TÍCH PHÂN ôn tập toán12

GIỚI HẠN TÍCH PHÂN Nguyễn Minh Tuấn Tạp chí tư liệu tốn học Trong giải tích, tích phân suy rộng giới hạn tích phân xác định điểm đầu nút (các) khoảng lấy tích phân tiệm cận số thực xác định ∞ −∞ số trường hợp, hai điểm đầu nút đạt đến giới hạn Một tích phân thường viết tượng trưng giống tích phân xác định tiêu chuẩn, với vơ cực giới hạn tích phân Cụ thể, tích phân suy rộng giới hạn có dạng b lim b f (x)dx, lim f (x)dx, a→−∞ b→∞ a a dạng c lim− c→b b f (x) dx, lim+ c→a a f (x) dx, c tích phân nhận giới hạn hay điểm đầu nút khác (hoặc hai) Trong viết chủ yếu tìm hiểu dạng tốn liên quan tới giới hạn tích phân số tốn khó chủ đề Các toán sưu tầm, nguồn để cuối viết Mọi thiết sót mong bạn gửi qua địa tuangenk@gmail.com t Dạng lim t→∞ f (x)dx Đây dạng toán chương này, ta xử lý theo phương pháp sau Phương pháp t • Tính tích phân F (t) = f (x)dx theo t • Tìm lim F (t) định lý giới hạn t→∞ Nguyễn Minh Tuấn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Sau toán minh họa Example t Cho F (t) = 4x − dx(t > 0), tính lim F (t) t→+∞ (x + 2) (x2 + 1) Lời giải Giả sử 4x − A Bx + C = + , ∀x (x + 2) (x + 1) x+2 x +1 f (x) = ⇔ 4x − = A x2 + + (Bx + C)(x + 2) ⇔          ⇔ 4x − = (A + B)x2 + (2B + C)x + (A + 2C)    A = −2 A+B =0   −2 2x + , ∀x B = ⇒ f (x) = 2B + C = ⇔  x+2 x +1    C=0 A + 2C = −2 t ⇒ F (t) = f (x)dx = 0 −2 2x dx = −2 + x+2 x +1 t = −2 ln |x + 2| + ln x2 + t d(x + 2) + x+2 t = −2 ln(t + 2) + ln t2 + + ln = ln ⇒ lim F (t) = lim ln t→+∞ t→+∞ d (x2 + 1) x2 + (t2 + 1) (t + 2)2 (t2 + 1) = ln (t + 2)2 Vậy toán giải Example t dx , t > 1, tính lim F (t) t→+∞ x(x + 1) Đặt St = F (1) + F (2) + + F (t), tìm lim St Cho F (t) = t→+∞ Lời giải Ta có t F (t) = dx = x(x + 1) t dx x+ 2 lim F (t) = lim t→+∞ t→+∞ − ln 2 = ln x x+1 t + ln t+1 t = ln t + ln t+1 = ln Tiếp tục ta lại có St = F (1) + F (2) + + F (t) = ⇒ St = ln 2t + ln Đại học FPT Hà Nội ln t + ln + ln + ln + + ln + ln 2 t+1 t · ··· t+1 = ln 2t + ln 2t = ln t+1 t+1 Tạp chí tư liệu tốn học GIỚI HẠN TÍCH PHÂN FPT University ⇒ lim St = lim ln t→+∞ t→+∞ 2t 2t ln = lim ln = +∞ t + t→+∞ Vậy toán giải Example t Cho F (t) = I 2x ln xdx (t > 1) Tính lim F (t) t→+∞ (1 + x2 )2 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có t F (t) = =− = = t ln x + x2 t + 1 t − ln t + + t2 − ln t + + t2 t 2x ln xdx = (1 + x2 )2 1 ln xd (x2 + 1) =− (1 + x2 )2 t t ln + x2 ⇒ lim F (t) = lim n→+∞ n→+∞ = 1 1 + x2 lnxd 1 − ln t d(ln x) = + + x2 + t2 (1 + x2 ) − x2 − ln t dx = x (1 + x ) + t2 ln x − t t dx x (1 + x2 ) x − dx x + x2 − ln t t2 + ln + ln 2 1+t t +1 − ln t t2 + ln + ln 2 1+t t +1 1 t2 ln t ln + lim ln − lim = ln 2 n→+∞ n→+∞ t + n→+∞ + t = lim Vậy toán giải quyết! Example ln 10 Cho Ia = a ex dx √ , tìm lim Ia x số nguyên dương Chứng minh n−1 lim n→∞ j n f j=0 −n f (x)dx = f (0) − f (1) Lời giải Ta có n−1 f j=0 n−1 j n −n f (x)dx = n j=0 j+1 n n−1 j n f =n j n j=0 j n f j n f (cx ) j n j+1 n − f (x)dx j n − f (x) dx j+1 n − f (x) dx = j n j j+1 , n n Mặt khác, theo định lý Lagrange, với x ∈ j+1 n f n tồn cx ∈ j ,x n cho j − x dx, ∀j = 0, n − n Vì f bị chặn [0, 1] nên đặt mj := f (x) : j+1 j ≤x≤ n n Mj := max f (x) : j j+1 ≤x≤ n n Do với j = 0, n − j+1 n j n mj j+1 n j − x dx ≤ n f j n Vì j+1 n nên − j=0 mj ≤ 2n2 j+1 n n−1 f j=0 j+1 n − f (x) dx ≤ Mj j n j − x dx n j −1 − x dx = n 2n j n n−1 j n j n j n n−1 − f (x) dx ≤ − j=0 Mj 2n2 Và n−1 − j=0 Đại học FPT Hà Nội mj ≤ 2n n−1 f j=0 j n n−1 −n f (x)dx ≤ − 45 j=0 Mj 2n Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Minh Tuấn n−1 Vì j=0 mj n n−1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Mj tổng tổng f (x) ứng với phân hoạch n j=0 j : j = 0, 1, , n n P= [0, 1] nên ta có n−1 lim n→∞ j=0 n−1 lim n→∞ j=0 mj = n f (x)dx = f (1) − f (0) Mj = n f (x)dx = f (1) − f (0) Theo định lý kẹp ta có n−1 lim n→∞ j n f j=0 −n f (x)dx = − f (1) − f (0) Example 13 Tính giới hạn tích phân +∞ lim n→∞ x e− n dx + x2 Lời giải x e− n Do hội tụ điểm đến Vì vậy, ta muốn thu đánh giá 1+x + x2 x +∞ e− n − dx → 1+x + x2 √ √ Ta tách tích phân [0, +∞) thành [0, n] ∪ [ n; +∞) (thay [0; 1] [1; +∞) Khi ta có x +∞ e− n − dx + x2 + x2 √ x −n n e − dx + 1+x + x2 = +∞ √ n x e− n − dx = In + Jn 1+x + x2 Với In ta có √ n 0≤ √ x − e− n dx ≤ + x2 √ n n √ √ − e− n − nn dx = − e arctan n→0 + x2 Với Jn ta có +∞ 0≤ √ n Đại học FPT Hà Nội x − e− n dx ≤ + x2 +∞ √ n √ π dx = − arctan n → 1+x 46 Tạp chí tư liệu tốn học GIỚI HẠN TÍCH PHÂN FPT University Vậy I → π2 Example 14 Tính giới hạn tích phân x I(a) = lim− (1 − x) a x→1 t dt ln2 t Lời giải Ta khơng khó để nhận lim t→0 t =0 ln2 t t liên tục [0; 1) khả tích [0; x], ∀x ∈ (0; 1) ln2 t Với a = 1, mặt ta có lim− (1 − x)−1 = +∞, mặt khác Như vậy, ta coi hàm x→1 t t (khi t → 1) ∼ = ln t ln (1 + (t − 1)) (t − 1)2 dt = +∞ ⇒ lim x→1 (t − 1)2 x t dt = ∞ ln2 t Từ đó, theo quy tắc L Hopital ta có x x lim (1 − x) x→1− = lim− x→1 x ln2 x (1 − x)−2 t dt t ln t dt = lim− −1 x→1 (1 − x) ln2 t x(1 − x)2 = lim− =1 x→1 ln (1 + (1 − x)) Với a = ta có x t dt ln t   a > t dt =  +∞ a < ln t lim− (1 − x)a x→1 x = lim− (1 − x)a−1 (1 − x) x→1 Vậy    +∞ a <   I(a) = a =     a > Example 15 Cho f (x) hàm liên tục [0; T ] g(x) hàm liên tục tuần hồn với chu kì T Chứng minh T lim n→∞ Đại học FPT Hà Nội f (x)g(nx)dx = T 47 T T f (x)dx g(x)dx Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Minh Tuấn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải t ta n Bằng phép đổi biến nx = t ⇔ x = T In = nT n f (x)g(nx)dx = t n f g(t)dt = n n kT t n f (k−1)T k=1 g(t)dt Đối với tích phân kT t n f (k−1)T g(t)dt dùng đổi biến tịnh tiến u = t − (k − 1)T , từ tính tuần hồn g(x) ta có In = n T u +f n f u T + n n + + f u n−1 + T n n g(u)du Do f (x) liên tục [a; T ] nên T n n f k=1 u (k − 1) + T n n T → → f (t)dt(n → ∞) Lại g(x) liên tục [a; b] nên dãy hàm n n f k=1 u k−1 + T n n g(u) hội tụ Chuyển qua giới hạn dấu tích phân ta lim In = n→∞ T T T f (t)dt g(u)du = 0 T T T f (x)dx g(x)dx Vậy toán giải Example 16 Cho f (x) hàm liên tục [0; e], tìm giới hạn dãy {Jn } xác định 1+ n Jn = n f (xn ) dx, n = 1, 2, Lời giải Dùng phép đổi biến t = xn ta un Jn = 1 t n f (t) dt, un = t 1+ n n ta có p 1 p p p |f (x)| dx M dx =M Mặt khác ∀ε > ∃δ > để với |x − x0 | < δ, x ∈ (0; 1) |f (x)| > M − 2ε Xét số α, β ∈ [0; 1] cho ≤ α ≤ x0 ≤ β ≤ < |α − β| < δ Ta có |f (x)p dx p β |f (x)p dx p M− α ε (β − α) p M −ε với p đủ lớn Vậy ta có p |f (x)|p dx lim p→+∞ =M Bài toán giải Example 18 Cho hàm số f (x) = 2x(1 − x), ∀x ∈ R Xác định fn = f ◦ f · · ·◦ f n Tìm lim n→∞ fn (x)dx Đại học FPT Hà Nội 49 Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Minh Tuấn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải Cố định x0 ∈ (0, 1), giả sử x = x0 Đặt xn = fn (x0 ) , n = 1, 2, , suy xn = f ◦ f · · ·◦ f (x0 ) n Ta có x1 = f (x0 ) = 2x0 (1 − x0 ) ∈ 0, Dùng quy nạp chứng minh xn ≤ f (xn ) ≤ dãy tăng nên dãy xn có giới hạn Vậy lim fn (x)dx = lim n→∞ n→∞ xn dx = theo Định lý hội tụ đơn điệu Beppo − Levi Example 19 Chứng minh lim n n n→∞ xx+1 dx = Lời giải Sử dụng quy tắc L Hospital ta dễ thấy lim+ xx = x→0 Do với > cho trước, tồn δ > cho với x ∈ (0, δ) ta có |xx − 1| < Vì với n ≥ ta suy δ n n x x+1 − x dx ≤ n n xx+1 − x dx n =n x x |x − 1| dx < n n xdx = Vậy lim n n n→∞ xx+1 − x dx = 0 hay n lim n n→∞ x x+1 dx = lim n n→∞ n xdx = Vậy toán