Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp 3 uuur uuur Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB và CD , ta có : uuur uuur uuur uuuuur AB.. Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ.[r]
(1)Vấn đề 1: tính tích vô hướng hai véc tơ Phương pháp r r r r r Sử dụng định nghĩa : đưa hai véc tơ a vàb cùng gốc để xác định góc (a ,b ) tínha r r r r r b = a b cos(a ,b ) Phương pháp Sử dụng các tính chất tích vô hướng, các đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp Phương pháp uuur uuur Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB và CD , ta có : uuur uuur uuur uuuuur AB CD = AB C ' D ' = AB CD uuur Trong đó C’,D’ là hình chiếu C và D trên đường thẳng chứa véc tơ AB Phương pháp Sử dụng biểu thức tọa độ VÝ dô 1: Cho tam gi¸c c©n ABC t¹i A,¢= 120 , AB=AC=a, I lµ t©muuu ®êng trßn néi tiÕp r uur uuur uur a) tÝnh AB CA ; AB I H uuur uuur uuur uur uur uuur b) tÝnh AB BC + BC CA + CA AB gi¶i: a) uuur uur A uuur uur AB CA =a2cos( AB , CA )=a2cos60= BC=2BH=2ABsin60= a I 3a B ¸p dông c«ng thøc: IH= r uuur uur VËy AB I H =a b) uuur AB uuur uur a 4(2 + r 3) = uuur o a2 cos 60o = uuur H SVABC a sin 120 = = a p 2(2a + a 3) 4a(2 + 3) 8(2 + 3) uur + BC + CA = ( AB + BC + CA )2=0 uuur uuur uuur uur uur uuur AB2+BC2+CA2+2( AB BC + BC CA + CA AB )=0 uuur uuur uuur uur uur uuur AB BC + BC CA + CA AB = - 5a 2 VÝ dô 2:uuu Cho tam gi¸c ABC cã BC=a, AB=c, CA=b r uuur a) tÝnh ABuuu AC theo a, b, c r uuur uuur uur uur uuur b) suy AB BC + BC CA + CA AB uuur uuur c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos( AG , BC ) Lop10.com C (2) Gi¶i: uuur a) Ta cã BC2= BC =( Do đó uuur AC uuur uuur - uuur AB )2=AC2+AB2-2 AC uuur 1 AB = (AC + AB - BC ) = (b2+c2-a2) 2 AC uuur AB (1) Ghi nhí c«ng thøc (1) uur uuur b) Tõ (1) : CA AB uuur uuur Tương tự: AB BC = (a2-b2-c2) = (b2-c2-a2) Vµ BC CA = (c2-a2-b2) uuur uuur uuur uuur uuur uur AB BC + AB BC + BC CA = (a2-b2-c2)+ 2 uuur uur (b2-c2-a2)+ (c2-a2-b2)=- (a2+b2+c2) Chó ý : cã thÓ lµm theo c¸ch nh vÝ dô (C©u b) c) uuur AG uuur uuur = ( AB + AC ) uuur uuur uuur uuur uuur AG2= AG 2= ( AB + AC )2= (AB2+AC2+2 AB AC )= (c2+b2+ b2+c2-a2) 9 = (2b2+2c2-a2) AG= uuur uuur Cos( AG , BC )= uuur uuur AG BC uuur uuur uuur AG BC uuur uuur AG BC uuur 2b2 + 2c2 - a (1) uuur uuur = ( AB + AC ).( AC - AB )= (b2-c2) (2) 3 uuur uuur Thay (2) vµo (1) : Cos( AG , BC )= b2 - c2 a 2b2 + 2c2 - a Ví dụ : Cho hình thang vuôngABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính các tích vô hướng AB CD , BD BC vµ AC BD uur uuur b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD, tÝnh AI BD Suy gãc cña AI vµ BD Gi¶i : uuur uuur a) BA lµ h×nhuuchiÕu cña CD lªn ®êng ur th¼ng chøa BA uuur uuur uuur uuur uuur Ta cã AB CD = AB BA =- AB 2=-4a2 uuur uuur uuur uuur BD BC = BH BC =a.3a=3a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD =( AB + BC ) BD = AB BA + BC BD A D I =-4a2+3a2=-a2 B Lop10.com C (3) b) uur uuur AI BD uuur uuur uuur uuur = ( AD + AC ).