Một số ứng dụng của phép chiếu để giải bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN ĐOÀN THẢO NGUYÊN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN ĐOÀN THẢO NGUYÊN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 LỜI CAM ĐOAN Toàn nội dung trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, hồn thành hướng dẫn TS.Phạm Quý Mười Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy, rõ nguồn gốc trích dẫn Đóng góp tơi tổng hợp tài liệu, trình bày thêm ví dụ minh hoạ Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Trần Đồn Thảo Nguyên LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phạm Quý Mười tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Tốn giải tích K34-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Trần Đoàn Thảo Nguyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN Rn CHUẨN 1.2 TẬP LỒI, HÀM LỒI 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 1.3 PHÉP CHIẾU LÊN TẬP LỒI 13 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU 17 2.1 BÀI TOÁN TỐI ƯU 17 2.1.1 Mô tả toán tối ưu 17 2.1.2 Sự tồn nghiệm điều kiện nghiệm 17 2.2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ 21 24 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 29 3.1 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 29 3.1.1 Mô tả toán 29 3.1.2 Tính đơn điệu 29 3.1.3 Sự tồn nghiệm điều kiện nghiệm 30 MỤC LỤC 3.2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 32 3.3 MỘT SỐ VÍ DỤ 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 DANH MỤC Danh mục Rn ∀x x x, y V I(F, C) CP (F, C) ký hiệu: Không gian Euclide n-chiều Với x Chuẩn vectơ x Tích vơ hướng hai vectơ x, y Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bù phi tuyến Danh mục bảng: Số hiệu bảng 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 Tên bảng Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (1, 1) Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 1) Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = 0, 4, 0) Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 0) Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 0) Trang 26 28 38 39 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân Những năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải, có phương pháp dựa vào cách tiếp cận điểm bất động Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Một cách tiếp cận điểm bất động dựa phương pháp chiếu Với lí trên, hướng dẫn TS Phạm Quý Mười, chọn nghiên cứu đề tài: "Một số ứng dụng phép chiếu để giải toán tối ưu bất đẳng thức biến phân." Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, cố gắng lĩnh hội kiến thức phép chiếu,bài toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng phép chiếu để giải hai dạng 35 2γ ∀k ≥ 0, (3.4) L2 a, b số dương Khi đó, dãy số xk xác định Thuật toán 3.2.1 Nếu x∗ nghiệm tốn V I(F, C) dãy xk hội tụ tuyến tính tới x∗ Hơn tốc độ hội tụ xác định bởi: µk+1 k+1 ∗ x0 − x1 , (3.5) x −x ≤ 1−µ và: µk k+1 ∗ xk+1 − xk , ∀k ≥ 0, (3.6) x −x ≤ 1−µ đó: µ := ∈ (0, 1) (3.7) + a(2γ − bL2 ) < a ≤ λk ≤ b < Chứng minh Từ (3.4), suy rằng: + λk (2γ − L2 λk ) ≥ + a(2γ − L2 b) > 1, ∀k ≥ Kết hợp điều với Định lý 3.2.1, ta nhận được: + a(2γ − L2 b) xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ , ∀k ≥ Khi đó, xk+1 − x∗ ≤ µ xk − x∗ , ∀k ≥ 0, (3.8) với µ ∈ (0, 1) xác định (3.7) Tính chất (3.8) kéo theo tốc độ hội tụ tuyến tính tới x∗ xk Hơn nữa, theo (3.8), ta có: xk+1 − x∗ ≤ µ xk − x∗ ≤ µ2 xk−1 − x∗ ≤ ≤ µk+1 x0 − x∗ Khi đó, ta có: xk − x∗ ≤ xk+1 − xk + xk+1 − x∗ ≤ xk+1 − xk + xk − x∗ , vậy: xk − x∗ ≤ xk+1 − xk , ∀k ≥ 1−µ Suy ra: xk+1 − x∗ ≤ µk+1 x0 − x∗ ≤ µk+1 x0 − x1 , 1−µ 36 xk+1 − x∗ ≤ µ xk − x∗ ≤ µ xk+1 − xk 1−µ Định lý chứng minh Tại bước lặp k Thuật toán 3.2.1., tham số λk thường gọi độ dài bước lặp Khi a = b = λk , độ dài bước không đổi xác định bởi: 2γ λ ∈ 0, L Khi đó, hệ số co µ thuật tốn lặp xác định bởi: µ= + λ(2γ − λL2 ) Dễ nhận thấy hệ số µ nhỏ dãy lặp xk hội tụ nhanh tới nghiệm x∗ xét µ hàm số theo ẩn λ, ta có µ nhỏ λ = λ∗ = γ L2 Khi đó, hệ số co nhỏ xác định bởi: L µ = µ∗ = L2 + γ Bây giờ, ta giả sử hệ số µ xác định (3.5) hàm theo hai biến số a b, hay µ = µ(a, b) xác định miền: 2γ L2 Để đơn giản, đặt b = ta, t ∈ [1, +∞) cố định Dễ dàng nhận thấy γ2 µ(a, b) = µ(a, ta) đạt giá trị cực tiểu điểm tL2 Mặt γ2 (a, b) : < a ≤ b < D= 1+ tL2 khác:      1+ γ2 tL2    L : t ∈ [1, +∞) =   L +γ Như vậy, ta kết luận rằng: {µ(a, b) : (a, b) ∈ D} = L L2 + γ đạt điểm: γ2 γ2 (a , b ) = , tL2 tL2 Như ta biết, ánh xạ F đơn điệu mạnh với số γ > ∗ ∗ 37 F giả đơn điệu với số γ > Khi đó, ta có hệ sau Hệ 3.2.3 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng Rn , F : C → Rn đơn điệu mạnh với số γ > liên tục Lipschitz với sô L > Chọn dãy lặp λk thỏa mãn: 2γ < a ≤ λk ≤ b < , ∀k ≥ 0, L Trong đó, a, b số dương Khi đó, dẫy số xk xác định Thuật tốn 3.2.1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm x∗ toán V I(F, C) với sai số tính tốn xác định (3.6), (3.7) Định lí 3.2.4 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng Rn , F : C → Rn giả đơn điệu mạnh với số γ > liên tục Lipschitz với số L > Chọn dãy số dương λk thỏa mãn: ∞ lim λk = 0, k→∞ λk = +∞ k=0 Giả sử tốn V I(F, C) có nghiệm x∗ Khi đó, dãy số xk xác định Thuật toán 3.2.1 hội tụ tới x∗ Hơn nữa, tồn k0 cho: λk (2γ − λk L2 ) > 0, xk+1 − x∗ ≤ xk0 − x∗ , k [1 + λi (2γ − λi L2 )] i=k0 ∀k ≥ k0 3.3 MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 3.3.1 Xét tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C), F (x) = Ax + b, b = (2, 3) và: A = −1 , C = {x ∈ Rn : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 4} Lời giải Ta chứng minh hàm f hàm đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh β = L = 8, 0766 Chọn λk = 0, Khi đó, điều kiện 38 ≤ a ≤ λk ≤ b < L2β2 thỏa mãn Áp dụng Thuật toán chiếu lần vào giải tốn nói ta kết Điều kiện dừng thuật toán xk+1 − xk ≤ với = 10−4 Bước 0: Chọn x0 = (2, 2) Đặt k = Bước 1: Tính giá trị x1 = P rC (x0 − 0, ∗ F (x0 )) = (1, 0, 5) Ta có x1 − x0 = 1, 8028 > nên chuyển sang Bước Bước 2: Tính giá trị x2 = P rC (x1 − 0, ∗ F (x1 )) = (0, 65, 0, 1) Ta có x2 − x1 = 0, 5315 > nên chuyển sang Bước Bước 3: Tính giá trị x3 = P rC (x2 − 0, ∗ F (x2 )) = (0, 5150, 0) Ta có x3 − x2 = 0, 1680 > nên chuyển sang bước Tiếp tục trình trên, ta thu kết bảng Bước k k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k=10 k=11 k=12 k=13 k=14 xk (2, 2) (1, 0,5) (0,65, 0,1) (0,515, 0) (0,4575, 0) (0,4288, 0) (0,4144, 0) (0,4072, 0) (0,4036, 0) (0,4018, 0) (0,4009, 0) (0,4004, 0) (0,4002, 0) (0,4001, 0) (0,4001, 0) xk+1 − xk 1,8028 0,5315 0,1680 0,0575 0,0287 0,0144 0,0072 0,0036 0,0018 8, 9844.10−4 4, 4922.10−4 2, 2461.10−4 1, 123.10−4 5, 6152.10−5 Bảng 3.1: Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 4, 0) Ví dụ 3.3.2 Miền