Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin 1 − 1 x . Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √ 2x − x 2 , y = √ 2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy). Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I = Z 1 0 1 (x + 1)√ x arctan x α dx. Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1 2 . Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e −2x − 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = 5 4 , y0 (0) = 9 2Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin 1 − 1 x . Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √ 2x − x 2 , y = √ 2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy). Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I = Z 1 0 1 (x + 1)√ x arctan x α dx. Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1 2 . Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e −2x − 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = 5 4 , y0 (0) = 9 2Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin 1 − 1 x . Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √ 2x − x 2 , y = √ 2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy). Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I = Z 1 0 1 (x + 1)√ x arctan x α dx. Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1 2 . Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e −2x − 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = 5 4 , y0 (0) = 9 2
GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: x2 y = (x2 + 1)e− 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định hàm số: D = R - Đạo hàm hàm số: x2 x2 x2 y = 2xe− + (x2 + 1)(−x)e− = e− (−x3 + x) y = ⇔ x3 − x = ⇔ x(x2 − 1) = ⇔ x = ∨ x = ±1 x2 - Ta thấy, dấu y phụ thuộc vào dấu (−x3 + x) hàm e− lớn với x ∈ R - Bảng biến thiên: x −∞ −1 + y 0 − + √2 e y +∞ − √2 e - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm số nghịch biến trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) + Hàm số đạt cực đại x = −1 x = yCĐ = + Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = - Tìm điểm uốn: x2 x2 √2 e x2 y = (−x)e− (−x3 + x) + e− (−3x2 + 1) = e− (x4 − 4x2 + 1) y = ⇔ x4 − 4x2 + = ⇒ x = ± − - Bảng xét điểm uốn dạng đồ thị: √ √ x −∞ − + 3− − y + − 2− + √ √ 3∨x=± 2+ 2+ − 0 √ √ +∞ + - Các điểm mà làm cho y đổi dấu điểm uốn - Các khoảng mà làm cho y mang dấu (+) tức lõm, dấu (−) lồi - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x=− 2+ √ ⇒ y = (3 + √ − 2+√3 3)e ≈ 0, 7322 x = −1 ⇒ y = 2e− ≈ 1, 2131 √ √ √ 2− x = − − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 x= x=0⇒y=1 √ √ √ 2− − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 x= 2+ √ √ √ 2+ 3 ⇒ y = (3 + 3)e− ≈ 0, 7322 - TIỆM CẬN ĐỨNG: Hàm số khơng có tiệm cận đứng hàm số xác định với x thuộc R - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim (x + 1)e x→∞ − x2 x2 + × = lim =0 x x→∞ xe x22 x2 b = lim (x2 + 1)e− = lim x→∞ x→∞ x2 + x2 e2 Như y = Tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số: =0 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x2 + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy 2.1 2.1.1 Hướng dẫn giải Cách 1: - Thay x = vào phương trình y = x2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta tính thể tích vật thể cần tính cách lấy thể tích hình trụ (bằng cách xoay hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay trục Oy) trừ cho khối lõm giới hạn y = 15, y = x2 + 2x - Ta biến đổi biểu thức: y = x2 + 2x ⇔ y = (x + 1)2 − ⇔ y + = (x + 1)2 ⇒x=− y+1−1∨x= y+1−1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: 