( AD - AB ) uuu r uuu r uuur = ( AD 2- AD AB uuur uuur uuur uuur + AC AD - AC AB ) uuur uuur ìï uuur ïï AD = a ; AD AB = ïï uuur uuur uuur uuur Mµ ïíï AC AD = AK AD = 3a2 uuur uuur ïï uuur uuur ïï AC AB = AB AB = 4a ïî VËy uur uuur AI BD = (a2+3a2-4a2)=0 AI BD Bµi tËp : 1.Chouuutam gi¸c vu«ng c©n ABC, AB=AC=a r uuur uuur uuur TÝnh AB AC ; AC CB 2.Cho tam gi¸c ABCuuurcãuuu AB=4, BC=7, ca=9 uuur r a) TÝnh BC råi suy AB AC vµ tÝnh cos¢ uur uuur b) TÝnh CA CB uur uuur c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC TÝnh CI CB 3.Chouuutam gi¸c ABC cã BC=4 , CA=3, AB=2 r uuur a) TÝnh AB AC suy cos¢ uuur uuur b) G lµ träng t©m tam gi¸c ABC TÝnh AG BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur + GB GC + GC GA c) TÝnh GAGA d) AD lµuuu ph©n gi¸c cña gãc BAC (DBC) r uuur uuur TÝnh AD theo AB vµ AC suy : AD cho tam gi¸c ABC cã AB=2, AC=3, ¢= 2p a) TÝnh BC, AM (M lµ trung ®iÓm cña BC) b) Tính IJ đó I, J xác định : Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a H·yuuutÝnh AB các trường hợp sau : r uuur a) AC AB =a2 uuur uuur b) uu AC BD =-a r uur c) I C I D =a2 (I lµ trung ®iÓm cña AB) Cho h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng ë A vµ B víi AD=2a , AB=BC =a uuur uuur a) TÝnh AC BD uuuuur uuur uuur b) Suy h×nh chiÕu A 'C ' cña AC lªn BD A D A D C’ A’ B B C’ A’ C C Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A ; Mlµ trung ®iÓm cña BC Biªt r»ng : uuuur uuur AM BC = a TÝnh AB, AC Lop10.com (4) r r Cho c¸c vÐc t¬ r r 2a - b = biÕt r»ng a, b TÝnh rr ? a.b 9.Cho tam gi¸c ABC víi BN vµCP lµ c¸c trung tuyÕn uuur uur uuur uuur BiÕt BN CP =x ; BN CA =y ; CP AB =z (x, y, z R) H·y tÝnh c¹nh AB, BC, CA theo x, y, z uuur uuur 10 Cho tam giác ABC, độ dài cạnh là 3a Lấy M, N, P nằm trên các cạnh BC, CA, AB cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a) a) TÝnh uuuur AM theo uuur AB vµ uuur AC b) Tính x để AM PN §¸p sè vµ gi¶i : ®s: uuur uuur AB AC uuur uuur =0; AC CB =-a2 ®s: a) 49; 24; cos¢= b) 57 c) 57 uur uur uur uuur 2I A + I B = 0; JB = 2JC ®s : a) - ; cos¢= - ®s : a) BC= d) H×nh chiÕu ®s : a) AB=a; uuuuur A 'C ' b) AB= a 19 b) uuur uuur BD = c) = b) IJ= ; AM= cña AC lªn 3; uuur uuur AG BC 29 (AB + BC + CA ) = 6 133 ngược hướng với uuur BD vµ cã uuuuur A 'C ' = a c) AB=2a d) §Æt AB=x>0 Ta cã BD= x + a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD =( AB + BC )( BA + AD )=- AB 2+ BC AD =-x2+2a2 uuur uuur uuur uuur Mặt khác theo định lý hình chiếu : AC BD Dẫn đến phương trình : 2a2-x2=- a x + a2 VËy AB= a uuuuur uuur uuuuur uuur = A 'C ' BD = A 'C ' BD cos180=- a Giải phương trình ta x= a Lop10.com x + a2 (5) ®s: AB=a, AC= a 8.®s : rr a.b =1 Hướng dẫn giải : phân tích Thay (1),(2) vµo §Æt uuur uuur AB AC uuur BN uuur uuur = CA + AB uuur uur uuur uuur BN CP =x(- AB uuur uuur uur uuur CP = CA + AP uur uuur (2) uuur (1) uuur uuur uuur uuur uuur + AC ).