GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1

Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số: D = R Đạo hàm của hàm số: y 0 = 2xe− x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y 0 = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 Ta thấy, dấu của y 0 chỉ phụ thuộc vào dấu của (−xCâu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số: D = R Đạo hàm của hàm số: y 0 = 2xe− x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y 0 = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 Ta thấy, dấu của y 0 chỉ phụ thuộc vào dấu của (−xCâu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số: D = R Đạo hàm của hàm số: y 0 = 2xe− x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y 0 = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 Ta thấy, dấu của y 0 chỉ phụ thuộc vào dấu của (−xCâu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số: D = R Đạo hàm của hàm số: y 0 = 2xe− x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y 0 = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 Ta thấy, dấu của y 0 chỉ phụ thuộc vào dấu của (−x

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ Tính diện tích miền D +∞ Câu : Tìm tất số thực m để tích phân sau hội tụ : I = x + e−x − √ dx xm x3 + x Câu : Tính tích phân sau đây: ln(1 − x) √ dx I= 1−x Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y − 6y − 16y = (12 − 20x)e−2x , thỏa điều kiện y(0) = −3, y (0) = −5 Câu : Trong mạch điện có điện trở R, tụ điện với điện dung C điện áp E(t), điện lượng dQ Q qua thời gian t thỏa mãn phương trình vi phân R + Q = E Tìm dt C điện lượng Q, đơn vị C, theo thời gian t, đơn vị s (giây), biết R = 2Ω, C = 0.01F, E = 10 sin 60t(V ) Q(0) = Tìm giá trị Q sau 0.1s Phó chủ nhiệm mơn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ √ Cực tiểu (−1, 3) : 0.5đ (Khơng trình bày BBT cho điểm) TCĐ : x = 0, TCX trái/phải : y = ±x : 0.5đ, đồ thị : 0.5đ Sai BBT không chấm đồ thị Câu 2: 2đ √ 1+ (x + 2x)dx + S = √ (−x2 + 2x + 2)dx = + Mỗi tp, cận + giá trị : 0.5đ+0.5đ Nếu viết không đúng, xác định miền hình vẽ, 0.5đ Câu 3: 1đ < m < Mỗi : 0.5đ 2 Câu 4: 1.5đ I = −4, Tp phần + nguyên hàm + kết Câu 5: 2đ y0 = C1 e−2x + C2 e8x 0.5đ, yr = x(Ax + B)e−2x 0.5đ, yT Q = C1 e−2x + C2 e8x + (x2 − x)e−2x , 0.5đ y = (x2 − x − 2)e−2x − e8x 0.5đ Câu 6: 2đ e p(t)dt = e50t 0.5 cos 60t sin 60t −3 + Ce−50t 0.5đ QT Q (t) = 122 61 Nghiệm riêng C = 0.5đ 61 Q(0.1) 0.5đ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu √ Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 , x ≤ x arctan >0 x+1 Câu : Cho đường cong (C) : x = y − Viết phương trình tiếp tuyến (d) đường cong (0, 2) Gọi D miền phẳng giới hạn đường cong (C), tiếp tuyến (d) trục Ox Tính thể tích vật thể tạo (D) quay xung quanh Ox +∞ Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ : I = +∞ Câu : Tính tích phân sau đây: I = (x − sin x)α √ dx x3 + x x3 + x dx (x2 + 1)(x4 + 6x2 + 10) Câu : Tìm nghiệm x(t), y(t) hệ phương trình vi phân x (t) = 2x + y − 5t2 + y (t) = 4y − 2x + t − Câu : Theo định luật Newton, vận tốc nguội lạnh vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ mơi trường xung quanh Hãy tìm nhiệt độ T vật theo thời gian t, biết nhiệt độ ban đầu vật 100o C, đặt vào phòng có nhiệt độ 25o C sau 10 phút nhiệt độ vật 50O C Đến nhiệt độ vật 40o C? (Lấy đơn vị thời gian phút.) Phó