Áp dụng mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Trang 1MỤC LỤC
1 Lí do chọn đề tài 2
2 Mục đích đề tài 3
2.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 3
3 Các phương pháp nghiên cứu 3
4 Nội dung đề tài: 4
Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 4
1.1 Khảo sát hàm số 4
1.1.1 Tập xác định 5
Ví dụ tìm tập xác định của hàm số y= 3 x+1 4 x2 −5 x+1 5
1.1.2 Sự biến thiên của hàm số 5
1.1.2.2 Tính đơn điệu của hàm số 6
1.1.2.3 Điểm tới hạn 6
1.1.3 Cực đại và cực tiểu 7
1.1.3.1 Định nghĩa 7
1.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị 7
1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị 7
1.1.3.3.1 Dấu hiệu 1 7
1.1.3.3.2 Dấu hiệu 2 9
1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số 9
1.1.4.1 Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn 9
1.1.4.2 Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn 10
1.1.5 Tiệm cận 11
1.1.5.1 Định nghĩa 11
1.1.5.2 Cách xác định tiệm cận 11
1.1.5.2.1 Tiệm cận đứng 11
1.1.5.2.2 Tiệm cận ngang 12
1.2 Phần mềm toán học Mathcad 12
1.2.1 Giới thiệu 12
1.2.2 Các phép tính toán trong Mathcad 12
1.2.2.1 Giải phương trình và bất phương trình 13
1.2.2.2 Giới hạn hàm số tại một điểm 13
Trang 21.2.2.3 Đạo hàm 13
1.2.2.4 Vẽ đồ thị 14
Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 18
I khảo sát một số bài toán: 18
Chương 3: KẾT LUẬN 34
3.1 Đánh giá 34
3.2 Hướng phát triển của đề tài 34
1 Lí do chọn đề tài
Trang 3Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học - kỹ thuật , thì việc sử dụngcông nghệ thông tin vào dạy học là điều tất yếu và rất cần thiết Có rấtnhiều công cụ để hổ trợ cho việc giảng dạy, và Mathcad là một trong số đó.Trong khuôn khổ đề tài này, em xin trình bày việc : “Áp dụng Mathcad đểgiải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ”.
Mathcad là một phần mềm tính toán mạnh và có giao diện rất thânthiện với word, nó dễ sử dụng và tính toán khá nhanh Nó có thể giải cácbài toán về phương trình, hệ phương trình, tính toán các đạo hàm và tíchphân một cách nhanh nhất Bên cạnh đó, nó cũng cung cấp cho ta một công
cụ vẽ đồ thị một cách nhanh chóng và chính xác nhất Chính vì vậy nó rấtthích hợp cho việc giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hàm số làmột chủ đề không dễ dạy và nó được xem là then chốt trong chương trìnhtoán học giải tích 12, vẽ và khảo sát hàm số luôn được xem là một vấn đềquan trọng và là một phần không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp và đạihọc
Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thể giải dễ dàng vànhanh chóng các bài toán khảo sát hàm số,em đã nghiên cứu đề tài này, đềtài: “ Áp dụng Mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số “
2 Mục đích đề tài
Giới thiệu một trong các phương pháp hổ trợ giảng dạy toán học cóhiệu quả của máy tính là áp dụng phần mềm Mathcad để giải bài toán khảosát và vẽ đồ thị hàm số
2.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
hàm số trong chương trình giải tích 12
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy để học sinh thấy
được sự hấp dẫn, hứng thú với các dạng khảo sát hàm số
Giúp học sinh thực hiện các bài toán khảo sát hàm số một
cách nhanh nhất và giúp rút ngắn bớt thời gian
3 Các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng học sinh, nắm bắtđược kiến thức của học sinh,những khó khăn và thắc mắc củahọc sinh đối với những bài toán khảo sát hàm số
Phương pháp tổng hợp: kết hợp kinh nghiệm của bản thân với sựgóp ý của các thầy cô giáo cộng với thực tế diễn ra trên lớp học
Trang 4 Phương pháp thực nghiệm: khi giảng dạy một dạng bài toánkhảo sát hàm số cần phải thử nghiệm qua các lớp khác nhau thìmới rút ra những kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau.
