Sử dụng mathcad professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TIN - - HUỲNH THỊ CẢNH SỬ DỤNG MATHCAD PROFESSINAL ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1.2 Các dạng toán liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số 11 1.2.1 Dạng 1: Các toán tiếp xúc 11 1.2.2 Dạng 2: Các toán cực trị 12 1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 qua 13 1.3 Phần mềm Mathcad Professional 14 1.3.1 Giới thiệu 14 1.3.2 Các phép toán Mathcad 14 Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT 19 VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD 19 2.1 Bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 19 2.1.1 Hàm số bậc 3: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 19 2.1.2 Hàm số bậc 4: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 22 2.1.3 Hàm số 𝒚 = 2.1.4 Hàm số 𝒚 = 2.2 𝒂𝒙+𝒃 𝒄𝒙+𝒅 24 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 𝒅𝒙+𝒆 26 Các dạng liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số 28 2.1.1 Dạng 1: Bài toán tiếp xúc 28 2.1.2 Dạng 2: Bài toán cực trị 30 2.1.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định họ đường cong (𝑪𝒎 ) qua 30 2.3 Bài toán tổng hợp 32 SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.4 Một số toán tham khảo 40 KẾT LUẬN 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trước đây, gặp toán phức tạp, người ta thường nghĩ đến việc sử dụng ngơn ngữ lập trình để giải Tuy nhiên, khơng phải làm được điều Vì để làm điều đó, địi hỏi người thực phải có trình độ định lập trình Ngày nay, để giải vấn đề đó, người ta tạo phần mềm toán chuyên dùng Mathcad, Matlab, Maple… Trong số Mathcad phần mềm có giao diện Window thân thiện, gần gũi dễ sử dụng Trong chương trình tốn Phổ thơng trung học khảo sát vẽ đồ thị hàm số dạng bản, xem then chốt, kiến thức hàm số tạo nên tuyến chủ yếu chương trình tốn học phổ thông Nhằm để giúp người dạy người học giải tốn khảo sát vẽ đồ thị hàm số dễ dàng nhanh chóng hơn, tơi chọn đề tài “Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích chọn đề tài Khai thác tính phần mềm tốn học để áp dụng giải vấn đề toán học Trung học phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm toán học Mathcad Professional  Phạm vi nghiên cứu: Bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan Giải tích 12 Các phương pháp nghiên cứu  Lý thuyết: - Tìm hiểu lý thuyết khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan - Tìm hiểu phần mềm Mathcad Professional tính năng, cơng dụng cách sử dụng SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số  Thực nghiệm: Giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan thơng qua phần mềm tốn học Mathcad Professional Nội dung đề tài Ngoài phần mở đầu kết bài, luận văn gồm chương:  Chương 1: Nghiên cứu tổng quan Trong chương này, tìm hiểu lý thuyết khảo sát hàm số vấn đề liên quan Đồng thời, tìm hiểu phần mềm tốn học Mathcad Professional, cơng dụng, tính phép tính tốn thực  Chương 2: Giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Mathcad Trong chương này, tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tập xác định Định nghĩa: Tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tập hợp tất số thực 𝑥 cho biểu thức 𝑓(𝑥) có nghĩa Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số 𝑦 = Giải: Biểu thức y  3.x  x  5x  3x  1 có nghĩa x  5x   tức 𝑥 ≠ x  4 x  5x  Vậy: TXD hàm số 𝐷 = 𝑅\{ , 1} Sự biến thiên hàm số a Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định khoảng (𝑎, 