( CA + AB )=x5 AB AC -2 AB 2-2 AC 2=4x 2 =t; AB=c; AC=b Ta ®îc : 5t-2c2-2b2=4x uuur uur Tương tự : BN CA =y uuur uuur CP AB Gi¶i hÖ uuur = BA + AN = - AB + AC -b2+2t=2y =z-c2+2t=2z ìï AB = ìï 5t - 2c2 - 2b2 = 4x ìï t = (4y - 4x - 4z) / ïï ïï ïï ï ï ïí - b2 + 2t = 2y í c = (8y - 8x - 2z) / ïí AC = ïï ïï ïï ïï - c + 2t = 2z ïï b = (2y - 8x - 8z) / ïï BC = ïî ïî ïî (8y - 8x - 2z) / (2y - 8x - 8z) / (2y - 8x - 2z) / 10.Gi¶i : a) BM=a; BC=3a Suy : uuur uuuur r uuur uuuur uuur 2MB + MC = Û 2(AB - AM ) + (AC uuur uuur uuuur uuuur uuur Û 2AB + AC = 3AM Û AM = AB + b) AM PN uuur uuuur uuur AM PN uuur uuur ( AB + AC ).( AC 3 uuuur r AM ) = uuur AC uuur uuur uuur =0 ( AB + AC ).( AN 3 uuur AP )=0 x uuur AB )=0 3a (2- x ) +9a2-18ax=0x= 4a a Vấn đề : chứng minh đẳng thức tích vô hướng Chøng minh hai vÐc t¬ vu«ng gãc ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn vu«ng gãc Lop10.com (6) Phương pháp : sử dụng quy tắc vấn đềuuu1 uuur r Về độ dài , chú ý : AB2= AB 2=( (OA - r ur uuur OB ) víi O lµ mét ®iÓm tïy ý ur r §Ó chøng minh hai vÐc t¬ a vµ b vu«ng gãc ta chøng minh a b =0 Để thiết lập điều kiện vuông góc chúng ta sử dụng mệnh đề : r ur ur r a b a b =0 VÝ dôuuu 1r : uuu Cho tam gi¸c ABC , G lµ träng t©m , Chøng minh r»ng : uuur uur uuuur uuur r a) MA BC + MB CA + MC AB =0 b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, víi M lµ mét ®iÓm tïy ý Suy vị trí M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ Gi¶i : a) uuur uuur MA BC uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur = MA ( MC - MB )= MA MC - MA MB Tương tự: uuur uur uuur uuur uuur uuuur MB CA = MB MA - MB MC uuuur uuur MC AB uuuur uuur uuuur uuur = MC MB - MC MA Céng tõng vÕ ta cã kÕt qu¶ c©u a) b) Ph©n tÝch AM2= uuuur uuur uuur uuuur uuur MA 2=( MG + GA )2=MG2+GA2+2 MG GA uuuur uuur Tương tự MB2=MG2+GB2+2 MG GB uuuur uuur MC2=MG2+GC2+2 MG GC Cộng vế đẳng thức ta được: MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2 Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ và M trùng B VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC vµ H lµ trùc t©m cña tam gi¸c Chøng minh r»ng : a) uuuur uuur MH MA = BC2 b) MA2+MH2=AH2+ BC2 Gi¶i : A uuuur uuur a) uuuur uuuur Ta cã : MH MA = -4 MH AM = uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uur -2 MH ( AB + AC )=2 MH BA +2 MH CA = uuuur uuur H uuur uur =2( MC + CH ) BA +2( MB + BH ) CA uuur uuur B Lop10.com M C (7) uuuur uuur uuur uur uuuur uuur uur uuur uuur =2 MC BA +2 MB CA =2 MC ( BA - CA )= BC BC uuur = BC 2= BC2 uuuur uuur uuuur uuur b) AH2=( MH - MA )2=MH2+MA2-2 MH MA =MH2+MA2- BC2 MA2+MH2=AH2+ BC2 VÝ dô : Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD M lµ mét ®iÓm tïy ý Chøng minh : uuur uuuur uuur uuur a) MA + MC = MB + MD b) MA MC uuur uuuur uuur uuur = MB MD c) MA2+MC2=MB2+MD2 A Gi¶i : O a ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DB Ta cã : uuur uuuur MA + MC uuur uuur =2 MO uuur MB + MD B D uuur =2 MO uuur uuuur uuur uuur VËy MA + MC = MB + MD b) uuur uuuur MA MC uuur uuur MB MD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur =( OA - OM ).