Sử dụng hàm bessel để giải bài toán nhiệt học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ -oOo - TẠ VU BÍCH NGỌC Lớp DH5L KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY Long Xuyên, 5-2008 Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến: • Ban giám hiệu Trường Đại Học An Giang • Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An Giang • Hội Đồng Khoa Học Đào Tạo Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An Giang • Thầy Hồ Xuân Huy - Giáo Viên hướng dẫn • Các thầy bạn môn Vật Lý Đã tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình hướng dẫn, đơn đốc tận tình giúp đỡ tơi hồn thành khố luận MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU .Trang 1 Lý chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Nhiệm vụ nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu .Trang Giả thuyết khoa học Trang Phạm vi nghiên cứu .Trang Đóng góp khóa luận Trang Dàn ý khóa luận Trang PHẦN II: NỘI DUNG Trang CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Trang 1.1 Lý luận tập vật lý Trang 1.2 Bài toán biên .Trang 1.3 Các chuỗi hệ trực giao Trang 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng Trang 19 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL Trang 22 2.1 Khái niệm hàm Bessel .Trang 22 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel .Trang 25 2.3 Tính trực giao hàm Bessel Trang 31 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel Trang 31 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT Trang 41 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Trang 41 3.2 Các toán cho toạ độ .Trang 46 3.3 Các toán cho biên Trang 56 3.4 Một số toán dừng .Trang 59 PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 68 PHỤ LỤC .Trang 69 PHỤ LỤC .Trang 70 PHỤ LỤC .Trang 74 PHỤ LỤC .Trang 78 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với số dạng toán giải phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, việc tìm nghiệm gặp khó khăn giải phức tạp Học phần phương pháp toán-lý có tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phương trình vi phân Cụ thể tập phần truyền nhiệt có phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng Đối với số toán biên nhiều chiều sử dụng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace tốn giải khó khăn Ta sử dụng hàm Bessel vào giải tốn biên phương trình truyền nhiệt việc tìm nghiệm toán đơn giản nhiều Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải toán truyền nhiệt phương pháp khó, nhiên lại áp dụng hiệu vào việc giải toán biên nhiều chiều Nhưng sách lý thuyết thường đề cập đến phương pháp này, không đưa tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó khăn việc áp dụng.Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu toán truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý cần thiết Với lý chọn đề tài : “ Sử dụng phương pháp hàm Bessel để giải toán truyền nhiệt” 2.Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu tốn truyền nhiệt • Nghiên cứu sở tốn học cho hàm Bessel • Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm tốn phương trình truyền nhiệt 3.Đối tượng nghiên cứu • Các tốn truyền nhiệt • Cơ sở lý luận tập vật lý • Cơ sở tốn học phương trình Bessel hàm Bessel 4.Nhiệm vụ nghiên cứu • Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm tốn truyền nhiệt • Giải số toán truyền nhiệt phương pháp hàm Bessel 5.Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách tham khảo tài liệu • Phương pháp tốn học • Phương pháp phân tích • Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên 6.Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp hàm Bessel tìm nghiệm toán truyền nhiệt 7.Phạm vi nghiên cứu Các tốn truyền nhiệt 8.Đóng góp khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên • Góp phần nâng cao kết học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên 9.Dàn ý khóa luận Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận 1.1 Lý luận tập vật lý 1.2 Các loại toán biên 1.3 Các chuỗi hệ trực giao 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng Tiểu kết chương 1: Đây sở lý luận tốn học quan trọng, dựa vào để giải toán truyền nhiệt phương pháp toán lý Chương II: Xây dựng phương trình Bessel hàm Bessel 2.1 Khái niệm hàm Bessel 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel 2.3 Tính trực giao hàm Bessel 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel Tiểu kết chương 2: Chương hoàn thành việc xây dựng hàm Bessel phương trình Bessel để giải tốn phương trình truyền nhiệt Chương III Sử dụng hàm Bessel để giải cho số toán truyền nhiệt 3.1 Các toán cho toạ độ 3.2 Các toán cho biên 3.3 Một số toán dừng Tiểu kết chương 3: chương ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho tốn biên phương trình truyền nhiệt Phần III: Kết luận • Kết dự kiến đạt dược việc nghiên cứu đề tài: Hiểu rõ hàm Bessel, ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho tốn biên nhiều chiều • Những đóng góp việc nghiên cứu đề tài: làm tài liệu tham khảo phương pháp giải hiệu toán truyền nhiệt học phần phương pháp tốn lý • Kiến nghị PHẦN HAI: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm tập vật lý Bài tập vật lý yêu cầu đặt cho người học, người học giải dựa sở lập luận logic, nhờ phép tính tốn, thí nghiệm, dựa kiến thức khái niệm, định luật thuyết vật lý 1.1.2 Vai trò tác dụng tập vật lý Xét mặt phát triển tính tự lực người học rèn luyện kỷ vận dụng kiến thức lĩnh hội vai trị tập vật lý q trình học tập có giá trị lớn Bài tập vật lý sử dụng nhiều khâu trình dạy học Bài tập phương tiện nghiên cứu tượng vật lý Trong trình dạy học vật lý người học làm quen với chất tượng vật lý nhiều cách khác như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm thí nghiệm, tiến hành tham quan Ở tính tích cực người học chiều sâu độ vững kiến thức lớn “tình có vấn đề” tạo ra, nhiều trường hợp nhờ tình làm xuất kiểu tập mà trình giải người học phát lại quy luật vật lý tiếp thu quy luật hình thức có sẵn Bài tập phương tiện hình thành khái niệm Bằng cách dựa vào kiến thức có người học, q trình làm tập, ta cho người học phân tích tượng vật lý nghiên cứu, hình thành khái niệm tượng vật lý đại lượng vật lý Bài tập phương tiện phát triển tư vật lý cho người học Việc giải tập làm phát triển tư logic, nhanh trí Trong trình tư có phân tích tổng hợp mối liên hệ tượng, đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng Bài tập phương tiện rèn luyện kỷ vận dụng kiến thức người học vào thực tiễn Đối với việc giáo dục kỷ thuật tổng hợp tập vật lý có ý nghĩa lớn Những tập phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống Nội dung tập phải đảm bảo yêu cầu sau: • Nội dung tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình học • Hiện tượng nghiên cứu phải áp dụng phổ biến thực tiễn • Bài tập đưa phải