Vấn đề Tính nguyên hàm bằng cách phân tích

đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...[r]

VẤN ĐỀ :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH DẠNG :  I=  x  ax  b  dx;(a  0) K  x dx  ax  b   , (a  0) a a *Sử dụng đồng thức :x= ax   (ax  b)  b  Hoặc : 2 1 a x   (ax  b)  b   (ax  b)  2b(ax  b)  b  a a a 2002 VD1 :Tính I=  x 1  x  dx * x2  Cách :Sử dụng cách đồng thức :x=1-(1-x)  x(1  x) 2002 (1  x) 2002  1  (1  x)  (1  x) 2002  (1  x) 2002  (1  x) 2003  I   1  x   2002 dx   1  x  2003 dx    1  x  2002 d (1  x)   1  x  2003 dx 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 Cách :Đổi biến số : Đặt t=1-x  x   t  dx  dt  I    (1  t )t 2002 dt    t 2002 dt   t 2003 dt 2003 2004 1 2003 2004 t  t C   1  x   1  x   C 2003 2004 2003 2004 2005 VD2 :Tính J=  x 1  x  dx  Tương tự : VD3 : Tính K= x dx  4x  HD : 1  ( x  1)  ( x  3)   1         x  x  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  3)   x  x   Ta có : d ( x  3) d ( x  1) 1 x 3 K     ln x   ln x   ln C x 3 x 1 2 x 1 Cách : Ta có : K  dx dx x 3   ln C x  4x   x  2 1 x 1 VD4 : Tính J =  xdx 1  3x  HD : Lop12.net Sử dụng đồng thức : x= 1  3x  1  x 1  3x   1  x  1      1  x 3     1 1   2  (1  x) (1  x)  d (1  x) d (1  x) 1     (1  x) 2 d (1  x)   (1  x) 3 d (1  x)  (1  x) (1  x) 9 1   (1  x) 1  (1  x) 2  C 18 dx VD :Tính K=  x x2 I HD : Sử dụng đồng thức : 1  ( x  1)  ( x  2)   1         x  x  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2)   x  x   1 1 x2 K  dx   dx  ln C x2 x 1 x 1 dx VD : Tính H =  x  4x2  HD : Sử dụng đồng thức : 1  ( x  3)  ( x  1)   1       2 2 ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  3)   ( x  1) ( x  3)  dx dx H     2 x 1 x  ( đã dạng công thức ; tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ) VD : Tính A= x3 dx  ( x  1)10 HD : Cách :Sử dụng đồng thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1 x3 3     10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 dx dx dx dx  A  3  3  ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9  Cách : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt  t  1 (t  3t  3t  1)dt   t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt   t 10 dt t10 t10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 A dt  VD8 : Tính B= x dx  1  x  39 HD : Cách :Sử dụng đông thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1 Lop12.net 1  x   2(1  x)       39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x2 B  1  x  dx   37 1  x  38 dx   1  x  39 dx 1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38 Cách : Đặt : t= 1-x  x   t  dx  dt  B   1  t  t dt   39 1 dt   38 dt   37 dt 39 t t t 1 1   C 38 37 38 t 37 t 36 t 36 dx VD :Tính C =  x x  HD : Cách :Sử dụng dồng thức :1= x2+1-x2 x2   x2 1 x2   x2 1 x    3  3  3  2 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1 x x 1   1 x 1 dx   dx   dx    ln x  ln x   C x x x 1 2x dx VD 10 : Tính D=  x x C HD : Sử dụng dồng thức :1= x2+1-x2 x2   x2 1 x2   x2 1       5 3 5 5 x ( x  1) x x ( x  1) x x ( x  1) x x x( x  1) x x 1    1 x2   x2 1 x  3  5 3  x x x( x  1) x x x ( x  1) 1 x 1 1  D   dx   dx   dx   dx     ln x  ln x   C x x x x 1 4x 2x 2001 x VD 11 : Tính E =  dx 1002 x 1    HD : Ta phân tích : x 2001 x  1 1002 Đặt : t=  x 2000 x  x 1 1000 1000 x  1  x2     x 1  x x x2 x2  Lop12.net  1  dt  2x x  1 dx 1000  x2   E     x 1  1001  x2   x2  d     x   2002  x   Lop12.net C