( OC - OM )=( MO + OA ).( MO - OA )=MO2-OA2 =( OB - OM ).( OD - OM )=( MO + OB ).( MO - OB )=MO2-OA2 c) Theo c©u a) : uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MC = MB + MD ( MA + MC )2=( MB + MD )2 uuur uuuur uuur uuur MA2+MC2+2 MA MC =MB2+MD2+2 MB MD MA2+MC2=MB2+MD2 (theo c©u b) Bµi tËp : Cho tø gi¸c ABCD cã E, F lµ trung ®iÓm c¸c ®êng chÐo uuur uuur a) Chøng minh : AC BD =AB2-BC2+CD2-DA2 b) Suy điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là : AB2+CD2=BC2+DA2 c) Chøng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2 2.uuu Cho bèn ®iÓm A, B, C vµ M tïy ý Chøng minh hÖ thøc : r uuur uuur uur uuuur uuur a) MA BC + MB CA + MC AB =0 b) áp dụng: chứng minh tam giác ba đường cao đồng quy Lop10.com C (8) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB vµ E lµ träng t©m tam gi¸c ACD Chøng minh r»ng OE vu«ng gãc víi CD Cho đường tròn (O, R) Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến với đường tròn M là: uuur uuur OA OM =R2 O A Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O, ®êng kÝnh AB=2R Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AM vµ BN uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur a) chøng uuu minh : AM AI = AB AI ; BN BI = BA BI ur uur uuur uur b) TÝnh AM AI + BN BI theo R M M N B I O A Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AM, ®êng cao AH Chứng minh các đẳng thức sau : a) uuur uuur AB AC =AM2- BC = (AB2+AC2-BC2) b) AB2+AC2= 2AM2+ uuur uuuur c) AB2-AC2=2 AB MH d) SABC= 2 BC2 uuur uuur AB AC - (AB AC )2 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b T×m hÖ thøc gi÷a a, b, h cho: a)AC vu«ng gãc víi BD b) BD vu«ng gãc víi trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC Cho tam gi¸c ABC vµ hai trung tuyÕn BM, CN §Æt BC=a, CA=b,AB=c T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, c BMvu«ng gãc víi CN Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, h cho : a) CI vu«ng gãc víi DI (I lµ trung ®iÓm cña AB ) b) BD vu«ng gãc víi CI c) AC vu«ng gãc víi DI d) Trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi trung tuyÕn CN cña tam gi¸c BCD Lop10.com (9) 10 Cho tø gi¸c ABCD Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ chØ : uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AD + BA BC + CB CD + DC DA = uuur uuur Lời giải và đáp số : A Gi¶i : uuur uuur Ta chøng minhuuu OE CD =0 uuur uuur uuur uuur r uuur ThËt vËy : OE CD =( AE - AO ).( AD - AC )= Mµ uuur AE uuur uuur uuur uuur O = ( AC + AD ) (v× E lµ träng t©m cña tam gi¸c ADC) OE CD E D uuur uuur uuur uuur B uuur =[ ( AC + AD )- AO ].