𝑏) - Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (𝑎, 𝑏) với số thực 𝑥1 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) - Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng (𝑎, 𝑏) với số thực 𝑥1 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có: 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 (𝑥1 ) > 𝑓 (𝑥2 ) Khảo sát biến thiên hàm số khoảng (𝑎, 𝑏) xét xem hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng Ta thường biểu diễn biến thiên hàm số dạng bảng gọi bảng biến thiên hàm số SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Hàm số đồng biến (𝑎; 𝑏) Hàm số nghịch biến (𝑎; 𝑏) b Tính đơn điệu hàm số Định lý: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm khoảng (𝑎; 𝑏) Nếu 𝑓’(𝑥)  (hoặc 𝑓’(𝑥)  0) đẳng thức xảy số hửu hạn điểm khoảng (𝑎; 𝑏 ) Thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) khoảng Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến hàm số 𝑦 = 𝑥 − 5𝑥 + Giải: Hàm số cho xác định với 𝑥 ∈ 𝑅 Đạo hàm 𝑦’ = 2𝑥 − = 2(𝑥 − - 𝑦 ’ > 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > - 𝑦 ’ < 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 5 ) xác định R Chiều biến thiên hàm số cho bảng sau gọi bảng biến thiên hàm số: Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; +  ) nghịch biến khoảng (−  ; ) c Điểm tới hạn SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định khoảng (𝑎; 𝑏)và 𝑥0  (𝑎; 𝑏) Điểm 𝑥0 gọi điểm tới hạn hàm số 𝑓’(𝑥) khơng xác định Ví dụ: Xét hàm số 𝑦 = 3𝑥 + +5 x Giải: TXD: (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Đạo hàm 𝑦’ = 3(𝑥 −1) 𝑥2 = 𝑥 = ±1 không xác định = Nhưng điểm không thuộc tập xác định hàm số Vậy hàm số cho có điểm tới hạn 𝑥 = ±1 d Cực đại cực tiểu  Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) a) Khoảng (𝑥0 −  ; 𝑥0 +  ) kí hiệu 𝑉(  ), (𝛿 > 0)được gọi lân cận điểm 𝑥0 b) Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với x thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 ta có: 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 ) Lúc ta nói hàm số đạt cực đại điểm 𝑥0 - 𝑓(𝑥0 ) gọi giá trị cực đại kí hiệu 𝑓𝐶𝐷 = 𝑓(𝑥0 ) - Điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số c) Điểm 𝑥0 gọi điểm cực tiểu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với 𝑥 thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) điểm 𝑥0 , ta có: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 ) Lúc ta nói hàm số đạt cực tiểu điểm 𝑥0 Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị hàm số điểm cực trị gọi cực trị hàm số cho  Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả thiết hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) Định lý Fecma ( Pierre De Fermat 1601-1665) SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 đạt cực trị điểm 𝑓’(𝑥0 ) =  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị  Dấu hiệu Định lý 1: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đạo hàm lân cận 𝑥0 (có thể trừ 𝑥0 ) - Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < khoảng (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 ); 𝑓 ′ (𝑥) > khoảng (𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛿) 𝑥0 điểm cực tiểu hàm số 𝑓(𝑥) - Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > khoảng (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 ); 𝑓 ′ (𝑥) < khoảng (𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛿) 𝑥0 điểm cực đại hàm số 𝑓(𝑥) Tóm lại: Nếu 𝑥 qua 𝑥0 , đạo hàm đổi dấu 𝑥0 điểm cực trị Áp dụng dấu hiệu ta có quy tắc để tìm cực trị hàm số Quy tắc 1) Tìm 𝑓’(𝑥) 2) Tìm điểm tới hạn 3) Xét dấu đạo hàm 4) Từ bảng biến thiên suy giá trị cực trị Ví dụ: Tìm điểm cực trị hàm số 𝑦 = 𝑥 + +1 x Giải: Hàm số xác định với 𝑥 ≠ 0, 𝑥  𝑅 4.x2 - 4.