vấn đề gần với thực tế • Khơng nội dung mà cịn hình thức tập phải gắn với điều kiện thường gặp sống Trong tập khơng có sẵn kiện mà phải tìm kiện cần thiết sơ đồ, vẽ kỷ thuật, sách báo tra cứu từ thí nghiệm Bài tập tượng vật lý sinh hoạt ngày có ý nghĩa to lớn Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả quan sát Với tập này, qua trình giải, người học có kỷ năng, kỷ xảo vận dụng kiến thức để phân tích tượng vật lý khác tự nhiên, kỷ thuật đời sống, đặc biệt có tập giải địi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm lao động, sinh hoạt sử dụng kết quan sát thực tế ngày Bài tập vật lý phương tiện để giáo dục người học, nhờ tập vật lý ta giới thiệu cho người học biết xuất tư tưởng, quan điểm tiên tiến, đại, phát minh, thành tựu khoa học nước Tác dụng giáo dục tập vật lý thể chổ: chúng phương tiện hiệu để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí nhân cách người học Việc giải tập vật lý mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm u thích mơn, tăng cường hứng thú học tập Bài tập vật lý phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức kỷ năng, kỷ xảo người học Đồng thời công cụ giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức 1.1.3 Cơ sở định hướng giải tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải tập vật lý + Mục tiêu cần đạt tới giải tốn vật lý tìm câu trả lời đắn, giải đáp vấn đề đặt cách có khoa học chặt chẽ Q trình giải tốn thực chất tìm hiểu điều kiện toán, xem xét tượng vật lý đề cập dựa kiến thức vật lý tốn để nghĩ tới mối liên hệ có cho cần tìm cho thấy phải tìm có mối liên hệ trực tiếp gián tiếp với cho, từ đến rõ mối liên hệ tường minh trực tiếp phải tìm với biết nghĩa tìm lời giải đáp cho toán đặt Hoạt động giải tốn vật lý có hai phần việc quan trọng là: Việc xác lập mối liên hệ cụ thể dựa vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể toán cho Sự tiếp tục luận giải, tính tốn từ mối liên hệ xác lập đến kết luận cuối việc giải đáp vấn đề đặt toán cho + Sự nắm vững lời giải toán vật lý phải thể khả trả lời câu hỏi: việc giải toán cần xác lập mối liên hệ nào? Sự xác lập mối liên hệ dựa vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể toán? + Đối với tập định tính, ta khơng phải tính tốn phức tạp cần có suy luận logic bước để đến kết luận cuối 1.1.3.2 Phương pháp giải tập vật lý Xét tính chất thao tác tư giải tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp điểm xuất phát đại lượng cần tìm Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết có liên quan tới đại lượng vật lý khác, biết liên hệ biểu diễn thành cơng thức tương ứng, làm biểu diễn hoàn toàn đại lượng cần tìm đại lượng biết tốn giải xong Như vậy, phương pháp thực chất phân tích toán phức tạp thành tập đơn giản hơn, dựa vào quy tắc tìm lời giải mà giải tập đơn giản này, từ đến lời giải cho tốn phức tạp − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp suy luận khơng đại lượng cần tìm mà đại lượng biết, nêu đề Dùng công thức liên hệ đại lượng với đại lượng chưa biết, ta dần đến cơng thức cuối cùng, có đại lượng chưa biết đại lượng cần tìm Nhìn chung, việc giải tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích tổng hợp Phép giải bắt đầu phân tích điều kiện tốn để hiểu đề phải có tổng hợp kèm theo để kiểm tra lại mức độ đắn phân tích Muốn lập kế hoạch giải phải sâu phân tích nội dung vật lý tập, tổng hợp kiện cho với quy luật vật