15 15 (3 − 0)2 dy − π VOy = π −1 ( y + − 1)2 dy 15 = 9πy|15 −1 − π (y + − y + 1)dy = 144π − π = 144π − y2 + 2y |15 + 2π 15 y + 1dy −1 285π 4π 285π 171π + (y + 1) |15 + 84π = = 144π − 2 2.1.2 Cách 2: - Hoặc dùng định lý sau đây: - Như ta dễ dàng có: 3 x[(x2 + 2x) − (−1)] = 2π VOy = 2π 0 x4 2x3 x2 + + = 2π (x3 + 2x2 + x)dx |30 = 171π Câu Cho tích phân +∞ I= dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = 3.1 Hướng dẫn giải - Do x = làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân bất định loại - Tách thành tích phân sau: I= dx √ + m (x − 1) 2x2 − 5x + +∞ (xm dx √ = I1 + I2 − 1) 2x2 − 5x + - Xét tích phân I1 sau: 3 dx √ = (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 dx (xm − 1) x − (x − 2) + Khi x → 2+ : (xm − 1) x − ∼√ m 3(2 − 1)(x − 2) (x − 2) + thấy với m = (lưu ý hàm số xác định m = 0) Thì √ Nhận m 3(2 − 1) ln + Do thấy α = 12 < ⇒ I1 hội tụ (đây tích phân suy rộng loại 2) - Xét tích phân I2 : +∞ I2 = dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + + Khi x → +∞ ta xét trường hợp m sau: * Khi m < 0, ta xét hàm dương sau: (1 − √ xm ) 1 ∼√ 2x − 5x + 2x ⇒ α = ⇒ −I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0: khơng xét làm hàm số khơng xác định ⇒ Khơng có tích phân * Khi m > 0, ta có: (xm 1 √ ∼√ − 1) 2x − 5x + 2xm+1 + Như m > ta thấy m + > ⇒ I2 hội tụ - Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ phụ thuộc vào I2 Suy ra, I hội tụ m > - Tính tích phân m = 1: +∞ dx √ (x − 1) 2x2 − 5x + + Đặt: 1 ⇒ dx = − dt t t x−1= + Tích phân tương đương với: +∞ dx √ =− (x − 1) 2x2 − 5x + 1 dt = t t2 = − 1t − + Đặt: t+ t2 1 t t +1 dt √ = − t − t2 3 = sin u ⇒ dt = cos udu 2 + Tích phân trở thành: π arcsin cos udu π = − arcsin cos u Câu Giải phương trình: a) y − xy arcsin x + x = 1−x − x2 b) y − 2y − 8y = 3e4x −5 dt t +1 +2 dt − t+ 2 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y − xy arcsin x + x x arcsin x + x = ⇔y − y= 2 1−x 1−x 1−x − x2 - Đặt: P (x) = − x − x2 Q(x) = arcsin x + x − x2 - Nghiệm tổng quát phương trình là: y = e− P (x)dx e Q(x)dx + C P (x)dx: - Tính tích phân P (x) = − P (x)dx x ⇒ − x2 − d(1 − x2 ) = ln|1 − x2 | 1−x x dx = 1−x - Thay vào nghiệm tổng quát ta được: y = e− ln|1−x =√ 1 − x2 √ − x2 =√ - Ta có: 2| e ln|1−x | Q(x)dx + C arcsin x + x dx + C − x2 1 − x2 arcsin x √ dx = − x2 =√ − x2 arcsin x x √ +√ 1−x − x2 dx + C arcsin2 x √ d(1 − x2 ) √ = − − x2 − x2 arcsin xd(arcsin x) = x √ dx = − − x2 - Vậy nghiệm phương trình là: y=√ 1 − x2 arcsin x + x √ dx + C − x2 √ arcsin2 x − − x2 + C 4.1.2 Câu b y − 2y − 8y = 3e4x - Phương trình đặc trưng: k − 2k − = ⇔ k1 = −2 ∨ k2 = - Nghiệm phương trình nhất: y0 = C1 e−2x + C2 e4x - Ta có: f (x) = 3e4x = Pn (x)eαx ⇒ Pn bậc 0; α = - Nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = xs eαx Qn (x) + Trong đó: s = 1(do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (x) = A(cùng bậc với Pn (x)) + Vậy: yr = Axe4x yr = Ae4x + 4Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Suy ra: −8yr = −8Axe4x −2yr = −2Ae4x − 8Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Cộng vế lại ta được: yr − 2yr − 8yr = 6Ae4x + Ta có: 3e4x = 6Ae4x ⇒ A = - Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = y0 + yr = C1 e−2x + C2 e4x + xe4x Câu Giải hệ phương trình: x (t) = 3x − 3y + 4et + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8et + 8t (2) 5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Lấy × (1) − × (2), ta được: 4x (t) − 3y (t) = 3y − 8et + 24t ⇒ 4x (t) = 3y + 3y − 8et + 24t (3) - Đạo hàm vế phương