( AD - AC )= = (AD2-AC2)- uuur uuur uuur uuur AO AC = AF AC Thay ®iÓm cña AC) uuur uuur uuur uuur AO AD + AO AC C (1) (định lý hình chiếu, với F là trung = AC2 Vµ uuur uuur AO AD =AD2 (định lý hình chiếu) uuur uuur Vµo (1) , ta ®îc OE CD = (AC2- 4AD2)= Gi¶i : XÐt ®iÓm Muutïy ý(O, R) uuur uuur uuur uuur uuur ur uuur ( OM + MA ) OM OA OM OA OM =0 uuur uuur OM + MA OM =0 uuur uuuur uuur uuuur OM AM =OM2 OM AM =R2 =0 Gi¶i : uuur a) AMuuurlµuuh×nh chiÕu cña AB trªn ®êng th¼ng AI r uuuur uur VËyuuuAB AI = AM AI (định lý hình chiếu) uuur r uuur uur uuur uur BN lµ h×nh chiÕu cña BA lªn ®êng th¼ng BI VËy : BA BI = BN BI uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uuur b) AM AI + BN BI = AB AI + BA BI = AB ( AI - BI )= AB 2=4R2 uuuur A Gi¶i : uuur uuur a) Ta chøng minh : AC BD =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD = AC ( AD - AB )= AC AD - AC AB (1) uuur uuur uuur uuur Mµ AC AD = AD AD =h2 Lop10.com h a B M D C (10) uuur uuur uuur uuur Và AC AB = DC AB =b.a (định lý h×nh chiÕu) uuur uuur Do đó (1) trở thành : AC BD =h2-ab VËy AC BD h2-ab=0 b) BD AM uuur uuuur BD AM =0 uuur uuur uuur BD ( AB + AC uuur uuur )=0 uuur uuur BD AB + BD AC = (2) uuur uuur uuur uuur Mµ BD AB = BA AB =-AB2=-a2 uuur uuur Vµ BD AC =h2-ab (kÕt qu¶ trªn) Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0 VËy BD AM h2 =a(a+b) Gi¶i : uuur uuur uuur A uuur uur uuur ( BA + BC ) ( CA + CB ) 2 uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur BA CA + BA CB + BC CA + BC CB = uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur AB AC - BA BC - CB CA - CB 2= (AB2+AC2-BC2) - (AB2+BC2-AC2) – 2 - (BC2+AC2-AB2) – BC2= BM CN BM CN =0 =0 N B M N AC2+AB2-5BC2 = 0 b2+c2= 5a2 ®s : a) ab- h2 = A a D b) I N M c) ab- h2 = 2 h -ab = B d) h2-2b2+ab = 10 Gi¶iuuu:r A uuur uuur uuur AB AD + BA BC uuur uuur ( AD - BC ).( AB - DC ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur é êAD = BC uuur êuuur êAB = DC ê ë D ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Vấn đề : tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức Lop10.com C B uuur uuur +uu CB CD + DC DA = ur uuur uuur uuur ( uuu AB AD + BA BC ) +( CB CD + DC DA ) = r uuur uuur uuur uuur uuur AB ( AD - BC ) - DC ( AD - BC ) = uuur uuur b C (11) tích vô hướng độ dài Phương pháp : Cã thÓ sö dông mét c¸c c¸ch sau : Đưa đẳng thức cho trước dạng đổi.) uuur uuur MA MB =k( uuuur A, B :cố định; k : giá ttrị không r r Đưa đẳng thức cho trước dạng AM v = , đó A là điểm cố định và v là véctơ cố định Đưa đẳng thức cho trước dạng AM2 = k , đó A là điểm cố định và k là số dương không đổi VÝ dôuuu1r :uuu cho tam gi¸c ABC, t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : r a) MA MB uuu =kr (kuuulµ giá trị cho trước) Biện luận r b) MA + uuu MA MB = r uuuur c) 2MB2+ MB MC = a2 (với a : độ dài cạnh BC) Gi¶i : a) Gäiuuu I rlµuuu trung ®iÓmuuu cña c¹nhuuu AB ThÕ th× : r uur r r uur MA MB =k ( MI + I A ).