lý biết ta xây dựng lời giải kết cuối 1.1.3.3 Các bước chung giải tốn vật lý Từ phân tích thực chất hoạt động giải tốn, ta có đưa cách khái quát bước chung tiến trình giải tốn vật lý hoạt động bước, là: Bước 1: • Tìm hiểu đề • Đọc ghi ngắn gọn liệu xuất phát phải tìm • Mơ tả lại tình nêu đề bài, vẽ hình minh họa • Nếu đề u cầu phải dùng đồ thị làm thí nghiệm để thu liệu cần thiết Bước 2: Xác lập mối liên hệ liệu xuất phát phải tìm • Đối chiếu với liệu xuất phát phải tìm, xem xét chất vật lý tình cho để nghĩ đến kiến thức, định luật, công thức có liên quan • Xác lập mối liên hệ bản, cụ thể liệu xuất phát phải tìm • Tìm kiếm lựa chọn mối liên hệ tối thiểu cần thiết cho thấy mối liên hệ phải tìm với liệu xuất phát, từ rút cần tìm Bước 3: Rút kết cần tìm Từ mối liên hệ cần thiết xác lập, tiếp tục luận giải, tính tốn để rút kết cần tìm Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để xác nhận kết cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo cách sau: • Kiểm tra xem có tính tốn chưa • Kiểm tra xem thứ ngun có phù hợp khơng • Giải tốn theo cách khác xem có kết khơng Tuy nhiên, nhiều tập không thiết phải tách bạch cách cứng nhắc bước bước Tùy tốn mà ta kết hợp hai bước thành tiến trình luận giải 1.1.3.4 Lựa chọn tập vật lý Vấn đề lựa chọn tập vật lý góp phần khơng nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý người học việc lựa chọn tập phải thỏa mãn yêu cầu sau: • Các tập phải từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm phương pháp giải tập điển hình • Hệ thống tập cần bao gồm nhiều thể loại tập • Lựa chọn tập nhằm kích thích hứng thú học tập phát triển tư người học • Các tập nhằm cố, bổ sung hoàn thiện tri thức cụ thể học, cung cấp cho người học hiểu biết thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết • Lựa chọn tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức học để giải loại tập bản, hình thành phương pháp chung để giải loại tập • Lựa chọn tập cho kiểm tra mức độ nắm vững tri thức người học 1.2BÀI TỐN BIÊN Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng L( y ) = a ( x) dny d n −1 y dy + a ( x ) + + a n −1 ( x) + a n ( x) y = F ( x) (1.20) n n −1 dx dx dx Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) hàm liên tục khoảng a ≤ x ≤ b a ( x) ≠ khoảng a ≤ x ≤ b Cách chung để giải phương trình (1.20) là: trước hết giải phương trình cấp n L(y)=0, thu tập nghiệm {y1(x), y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc phương trình tổ hợp tuyến tính tập nghiệm bản: yc = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x), (1.21) đó: C1, C2, …, Cn số tùy ý Tiếp theo tìm nghiệm riêng yp phương trình vi phân khơng L(y) = F(x) Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định phương pháp biến thiên số để tìm nghiệm riêng Khi nghiệm tổng qt phương trình (1.20) y = yc + yp Trong toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.20) địi hỏi phải thỏa mãn điều kiện bổ sung Số điều kiện hầu hết ứng dụng cấp cao phương trình.Ví dụ, phương trình vi phân cấp 2: a ( x) d2y dy + a ( x ) + a ( x) = , dx dx a≤ x≤b (1.22) bị lệ thuộc điều kiện bổ sung x = a có dạng : y (a) = α , y / (a ) = β , với α , β số Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung xem toán cho trước giá trị ban đầu Bài tốn giá trị ban đầu thường có nghiệm Khi phương trình vi phân (1.22) bị hạn chế hai điểm khác nhau, tức x = a x = b phương trình có