Vấn đề 3: Phương trình cổ điển

Lê Trinh Tường Tài liệu bồi dưỡng HS 11 CB&NC VẤN ĐỀ 3 : P.T BẬC NHẤT THEO SINU & COSU A − Tóm tắt lý thuyết : 1− Dạng chuẩn: asinu + bcosu = c (*) (trong đó a, b, c khác không và u là biểu thức của ẩn) 2− Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 . 3− Phương pháp giải: Cách 1: + Chia hai vế của phương trình cho 2 2 0a b+ ≠ + Đặt : 2 2 2 2 cos ,sin a b a b a b α α = = + + với [ ] 0;2 α π ∈ . Khi đó: (*) ⇔ sinu.cosα + cosu.sinα = 2 2 c a b+ ⇔ ( ) 2 2 sin c u a b α + = + . Cách 2: * Trường hợp: u = 2k π π + là nghiệm của (*) thì a.sin π + bcos π = c ⇔ −b = c Khi đó: (*) ⇔ asinu + bcosu + b = 0 ⇔ 2a.sin 2 u .cos 2 u −2bcos 2 2 u = 0 ⇔ os 0 2 tan 2 u c u b a  =    = −   . * Trường hợp: u = 2k π π + không là nghiệm của (*) tức là u ≠ 2k π π + ⇔ 2 2 u k π π ≠ + Khi đó: os 0 2 u c ≠ , đặt: t = tan 2 u vì sinu = 2 2 1 t t+ và cosu = 2 2 1 1 t t − + nên phương trình (*) chuyển về phương trình đại số theo t: ( ) 2 2 0b c t at c b+ − + − = . MẤY ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1) Trong cách giải 1, có thể chia hai vế của phương trình cho a hoặc b rồi đặt tan ϕ = b a hoặc tan ϕ = a b . 2) Nếu cung ϕ không là cung đặc biệt ta có thể dùng cách giải 2 để phép tính đơn giản hơn. 3) Đối với phương trình có chứa tham số ta dùng cách giải 2. 4) Sách giáo khoa trình bày dạng đơn giản: asinx + bcosx = c *Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương trình về dạng: Asin(x + ϕ) = c ⇔ sin(x + ϕ) = c A . * Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ c A ≤ 1 ⇔ c A ≤ 1 ⇔ A 2 ≥ c 2 hay a 2 + b 2 ≥ c 2 . 1 Lê Trinh Tường Tài liệu bồi dưỡng HS 11 CB&NC B − Bài tập rèn luyện: Bài 1) Giải các phương trình : a) 3sinx cos 2x− = b) ( ) sin 2 3sin 2 1 2 x x π π   + + − =  ÷   c) 3 2 2sin os 4 4 2 x c x π π     + + − =  ÷  ÷     d) 2 2sin 3sin 2 3x x+ = Bài 2) Giải các phương trình: a) 3 os2 sin 2 2sin 2 2 2 6 c x x x π   + + − =  ÷   b) 8sinx.sin2x + 6sin os 2 5 7cos 4 4 x c x x π π     + − = +  ÷  ÷     c) 2 2 3 sin os 2cos 3 1 8 8 8 x c x x π π π       − − + − = +  ÷  ÷  ÷       d) 1+ sinx + cosx + sinx.cosx = 0 e) 3cosx − 4sinx + 2 3 3cos 4sin 6x x = − − Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra. a) cos7 3sin 7 2x x− = − trên khoảng 2 6 ; 5 7 π π    ÷   b) 3 3sin 3 3 os9 1 4sin 3x c x x− = + trên khoảng ( ) ; π π − ( Áp dụng: công thức nhân 3) c) 3 1 8sin cos sinx x x = + trên đoạn 7 ; 6 6 π π       . ( HD: Nhân hai vế cho sinx.cosx ≠ 0) Một số bài tập nâng cao khác: Bài 4) Giải các phương trình sau: a) tanx − sin2x − cos2x + 2 1 2cos 0 cos x x   − =  ÷   ĐS: x = , 4 2 k k π π + ∈ Z b) 9sinx + 6cosx − 3sin2x + cos2x = 8 ĐS: x = 2 , 2 k k π π + ∈ Z c) sin2x + 2cos2x = 1 +sinx − 4cosx ĐS: 2 , 3 x k k π π = ± + ∈ Z d) ( ) 2 sin 2 3 os2 5 os 2 6 x c x c x π   + − = −  ÷   ĐS: x = 7 , 12 k k π π + ∈ Z e) ( ) 4 4 4 sin os 3sin 4 2x c x x+ + = ĐS: 4 2 , 12 2 x k k x k π π π π  = +  ∈   =− +   Z Bài 5) Cho phương trình 2 3 5 4sin 6tan 2 sinx 1 tan x π α α   + −  ÷   = + . a) Giải phương trình khi 4 π α = − ĐS:x = 2 2 k π ϕ π − + + b) Tìm α để phương trình có nghiệm. ĐS: , 4 2 k k π π α = + ∈ Z 2 . Cho phương trình 2 3 5 4sin 6tan 2 sinx 1 tan x π α α   + −  ÷   = + . a) Giải phương trình khi 4 π α = − ĐS:x = 2 2 k π ϕ π − + + b) Tìm α để phương. giản hơn. 3) Đối với phương trình có chứa tham số ta dùng cách giải 2. 4) Sách giáo khoa trình bày dạng đơn giản: asinx + bcosx = c *Phương pháp giải: Sử