sử dụng hàm bessel để giải bài toán truyền nhiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ oOo TẠ VU BÍCH NGỌC Lớp DH5L KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY Long Xuyên, 5-2008 Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến: • Ban giám hiệu Trường Đại Học An Giang • Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An Giang • Hội Đồng Khoa Học và Đào Tạo Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An Giang • Thầy Hồ Xuân Huy - Giáo Viên hướng dẫn • Các thầy cô và các bạn trong bộ môn Vật Lý Đã tạo điều kiện thuận l ợi, nhiệt tình hướng dẫn, đôn đốc và tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 1 1. Lý do chọn đề tài Trang 1 2. Mục đích nghiên cứu Trang 1 3. Đối tượng nghiên cứu Trang 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 1 5. Phương pháp nghiên cứu Trang 1 6. Giả thuyết khoa học Trang 2 7. Phạm vi nghiên cứu Trang 2 8. Đóng góp của khóa luận Trang 2 9. Dàn ý của khóa luận Trang 2 PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Trang 3 1.1 Lý luận về bài tập vật lý Trang 3 1.2 Bài toán biên Trang 6 1.3 Các chuỗi và hệ trực giao Trang 9 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng Trang 19 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL Trang 22 2.1 Khái niệm hàm Bessel Trang 22 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel Trang 25 2.3 Tính trực giao của hàm Bessel Trang 31 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel Trang 31 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT Trang 41 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Trang 41 3.2 Các bài toán cho các toạ độ Trang 46 3.3 Các bài toán cho biên Trang 56 3.4 Một số bài toán dừng Trang 59 PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 68 PHỤ LỤC 1 Trang 69 PHỤ LỤC 2 Trang 70 PHỤ LỤC 3 Trang 74 PHỤ LỤC 4 Trang 78 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với một số dạng bài toán khi giải bằng phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp. Học phần phương pháp toán-lý có những bài tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phương trình vi phân. Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, ph ương pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng. Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn. Ta có thể sử dụng hàm Bessel vào giải bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều. Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền nhiệt là một phươ ng pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường ít đề cập đến phương pháp này, không đưa ra các bài tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng.Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý là rất cần thiết. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “ Sử dụng phương pháp hàm Bessel để giải bài toán truy ền nhiệt”. 2.Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt. • Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel. • Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán phương trình truyền nhiệt. 3.Đối tượng nghiên cứu • Các bài toán truyền nhiệt . • Cơ sở lý luận về bài tập vật lý. • Cơ sở toán học về phương trình Bessel và hàm Bessel. 4.Nhiệm vụ nghiên cứu • Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. • Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Bessel. 5.Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách và tham khảo tài liệu. • Phương pháp toán học. • Phương pháp phân tích. • Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 2 6.Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp hàm Bessel có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 7.Phạm vi nghiên cứu Các bài toán truyền nhiệt. 8.Đóng góp của khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. • Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên. 9.Dàn ý của khóa luận Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận 1.1 Lý luận về bài t ập vật lý. 1.2 Các loại bài toán biên. 1.3 Các chuỗi và hệ trực giao 1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng. Tiểu kết chương 1: Đây là cơ sở lý luận toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các bài toán truyền nhiệt trong phương pháp toán lý. Chương II: Xây dựng phương trình Bessel và hàm Bessel 2.1 Khái niệm hàm Bessel. 2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel. 2.3 Tính trực giao của hàm Bessel. 2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel. Tiểu kết chương 2: Chương này hoàn thành việc xây dự ng hàm Bessel và phương trình Bessel để giải bài toán trong phương trình truyền nhiệt. Chương III. Sử dụng hàm Bessel để giải cho một số bài toán truyền nhiệt 3.1 Các bài toán cho các toạ độ. 3.2 Các bài toán cho biên. 3.3 Một số bài toán dừng. Tiểu kết chương 3: chương này là ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt. Phần III: Kết luận. • Kết quả dự kiến đạt dược của việc nghiên cứu đề tài: Hi ểu rõ hơn hàm Bessel, có thể ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên nhiều chiều. • Những đóng góp của việc nghiên cứu đề tài: làm tài liệu tham khảo về một phương pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý. • Kiến nghị. 3 PHẦN HAI: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý. 1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý Xét về mặt phát triển tính tự lực c ủa người học và nhất là rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình dạy học. - Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình dạy học vật lý người học được làm quen v ới bản chất của các hiện tượng vật lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiể u bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn. - Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng v ật lý. - Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. Việc giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng. - Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của người học vào thực tiễ n. Đối với việc giáo dục kỷ thuật tổng hợp bài tập vật lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau: • Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thu ộc chương trình đang học. • Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong thực tiễn. • Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế. • Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn d ữ 4 kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm. - Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong qua trình giải, người học sẽ có đượ c kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày. - Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập. - Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người h ọc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức. 1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý + Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hi ểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phả i tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra. Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là: 1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho. 2. Sự tiếp tục luậ n giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho. + Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác l ập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán? + Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng. 5 1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ làm nh ư thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lờ i giải cho bài toán phức tạp trên. − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm. Nhìn chung, việ c giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. 1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là: Bước 1: • Tìm hiểu đề bài. • Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. • Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa. • Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ liệu cần thiết. Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. • Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản ch ất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan. • Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái phải tìm • Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuấ t phát, từ đó có thể rút ra được cái cần tìm. Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm. 6 Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả cần tìm. Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau: • Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa. • Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không. • Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không. Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai bước đó thành một trong tiến trình luận giải. 1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phả i thỏa mãn các yêu cầu sau: • Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình. • Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập • Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học. • Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết. • Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó. • Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của người học. 1.2BÀI TOÁN BIÊN Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng )()()( )()()( 1 1 1 10 xFyxa dx dy xa dx yd xa dx yd xayL nn n n n n =++++= − − − (1.20) Trong đó: a 0 (x), a 1 (x),…,a n (x) là các hàm liên tục trong khoảng bxa ≤ ≤ và 0)( 0 ≠xa trong khoảng bxa ≤ ≤ .Cách chung để giải phương trình (1.20) là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x)}, nghiệm tổng quát y c của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản: y c = C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)+…+C n y n (x), (1.21) trong đó: C 1 , C 2, …, C n là các hằng số tùy ý. 7 Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y p nào của phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.20) sẽ là y = y c + y p . Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.20) đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2: 0)()()( 21 2 2 0 =++ xa dx dy xa dx yd xa , bxa ≤ ≤ (1.22) bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng : ,)(,)( / βα == ayay với α , β là các hằng số. Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.22) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠+=+ ≠+=+ 0,)()( 0,)()( 2 22 2 21 / 2221 2 12 2 11 / 1211 ccaycayc ccaycayc β α (1.23) Trong đó: α ,,,, 22211211 cccc và β là các hằng số Điều kiện bổ sung (1.23) được gọi là điều kiện biên . Phương trình vi phân (1.22) với điều kiện biên (1.23) được gọi là bài toán biên . Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài tóan biên không chỉ có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ β α )()()()( )()()()( / 2423 / 2221 / 1413 / 1211 aycaycbycbyc bycbycaycayc Trong đó: c ij , i= 1,2, j=1,2,3,4 và α , β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên hỗn hợp . Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tyến tính cấp 1: )24.1().()()( xqyxp dx dy yL =+= Để giải phương trình (1.24), trước hết giải phương trình thuần nhất: )25.1(0)()( =+= yxp dx dy yL [...]... chứng minh các công thức, định lý, mà chỉ nêu ra với mục đích là sử dụng công thức, định luật đó trong bài toán, dựa vào đó để giải các bài toán truyền nhiệt trong phương trình toán lý Hơn nữa chúng tôi còn đưa ra phần phụ lục ở cuối luận văn để người đọc dễ tra cứu 21 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM HÀM BESSEL 2.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặt biệt... của hai hàm ϕ1 ,ϕ2 Hay nói cách khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm ψ 1 ,ψ 2 thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt ^ d 2 Rõ ràng rằng các toán tử x ; và ∇ trong các thí dụ (1), (2), (3) là dx ^ ) những toán tử tuyến tính Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số ( hay toán tử 19 không phải là toán tử tuyến... có tên là hàm trụ 24 2.2.CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESEL, PHƯƠNG TRÌNH HÀM BESSEL 2.2.1.Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel Hàm Bessel được biểu diễn dưới dạng một nghiệm do đó hàm Bessel có liên quan nhiều đến lý thuyết chuỗi như: chuỗi Fourier, chuỗi luỹ thừa… Bên cạnh đó còn có điều kiện hội tụ, tích phân suy rộng, hàm Garma… Chúng làm cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel Phương trình Bessel là phương... để biến đổi một hàm này sang hàm khác có cùng bản chất: ^ Fψ = ϕ ^ trong đó toán tử F được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được ^ ^ viết dưới dạng một phép nhân ψ với F và được gọi là toán tử F tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ ” Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân ^ ^ F =x=x 18 ^ ϕ ( x ) = xψ ( x ) = xψ ( x ) (4.2) Ví dụ 2: Toán tử vi phân... cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính 1.4.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm Ψ ( x ) thì ta được hàm số ϕ ( x ) ≠ ψ (x ) (Với (x ) là tập hợp biến số nào đó) Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số... này Yv (x ) được gọi là hàm Bessel loại II cấp v là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2.16) Đó là: y = C1 J v (x ) + C 2Yv ( x ) 2.2.2 Phương trình và hàm Bessel: a) Phương trình Bessel: là phương trình có dạng: ( ) x 2 y "+ xy '+ x 2 − v 2 y = 0 trong đó v (2.25) là hằng số Nghiệm của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel 29 • Hàm Bessel loại I cấp v: 2... nói Ψ (x ) là hàm riêng của toán tử A và phương trình trên gọi là ˆ phương trình trị riêng của toán tử A còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng ˆ Ψ (x ) của toán tử A Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các... x ) = An u n (x ) Trong đó u (x ) là hàm riêng ứng với trị riêng An (n = 1;2;3;4;5…) Số trị riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của một toán tử đó ∂ ˆ ˆ Thí dụ: Cho toán tử A = − i Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử A , ∂(x ) biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (0,... n có giá trị gián đoạn theo số nguyên n Còn hàm riêng tương ứng với A n là: u n (x ) = Ce ìnπ x L TIỂU KẾT CHƯƠNG I Nhìn chung cơ sở lý luận của đề tài, ta thấy chương I gồm bốn phần, đó là lý luận về bài tập vật lý,các loại bài toán biên, các chuỗi và hệ trực giao, khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng Ngoài ra, cơ sở toán học của bài toán được trình bài khá cô đọng và ngắn gọn, tránh đi sâu chi... 2L 1.3.3 Các hàm toán học thông dụng: 1.3.3.1 Hàm Gama-Euler ( Γ ): Hàm Γ là hàm được định nghĩa bởi: ∞ Γ ( k ) = ∫ e− x x( k −1) dx ( k > 0 ) (4.6) 0 Tính chất của hàm Γ : 1) Γ ( k + 1) = k Γ ( k ) 2) Γ ( k + 1) = k ! Khi k âm thì hàm Γ được tính theo cách khác nhưng tính chất 2) được bảo toàn 14 1.3.3.2.Tích phân suy rộng 1.3.3.2.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận a.Định nghĩa Giả sử f xác định . dự ng hàm Bessel và phương trình Bessel để giải bài toán trong phương trình truyền nhiệt. Chương III. Sử dụng hàm Bessel để giải cho một số bài toán truyền. hiểu các bài toán truyền nhiệt. • Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel. • Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán phương trình truyền nhiệt.