dạng : ⎧⎪c11 y (a ) + c12 y / (a ) = α , c112 + c122 ≠ ⎨ 2 ⎪⎩c 21 y (a ) + c 22 y / (a ) = β , c 21 + c 22 ≠0 (1.23) Trong đó: c11 , c12 , c 21 , c 22 , α β số Điều kiện bổ sung (1.23) gọi điều kiện biên Phương trình vi phân (1.22) với điều kiện biên (1.23) gọi toán biên Nghiệm toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên Bài tóan biên khơng có nghiệm mà có vơ số nghiệm Điều kiện biên có dạng ⎧⎪c11 y (a ) + c12 y / (a ) + c13 y (b) + c14 y / (b) = α ⎨ ⎪⎩c 21 y (b) + c 22 y / (b) + c 23 y (a ) + c 24 y / (a ) = β Trong đó: cij , i= 1,2, j=1,2,3,4 α , β số; gọi điều kiện biên hỗn hợp Bài tốn biên hỗn hợp thường khó giải Xét phương trình tyến tính cấp 1: L( y ) = dy + p ( x ) y = q ( x ) dx (1.24) Để giải phương trình (1.24), trước hết giải phương trình nhất: L( y) = dy + p(x) y = dx (1 25 ) ⎧u '( x)y1 (x)+v '( x)y (x)=0 ⎪ F(x) ⎨ ' ' u '( x )y (x)+ v '( x )y (x)= a0 ( x) ≠ ⎪ a ( x ) ⎩ (2.12) Dùng qui tắc Cramer giải hệ phương trình (2.12) u ', v ' ta được: Các phương trình (2.13) sau tích phân thu hàm u ( x), v( x) : x u = u ( x) = − ∫ α x v = v( x) = ∫ α y (ξ )F(ξ ) dξ a0 (ξ )W (ξ ) (2.14) y1 (ξ )F(ξ ) dξ a0 (ξ )W (ξ ) α số w( x) = y1 (x) y (x) y1' (x) y '2 (x) định thức Wronskian Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho : x y = yc + y p = C1 y1 (x)+C2 y (x)+ ∫ [ y2 (x)y1 (ξ )-y1 (x)y2 (ξ )] F(ξ ) dξ α p(ξ )W (ξ ) (2.16) Một phương trình vi phân cấp hai có cách giải đơn giản d 2F + λF = dx (2.17) Phương trình xuất việc nghiên cứu nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng toạ độ Đế (Descartesian) tượng vật lý kỹ thuật Phương trình vi phân (2.15) chứa tham số λ , ta xét trường hợp tham số: âm, dương không Trường hợp 1: λ = −ω ( ω > ) Phương trình vi phân có dạng: d 2F − ω2F = dx (2.18) phương trình vi phân cấp hai với hệ số số, người ta giả thiết có nghiệm mũ F = e mx ; ta có phương trình đặc trưng m2 − ω = với nghiệm đặc trưng ⎧m = ω ωx −ω x tập nghiệm e , e Nếu biết tập nghiệm ⎨ ⎩m = −ω { } nghiệm, tạo nên tổ hợp tuyến tính nghiệm sinh tập hợp vô hạn nghiệm khác 72 F ( x) = C1eω x + C2 e −ω x C1 , C2 số tuỳ ý, phụ thuộc vào điều kiện bổ sung điều kiện ban đầu điều kiện biên Trường hợp 2: λ =0 Nghiệm phương trình vi phân d 2F =0 dx có dạng sau: F ( x) = C1 + C2 x F ( x) = K1 + K ( x − x0 ) Trường hợp 3: λ = ω (ω > 0) d 2F + ω F = phương trình vi phân cấp hai với hệ số số, Phương trình vi phân dx mx giả thiết có nghiệm mũ F = e , ta có phương trình đặc trưng ⎧m = iω iω x − iω x m + ω = với nghiệm đặc trưng: ⎨ tập nghiệm e , e ⎩m = −iω { } Nếu biết tập nghiệm tạo nên tổ hợp tuyến tính nghiệm sinh tập hợp vô hạn nghiệm khác F ( x) = C1eiω x + C2 e − iω x đó: C1 , C2 số tuỳ ý, phụ thuộc vào điều kiện bổ sung điều kiện ban đầu điều kiện biên 73 PHỤ LỤC PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN Phương pháp tách biến nhằm xây dựng nghiệm µ phương trình đạo hàm riêng cho trước thơng qua hàm có biến số Nói cách khác, ta đốn µ viết dạng tổng tích hàm có biến số tách nhau, thay vào phương trình đạo hàm riêng để chọn hàm phải đảm bảo µ thực nghiệm phương trình Kỹ thuật minh họa ví dụ sau Ví dụ 1: Cho U ⊂ ℜ n miền bị chặn với biên trơn Ta xét toán giá trị biên-ban đầu phương trình truyền nhiệt ⎧ µ t − ∆µ = U ì (0, ) = trờn U ì [0, ) = g ⎩ (5.1) U × {t = 0} Ở g: U → ℜ hàm cho trước Ta giả định tồn nghiệm có dạng µ ( x, t ) = v(t )w( x ) ( x ∈ U ; t ≥ ) ; (5.2) (5.1) tích hai hàm số với biến Có nghĩa là, ta xem nghiệm x= (x1, .,, xn ) ∈ U biến t ∈ [0, T ] tách với Bây ta tìm v w Để làm điều ta tính µt ( x, t ) = v , (t )w( x ) , ∆µ ( x, t ) = v(t )∆w(x ) Từ = µt ( x, t ) − ∆µ ( x, t ) = v, (t )w( x ) - v(t )∆w(x ) Nếu v , (t ) ∆w(x ) = v(t ) w(x ) (5.3) Với x ∈ U t >0 cho v (t ) , w (t ) ≠ Chú ý vế trái (5.3) phụ thuộc vào t vế phải phụ thuộc vào x Điều xảy chúng số, tức là: v , (t ) ∆w(x ) =µ= v(t ) w(x ) ( t ≥ 0, x ∈ U ) Khi v’= µν ∆w = µw (5.4) (5.5) Ta giải phương trình để tìm hàm chưa biết w,v số µ 74 Trước hết, để ý rằng, µ biết, nghiệm (5.4) v=de µt với d số tùy ý Vì thế, ta cần nghiên cứu phương trình (5.5) Ta nói λ giá trị riêng toán tử - ∆ U ( với điều kiện biên 0) tồn hàm w ≠ thõa mãn ⎧− ∆w = λw U ⎨ ∂U ⎩w = Ta gọi hàm w hàm riêng tương ứng, ta đặt µ = −λ để tìm (5.6) µ = −de − λt w Thỏa mãn ⎧ µ t − ∆µ = 0trong U ì (0, ) = ∂U × [0, ∞ ) (5.7 ) với điều kiện ban đầu µ (.,0 ) = dw Do hàm µ xác định (5.6) thỏa mãn (5.1) , với điều kiện g = dw Tổng quát hơn, λ1 , , λn giá trị riêng , w1 , , wn hàm riêng tương ứng d , , d m số, m (5.8) µ = ∑ d k e − λ wk k t k =1 ∞ Thỏa mãn điều kiện ban đầu µ (.,0 ) = µ = ∑ d k wk Nếu ta tìm k =1 m, w1 , v.v cho ∞ ∑d w k =1 k k = g U (5.9) Với số thích hợp d1 , d , ∞ µ = ∑ d k e − λ wk k t (5.10) k =1 Sẽ nghiệm tốn (5.1) Đây cơng thức biểu diễn nghiệm đẹp, dựa vào: Khả tìm giá trị riêng, hàm riêng số thỏa mãn (5.9) Chuỗi (5.10 ) hội tụ theo nghĩa thích hợp Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm phương trình mơi trường tổ ong µt − (à ) = n ì (0, ∞ ) (5.11) Trong nghiệm µ ≥ γ > số Đây phương trình khuếch tán phi tuyến, với tốc độ khuếch tán mật độ µ phụ thuộc vào µ 75 Như ví dụ trứơc, ta tìm nghiệm dạng (x ∈ ℜ ; t ≥ 0) µ ( x, t ) = v(t )w( x ) (5.12) n Thế vào (5.11) , ta v , (t ) ∆wγ (x ) = = µ γ w(x ) v(t ) (5.13) Với số µ với ∀x ∈ ℜn , t ≥ cho w( x ), v(t ) ≠ Ta giải phương trình vi phân thường v tìm v = ((1 − γ )µt + λ )1− λ , với số λ > đó.Để tìm w ta xét phương trình đạo hàm riêng ∆ (wγ ) = uw (5.14) α Ta dự đoán nghiệm w có dạng w = x với số α xác định sau Khi ( ) uw − ∆ wγ = u x − αγ (αγ = n − 2) x α (5.15) αλ − Vì vậy, để (5.14 ) thỏa mãn ℜn , trước hết ta đòi hỏi α = αγ − từ α= γ −1 (5.16) Tiếp theo, từ (5.15) dễ thấy cần đặt µ = αγ (αγ + n − 2) > (5.17 ) Tóm lại, với λ > hàm µ = ((1 − γ )ut + λ )1−γ x α Thỏa mãn phương trình (5.11) , tham số α , µ xác định (5.16 ) , (5.17 ) Trong ví dụ trên, tách biến thực dựa vào tính phi tuyến tương thíchvoi71 hàm µ có dạng tích (5.12 ) Ở trường hợp khác, ta tìm nghiệm, biến tách dạng tổng hàm số Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi µt + H (Du ) = ℜn × (0, ∞ ) (5.18) Và tìm nghiệm µ có dạng µ (x, t ) = v(t ) + w( x ) ( x ∈ ℜn , t ≥ 0) Khi = µt (x, t ) + H (Du( x, t )) = v , (t ) + H (Dw( x )) Nếu 76 H (Dw(x )) = −v , (t ) (x ∈ ℜ , t > 0), n Với số µ Vì thế, H (Dw) = µ Với µ ∈ R, µ ( x, t ) = w( x ) − ut + b Sẽ thõa mãn µt t = H (Du ) = với số b Đặc biệt, chon5 w( x ) = a.x với a ∈ ℜn đặt µ = H (a ) , tìm nghiệm µ = a.x − H (a )t = b Dựa vào tích phân đầy đủ hàm bao tìm dược nghiệm 77 PHỤ LỤC PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG TOẠ ĐỘ CẦU 4.2.1Giải phương trình Laplace ⎧ ⎪∆u = ⎪⎪ Phương trình Laplace có dạng: ⎨u = u ( x, y, z ) ⎪ 2 ⎪∆ = ∂ + ∂ + ∂ ⎪⎩ ∂x ∂y ∂z (3.62) Chuyển sang toạ độ cầu (r , θ , ϕ ) x = r sin θ cos ϕ 0≤r