( MI - I A ) =k M IM2-IA2=k IM2= AB +k A BiÖn luËn : NÕu AB +k > k >4 AB : th× tËp hîp nh÷ng ®iÓm M lµ mét ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh NÕu k = - AB : tËp hîp M lµ ®iÓm I NÕu AB +k < th× tËp hîp M lµ §Æc biÖt : nÕu k = th× tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MA2 + MA MB =0 MA ( MA + MB ) = MA MI = tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng trßn ®êng kÝnh AI uuur uuuur uuur uuur uuuur c) 2MB2+ MB MC =a MB (2 MB + MC ) = a2 r Xét điểm cố định K thỏa mãn : KB + KC = , r uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur thÕ th× MB + MC =2(2 MB - MK ) +( MC - MK ) = uuur uuuur uuuur uuur uuur (2 MB + MC ) = MK đó : (1) uuur uuuur MB MK =a Lop10.com (1) AB +k I B (12) Gọi O là trung điểm BK ,biến đổi câu a) ta : (1) MO2- BK = a2 MO2 = a + BK r Tõ : KB + KC = KB = a uuur uuur Nªn (1) MO2= MO = 13a 36 a 13 VËy tËp hîp M lµ mét ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R= a 13 VÝ dôuuu2ur : uuu Cho tam gi¸c ABC , t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : r a) AM BC = k (k :số cho trước ) uuur uuur uuur b) ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = c) MA2-MB2+CA2-CB2 = uuur uuur uuur d) MA MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 e) 3MA2-2MB2-MC2 = Gi¶i : a) Gäi H vµ K thø tù lµ h×nh chiÕu cña A vµ M lªn BC uuuur uuur áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AM BC = HK BC =k HK BC k HK k : giá trị không đổi BC Mà H cố định nên K cố định Vậy tập hợp điểm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i K r A M B H K uuur b) Xét điểm cố định I thỏa : IB IC = 2 MB - MC = MI uuur uuur uuur VËy ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = 0 BA MI =0 MI BA Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với AB điểm cố định I uur uur r Chú ý : điểm I thỏa : a I B + bI C = (với + ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , đó + 0.( câu b) : =2, =-1) C Lop10.com C (13) 2-MB2 +CA2-CB2 =0 c) MAuuu r uuur uuur uuur uur uuur uur uuur ( MA - MB ).( MA + MB ) +( CA + CB ).( CA - CB ) =0 uur uuur BA ( MI + CI ) = (1) uur uur Dùng vÐc t¬ I J = CI , thÕ th× uuur (1) BA MJ = Điểm J cố định VËy tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng qua J Vµ vu«ng gãc víi AB d) uuur uuur uuur MA MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 uuur uuur uuur MA MB - MA MC +MB2-MC2=BC2 uuur uuur uuur uuur MA ( MB - MC )+( MB + MC ).( MB - MC )=BC2 uuur uuur uuur ( MB - MC ).( MA + MB + MC ) = BC2 uuur 3CB MC =BC2 (1) (G lµ träng t©m tam gi¸c ABC) Gäi G’ vµ H thø tù lµ h×nh chiÕu cña G vµ M lªn BC ThÕ th× : (1) BC G ' H = BC G ' H = G’ cố định, BC A M G B G’ BC không đổi H cố định và tËp hîp c¸c ®iÒm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i H e) Gäi O lµ t©m ®êng trßn A ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Ta ph©n tÝch : uuur uuur uuur uuur MA2 =( MO +OA )2 = MO2+OA2+2 MO OA uuur uuur uuur uuur B C MB2 =( MO +OB )2 = MO2+OB2+2 MO OB uuur uuur uuur uuur MC2 = ( MO +OC )2 = MO2+OC2+2 MO OC r Do đó : -v uuur uuur uuur uuur 3MA2-2MB2-MC2=2 MO (3OA -2OB -OC )+ +3OA2-2OB2+OC2 (1) Mµ OA=OB=OC=R3OA2-2OB2+OC2=0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vµ 3OA -2OB -OC =3OA -2(OA + AB )-(OA + AC )= uuur uuur r = -(2 AB + AC ) là véc tơ cố định v uuur r Nªn : 3MA2-2MB2-MC2= MO v =0 r VËy : tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi vec-t¬ v Bµi tËp : Lop10.com H C (14) Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : uuur uuuur uuur uuur a) MBuuu rMC - uuu MB MG =AB2 (G lµ träng t©m) r uuur uuur b) (2 MA - MB ).( MA +2 MB ) = Cho tamuuu gi¸c ABC vu«ng t¹i A BC = 6a T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : r uuur uuuur uuuur ( MB + MC ).( MA + MB + MC ) = a2 uuur Cho ®o¹n th¼ng AB=2a cã I lµ trung ®iÓm uuur uuur a) P lµ mét ®iÓm bÊt kú TÝnhuuu PB theo PI vµ a PA r uuur b) T×m tËp hîp ®iÓm M tháa MA MB = a2 uuu Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa : r uuuur uuur uuur AB AM = AB AC 5.Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n mét c¸c uuu hÖr thøc sauuuu:r uuur uuuur a) MA MB = MA MC uuur uuur uuur uuur uuuur b) MA 2+ MA MB + MA MC =0 uuur uuur uuuur c) MA = MB MC Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : a) a MA + b.MB = k(a + b ¹ 0) b) a MA + b MB + gMC = k(a + b + g ¹ 0) Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,víi kR cho tam gi¸c ABC , gãc A nhän, trung tuyÕn AI T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M di động góc BÂC, cho : AB.AH AC AK =AI2 (1) Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc M lên AB và AC Cho tø gi¸c ABCD I, J thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, CD T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : uuur uuur uuuur uuur MA MB + MC MD = IJ2 (1) 10 Cho tam gi¸c ABC I lµ trung ®iÓm cña AB J lµ ®iÓm tháa m·n: uur uur uur r JA +3 JB -2 JC = a) Chøng minh BCIJ lµ h×nh b×nh hµnh b) T×m tËp hîpuuu c¸c ®iÓm M cho: uuur uuuur r uuuur uuuur MA MC +3 MB MC = MC Lop10.com (15) ®s : a) Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng GC H, xác định hÖ thøc : B1H = AB GC b) TËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh IJ ®s : Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC, G lµ träng t©m cña tam gi¸c , I lµ trung ®iÓm cña OG Th× tËp hîp M lµ ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R = a 12 3.Hướng dẫn giải : uur uur uuur uuur uur uur uur uur uur uur a) ph©n tÝch PA PB =( PI + I A ) ( PI + I B )=( PI + I A ).( PI - I A )= PI - a b) Sö dông kÕt qu¶ c©u a) , ta tÝnh ®îc IM=a C VËy tËp hîp M lµ ®êng trßn (I,R= a ) 4.®s: TËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua C vµ vu«ng gãc víi AB C A d B A d B 5.®s : a) tËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãc víi BC uuur uuur b) Ta chứng minh MA MG =0. Tập hợp M là dường tròn đường kính AG víi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC vµ J lµ trung ®iÓm cña AI Lu ý : Nªn uuur uuur uuuur MB MC = MI - MA = uuur uuur BC uuur uuuur uuur BC 2 MB MC MA =MI - uuur uuur ( MI - MA ).