ràng buộc C hàm xác định C cho bởi: C = x ∈ R2 : x ≤ α, F (x) = (β − x )x, 2(β−α) α = 23 , β = λk = λ ∈ 0, (α+2β) Dễ dàng tính 39 tập nghiệm toán V I(F, C) Sol(F, C) = {(0, 0)} Theo Ví dụ 3.3.1, F liên tục Lipschitz với số L = α + 2β giả đơn điệu mạnh C với số γ := β − α Nhưng F không đơn điệu C Lời giải Ta chứng minh hàm f hàm đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh β = L = α + 2β = 5, Chọn λk = 0, 03 Khi đó, điều kiện ≤ a ≤ λk ≤ b < L2β2 thỏa mãn Áp dụng Thuật tốn chiếu lần vào giải tốn nói ta kết Bước 0: Chọn x0 = (0, 5, 1) Đặt k = Bước 1: Tính giá trị x1 = P rC (x0 − 0, 03 ∗ F (x0 )) = (0, 4868, 0, 9735) Ta có x1 − x0 = 0, 0296 > nên chuyển sang Bước Bước 2: Tính giá trị x2 = P rC (x1 − 0, 03 ∗ F (x1 )) = (0, 4735, 0, 9469) Ta có x2 − x1 = 0, 0297 > nên chuyển sang bước Bước 3: Tính giá trị x3 = P rC (x2 − 0, 03 ∗ F (x2 )) = (0, 4601, 0, 9202) Ta có x3 − x1 = 0, 0299 > nên chuyển sang bước Tiếp tục trình trên, ta thu kết bảng Dãy xk hội tụ tới nghiệm x∗ = (0, 0) Bước k k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 xk (0,5, 1) (0,4868, 0,9735) (0,4735, 0,9469) (0,4601, 0,9202) (0,4467, 0,8934) (0,4333, 08665) (0,4199, 0,8397) (0,4065, 0,8130) (0,3932, 0,7864) (0,3800, 0,7599) xk+1 − xk 0,0296 0,0297 0,0299 0,03 0,03 0,03 0,0299 0,0297 0,0296 Bảng 3.2: Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 0) 40 Tuy nhiên, thay đổi độ dài bước λk = 0, thực tương tự tốc độ thuật tốn thay đổi với kết chi tiết bảng sau: Bước k k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 xk (0,5, 1) (0,3677, 0,7354) (0,3481, 0,6962) (0,2378, 0,4756) (0,1330, 0,2661) (0,0651, 0,1302) (0,0289, 0,0578) (0,0121, 0,0242) (0,0049, 0,0099) (0,0020, 0,0040) xk+1 − xk 0,2958 0,0438 0,2466 0,2342 0,1519 0,0809 0,0376 0,0160 6, 5.10−3 Bảng 3.3: Nghiệm tối ưu toàn cục x∗ = (0, 0) 41 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau 1.1 Nghiên cứu tốn tối ưu có điều kiện phương pháp chiếu để tìm nghiệm xấp xỉ toán 1.2 Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu để tìm nghiệm xấp xỉ toán 1.3 Áp dụng giải thuật nghiên cứu để giải toán toán cụ thể Hướng phát triển luận văn Thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau 2.1 Tìm số phương pháp chiếu khác để giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu hai lần, phương pháp chiếu siêu phẳng 2.2 Có thể sử dụng phương pháp chiếu để giải toán tối ưu bất đẳng thức biến phân phức tạp 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông [2] Trần Việt Anh (2018), Các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận suy tách suy rộng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Điền (2001), Một số vấn đề thuật toán, Nhà xuất Giáo dục [4] Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Tiếng Anh [5] Svaiter B.F., Teboulle M., Iusem A.N (1994) Entropy-like proximal methods in covex programming Math Oper Res ... tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm 3.2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Trong mục này, chúng tơi nghiên cứu thuật tốn chiếu lần giải toán bất đẳng thức. .. nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân Những năm gần đây, toán bất đẳng. .. số phương pháp chiếu khác để giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu hai lần, phương pháp chiếu siêu phẳng 2.2 Có thể sử dụng phương pháp chiếu để giải toán tối ưu bất đẳng thức biến