(x  1) Đạo hàm hàm số là: 𝑦’ = − = = x2 x2 x 𝑦’ xác định với 𝑥  , 𝑥  𝑅 Dấu 𝑦’ dấu 𝑥 − chiều biến thiên cho bảng biến thiên sau: SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy 𝑥 = −1 điểm cực đại 𝑥 = điểm cực tiểu củả hàm số cho  Dấu hiệu Định lý 2: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đạo hàm liên tục tới cấp 𝑥0 𝑓’(𝑥0 ) = 0, 𝑓’’(𝑥0 )  𝑥0 điểm cực trị hàm số Khi đó, - Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) > 𝑥0 điểm cực tiểu - Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) < 𝑥0 điểm cực đại Áp dụng dấu hiệu ta có quy tắc để tìm cực trị hàm số Quy tắc 1) Tính 𝑓’(𝑥) Giải phương trình 𝑓’(𝑥) = Gọi 𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2 … )𝑙à nghiệm 2) Tính 𝑓’’(𝑥) 3) Từ dấu 𝑓’’(𝑥) suy tính chất cực trị điểm 𝑥𝑖 theo dấu hiệu Ví dụ: Tìm điểm cực trị hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 Giải: Hàm số cho xác định với 𝑥 ∈ 𝑅 1) 𝑓’(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 (2𝑥 − 𝑥 + 1) =  (𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = ) 2) 𝑓’’(𝑥) = 12 𝑥 − 12 𝑥 + 3) 𝑓’’(0) = >  𝑥 = điểm cực tiểu 𝑓’’(1) = >  𝑥 = điểm cực tiểu 𝑓’’( ) = −1 <  𝑥 = điểm cực đại Kết luận: 𝑓(𝑥) đạt cực tiểu điểm 𝑥 = 𝑓𝐶𝑇 = 2;𝑥 = 𝑓𝐶𝑇 = 2; 𝑓(𝑥) đạt cực đại điểm 𝑥 = SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 𝑣à 𝑓𝐶𝐷 = −1 Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tính lồi lõm điểm uốn đồ thị a Khái niệm tính lồi, lõm điểm uốn Xét đồ thị 𝐴𝐵𝐶 hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) biểu diễn hình đây: Ta giả thiết điểm nó, đồ thị cho điều có tiếp tuyến Tại điểm cung 𝐴𝐶 tiếp tuyến ln phía cung 𝐴𝐶 Ta nói cung 𝐴𝐶 cung lồi Nếu 𝑎 hoành độ 𝐴, 𝑐 hoành độ 𝐶, khoảng (𝑎; 𝑐) gọi khoảng lồi đồ thị Tại điểm cung 𝐶𝐵 tiếp tuyến ln phía cung 𝐶𝐵 Ta nói cung 𝐶𝐵 cung lõm Nếu 𝑐 hoành độ 𝐶, 𝑏 hoành độ B, khoảng (𝑐; 𝑏) gọi khoảng lõm đồ thị Điểm phân cách cung lồi cung lõm gọi điểm uốn Chẳng hạn, điểm 𝐶 đồ thị hình điểm uốn b Dấu hiệu lồi lõm điểm uốn Định lý 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm đến cấp hai khoảng (𝑎; 𝑏) - Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) < với 𝑥  (𝑎; 𝑏) đồ thị hàm số lồi khoảng - Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) > với 𝑥  (𝑎; 𝑏) đồ thị hàm số lõm khoảng Định lý 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục lân cận điểm 𝑥0 có đạo hàm tới cấp hai lân cận Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu 𝑥 qua 𝑥0 điểm 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) điểm uốn đồ thị hàm số cho Ví dụ: Tìm khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thị hàm số: 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên: Đồ thị: 10 Truc Oy y( x) t( x) 5 10 x Truc Ox 2.2 Các dạng liên quan đến khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.1.1 Dạng 1: Bài toán tiếp xúc Ví dụ: cho hàm số 𝑦 = x 1 x 1 a Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ 𝑦 = b Tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑑1 : 𝑦 = −2𝑥 − c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 𝑑2 : 2𝑥 + 4𝑦 − = d Tiếp tuyến qua 𝑃(3; 1) Giải: a Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ 𝑦 = Ta có: y( x) solve x SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 28 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến qua điểm 𝑀(−1; 3) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y( x) k( x) ( x 1) với k ( x) d y( x) fac tor x dx ( x 1) 2 k( 1) Do đó: 1 ( x ) factor x 1 x) ( x 1cần ) tìm factor Vậyy(phương trình là:  x 1 y( x) x 2 y( x) 1 x 1 x 5 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑑1 : 𝑦 = −2𝑥 − Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 𝑦 = −2𝑥 – nên tiếp tuyến có k𝑘((𝑥1)) = −2 k ( x) solve x k ( x) solve x y( 0)  20 y( )  Vậy có phương trình tiếp tuyến cần tìm : y( 2)  y( x) 2x y( x) 2( x 2) factor x 2x c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 𝑑2 : 2𝑥 + 4𝑦 − = k ( x) solve x y( )  y( )  1 Vậy tuyến y( xcó ) phương ( x 3trình ) tiếp factor  x cần tìm x : SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 2 Trang 29 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số y( )  y( x) 1 ( x ) factor x y( x) 1 ( x ) factor x 1 x 2 1 x 2 d Tiếp tuyến qua 𝑃(3; 1) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y( x) k( x) ( x 3) y( x) k( x) ( x 3) solve x k ( 2)  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y( x) 2( x 3) factor x 2x 2.1.2 Dạng 2: Bài toán cực trị Ví dụ: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 3𝑚𝑥 + 3𝑚 + a Định m để hàm số khơng có cực trị b Định m để hàm số có cực đại cực tiểu Giải: gọi 𝑠(𝑥) ∆𝑦′ ta có: y( x) x 3x 3mx 3m 3x d y( x) dx s( x) 6x 3m 433 m 36 36m a Để hàm số khơng có cực trị Δ𝑦′ >  s( x) 0 solve m ( 1m) Vậy m > hàm số khơng có cực trị b Để hàm số có cực đại cực tiểu Δ𝑦′ >  s( x) 0 solve m ( m1) Vậy 𝑚 < hàm số có cực đại cực tiểu 2.1.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định họ đường cong (𝑪𝒎 ) qua SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 30 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 1: Tìm điểm cố định họ đường cong y  (m 1) x  m  (𝐶𝑚 ) xm2 Giải: Ta có: ( m ) x m f( x  m) x m Gọi 𝑀(𝑥, 𝑦) điểm cố định mà họ đường cong qua Gán giá trị 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑚) ta có: y( x m 2) ( m 1) x m collect  m g( x  y  m) v( x  y) ( x given v( x  y) v( x  y) y ) m y ( x 2) ( x y ) m y  ( x ) x x coeffs  m y x y y x x 0 Find( x  y) Vậy điểm cố định họ đường cong 𝑀(5; 6) Ví dụ 2: Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm ) 𝑦 = 𝑥 – (𝑚 + 1)𝑥 – (2𝑚2 – 3𝑚 + 2)𝑥 + 2𝑚 (2𝑚 − 1) Giải: Ta có: f( x m) x ( m 1)  x 2 m 3 m  x 2 m ( 2 m 1) y = x3 – (m+1 Gọi 𝑀(𝑥, 𝑦) điểm cố đinh cần tìm y = x3 – (m+1)x2 Gán giá trị 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑚) ta có: g( x y m) x ( m 1)  x g( x y m) collect m 2 m 3 m  x 2 m ( 2 m 1) ( 2 x )  m y x 3 x  m x x 2 x y x v( x  y) ( 2 x 4)  m x 3 x  m x x 2 x y coeffs  m x x 2 x y 3 x 2 x SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 31 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Given v( x  y ) v( x  y) 0 1 Find( x  y) Vậy có điểm cố định đường cong (𝐶𝑚 ) 𝑀1 (1; −2) 𝑀2 (2; 0) 2.3 Bài toán tổng hợp Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3(𝑚 + 1)𝑥 – 3(2𝑚 + 1)𝑥 + Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với 𝑚 = Tìm giá trị 𝑚 để hàm số có cực đại, cực tiểu hai điểm đối xứng qua điểm 𝐼 (0; 4) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn với 𝑚 = Giải: Khảo sát hàm số: x 3 ( m 1)  x 3 ( 2 m 1)  x y( x  m) với 𝑚 = ta có: x 6 x 9 x y( x 1) TXĐ: D = R Sự biến thiên: s( x) d y( x 1) dx s( x) 0 solve x s( x )  solve x 3x 12x ( 1x) ( x 3) x 3 x Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (3; +∞) Cực trị: h( x) d s( x) dx SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 6x 12 Trang 32 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số h( x) d s( x) dx 6x 12 s( x) solve x h( 1)  h( 3)  y(  )  y(  1)  Hàm số đạt cực đại 𝑥 = 𝑦𝐶𝐷 = Hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = 𝑦𝐶𝑇 = Giới hạn: lim y( x  ) x   lim y( x  ) x   Hàm số cho khơng có tiệm cận Bảng biến thiên: Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị h( x) solve x y(  1)  Điểm uốn 𝐼(2; 2) Đồ thị: SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 33 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Truc Oy y( x  ) 6 x Truc Ox Để hàm số có cực đại cực tiểu  y'  Gọi 𝑔(𝑥, 𝑚)  y ' ta được: s( x  m) g( x) 3x ( 3m 3) g( x) 0 solve m 2( 3m 3) x 6m d y( x  m) dx 3( 6m 3) factor m m 2 y(  m) 36m 18 2 m Vậy hàm số đạt cực tiểu 𝑚 < −2 − s( x  m) solve x 9m 𝑚 > −2 − 2m 3m y( 2m  m) factor m 4m 3m Tọa độ cực đại cực tiểu 𝑀1 (1; − 3𝑚) 𝑀2 (2𝑚 + 1; 4𝑚3 – 3𝑚 + 3) Cực đại cực tiểu đối xứng với qua 𝐼(0; 4) nên 𝐼 trung điểm 𝑀1 𝑀2 Ta có: 2m factor m SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 2m solve m Trang 34 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số (3 m) m m solve m 1 2 1  𝑚 = −1 Vậy 𝑚 = − hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm đối xứng với qua 𝐼(0; 4) Phương trình tiếp tuyến U (2;2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: 𝑦 = 𝑓’(𝑥0 )(𝑥 – 𝑥0 ) + 𝑦0 Ta có: y( x  1) x x x s( x) s ( 2) d y( x 1) dx 3x 12x Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y( x) 3( x 2) factor x 3x Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥 – 3𝑚𝑥 + 2(𝑚 − 1)𝑥 + 2(𝐶𝑚 ) Chứng minh họ đường cong qua điểm cố đinh Cho 𝑚 = 1, viết phương trình tiếp tuyến với (𝐶𝑚 ) điểm uốn chứng tỏ tiếp tuyến (𝐶𝑚 ) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Giải Chứng minh họ đường cong qua điểm cố định : Ta gọi 𝑓(𝑥, 𝑚) họ đường cong Ta có: f( x m) mx 3mx 2( m 1) x Gọi Mi(x,y) ( i =1 3) điểm mà họ đường cong qua SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 35 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Gán giá trị g(x,y,m) ta g( x y m) mx 3mx 2( m 1) x y 2x x g( x  y  m) collect m v( x  y) 3x m y 2x 3 x x x m y x coeffs m y x x x 3 x given v( x  y) 0 v( x  y) v( x  y) 1 find( x  y) 2 Vậy họ đường cong qua điểm 𝑀1 (0; 2) ; 𝑀2 (1; 0); 𝑀3 (2; −2) 3số trở thành: 2 Khi 𝑚 = hàm y( x m) mx 3mx 2( m 1) x y( x 1) x 3x s( x) d y( x 1) dx 3x h( x ) d s( x) dx 6x h( x) solve x 6x y(  1)  Điểm uốn cần tìm 𝐼(1; 0) Hệ số góc: s( 1)  Phương trình tiếp tuyến qua điểm uốn có dạng: y( x) 3( x 1) factor x 3x BXD: SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 36 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số  𝑚𝑖𝑛 𝑦’ = −3 𝑡ạ𝑖 𝑥 = −1 Vậyhệ số góc điểm uốn nhỏ Bài 3: Cho hàm số y  x cost  sin t  (𝑡 tham số) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 𝑡 = 𝜋 Tìm điều kiện t để hàm số có tiệm cận xiên Giải y( x  t) x cos( t) 2sin( t) x Khi 𝑡 = 𝜋 ta có: y( x   ) x ( x 2) x solve x TXĐ: 𝐷 = 𝑅 \{2} Sự biến thiên: s( x) d y( x   ) factor x dx ( x 2) ( x( x )2 ) 3 h fac tor 2 3 h factor 2 3 y2   factor y2   factor SVTH: Huỳnh Thị Cảnh 66 dd factor hh((xx)) d xss( (xx) )factor  x x dx s ( x) solve x x x 2 2 Trang 37 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Vậy hàm số đạt cực đại 𝑥 = + 𝑦𝐶𝐷 = −2 − hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = − 𝑦𝐶𝑇 = − Bảng biến thiên: Tiệm cận: lim y( x   ) + x  Hàm số có tiệm cận đứng x = lim y( x   ) x   Hàm số khơng có tiệm cận ngang lim x  y( x   ) x lim y( x   ) x  x Hàm số có tiệm cận xiên: t( x ) x Đồ thị: Truc Oy 10 y( x   ) t( x) 10 10 10 x Truc Ox SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 38 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Để hàm số có tiệm cận xiên: x cos( t) 2sin( t) x y( x  t) Xét g( x t) x cos( t) 2sin( t) Để hàm số có tiệm cận xiên ta phải có: cost   g (2, t )  Ta có: cos( t) solve t 1  4cos( t) 2sin( t) g(  t) 2atan 1 19 3 2atan 1 19 3 g(  t) solve t Vậy 𝑡 ≠  2 𝑡 ≠ 𝑎𝑡𝑎𝑛 (  19 ) , 𝑡 ≠ 𝑎𝑡𝑎𝑛(  19 ) đồ thị 3 3 hàm số có tiệm cận xiên SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 39 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.4 Một số toán tham khảo Bài 1: Cho hàm số y  x  (m  1) x  m  xm Chứng minh đồ thị hàm số ln có cực đại cực tiểu với 𝑚 Định m để hai cực trị nằm hai phía trục hồnh Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 + (1 − 2𝑚)𝑥 + (2 − 𝑚)𝑥 + 𝑚 + Định m để hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Bài 3: Cho hàm số y   x2  x  có đồ thị (𝐶) x 1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (𝐶) a Tại giao điểm (𝐶) với trục tung b Tại giao điểm (𝐶) với trục hoành c Biết tiếp tuyến qua điểm 𝐴(1; −1) d Biết hệ số góc tiếp tuyến 𝑘 = 13 Bài 4: : Cho hàm số y  x  x 1 có đồ thị (𝐶) x2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (𝐶) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (𝐶) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên đồ thị (𝐶) Bài 5: Chứng minh đồ thị hàm số (𝐶𝑚 ) 𝑦 = (𝑚 + 3)𝑥 − 3(𝑚 + 3)𝑥 − (6𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚 + qua điểm cố định Bài 6: Cho hàm số y  2x  (6  m) x  có đồ thị (𝐶𝑚 ) mx  Chứng minh đồ thị (𝐶𝑚 ) qua điểm cố định m thay đổi SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 40 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu tìm hiểu, đến luận văn hồn thành đạt số kết sau: Kết Đề tài đạt nhiệm vụ đề ban đầu:  Khai thác số tính phần mềm toán học Mathcad  Thêm phương pháp giúp giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan cách dễ dàng Hạn chế Tuy nhiên, đề tài nhiều hạn chế thiếu sót:  Chưa làm bật sử dụng hết ưu điểm phần mềm toán học Mathcad  Số lượng tập hạn chế Hướng phát triển Trong tương lai đề tài phát triển thêm:  Khai thác thêm nhiều tính khác phần mềm toán học Mathcad để giải thêm nhiều vấn đề chương trình tốn Trung học phổ thơng  Mở rộng thêm dạng tốn liên quan đến toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Với kết đạt được, hi vọng góp phần nhỏ việc giải tốn chương trình Giải tích 12 SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang 41 Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Quốc Anh (2002) Tuyển tập 230 toán khảo sát chọn lọc Nhà xuất Đà Nẵng [2] Hồng Văn Đặng (2002) Mathcad 2002 Giải trình tốn học.Nhà xuất Trẻ [3] Lê Thị Bích Hồng (2008) Giáo trình lập trình tốn học Đại học Đà Nẵng [4] Ngô Trúc Lanh (chủ biên), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn(2000) Giải tích 12 Nhà xuất Đà Nẵng [5] Nguyễn Vũ Thanh (1997) Chuyên đề nâng cao Giải tích 12 Nhà xuất Đà Nẵng SVTH: Huỳnh Thị Cảnh ... tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan SVTH: Huỳnh Thị Cảnh Trang Sử dụng Mathcad Professional để giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chương 1: NGHIÊN... Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD Trong chương này, giải số dạng toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Mathcad Ở dạng, giải vài tập mẫu, cịn tương tự ta việc thay tham số tương...