( MI + MA )= uur uuur BC I A.JM = (1) BC 4 uur uuur uuur MI 2- MA 2= uuur AI MJ = A BC d H J BC Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AI,thÕ th× : (1) I A.JH = JH= M B I BC BC (không đổi).H cố định 8I A Vậy tập hợp M là đường thẳng (d) qua H cố định và vuông góc với AI 6.Gi¶i : Lop10.com C (16) uur uur r a) Gọi I là điểm xác định hệ thức : a I A + b I B = (1) trªn ®êng th¼ng AB) Th× MA2+MB2= uuur uur uuur (thì I là điểm cố định nằm uur a (MI + I A) + b(MI + I B )2 uuur2 uur uur = (a + b )MI + (a I A + b I B ) = (a + b )MI + k0 k0 = a I A + b I B a MA + b MB = k Û (a + b )MI + k0 = k VËy: Û MI = (k - k0 ) a+b Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đường tròn (I, R= k - ko ) tïy theo a+b k - k0 nhá h¬n, b»ng hay lín h¬n a+b Chú ý :Giá trị k0có thể tính theo , AB cách bình phương vô hướng biểu thức (1) dẫn đến kết : k0= ab AB a+b uur uur uur r b) Gọi I là điẻm xác định hệ thức : a I A + b I B + gI C = (1) làm tương tự câu a) , ta có : a MA + b MB + gMC = (a + b + g)MI + a I A + b I B + gI C Đặt IA2+IB2+IC2=k0 không đổi Giá trị k0có thể tính cách bình phương hai vế (1) , dẫn đến k0 = VËy MI2= a+ b+ g ab AB + bgBC + gaCA a+ b+ g (k - k0 ) Do đó tập hợp M có thể ,, là đường tròn (I, R= Tïy theo k - k0 nhá h¬n,b»ng, hay lín h¬n a+ b+ g 7.Hướng dẫn giải : Sử dụng kết bài tập 6, “vấn đề 2” : MA2+MC2=2MO2+ MB2+MD2=2MO2+ AC 2 BD 2 Lop10.com k - k0 ) a+ b+ g (17) Từ đó dẫn đến : MO2= (k - AC - BD ) VËy tËp hîp M cã thÓ lµ hay ®êng trßn (O; R= Tïy theo k2 nhá h¬n, b»ng, hay lín h¬n AC2+BD2 8.Gi¶i : Sử dụng định lý hình chiếu, đưa (1) dạng : uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uur AI 2= AB AH + AC AK = AB AM + AC AM uuur uuur uuuur uur uuuur =( AB + AC ) AM =2 AI AM (2) Gäi M0 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AI, th× : uur uur uuuur AM = A K H M (2) AI 2=2 AI AM AI = 2AI AM AI AC + BD ) B M0 I C M0 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AI VËy tËp hîp M lµ mét ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi AI t¹i M0 lµ trung ®iÓm cña AI Vµ n»m tam gi¸c ABC 9.Gi¶i : uuur uuur uuuur uuur (1) MA MB +4 MC MD =2IJ2 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur ( MA + MB )2-( MA - MB )2+( MC + MD )2-( MC - MD )2=2IJ2 A 4MI2-AB2+4MJ2-CD2=2IJ2 4MI2+4MJ2=AB2+CD2+2IJ2 (*) Gäi O lµ trung ®iÓm cña IJ uuur uuur uuur uuur (*) 2( MI + MJ )2+2( MI - MJ )2 -2IJ2 = AB2+CD2 D 2.(2MI2+2MJ2)-2IJ2=AB2+CD2 4(MI2+MJ2) -2IJ2=AB2+CD2 B I O J C 4.(2MO2+ IJ2) -2IJ2=AB2+CD2 8MO2=AB2+CD2 MO= 2(AB + CD ) A tËp hîp M lµ ®êng trßn J (O;R= 2(AB + CD ) ) I K 10 ®s : b) tËp hîp M lµ ®êng trßn (K; R= JC) B C Víi K lµ trung ®iÓm cña JC H¹ Long ngµy 1th¸ng n¨m 2009 Lª §øc T×nh su tÇm vµ biªn so¹n Lop10.com (18) Lop10.com (19) Lop10.com (20) Lop10.com (21)