trình (2) theo t, ta được: y (t) = 4x − 5y + 8et + (4) - Thay (3) vào (4), ta được: y (t) = −2y + 3y + 24t + ⇔ y + 2y − 3y = 24t + + Phương trình đặc trưng: k + 2k − = ⇒ k1 = −3 ∨ k2 = + Nghiệm phương trình nhất: y0 = C1 e−3t + C2 et + Ta có: f (t) = 24t + = Pn (t)eαt + Suy Pn (t) bậc α = + Như nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = ts Qn (t)eαt s = (do α = khơng nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (t) = At + B (Qn (t) bậc với Pn (t)) + Vậy: yr = At + B yr = A yr = + Suy ra: −3yr = −3At − 3B 2yr = 2A yr = + Cộng vế lại ta được: yr + 2yr − 3yr = −3At + 2A − 3B + Ta có: −3A = 24 2A − 3B = 24t + = −3At + 2A − 3B ⇒ ⇒ A = −8 B = −8 - Vậy ta nghiệm tổng quát: y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − ⇒ y (t) = −3C1 e−3t + C2 et − + Thay y(t) y (t) vào phương trình (2), ta được: −3C1 e−3t + C2 et − = 4x − 5(C1 e−3t + C2 et − 8t − 8) + 8et + 8t ⇔ 4x = 2C1 e−3t + 6C2 et − 48t − 8et − 48 ⇔ x(t) = C1 e−3t + C2 et − 12t − 2et − 12 2 - Vậy nghiệm hệ phương trình là: x(t) = 21 C1 e−3t + 32 C2 et − 12t − 2et − 12 y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − - Để kiểm chứng lại nghiệm hệ hay không, ta thay nghiệm tương ứng vào hệ, cho vế 10 y + x 2 ⇔ C = √ arctan √ − ln|x| - Thay điều kiện ban đầu y(1) = vào ta được: C = √ arctan 2+ √ 2 √ = √ arctan 7 - Vậy nghiệm phương trình là: √ arctan 4.1.2 y + x √ 2 √ = ln|x| + √ arctan 7 Câu b y − 2y + 2y = e2x (3 cos x − sin x) - Phương trình đặc trưng: k − 2k + = ⇔ k1 = − i ∨ k2 = + i - Với k1 = − i, nghiệm phương trình nhất: y0 = ex (C1 cos x − C2 sin x) - Ta có: f (x) = e2x (3 cos x − sin x) = eαx [Pn (x) cos βx + Qm (x) sin βx] + Từ suy được: α=2 ; β = −1 ; Pn (x) bậc ; Qm (x) bậc - Nghiệm riêng có dạng: yr = xs eαx (Hk (x) cos βx + Tk (x) sin βx) + Trong đó: s = α + βi = − i khơng nghiệm phương trình đặc trưng Bậc Hk (x) Tk (x) xác định bởi: k = max{m, n} = max{0, 0} = (m, n bậc đa thức Pn (x) Qm (x)) + Khi ta được: yr = e2x (A cos x − B sin x) yr = 2e2x (A cos x − B sin x) + e2x (−A sin x − B cos x) = e2x [(2A − B) cos x + (−A − 2B) sin x] yr = 2e2x [(2A−B) cos x+(−A−2B) sin x]+e2x [−(2A−B) sin x+(−A−2B) cos x] = e2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Thêm nhân thêm hệ số để cộng theo vế, ta được: 2yr = e2x (2A cos x − 2B sin x) −2yr = e2x [(−4A + 2B) cos x + (2A + 4B) sin x] yr = e2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Cộng vế lại, ta được: yr − 2yr + 2yr = e2x [(2A − 4A + 2B + 3A − 4B) cos x + (−2B + 2A + 4B − 4A − 3B) sin x] = e2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] + Từ ta có: e2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] = e2x (3 cos x − sin x) + Từ ta có hệ sau: A − 2B = −2A − B = −1 ⇒ A=1 B = −1 - KẾT LUẬN: Nghiệm tổng quát phương trình là: y = ex (C1 cos x − C2 sin x) + e2x (cos x − sin x) Câu Giải hệ phương trình: x = x + 2y + et (1) y = −x + 3y (2) 10 5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Cộng vế phương trình (1) (2) lại ta được: x + y = 5y + et (3) - Đạo hàm vế phương trình (2) theo biến t, ta được: y = −x + 3y ⇒ x = −y + 3y (4) - Thay (4) vào (3), ta được: −y + 3y + y = 5y + et ⇔ y − 4y + 5y = −et + Phương trình đặc trưng: k − 4k + = ⇒ k1 = + i ∨ k2 = − i + Nghiệm phương trình ứng với k1 = + i: y0 = e2t (C1 cos t + C2 sin t) + Ta có: f (t) = −et = Pn (t)eαt + Suy ra: α=1 ; Pn (t)bậc + Nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = ts eαt Qn (t) Trong đó: s = α = không nghiệm đơn phương trình đặc trưng Qn (t) = A Qn (t) bậc với Pn (t) + Lúc