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu, tìm hiểunhững kết quả thảo luận với các thầy cô giáo và tìm hiểu thêmtrên internet, qua sách vở
4 Nội dung đề tài:
Trang 5Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
1.1 Khảo sát hàm số
Để thực hiện một bài toán khảo sát hàm số, ta cần phải lần lượtthực hiện qua các bước Đầu tiên ta phải đi tìm tập xác định củahàm số
bước thứ 2 là khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1.1.2 Sự biến thiên của hàm số
1.1.2.1 Định nghĩa hàm số đồng biến,nghịch biến
Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,b).
Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng )trên khoảng(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:
x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2)
Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay giảm) trên khoảng(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:
x1>x2 ⇒ f(x1)>f(x2)
Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm
số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này
Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi làbảng biến thiên của hàm số
Trang 6Hàm số đồng biến trên (a;b)
Hàm số nghịch biến trên (a;b)
1.1.2.2 Tính đ n đi u c a hàm s ơn điệu của hàm số ệu của hàm số ủa hàm số ố
Định lý Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) ¿ 0 (hoặc f’(x) ¿ 0) và đẳng thức chỉ xãy ra tại mộtđiểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảngđó
Ví dụ Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số
y ’< 0 khi x <
5
2 Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau gọi là bảngbiến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (
5
2 ;+ ∞ ) và nghịch biếntrong khoảng (- ∞ ;
5
2 )
Trang 71.1.2.3 Đi m t i h n ểm tới hạn ới hạn ạn
¿ (a;b) Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x)không xác định hoặc bằng 0
Ví dụ xét hàm số y = 3x+
3
x +5TXD: (-∞ ;0)∪(0 ;+∞)
Đạo hàm y’=3(x¿¿2−1)
x2 ¿ = 0 khi x=± 1 và không xác định tại
x = 0 .Nhưng điểm 0 không thuộc tập xác định của hàm số.Vậy hàm số đã cho chỉ có điểm tới hạn là x=± 1
Tiếp tục ta đi xét tính cực đại và cực tiểu của hàm số
1.1.3 Cực đại và cực tiểu
1.1.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ¿ (a;b) a) Khoảng (x0- δ ; x0+ δ ) kí hiệu là V( δ ), trong đó δ >0được gọi là một lân cận của điểm x0
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y=f(x) nếu vớimọi x thuộc lân cận V( δ ) ¿ (a;b) của điểm x0, ta có:
f(x) < f(x0) (x ¿ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0;
f(x0) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu fCĐ=f(x0)
điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) nếu vớimọi x thuộc lân cận V( δ ) ¿ (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) > f(x0) (x ¿ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0;
f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu và kí hiệu fCT=f(x0)
điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàmsố
Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm
số đã cho
1.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Giả thiết hàm số y =f(x) lien tục trên khoảng (a;b) và x0 ¿ (a;b)
Trang 8Định lý Fecma (pierre de Fermat 1601-1665).Nếu hàm số y=f(x) có
đạo hàm tại x0 và đat cực trị tại điểm đó thì f’(x0)=0
1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị
1.1.3.3.1 Dấu hiệu 1.
(có thể trừ tại x0)
Nếu f’(x) > 0 trên khoảng ( x0- δ ;x0); f’(x)<0 trên khoảng (x0;x0+
δ ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
Nếu f’(x) < 0 trên khoảng ( x0- δ ;x0); f’(x)>0 trên khoảng (x0;x0+
δ ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Tóm lại: nếu khi x đi qua x0,đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểmcực trị
Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số
Giải.hàm số xác định với mọi x ¿ 0,x ¿ R
Đạo hàm của hàm số là:
Trang 9từ bảng biếm thiên ta thấy x=-1 là điểm cực đại và x=1 là điểm cựctiểu của hàm số đã cho.
1.1.3.3.2 Dấu hiệu 2.
Định lý 2: giả sử hàm số y =f (x) có đạo hàm lien tục tới cấp 2 tại x0 vàf’(x0)=0,f’’(x0) ¿ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số Khi đó,
Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
Nếu f’’(x0) <0 thì x0 là điểm cực đại
Hay
Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số
3.f’’(0) = 2>0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu
f’’(1) = 2>0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu
Trang 10Kết luận: f(x) đạt cực tiểu tại 2 điểm x=0 và fCT=2;x=1 và fCT=2;
f(x) đạt cực đại tại điểm x=
1
2 và fCT= -1
Đối với các hàm số bậc 3, bậc 4ta thường phải xét thêm một bước rất quan trọng đó là xét tính lồi lõm của hàm số.