giải Đại học FPT Hà Nội 50 Tạp chí tư liệu tốn học GIỚI HẠN TÍCH PHÂN FPT University Example 20 Cho tích phân x e−at [t + cos(bt)]dt, x > 0; a > I(x) = a Tìm giới hạn lim I(x) x→∞ b Hãy tính đạo hàm cấp n (n nguyên, dương) I(x) Lời giải a Trước hết ta có nhận xét x e−at [t + cos(bt)]dt = I1 (x) + I2 (x) I(x) = x x −at I1 (x) = e e−at cos(bt) tdt, I2 (x) = 0 Bằng phương pháp tích phân phần, ta thu I1 (x) = x −at I2 (x) = e e−ax − a2 a x+ a e−ax a2 cos(bt)dt = [b sin(bx) − a cos(bx)] + a + b2 a + b2 Từ ta có I(x) = a e−ax + − a2 a2 + b a lim I1 (x) = x→∞ a+ a + e−ax [b sin(bx) − a cos(bx)] a2 + b a a ; lim I2 (x) = ⇒ lim I(x) = + 2 x→∞ a x→∞ a +b a a + b2 b Theo tính chất đạo hàm theo cận biến thiên ta có I (x) = e−ax [x + cos(bx)] Bằng phương pháp quy nạp dùng công thức Leibnitz n = 1, 2, 3, · · · ta I (n+1) (x) = e−ax [x + cos(bx)] (n) = xe−ax (n) + xe−ax cos(bx) (n) n −ax (n+1) =x e −ax (n) +n e Cnk e−ax + (k) (cos(bx))(n−k) k=0 n = (n − ax)(−1)n an e−ax + Cnk (−1)k ak e−ax (b)(n−k) cos x + (n − k) k=0 n =e −ax n n Cnk (−1)k ak (b)(n−k) cos x + (n − k) (n − ax)(−1) a + k=0 π π Vậy toán giải Đại học FPT Hà Nội 51 Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Minh Tuấn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Các tốn đề xuất Câu Tính giá trị π lim n→∞ Câu Với α √ n sinn x + cosn xdx số nguyên dương chắn, với x ∈ [0, 1], tính 1 (1 − (t − x)α )n dt lim n α n→∞ Câu Với số thực a, b c dương, tính b lim n→∞ a dx c + sin x · sin (x + 1) · · · sin2 (x + n) 2 Câu Với k số ngun dương tính L = lim n→∞ ln + xn+k dx ln (1 + xn ) lim n n→∞ ln + xn+k dx − L ln (1 + xn ) Câu - Giới hạn Frullani Cho hàm f : [0, 1] → R hàm liên tục < a < b số thực Chứng minh Đại học FPT Hà Nội f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln − x a 52 b a f (x) dx x Tạp chí tư liệu tốn học ... √ n √ π dx = − arctan n → 1+x 46 Tạp chí tư liệu tốn học GIỚI HẠN TÍCH PHÂN FPT University Vậy I → π2 Example 14 Tính giới hạn tích phân x I(a) = lim− (1 − x) a x→1 t dt ln2 t Lời giải Ta khơng... học FPT Hà Nội 50 Tạp chí tư liệu tốn học GIỚI HẠN TÍCH PHÂN FPT University Example 20 Cho tích phân x e−at [t + cos(bt)]dt, x > 0; a > I(x) = a Tìm giới hạn lim I(x) x→∞ b Hãy tính đạo hàm cấp... g(u) hội tụ Chuyển qua giới hạn dấu tích phân ta lim In = n→∞ T T T f (t)dt g(u)du = 0 T T T f (x)dx g(x)dx Vậy toán giải Example 16 Cho f (x) hàm liên tục [0; e], tìm giới hạn dãy {Jn } xác định