Sử dụng mathcad professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TIN - - HUỲNH THỊ CẢNH SỬ DỤNG MATHCAD PROFESSINAL ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1.2 Các dạng toán liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số 11 1.2.1 Dạng 1: Các toán tiếp xúc 11 1.2.2 Dạng 2: Các toán cực trị 12 1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 qua 13 1.3 Phần mềm Mathcad Professional 14 1.3.1 Giới thiệu 14 1.3.2 Các phép toán Mathcad 14 Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT 19 VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD 19 2.1 Bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 19 2.1.1 Hàm số bậc 3: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 19 2.1.2 Hàm số bậc 4: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 22 2.1.3 Hàm số 𝒚 = 2.1.4 Hàm số 𝒚 = 2.2 𝒂𝒙+𝒃 𝒄𝒙+𝒅 24 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 𝒅𝒙+𝒆 26 Các dạng liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số 28 2.1.1 Dạng 1: Bài toán tiếp xúc 28 2.1.2 Dạng 2: Bài toán cực trị 30 2.1.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định họ đường cong (𝑪𝒎 ) qua 30 2.3 Bài toán tổng hợp 32 SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.4 Một số toán tham khảo 40 KẾT LUẬN 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trước đây, gặp toán phức tạp, người ta thường nghĩ đến việc sử dụng ngơn ngữ lập trình để giải Tuy nhiên, khơng phải làm được điều Vì để làm điều đó, địi hỏi người thực phải có trình độ định lập trình Ngày nay, để giải vấn đề đó, người ta tạo phần mềm toán chuyên dùng Mathcad, Matlab, Maple… Trong số Mathcad phần mềm có giao diện Window thân thiện, gần gũi dễ sử dụng Trong chương trình tốn Phổ thơng trung học khảo sát vẽ đồ thị hàm số dạng bản, xem then chốt, kiến thức hàm số tạo nên tuyến chủ yếu chương trình tốn học phổ thông Nhằm để giúp người dạy người học giải tốn khảo sát vẽ đồ thị hàm số dễ dàng nhanh chóng hơn, tơi chọn đề tài “Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích chọn đề tài Khai thác tính phần mềm tốn học để áp dụng giải vấn đề toán học Trung học phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm toán học Mathcad Professional  Phạm vi nghiên cứu: Bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan Giải tích 12 Các phương pháp nghiên cứu  Lý thuyết: - Tìm hiểu lý thuyết khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan - Tìm hiểu phần mềm Mathcad Professional tính năng, cơng dụng cách sử dụng SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số  Thực nghiệm: Giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan thơng qua phần mềm tốn học Mathcad Professional Nội dung đề tài Ngoài phần mở đầu kết bài, luận văn gồm chương:  Chương 1: Nghiên cứu tổng quan Trong chương này, tìm hiểu lý thuyết khảo sát hàm số vấn đề liên quan Đồng thời, tìm hiểu phần mềm tốn học Mathcad Professional, cơng dụng, tính phép tính tốn thực  Chương 2: Giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Mathcad Trong chương này, tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tập xác định Định nghĩa: Tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tập hợp tất số thực 𝑥 cho biểu thức 𝑓(𝑥) có nghĩa Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số 𝑦 = Giải: Biểu thức y  3.x  x  5x  3x  1 có nghĩa x  5x   tức 𝑥 ≠ x  4 x  5x  Vậy: TXD hàm số 𝐷 = 𝑅\{ , 1} Sự biến thiên hàm số a Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định khoảng (𝑎, 𝑏) - Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (𝑎, 𝑏) với số thực 𝑥1 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) - Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng (𝑎, 𝑏) với số thực 𝑥1 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 (𝑥1 ) > 𝑓 (𝑥2 ) Khảo sát biến thiên hàm số khoảng (𝑎, 𝑏) xét xem hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng Ta thường biểu diễn biến thiên hàm số dạng bảng gọi bảng biến thiên hàm số SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Hàm