Đồ thị hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất I Lí thuyết 1 Đồ thị hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất y = ax + b với a 0 có đồ thị là một đường thẳng Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;[.]
Đồ thị hàm số bậc cách vẽ đồ thị hàm số bậc I Lí thuyết Đồ thị hàm số bậc Hàm số bậc y = ax + b với a có đồ thị đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b; - Song song với đường thẳng y = ax b ≠ 0; trùng với y = ax b = Kí hiệu d: y = ax + b Cách vẽ đồ thị hàm số bậc Xét đường thẳng d: y = ax + b với a Bước 1: Xét hệ số b - Nếu b = ta có d: y = ax qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A(1; a) −b - Nếu b d qua hai điểm A(0; b) B ;0 a Bước 2: - Nếu b = 0, ta vẽ đường thẳng d qua hai điểm O(0; 0) A(1; a) Đường thẳng d đồ thị hàm số −b - Nếu b ≠ 0, ta vẽ đường thẳng qua hai điểm A(0; b) B ;0 Đường a thẳng d đồ thị hàm số Chú ý - Trục tung đường thẳng x = - Trục hoành đường thẳng y = II Các dạng tập Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải: Xét đường thẳng d: y = ax + b với a - Nếu b = ta có d: y = ax qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A(1; a) −b - Nếu b d qua hai điểm A(0; b) B ;0 a Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x b) y = x - c) y = 2x – Lời giải: a) Xét đường thẳng d: y = 2x có b = Vậy d qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A(1; a) Với a = nên d qua A(1; 2) Ta có đồ thị hình vẽ b) Xét đường thẳng d: y = x – có b = -1 Cho y = x = A(1; 0) Cho x = y = -1 B(0; -1) Vậy đường thẳng d qua hai điểm A B có đồ thị hình vẽ c) Xét đường thẳng d: y = 2x – có b = -3 Cho x = y = -3 A(0; -3) Cho y = x = 3 B ;0 2 Vậy đường thẳng d qua đểm A B nên ta có đồ thị Dạng 2: Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + b M(m, n) với a Cách 1: Ta biểu diễn điểm M đồ thị hàm số d: y = ax +b hệ trục tọa độ Nếu điểm M thuộc đồ thị hàm số điểm nằm đường thẳng d Nếu điểm M không thuộc đồ thị hàm số điểm M khơng nằm đường thẳng d Cách 2: Ta thay tọa độ điểm M vào hàm số Nếu am + b = n M thuộc đồ thị hàm số Nếu am + b n M khơng thuộc đồ thị hàm số Ví dụ 1: Xét điểm M(2; 1); N(3; -4); P(3; 2) có thuộc đồ thị hàm số y = 2x 10 hay không? Lời giải: - Xét điểm M(2; 1) Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.2 – 10 = – 10 = -6 nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số - Xét điểm N(3; -4) Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.3 – 10 = – 10 = -4 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số - Xét điểm P(3; 2) Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.3 – 10 = -4 nên điểm P không thuộc đồ thị hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số y = -2x + điểm A(3; -2); B(3; 2); C(1; 2) Bằng phương pháp vẽ đồ thị xác định điểm A; B; C có thuộc đồ thị hàm số cho không? Lời giải: Xét d: y = -2x + Cho x = y = M(0; 4) Cho y = x = N(2; 0) Vậy d: y = -2x + qua hai điểm M,N Ta vẽ d điểm A, B, C hệ trục tọa độ: Từ hình vẽ ta thấy A C thuộc đồ thị hàm số Điểm B không thuộc đồ thị hàm số Dạng 3: Xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng d: y = ax + b d’: y = a’x + b’ với a, a’ Để tìm tọa độ giao điểm d d’ ta làm sau: Cách 1: Phương pháp đại số: Bước 1: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d’ ax + b = a’x + b’ Bước 2: Từ phương trình hồnh độ giao điểm ta tìm x, thay x vào d d’ để tìm y Bước 3: Kết luận giao điểm Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ Bước 1: Vẽ d d’ hệ trục tọa độ Bước Từ hình vẽ xác định tọa độ giao điểm Bước 3: Kết luận giao điểm Ví dụ 1: Bằng phương pháp đại số xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng sau d: y = 3x + d’: y = 2x – Lời giải: Gọi A tọa độ giao điểm Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d’ 3x +1 = 2x – 3x – 2x = -1 – x = -4 y = 3.