đó, ta có: yr = Aet yr = Aet yr = Aet 11 + Và ta được: 5yr = 5Aet −4yr = −4Aet yr = Aet + Suy ra: yr − 4yr + 5yr = 2Aet + Mà ta có: −et = 2Aet ⇒ A = − - Ta có nghiệm riêng: yr = − et - Suy nghiệm tổng quát: y = e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et + Đạo hàm theo biến t nghiệm tổng quát vừa tìm, ta được: y = 2e2t (C1 cos t + C2 sin t) + e2t (−C1 sin t + C2 cos t) − et = e2t [(2C1 + C2 ) cos t + (−C1 + 2C2 ) sin t] − et + Thay vào phương trình (2), ta được: 1 e2t [(2C1 +C2 ) cos t+(−C1 +2C2 ) sin t]− et = −x+3 e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et 2 1 ⇒ x = e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et −e2t [(2C1 +C2 ) cos t+(−C1 +2C2 ) sin t]+ et 2 = e2t [(3C1 − 2C1 − C2 ) cos t + (3C2 + C1 − 2C2 ) sin t] − et = e2t [(C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t] − et - Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = e2t [(C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t] − et y = e2t (C1 cos t + C2 sin t) − 21 et - Để kiểm chứng lại nghiệm hệ hay không, ta thay nghiệm tương ứng vào hệ, cho vế 12 GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: √ y= 1.1 x2 − 6x + 10 x−5 Hướng dẫn giải - Tập xác định hàm số: D = R \ {5} - Ta viết lại hàm số: y = (x2 − 6x + 10) (x − 5)−1 ⇒ ln|y| = ln(x2 − 6x + 10) − ln|x − 5| - Đạo hàm hàm số: x−3 (x − 3)(x − 5) − (x2 − 6x + 10) y = − = y x − 6x + 10 x − (x2 − 6x + 10)(x − 5) √ x2 − 6x + 10 − 2x ⇒y = x−5 (x − 6x + 10)(x − 5) = − 2x √ (x − 5)2 x2 − 6x + 10 + Điểm làm đạo hàm 0: y =0⇔x= + Điểm làm đạo hàm không xác định là: x = - Bảng biến thiên: x −∞ + y − − √ − y +∞ +∞ 5 −1 −∞ - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: −∞, 52 + Hàm số nghịch biến trên: 25 , ∪ (5, +∞) √ + Hàm số đạt đạt cực đại x = 52 yCĐ = − 55 - Các điểm dùng để vẽ đồ thị: √ 26 x = −2 ⇒ y = − ≈ −0, 7284 √ 17 x = −1 ⇒ y = − ≈ −0, 6872 √ 10 x=0⇒y=− ≈ −0, 6325 √ 5 x= ⇒y=− ≈ −0, 4472 x=3⇒y=− √ x = ⇒ y = 10 ≈ 3, 1623 √ 17 x=7⇒y= ≈ 2, 0616 - TIỆM CẬN ĐỨNG: √ √ x2 − 6x + 10 lim+ = lim+ = +∞ x→5 x→5 x − x−5 √ √ x2 − 6x + 10 lim− = lim− = −∞ x→5 x→5 x − x−5 ⇒ hàm số có x = tiệm cận đứng - TIỆM CẬN XIÊN: √ a = lim x→∞ x2 − 6x + 10 = lim x−5 x x→∞ 1− x + 10 x2 x−5 √ x − x6 + x2 − 6x + 10 b = lim = lim x→+∞ x→+∞ x−5 x − x5 √ |x| − x6 + x2 − 6x + 10 b = lim = lim x→−∞ x→−∞ x−5 x − x5 10 x2 10 x2 =0 =1 = −1 ⇒ khơng có tiệm cận xiên ⇒ y = tiệm cận ngang phía phải y = −1 tiệm cận ngang phía trái đồ thị hàm số - ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu Cho miền D giới hạn đường cong sau: x = 0, y = −1, y = x2 − 2x Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh trục Oy 2.1 2.1.1 Hướng dẫn giải Cách - Ta có: x = ⇒ y = x2 − 2x = - Đổi biến hàm y = x2 − 2x + Ta có: x2 − 2x − y = ⇒∆ =1+y ⇒x=1+ 1+y∨x=1− 1+y √ + Ta chọn √ x = + + y (vì đường cong bị giới hạn x = 0, chọn x = − + y với giá trị y > làm cho giá trị x âm dẫn đến không thỏa) - Từ ta có: 0 + y)2 ]dy = π [(1 − VOy = π = π 2y + 2.1.2 (2 + y − + y)dy −1 −1 y2 − (1 + y)3 |0−1 = π Cách - Hoành độ giao điểm y = x2 − 2x y = −1: x2 − 2x = −1 ⇒ x = - Ta có cơng thức sau, đề cập đề ôn trước: xb |xf (x)|dx VOy = 2π xa - Từ ta có: 1 [x(x2 − 2x) − x.(−1)]dx = 2π VOy = 2π (x3 − 2x2 + x)dx = 2π x4 2x3 x2 − + 4 |10 = π Câu Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ xα e x2 − e− x2 dx I= Tính tích phân α = −5 3.1 Hướng dẫn giải - Đây tích phân suy rộng loại - Khi x → +∞, ta có: xα e x2 − e− x2 = xα [(e x2 − 1) − (e− x2 − 1)] ∼ xα −3 − 2 x x = 5xα x2 = x2−α - Để tích phân hội tụ thì: 2−α>1⇒α