  MB  MC  BC uuur uuur � MA   MB   uuur uuuu r uuuu r uuu r uuur  MA  MC  3MG  CB  AC       AB � MA2  MB  AB Từ đo suy tam giác MAB vuông M hay tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB uuur uuur Câu 15 Cho đoạn thẳng AB  Biết tập hợp điểm M thỏa mãn MA2  MB  3MA.MB đường tròn co bán kính R Tìm giá trị R 5 A R  B R  C R  D R  2 2 Lời giải (Họ tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta co MA2  MB  3MA.MB � MA2  MB  2MA.MB  MA.MB uuur uuur � MA  MB   uuur uuur uuur uuur  MA.MB � AB  MA.MB Gọi điểm I trung điểm cạnh AB uuu r uu r uuu r uur uuu r uu r uuu r uu r uuur uuur 2 � AB  MI  IA MI  IB � AB  MI  IA MI  IA Ta co AB  MA.MB    � AB  MI  IB � MI  AB  IB � MI  � MI  5 AB  5 2    AB uuur uuur Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA2  MB  3MA.MB đường tròn tâm I co bán kính R Họ tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ Email: huyenvanqt050185@gmail.com uuur uuur uuuu r Câu 16 Cho tam giác ABC , co điểm M thỏa MA  MB  MC  ? A C vô số Chọn C B D Không co điểm Lời giải uuur uuur uuuu r uuuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta co MA  MB  MC  3MG uuur uuur uuuu r uuuu r Thay vào ta : MA  MB  MC  � 3MG  � MG  , hay tập hợp điểm M đường tròn co tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính ... ; EB  AB nên  * � 3ME  k  AB 3 1� � � ME  � k  AB � 3 � 2 Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M rỗng 2 Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M điểm E 1� � k  AB � Nếu k  AB : Quỹ tích điểm M đường tròn... 3MG  GA2  GB  GC  2.MG GA  GB  GC uuuurr  3MG  GA2  GB  GC  2.MG.0          3MG  3GA2 �2 a �  3MG  � 3 � � � � 2  3MG  a uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur 2 Ta co 3MG... uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn IA  3IB  IC  N C uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uu r uur uur uuu r uuu r MA  3MB  2MC  MA  MB  MC � 2MI  IA  3IB  IC  BA  CA  1 uuu r uuur