(-4) + = -12 + = -11 Vậy tọa độ giao điểm d d’ A(-4; -11) Ví dụ 2: Bằng phương pháp tọa độ xác định giao điểm d: y = x +1 d’: y = -2x + Lời giải: - Xét đường thẳng d: y = x + Cho x = y = A(0; 1) Cho y = x = -1 B(-1; 0) Vậy d đường thẳng qua A(0; 1) B(-1; 0) - Xét đường thẳng d’: y = -2x + Cho x = y = A’(0; 3) Cho y = x = x = 3 B' ;0 2 3 Vậy d’ qua hai điểm A’(0; 3) B' ;0 2 Vẽ d d’ hệ trục tọa độ 5 Từ đồ thị ta thấy tọa độ giao điểm d d’ điểm M ; 3 Dạng 4: Xét tính đồng quy ba đường thẳng - Ba đường thẳng phân biệt qua điểm ta nói ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Xét tính đồng quy ba đường thẳng Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm hai ba đường cho Bước 2: Kiểm tra xem giao điểm vừa tìm có thuộc đường thứ ba hay khơng Nếu thuộc đường thứ ba ba đường thẳng đồng quy, khơng thuộc đường thứ ba ba đường thẳng khơng đồng quy Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng d1 : y = 4x – 3; d : y = 3x – 1; d3 : y = x + Hỏi d1 ; d ; d3 có đồng quy hay khơng? Lời giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d ta có: 4x – = 3x – 4x − 3x = − x=2 y = 2.4 – = Tọa độ giao điểm d1 , d A(2; 5) Thay x = vào d3 ta được: y=2+3=5 A(2; 5) d3 Vậy ba đường thẳng d1 , d , d3 đồng quy Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng d1 : y = 2x – 4; d : y = mx + 2; d3 : y = x + Tìm m để d1 ; d ; d3 đồng quy Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d3 là: 2x – = x + 2x − x = + x =5 y = + = Tọa độ giao điểm d1 d3 A(5; 6) Để d1 ; d ; d3 đồng quy A phải thuộc d Thay x = 5; y = vào d ta được: = 5m +2 5m = − 5m = m= Vậy m = d1 , d , d3 đồng quy Dạng 5: Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng cho trước Phương pháp giải: Để tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d không qua O ta có bước sau: Bước 1: Tìm A B giao điểm d với Ox Oy Bước 2: Gọi H hình chiếu vng góc O lên d Khi OH khoảng cách O đến d Với tam giác OAB vuông O có OH đường cao ta có: 1 = + 2 OH AO BO2 Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = x – Tính khoảng cách từ O đến d Lời giải: Cho x = y = -1 A(0; -1) thuộc Oy Cho y = x = B(1; 0) thuộc Ox Gọi H hình chiếu O lên d: Ta có hình vẽ: Từ hình vẽ ta có: |OA| = |-1| = |OB| = |1| = Tam giác OAB vuông O có: 1 = + 2 OH AO BO2 1 = + OH2 12 12 =2 OH2 OH = OH = 2 Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d (đơn vị độ dài) Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d: y = 2x – Lời giải: Cho x = y = -3 A(0; - 3) thuộc Oy Cho y = x = 3 B ;0 thuộc Ox 2 |OA| = |-3| = |OB| = 3 = 2 Gọi H hình chiếu vng góc O lên d Tam giác OAB vng O ta có: 1 = + 2 OH AO BO2 1 = + OH2 9 = OH OH = OH = 5 Vậy khoảng cách từ O đến d (đơn vị độ dài) Dạng 6: Tìm điểm cố định đường thẳng khơng phụ thuộc vào tham số Phương pháp giải: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a 0) phụ thuộc vào tham số m với m tham số hệ số a, b Điểm I ( x ; y ) gọi điểm cố định d với m, I thuộc d Các bước tìm điểm cố định Bước 1: Gọi I ( x ; y ) điểm cố định d ln qua Khi y0 = a x0 + b với m Bước 2: Biến đổi y0 = a x0 + b dạng A ( x ; y ) m + B ( x ; y ) = A ( x ; y0 ) m2 + B ( x ; y0 ) m + C ( x ; y0 ) = với m A ( x ; y0 ) = A ( x ; y0 ) = B ( x ; y0 ) = B ( x ; y0 ) = C ( x ; y ) = Bước 3: Giải x , y0 Bước 4: Kết luận điểm I vừa tìm Ví dụ : Tìm điểm cố định mà đường thẳng d: y = (1-2m)x + m Lời giải: Điều kiện: − 2m m Gọi I ( x ; y ) điểm cố định d qua (1 − 2m ) x + m − = y0 m (1 − 2x ) + x − − y0 = 1 − 2x = x − − y0 = 2x = x − − y0 = x = 1 − − y = 0 2 x = y0 = −3 1 Vậy I ; −3 điểm cố định mà d qua 2 Dạng 7: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Sử dụng công thức học hàm số, đồ thị àm số kết hợp với vẽ đồ thị hàm số để sử dụng tính chất hình học tam giác vuông, tam giác cân, định lý Py – ta – go, hệ thức lượng tam giác vng… Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m + cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B cho OA = OB Lời giải: Cho x = y = m + B(0; m +1 ) thuộc Oy Cho y = x = −m − −m − A ;0 thuộc Ox OB = |m +1 | OA = −m − Ta có: OA = OB −m − = m +1 TH1: −m − = m +1 −m − = 2m + 3m = −3 m = −1 TH2: −m − = −m − −m − = −2m − m = −1 Vậy m = -1 OA = OB Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = mx + (m 0) Biết d cắt hai trục Ox Oy hai điểm A B Tìm m để diện tích tam giác OAB Lời giải: Cho x = y = B(0; 1) thuộc Oy Cho y = x = −1 −1 A ;0 thuộc Ox (với điều kiện m đề bài) m m OB = |1| = OA = −1 m Vì tam giác OAB vuông O SOAB = OA.OB −1 SOAB = = m −1 =2 m TH1: −1 =2 m m= TH2: −1 −1 = −2 m m= Vậy m = −1 m = diện tích tam giác OAB 2 III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đường thẳng d: y = 3x + a) Vẽ d hệ trục tọa độ b) Các điểm A(1; 5); B(2; -4); C(2; 8) điểm thuộc đồ thị hàm số d Bài 2: Cho hai đường thẳng d: 2x + 3y +1 = d’: y = 3x – Không vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm có d d’ Bài 3: Các đường thẳng sau có đồng quy khơng? Vì sao? a) d1 : y = 3x + 1; d : y = -x; d3 : y = x + b) d1 : x + y – = 0; d : y = 3x +5; d3 : y = x − y + = 3 Bài 4: Cho ba đường thẳng d1 : y = 3mx + 1; d : y = 2x – 3; d3 : x + 2y = Tìm m để d1 ; d ; d3 đồng quy Bài 5: Cho đường thẳng d: y = (2m +1)x + 3m – Chứng minh d qua điểm cố định, tìm điểm cố định Bài 6: Cho đường thẳng d: y = 2x + Tính khoảng cách từ O đến d Bài 7: Cho đường thẳng d: y = 3x + m – Tìm m để khoảng cách từ O đến d Bài 8: Cho đường thẳng d: y = 3x – Biết d cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B Tính diện tích tam giác OAB Bài 9: Cho đường thẳng d: y = (2m-1) x + Tìm m để tam giác OAB tam giác cân Bài 10: Cho hai đường thẳng d: y = 2x - d’: y = 4x – Bằng phương pháp đồ thị xác định giao điểm d d’ Bài 11: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3m + Biết d cắt hai trục Ox; Oy hai điểm A; B Tìm m để diện tích tam giác OAB Bài 12: Cho đường thẳng d: y = -4x + a) Vẽ đồ thị hàm số cho b) Tính khoảng cách từ O đến d c) Tính diện tích tam giác OAB với A, B giao điểm d với Ox, Oy ... M không thuộc đồ thị hàm số điểm M khơng nằm đường thẳng d Cách 2: Ta thay tọa độ điểm M vào hàm số Nếu am + b = n M thuộc đồ thị hàm số Nếu am + b n M khơng thuộc đồ thị hàm số Ví dụ 1: Xét... không thuộc đồ thị hàm số Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + b M(m, n) với a Cách 1: Ta biểu diễn điểm M đồ thị hàm số d: y = ax +b hệ trục tọa độ Nếu điểm M thuộc đồ thị hàm số điểm nằm... hàm số ta có: y = 2.3 – 10 = – 10 = -4 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số - Xét điểm P(3; 2) Thay x = vào hàm số ta có: y = 2.3 – 10 = -4 nên điểm P khơng thuộc đồ thị hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số