số đồng biến (𝑎; 𝑏) Hàm số nghịch biến (𝑎; 𝑏) b Tính đơn điệu hàm số Định lý: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm khoảng (𝑎; 𝑏) Nếu 𝑓’(𝑥)  (hoặc 𝑓’(𝑥)  0) đẳng thức xảy số hửu hạn điểm khoảng (𝑎; 𝑏 ) Thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) khoảng Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến hàm số 𝑦 = 𝑥 − 5𝑥 + Giải: Hàm số cho xác định với 𝑥 ∈ 𝑅 Đạo hàm 𝑦’ = 2𝑥 − = 2(𝑥 − - 𝑦 ’ > 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > - 𝑦 ’ < 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 5 ) xác định R Chiều biến thiên hàm số cho bảng sau gọi bảng biến thiên hàm số: Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; +  ) nghịch biến khoảng (−  ; ) c Điểm tới hạn SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định khoảng (𝑎; 𝑏)và 𝑥0  (𝑎; 𝑏) Điểm 𝑥0 gọi điểm tới hạn hàm số 𝑓’(𝑥) khơng xác định Ví dụ: Xét hàm số 𝑦 = 3𝑥 + +5 x Giải: TXD: (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Đạo hàm 𝑦’ = 3(𝑥 −1) 𝑥2 = 𝑥 = ±1 không xác định = Nhưng điểm không thuộc tập xác định hàm số Vậy hàm số cho có điểm tới hạn 𝑥 = ±1 d Cực đại cực tiểu  Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) a) Khoảng (𝑥0 −  ; 𝑥0 +  ) kí hiệu 𝑉(  ), (𝛿 > 0)được gọi lân cận điểm 𝑥0 b) Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với x thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 ta có: 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 ) Lúc ta nói hàm số đạt cực đại điểm 𝑥0 - 𝑓(𝑥0 ) gọi giá trị cực đại kí hiệu 𝑓𝐶𝐷 = 𝑓(𝑥0 ) - Điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số c) Điểm 𝑥0 gọi điểm cực tiểu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với 𝑥 thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 , ta có: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 ) Lúc ta nói hàm số đạt cực tiểu điểm 𝑥0 Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị hàm số điểm cực trị gọi cực trị hàm số cho  Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả thiết hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) Định lý Fecma ( Pierre De Fermat 1601-1665) SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 đạt cực trị điểm 𝑓’(𝑥0 ) =  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị  Dấu hiệu Định lý 1: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (� x s( x )  solve x 3x 12x ( 1x) ( x 3) x 3 x Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (3; +∞) Cực trị: h( x) d s( x) dx SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 6x 12 Trang 32 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số h( x) d s( x) dx 6x 12 s( x) solve x h( 1)  h( 3)  y(  )  y(  1)  Hàm số đạt cực đại 𝑥 = 𝑦𝐶𝐷 = Hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑦𝐶𝑇 = Giới hạn: lim y( x  ) x   lim y( x  ) x   Hàm số cho tiệm cận Bảng biến thiên: Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị h( x) solve x y(  1)  Điểm uốn 𝐼(2; 2) Đồ thị: SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 33 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Truc Oy y( x  ) 6 x Truc Ox Để hàm số có cực đại cực tiểu  y'  Gọi 𝑔(𝑥, 𝑚)  y ' ta được: s( x  m) g( x) 3x ( 3m 3) g( x) 0 solve m 2( 3m 3) x 6m d y( x  m) dx 3( 6m 3) factor m m 2 y(  m) 36m 18 2 m Vậy hàm số đạt cực tiểu 𝑚 < −2 − s( x  m) solve x 9m 𝑚 > −2 − 2m 3m y( 2m  m) factor m 4m 3m Tọa độ cực đại cực tiểu 𝑀1 (1; − 3𝑚) 𝑀2 (2𝑚 + 1; 4𝑚3 – 3𝑚 + 3) Cực đại cực tiểu đối xứng với qua 𝐼(0; 4) nên 𝐼 trung điểm 𝑀1 𝑀2 Ta có: 2m factor m SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 2m solve m Trang 34 ... tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chương 1: NGHIÊN...9 ) đồ thị 3 3 hàm số có tiệm cận xiên SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 39 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.4 Một số toán tham khảo Bài 1: Cho hàm số y  x  (m ... đồ thị hàm số vấn đề liên quan - Tìm hiểu phần mềm Mathcad Professional tính năng, công dụng cách sử dụng SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số