chủ nhiệm mơn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ √ Cực đại (−2, 4), cưc tiểu (0, 0), 0.5đ (khơng trình bày cực đại cưc tiểu bảng biến thiên cho điểm), π TCX : y = x + 1, TCN : y = 0.5đ , đồ thị : 0.5đ Khơng có BBT BBT sai, không chấm đồ thị Câu 2: 2đ x+8 0.5đ −4 (x + 8)2 √ x+8 Vx = π dx + π ( ) − x+4 16 −8 −4 Pt tiếp tuyến : y = dx y [(y − 4) − (4y − 8)] dy, 1đ hay Vx = 2π 8π Vx = 0.5đ (Nếu tính theo x 1đ) Câu 3: 1đ − < α < Mỗi : 0.5đ Câu 4: 1.5đ π I= − arctan : Đổi biến + nguyên hàm + kết 2 Câu 5: (a) 2đ Khử x : y − 6y + 10y = 10t2 − 2t + 0.5đ y0 0.5đ,  yT Q 0.5đ , cơng thức tính xT Q 0.5đ  x = (−y + 4y + t − 1) Nghiệm  y = e3t (C1 cos t + C2 sin t) t2 + t + (b) Khử y :x  − 6x + 10x = 20t2 − 9t − x = e3t (C cos t + C sin t) + 2t2 + 3t Nghiệm : y = x − 2x + 5t2 − Câu 6: 2đ dT = k(T − 25) 0.5 dt TT Q (t) = 25 + Cekt 0.5đ, 1 C = 75, k = ln , 0.5đ 10 t = 14.65 phút : 0.5đ Phương trình Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu x √ √ Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y = 2x − x2 , y = 2x, ≤ x ≤ Tính diện tích bề mặt vật thể tạo miền D quay xung quanh trục Ox (Kể đáy) Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin − 1 dx (x + 1) x arctan xα √ Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ I = Câu : Tính giá trị tích phân câu α = Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y = 2e−2x − sin 2x + cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = , y (0) = Câu : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối Người ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch đưa ngồi với tốc độ 12 lít/phút a/ Hãy xác định thể tích dung dịch bể chứa sau t phút b/ Gọi y(t) số kilogram muối lại thùng sau t phút, xác định nồng độ muối bể sau t phút theo t y(t) c/ Chứng minh lượng muối bể sau t phút nghiệm phương trình vi 12y với điều kiện đầu y(0) = 50 phân: y = 0.05 − 2000 − 2t d/ Tìm y(t), từ tính lượng muối lại thùng sau 10 phút Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA 1 Câu MXĐ : −1 ≤ − ≤ ⇔ x ≥ x f (x) = − √ , f (x) = ⇔ x = (0.25đ) x 2x − TCX : y = x − π/2 (0.25đ) BBT (0.5đ) x y y + π +∞ − + +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TCX sai BBT khơng có hay sai TCX: tối đa 0.75đ Câu S1 = 2π √ 2x + S2 = 2π √ √ 1 dx = 2π 3− 2x 2x − x2 1+ = 8.8874(0.25đ+0.25đ) (1 − x)2 dx = 2π = 6.2832 (0.25đ+0.25đ)(Có thể dùng 2x − x2 cơng thức hình học để tính) √ S3 = 2π − π = π(diện tích hình vành khăn, R1 = 1, R2 = 2)(0.5đ) √ S = 2π 3+ = 18.2132(0.5đ) a Câu TH1 : α ≤ 0, ≤ f (x) ∼ √ , x → 0+ : Hội tụ (0.5đ) x 1+α TH2 : α > 0, ≤ f (x) ∼ 1+α , I hội tụ ⇔ < 1, α > ⇔ ≤ α ≤ (0.5đ) x Câu I = I = √ dx (x + 1) x arctan x √ dt Đặt t = arctan x ⇒ dx = √ (0.5đ) x(1 + x) π dt √ √ √ (0.5đ)= t|0π/4 = π (0.5đ) Chú ý: Có thể đổi biến khác nhau, I = t đến tpxđ cuối ĐÚNG:(tối đa 1đ) Câu ptđt k + = ⇔ k = ±2i; y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x (0.5đ) yr = Ae−2x + x(B cos 2x + C sin 2x) (0.5đ) A = , B = 1, C = −2x → yT Q = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e + x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ) Thay điều kiện đầu: C1 = 1, C2 = (0.5đ) Câu a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ) y(t) b/ Nồng độ muối sau t phút : (kg/lít) (0.25đ) V (t) c/ Tốc độ thay đổi lượng muối bể y (t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muối (0.25đ) d/ y(t) = 10−2 (1000 − t) + C ∗ (1000 − t)6 (0.5đ) C = ∗ 10−17 (0.25đ) y(10) = 47, 56kg (0.5đ) Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu  xe x , x > Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2  ,x ≤ x3 − Câu : Cho miền D giới hạn y ≥ 0, x2 + y ≤ 2, x2 + y ≥ 2y Tính thể tích vật thể tạo tròn xoay tạo quay miền D quanh trục Oy +∞ Câu : Tính tích phân I = x dx − x2 +∞ Câu : Tìm tất số thực α > để tích phân I = Câu : Giải hệ phương trình x (t) = −2x + 5y + e3t y (t) = 2x + y + 8e3t xα − lnα (1 + x) dx HỘI TỤ (x3 + arctan x2 )α Câu : Khi pha 300 lít dung dịch thùng để sản xuất, người cho nhầm bao 10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha lỗng dung dịch cách cho nước tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy với tốc độ lít / phút liên tục đến lượng hóa chất thùng kg 1/ Nếu gọi y(t) số kilogram hóa chất có thùng sau t phút tỉ lệ hóa chất thùng sau t phút bao nhiêu? y(0) bao nhiêu? 2/ Tốc độ thay đổi tỉ lệ hóa chất thùng thời điểm t0 y (t0 ) tính công thức nào? y 3/ Chứng minh hàm y(t) nghiệm phương trình vi phân y (t) = − với điều 60 kiện đầu y(0) = 10 Tìm y(t)? 4/ Sau phút lượng hóa chất thùng đạt yêu cầu 5kg? Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA √ Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y = : x = − 2, x = 1(0.25đ) TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d) BBT (0.5đ) √ −∞ −32 +∞ x y − 0√ + − + y − 0| + ∞ e +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TC sai BBT: tối đa 0.75đ Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay √ Oy pt chẵn với x nên cần tính nửa bên phải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), ( 2, 0) hoặc√ vẽ hình (0.5d) √ √ x − − x dx + 2π Vy = 2π x − x2 dx(0.5d) = π(0.5d) 1 +∞ 1 −dt −dt √ √ √ √ dx (0.5d)= + dx+ (0.5đ) Câu 3: I = 2 x x2 − 4t2 − 1 − 4t x 4−x 2 √ √ π 1 1 2 I = ln 2t + 4t − | + arcsin 2t|0 (0.5d)= ln + + ≈ 1, 444 (0.5d) 2 2 Câu 4: I = +∞ f (x)dx + f (x)dx = I1 + I2 α α+1 x x2α α > nên I1 HT ↔ α < 2(0.5d) α xα−1 x 1 Khi x → +∞ : f ∼ 3α = 2α > nên I2 HT ↔> x x Vậy HT ↔ < α < 2(0.5d) Khi x → 0+ : f ∼ = x + x − 12x = 42e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t (0.5d) → y + y − 12y = 42e3t y = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t (0.5d) → (0.5d) 3t −4t 3t  y = C1 e + C2 e + 6te x = C e3t − C e−4t + 6te3t − e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t Nghiệm pt 2 y = C1 e3t − C2 e−4t + 6te3t + e3t y = C e3t + C e−4t + 6te3t Câu 5: Khử hàm: y(t) , y(0) = 10 (0.5d) 300 y 2/y (t) = − (0.5d) 300 −t 3/y = 10e 60 (0.5d) 4/y = ↔ t = 60 ln ≈ 42 (phút) (0.5d) Câu 6: 1/Tỉ lệ: (0 GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: x2 y = (x2 + 1)e− 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định hàm số: D = R - Đạo hàm hàm số: x2 x2 x2 y = 2xe− + (x2 + 1)(−x)e− = e− (−x3 + x) y = ⇔ x3 − x = ⇔ x(x2 − 1) = ⇔ x = ∨ x = ±1 x2 - Ta thấy, dấu y phụ thuộc vào dấu (−x3 + x) hàm e− lớn với x ∈ R - Bảng biến thiên: x −∞ −1 + y 0 − + √2 e y +∞ − √2 e - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm số nghịch biến trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) + Hàm số đạt cực đại x = −1 x = yCĐ = + Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = - Tìm điểm uốn: x2 x2 √2 e x2 y = (−x)e− (−x3 + x) + e− (−3x2 + 1) = e− (x4 − 4x2 + 1) y = ⇔ x4 − 4x2 + = ⇒ x = ± − - Bảng xét điểm uốn dạng đồ thị: √ √ x −∞ − + 3− − y + − 2− + √ √ 3∨x=± 2+ 2+ − 0 √ √ +∞ + - Các điểm mà làm cho y đổi dấu điểm uốn - Các khoảng mà làm cho y mang dấu (+) tức lõm, dấu (−) lồi - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x=− 2+ √ ⇒ y = (3 + √ − 2+√3 3)e ≈ 0, 7322 x = −1 ⇒ y = 2e− ≈ 1, 2131 √ √ √ 2− x = − − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 x= x=0⇒y=1 √ √ √ 2− − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 x= 2+ √ √ √ 2+ 3 ⇒ y = (3 + 3)e− ≈ 0, 7322 - TIỆM CẬN ĐỨNG: Hàm số khơng có tiệm cận đứng hàm số xác định với x thuộc R - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim (x + 1)e x→∞ − x2 x2 + × = lim =0 x x→∞ xe x22 x2 b = lim (x2 + 1)e− = lim x→∞ x→∞ x2 + x2 e2 Như y = Tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số: =0 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x2 + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy 2.1 2.1.1 Hướng dẫn giải Cách 1: - Thay x = vào phương trình y = x2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta tính thể tích vật thể cần tính cách lấy thể tích hình trụ (bằng cách xoay hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay trục Oy) trừ cho khối lõm giới hạn y = 15, y = x2 + 2x - Ta biến đổi biểu thức: y = x2 + 2x ⇔ y = (x + 1)2 − ⇔ y + = (x + 1)2 ⇒x=− y+1−1∨x= y+1−1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: 15 15 (3 − 0)2 dy − π VOy = π −1 ( y + − 1)2 dy 15 = 9πy|15 −1 − π (y + − y + 1)dy = 144π − π = 144π − y2 + 2y |15 + 2π 15 y + 1dy −1 285π 4π 285π 171π + (y + 1) |15 + 84π = = 144π − 2 2.1.2 Cách 2: - Hoặc dùng định lý sau đây: - Như ta dễ dàng có: 3 x[(x2 + 2x) − (−1)] = 2π VOy = 2π 0 x4 2x3 x2 + + = 2π (x3 + 2x2 + x)dx |30 = 171π Câu Cho tích phân +∞ I= dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = 3.1 Hướng dẫn giải - Do x = làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân bất định loại - Tách thành tích phân sau: I= dx √ + m (x − 1) 2x2 − 5x + +∞ (xm dx √ = I1 + I2 − 1) 2x2 − 5x + - Xét tích phân I1 sau: 3 dx √ = (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 dx (xm − 1) x − (x − 2) + Khi x → 2+ : (xm − 1) x − ∼√ m 3(2 − 1)(x − 2) (x − 2) + thấy với m = (lưu ý hàm số xác định m = 0) Thì √ Nhận m 3(2 − 1) ln + Do thấy α = 12 < ⇒ I1 hội tụ (đây tích phân suy rộng loại 2) - Xét tích phân I2 : +∞ I2 = dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + + Khi x → +∞ ta xét trường hợp m sau: * Khi m < 0, ta xét hàm dương sau: (1 − √ xm ) 1 ∼√ 2x − 5x + 2x ⇒ α = ⇒ −I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0: khơng xét làm hàm số khơng xác định ⇒ Khơng có tích phân * Khi m > 0, ta có: (xm 1 √ ∼√ − 1) 2x − 5x + 2xm+1 + Như m > ta thấy m + > ⇒ I2 hội tụ - Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ phụ thuộc vào I2 Suy ra, I hội tụ m > - Tính tích phân m = 1: +∞ dx √ (x − 1) 2x2 − 5x + + Đặt: 1 ⇒ dx = − dt t t x−1= + Tích phân tương đương với: +∞ dx √ =− (x − 1) 2x2 − 5x + 1 dt = t t2 = − 1t − + Đặt: t+ t2 1 t t +1 dt √ = − t − t2 3 = sin u ⇒ dt = cos udu 2 + Tích phân trở thành: π arcsin cos udu π = − arcsin cos u Câu Giải phương trình: a) y − xy arcsin x + x = 1−x − x2 b) y − 2y − 8y = 3e4x −5 dt t +1 +2 dt − t+ 2 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y − xy arcsin x + x x arcsin x + x = ⇔y − y= 2 1−x 1−x 1−x − x2 - Đặt: P (x) = − x − x2 Q(x) = arcsin x + x − x2 - Nghiệm tổng quát phương trình là: y = e− P (x)dx e Q(x)dx + C P (x)dx: - Tính tích phân P (x) = − P (x)dx x ⇒ − x2 − d(1 − x2 ) = ln|1 − x2 | 1−x x dx = 1−x - Thay vào nghiệm tổng quát ta được: y = e− ln|1−x =√ 1 − x2 √ − x2 =√ - Ta có: 2| e ln|1−x | Q(x)dx + C arcsin x + x dx + C − x2 1 − x2 arcsin x √ dx = − x2 =√ − x2 arcsin x x √ +√ 1−x − x2 dx + C arcsin2 x √ d(1 − x2 ) √ = − − x2 − x2 arcsin xd(arcsin x) = x √ dx = − − x2 - Vậy nghiệm phương trình là: y=√ 1 − x2 arcsin x + x √ dx + C − x2 √ arcsin2 x − − x2 + C 4.1.2 Câu b y − 2y − 8y = 3e4x - Phương trình đặc trưng: k − 2k − = ⇔ k1 = −2 ∨ k2 = - Nghiệm phương trình nhất: y0 = C1 e−2x + C2 e4x - Ta có: f (x) = 3e4x = Pn (x)eαx ⇒ Pn bậc 0; α = - Nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = xs eαx Qn (x) + Trong đó: s = 1(do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (x) = A(cùng bậc với Pn (x)) + Vậy: yr = Axe4x yr = Ae4x + 4Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Suy ra: −8yr = −8Axe4x −2yr = −2Ae4x − 8Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Cộng vế lại ta được: yr − 2yr − 8yr = 6Ae4x + Ta có: 3e4x = 6Ae4x ⇒ A = - Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = y0 + yr = C1 e−2x + C2 e4x + xe4x Câu Giải hệ phương trình: x (t) = 3x − 3y + 4et + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8et + 8t (2) 5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Lấy × (1) − × (2), ta được: 4x (t) − 3y (t) = 3y − 8et + 24t ⇒ 4x (t) = 3y + 3y − 8et + 24t (3) - Đạo hàm vế phương trình (2) theo t, ta được: y (t) = 4x − 5y + 8et + (4) - Thay (3) vào (4), ta được: y (t) = −2y + 3y + 24t + ⇔ y + 2y − 3y = 24t + + Phương trình đặc trưng: k + 2k − = ⇒ k1 = −3 ∨ k2 = + Nghiệm phương trình nhất: y0 = C1 e−3t + C2 et + Ta có: f (t) = 24t + = Pn (t)eαt + Suy Pn (t) bậc α = + Như nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = ts Qn (t)eαt s = (do α = không nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (t) = At + B (Qn (t) bậc với Pn (t)) + Vậy: yr = At + B yr = A yr = + Suy ra: −3yr = −3At − 3B 2yr = 2A yr = + Cộng vế lại ta được: yr + 2yr − 3yr = −3At + 2A − 3B + Ta có: −3A = 24 2A − 3B = 24t + = −3At + 2A − 3B ⇒ ⇒ A = −8 B = −8 - Vậy ta nghiệm tổng quát: y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − ⇒ y (t) = −3C1 e−3t + C2 et − + Thay y(t) y (t) vào phương trình (2), ta được: −3C1 e−3t + C2 et − = 4x − 5(C1 e−3t + C2 et − 8t − 8) + 8et + 8t ⇔ 4x = 2C1 e−3t + 6C2 et − 48t − 8et − 48 ⇔ x(t) = C1 e−3t + C2 et − 12t − 2et − 12 2 - Vậy nghiệm hệ phương trình là: x(t) = 21 C1 e−3t + 32 C2 et − 12t − 2et − 12 y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − - Để kiểm chứng lại nghiệm hệ hay không, ta thay nghiệm tương ứng vào hệ, cho vế 10 ... là: 15 15 (3 − 0)2 dy − π VOy = π 1 ( y + − 1) 2 dy 15 = 9πy |15 1 − π (y + − y + 1) dy = 14 4π − π = 14 4π − y2 + 2y |15 + 2π 15 y + 1dy 1 285π 4π 285π 17 1π + (y + 1) |15 + 84π = = 14 4π − 2 2 .1. 2... (phút) (0.5d) Câu 6: 1/ Tỉ lệ: (0 GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: x2 y = (x2 + 1) e− 1. 1 Hướng dẫn giải - Tập xác định... = 12 2 61 Nghiệm riêng C = 0.5đ 61 Q(0 .1) 0.5đ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK1 71 Ngày thi: 09- 01- 2 018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi