1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Áp dụng mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

34 1,6K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 34
Dung lượng 599,43 KB

Nội dung

Áp dụng mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trang 1

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích đề tài 3

2.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Các phương pháp nghiên cứu 3

4 Nội dung đề tài: 4

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 4

1.1 Khảo sát hàm số 4

1.1.1 Tập xác định 5

Ví dụ tìm tập xác định của hàm số y= 3 x+1 4 x2 −5 x+1 5

1.1.2 Sự biến thiên của hàm số 5

1.1.2.2 Tính đơn điệu của hàm số 6

1.1.2.3 Điểm tới hạn 6

1.1.3 Cực đại và cực tiểu 7

1.1.3.1 Định nghĩa 7

1.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị 7

1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị 7

1.1.3.3.1 Dấu hiệu 1 7

1.1.3.3.2 Dấu hiệu 2 9

1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số 9

1.1.4.1 Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn 9

1.1.4.2 Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn 10

1.1.5 Tiệm cận 11

1.1.5.1 Định nghĩa 11

1.1.5.2 Cách xác định tiệm cận 11

1.1.5.2.1 Tiệm cận đứng 11

1.1.5.2.2 Tiệm cận ngang 12

1.2 Phần mềm toán học Mathcad 12

1.2.1 Giới thiệu 12

1.2.2 Các phép tính toán trong Mathcad 12

1.2.2.1 Giải phương trình và bất phương trình 13

1.2.2.2 Giới hạn hàm số tại một điểm 13

Trang 2

1.2.2.3 Đạo hàm 13

1.2.2.4 Vẽ đồ thị 14

Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 18

I khảo sát một số bài toán: 18

Chương 3: KẾT LUẬN 34

3.1 Đánh giá 34

3.2 Hướng phát triển của đề tài 34

1 Lí do chọn đề tài

Trang 3

Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học - kỹ thuật , thì việc sử dụngcông nghệ thông tin vào dạy học là điều tất yếu và rất cần thiết Có rấtnhiều công cụ để hổ trợ cho việc giảng dạy, và Mathcad là một trong số đó.Trong khuôn khổ đề tài này, em xin trình bày việc : “Áp dụng Mathcad đểgiải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ”.

Mathcad là một phần mềm tính toán mạnh và có giao diện rất thânthiện với word, nó dễ sử dụng và tính toán khá nhanh Nó có thể giải cácbài toán về phương trình, hệ phương trình, tính toán các đạo hàm và tíchphân một cách nhanh nhất Bên cạnh đó, nó cũng cung cấp cho ta một công

cụ vẽ đồ thị một cách nhanh chóng và chính xác nhất Chính vì vậy nó rấtthích hợp cho việc giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hàm số làmột chủ đề không dễ dạy và nó được xem là then chốt trong chương trìnhtoán học giải tích 12, vẽ và khảo sát hàm số luôn được xem là một vấn đềquan trọng và là một phần không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp và đạihọc

Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thể giải dễ dàng vànhanh chóng các bài toán khảo sát hàm số,em đã nghiên cứu đề tài này, đềtài: “ Áp dụng Mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số “

2 Mục đích đề tài

Giới thiệu một trong các phương pháp hổ trợ giảng dạy toán học cóhiệu quả của máy tính là áp dụng phần mềm Mathcad để giải bài toán khảosát và vẽ đồ thị hàm số

2.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

hàm số trong chương trình giải tích 12

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

 thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy để học sinh thấy

được sự hấp dẫn, hứng thú với các dạng khảo sát hàm số

 Giúp học sinh thực hiện các bài toán khảo sát hàm số một

cách nhanh nhất và giúp rút ngắn bớt thời gian

3 Các phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng học sinh, nắm bắtđược kiến thức của học sinh,những khó khăn và thắc mắc củahọc sinh đối với những bài toán khảo sát hàm số

 Phương pháp tổng hợp: kết hợp kinh nghiệm của bản thân với sựgóp ý của các thầy cô giáo cộng với thực tế diễn ra trên lớp học

Trang 4

 Phương pháp thực nghiệm: khi giảng dạy một dạng bài toánkhảo sát hàm số cần phải thử nghiệm qua các lớp khác nhau thìmới rút ra những kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau.

 Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu, tìm hiểunhững kết quả thảo luận với các thầy cô giáo và tìm hiểu thêmtrên internet, qua sách vở

4 Nội dung đề tài:

Trang 5

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

1.1 Khảo sát hàm số

Để thực hiện một bài toán khảo sát hàm số, ta cần phải lần lượtthực hiện qua các bước Đầu tiên ta phải đi tìm tập xác định củahàm số

bước thứ 2 là khảo sát sự biến thiên của hàm số:

1.1.2 Sự biến thiên của hàm số

1.1.2.1 Định nghĩa hàm số đồng biến,nghịch biến

Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,b).

 Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng )trên khoảng(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:

x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2)

 Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay giảm) trên khoảng(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:

x1>x2 ⇒ f(x1)>f(x2)

Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm

số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này

Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi làbảng biến thiên của hàm số

Trang 6

Hàm số đồng biến trên (a;b)

Hàm số nghịch biến trên (a;b)

1.1.2.2 Tính đ n đi u c a hàm s ơn điệu của hàm số ệu của hàm số ủa hàm số ố

Định lý Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu f’(x) ¿ 0 (hoặc f’(x) ¿ 0) và đẳng thức chỉ xãy ra tại mộtđiểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảngđó

Ví dụ Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số

y ’< 0 khi x <

5

2 Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau gọi là bảngbiến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (

5

2 ;+ ∞ ) và nghịch biếntrong khoảng (- ∞ ;

5

2 )

Trang 7

1.1.2.3 Đi m t i h n ểm tới hạn ới hạn ạn

¿ (a;b) Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x)không xác định hoặc bằng 0

Ví dụ xét hàm số y = 3x+

3

x +5TXD: (-∞ ;0)∪(0 ;+∞)

Đạo hàm y’=3(x¿¿2−1)

x2 ¿ = 0 khi x=± 1 và không xác định tại

x = 0 .Nhưng điểm 0 không thuộc tập xác định của hàm số.Vậy hàm số đã cho chỉ có điểm tới hạn là x=± 1

Tiếp tục ta đi xét tính cực đại và cực tiểu của hàm số

1.1.3 Cực đại và cực tiểu

1.1.3.1 Định nghĩa

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ¿ (a;b) a) Khoảng (x0- δ ; x0+ δ ) kí hiệu là V( δ ), trong đó δ >0được gọi là một lân cận của điểm x0

b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y=f(x) nếu vớimọi x thuộc lân cận V( δ ) ¿ (a;b) của điểm x0, ta có:

f(x) < f(x0) (x ¿ x0)

lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0;

 f(x0) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu fCĐ=f(x0)

 điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) nếu vớimọi x thuộc lân cận V( δ ) ¿ (a;b) của điểm x0, ta có

f(x) > f(x0) (x ¿ x0)

lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0;

 f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu và kí hiệu fCT=f(x0)

 điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàmsố

Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm

số đã cho

1.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Giả thiết hàm số y =f(x) lien tục trên khoảng (a;b) và x0 ¿ (a;b)

Trang 8

Định lý Fecma (pierre de Fermat 1601-1665).Nếu hàm số y=f(x) có

đạo hàm tại x0 và đat cực trị tại điểm đó thì f’(x0)=0

1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị

1.1.3.3.1 Dấu hiệu 1.

(có thể trừ tại x0)

 Nếu f’(x) > 0 trên khoảng ( x0- δ ;x0); f’(x)<0 trên khoảng (x0;x0+

δ ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

 Nếu f’(x) < 0 trên khoảng ( x0- δ ;x0); f’(x)>0 trên khoảng (x0;x0+

δ ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tóm lại: nếu khi x đi qua x0,đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểmcực trị

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số

Giải.hàm số xác định với mọi x ¿ 0,x ¿ R

Đạo hàm của hàm số là:

Trang 9

từ bảng biếm thiên ta thấy x=-1 là điểm cực đại và x=1 là điểm cựctiểu của hàm số đã cho.

1.1.3.3.2 Dấu hiệu 2.

Định lý 2: giả sử hàm số y =f (x) có đạo hàm lien tục tới cấp 2 tại x0 vàf’(x0)=0,f’’(x0) ¿ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số Khi đó,

 Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

 Nếu f’’(x0) <0 thì x0 là điểm cực đại

Hay

 Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

 Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số

3.f’’(0) = 2>0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu

f’’(1) = 2>0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu

Trang 10

Kết luận: f(x) đạt cực tiểu tại 2 điểm x=0 và fCT=2;x=1 và fCT=2;

f(x) đạt cực đại tại điểm x=

1

2 và fCT= -1

Đối với các hàm số bậc 3, bậc 4ta thường phải xét thêm một bước rất quan trọng đó là xét tính lồi lõm của hàm số.

1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

Xét đồ thị ABC của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây: Tagiả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến

Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung AC

Ta nói cung AC là một cung lồi Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của

C, thì khoảng (a;c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị

Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung CB Tanói cung CB là một cung lõm Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của

B, thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị

Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn

Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn

Định lí 1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng

(a;b)

 Nếu f’’(x0) < 0 với mọi x ¿ (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trênkhoảng đó

Trang 11

Nếu f’’(x0) > 0 với mọi x ¿ (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trênkhoảng đó.

Định lí 2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của

điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó Nếu đạo hàm cấp hai khi

x đi qua x0 thì điểm M0 (x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Ví dụ Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:

a) giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và M(x,y) là một điểm thay

đổi trên (C).Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa

độ x,y của M(x,y) dần tới ∞

Khi đó ta cũng nói điểm M(x,y) dần tới ∞

Ký hiệu M → ∞

Trang 12

b)giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực ,cho đường thẳng d.

kí hiệu MH là khoảng cách từ M(x,y) ¿ ( C) đến đường thẳng d

d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( C) nếu MH dần đến 0khi M dần đến ∞ trên (C).

Nói cách khác, d là tiệm cận của ( C) ⇔ lim MH =0

 giải các bài toán của toán cao cấp: tính giá trị gần đúnghoặc xấp xỉ, rút gọn –đơn giản biểu thức, tính tích phân,đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương

Trang 13

trình, hệ bất phương trình, vẽ đồ thị hàm số, tính diện tích,thể tích…

 Giải các bài toán trong lĩnh vực hóa học, cơ đất đá, cấu trúc

dữ liệu, điện,phương pháp số…

Mathcad có thể sử dụng để lập trình giải các bài toán phứctạp không những tính toán trên số mà còn tính toán trên các kíhiệu

Với Mathcad 7.0 ta có thể giao lưu, trao đổi kinh nghiệm vớicác người dung khác trên thế giới ( nếu có kết nối internet);Mathcad còn có thể chuyển dữ liệu từ nó sang Excel và ngược lạithông qua MathConnex

1.2.2 Các phép tính toán trong Mathcad

Mathcad có rất nhiều các công thức toán học, nhưng trongkhuôn khổ đề tài này, em chỉ xin giới thiệu một vài công thức toánhọc được Mathcad sử dụng trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thịhàm số

 Các dấu “ =, <, >,≥ , ≤ lần lượt được thực hiện từ bànphìm bằng các cách bấm sau : Ctrl-=, <, >, Ctrl-9,Ctrl-0

 nhấp biểu tượng trong Math Palette, chọn Solve,

gõ biến, ấn Enter được kết quả

 chọn từ dải Math Palette biểu tượng , chọnlim

+hoặc

lim

hoặc

lim-

 Điền biểu thức, biến, trị vào

 Ctrl-., Enter

Trang 14

 Gõ Ctrl-L hoặc Ctrl-A hay Ctrl-B

 Điền biểu thức, biến, trị vào

 Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically

b Ví dụ

Tìm giới hạn bên phải của hàm số y = x−1 x+ 2 tại x = 2

2x

x 1

x 2

lim+

14

 Nhấp biểu tượng , chọn , hoặc gõ ?

 Gõ biểu thức và dấu hiệu đạo hàm

 Chọn biểu thức gồm cả dấu hiệu đạo hàm

 Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically

6

Trang 15

1.2.2.4 Vẽ đồ thị

a Đồ thị dạng X-Y Plot

Để tạo vùng vẽ có thể thực hiện theo các cách sau:

 Từ thanh công cụ : chọn Insert/Graph/X-Y Plot

 Từ thanh Math : nhấp vào biểu tượng

 Từ bàn phím : nhấn @

Hình1 vùng thể hiện đồ thị

Trong khung trống nằm dưới trục hoành (trục x) nhập giá trị đồ thị

muốn dựa theo Giá trị này là thang đo đã xác định trước đó Nếu

không xác định trước, Mathcad tự động xác định thang đo từ -10 đến

10

Trong khung trống nằm bên cạnh trục tung (trục y), nhập biểu thức

muốn vẽ

Lưu ý:

Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác,

để chúng có thể dùng chung giá trị độc lập Ngoài ra còn thể hiện được

nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị

b Hiệu chỉnh đồ thị

Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:

 Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot

 Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh

Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình

trên)

Trang 16

Hình 2.

Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:

 Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vuông

góc thong thường ,nếu chọn None thì

Nếu chọn equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau

Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)

Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ

Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of Grids- đó là số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn

sửa số 5 nghĩa là trong khoảng 0 10 có 5 đoạn chia

Nhấp Apply-OK

c Đưa các tiêu đề vào đồ thị

 Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị

 Menu Format / Graph / X-Y Plot

 Chọn labels sau đó nhấp vào các cột như hình dưới đây:

hiện Bạn có thể đặt tên ở trên () hoặc ở dưới đồ thị ()

Gán chú giải vào trục x

Trang 17

Gán chú giải vào trục y

Hình 3.

d Thay đổi kích thước của miền đồ thị

 Nhấp vào đồ thị để chọn miền

 Đưa mũi tên chuột vào các ô đen

 Rê ra/vào để thay đổi kích thước

e Quan sát các điểm trên đường biểu diễn

 Muốn quan sát tọa độ bất kỳ của một điểm nào đó trên trục biểu diễn ta

làm như sau:

 Chọn đồ thị

 Menu/Format/Graph/Trace

Xuất hiện hộp thoại, chọn X-Y Trace

 Trỏ chuột vào đường biểu diễn hoặc rê chuột thì trong hộp sẽ thấy tọa

độ tương ứng với vị trí dấu + ở khung X-value,Y-value

 Muốn lấy tọa độ đưa vào mành hình của Mathcad : chon X-copy

(Y-copy) để copy vào clipboard rồi dán vào màn hình x(y)

Trang 18

Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ta có thể áp dụng Mathcad để giải bài toán này như sau:

y x( )

x

y x( )

Trang 20

khao sat ham sô: y x( ) x3 4 x 2 4 x

y x( )

x

y x( )

Bảng biến thiên:

Trang 21

tren khoang (-2;0) và (2;+) ,y < 0 nên ham sô nghich biên.

Trang 22

Cuc tri:

h x( )

2x

y x( )

dd

h(-2) = h(2) = -32 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x=-2 và

x = 2 va co gia tri cuc dai bang 15

Bảng biến thiên:

Cac gioi han vô cuc:

x

y x( )

x

y x( )

Trang 23

y ' xác dinh khi x = -1 ;y' luôn âm voi moi x # -1

vay ham so nghich bien trong cac khoang tu (-; -1) và (1;+)Cuc tri

hàm sô da cho khong co cuc tri

Trang 24

Tiem cân

1x

y x( )lim

1x

y x( )lim

Do do duong thang x = -1 là tiem cân dung

x

y x( )

x

Trang 25

y 0( ) factor 0 3

tren khoang (-;0) y'<0 nên hàm sô dong biên

tren khoang (0;+) , y' >0 nên hàm sô nghich biên

Cuc tri

h x( )

2x

y x( )

dd

ham so khong co cuc dai

gioi han tai vo cuc

x

Trang 26

Vi y' = 6 x 2 voi moi x nên ham so nghich bien tren R

Do do ham so khong co cuc tri

Trang 27

y x( )

x

y x( )

Trang 28

h x( )

2x

y x( )

dd

vì h(-1) = h(1)=8 > 0 nên ham sô dat cuc tieu tai x=1 va x=-1

va co gia tri cuc tieu -4

Cac gioi han vô cuc:

x

y x( )

x

Ngày đăng: 22/03/2016, 11:21

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w