1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Xét đồ thị ABC của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây: Tagiả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến
Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung AC
Ta nói cung AC là một cung lồi Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của
C, thì khoảng (a;c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị
Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung CB Tanói cung CB là một cung lõm Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của
B, thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn
Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn
Định lí 1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
(a;b)
Nếu f’’(x0) < 0 với mọi x ¿ (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trênkhoảng đó
Trang 11Nếu f’’(x0) > 0 với mọi x ¿ (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trênkhoảng đó.
Định lí 2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của
điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó Nếu đạo hàm cấp hai khi
x đi qua x0 thì điểm M0 (x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Ví dụ Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:
a) giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và M(x,y) là một điểm thay
đổi trên (C).Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa
độ x,y của M(x,y) dần tới ∞
Khi đó ta cũng nói điểm M(x,y) dần tới ∞
Ký hiệu M → ∞
Trang 12
b)giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực ,cho đường thẳng d.
kí hiệu MH là khoảng cách từ M(x,y) ¿ ( C) đến đường thẳng d
d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( C) nếu MH dần đến 0khi M dần đến ∞ trên (C).
Nói cách khác, d là tiệm cận của ( C) ⇔ lim MH =0
giải các bài toán của toán cao cấp: tính giá trị gần đúnghoặc xấp xỉ, rút gọn –đơn giản biểu thức, tính tích phân,đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
Trang 13trình, hệ bất phương trình, vẽ đồ thị hàm số, tính diện tích,thể tích…
Giải các bài toán trong lĩnh vực hóa học, cơ đất đá, cấu trúc
dữ liệu, điện,phương pháp số…
Mathcad có thể sử dụng để lập trình giải các bài toán phứctạp không những tính toán trên số mà còn tính toán trên các kíhiệu
Với Mathcad 7.0 ta có thể giao lưu, trao đổi kinh nghiệm vớicác người dung khác trên thế giới ( nếu có kết nối internet);Mathcad còn có thể chuyển dữ liệu từ nó sang Excel và ngược lạithông qua MathConnex
1.2.2 Các phép tính toán trong Mathcad
Mathcad có rất nhiều các công thức toán học, nhưng trongkhuôn khổ đề tài này, em chỉ xin giới thiệu một vài công thức toánhọc được Mathcad sử dụng trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thịhàm số
Các dấu “ =, <, >,≥ , ≤ lần lượt được thực hiện từ bànphìm bằng các cách bấm sau : Ctrl-=, <, >, Ctrl-9,Ctrl-0
nhấp biểu tượng trong Math Palette, chọn Solve,
gõ biến, ấn Enter được kết quả
chọn từ dải Math Palette biểu tượng , chọnlim
+hoặc
lim
hoặc
lim-
Điền biểu thức, biến, trị vào
Ctrl-., Enter
Trang 14 Gõ Ctrl-L hoặc Ctrl-A hay Ctrl-B
Điền biểu thức, biến, trị vào
Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically
b Ví dụ
Tìm giới hạn bên phải của hàm số y = x−1 x+ 2 tại x = 2
2x
x 1
x 2
lim+
14
Nhấp biểu tượng , chọn , hoặc gõ ?
Gõ biểu thức và dấu hiệu đạo hàm
Chọn biểu thức gồm cả dấu hiệu đạo hàm
Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically
6
Trang 151.2.2.4 Vẽ đồ thị
a Đồ thị dạng X-Y Plot
Để tạo vùng vẽ có thể thực hiện theo các cách sau:
Từ thanh công cụ : chọn Insert/Graph/X-Y Plot
Từ thanh Math : nhấp vào biểu tượng
Từ bàn phím : nhấn @
Hình1 vùng thể hiện đồ thị
Trong khung trống nằm dưới trục hoành (trục x) nhập giá trị đồ thị
muốn dựa theo Giá trị này là thang đo đã xác định trước đó Nếu
không xác định trước, Mathcad tự động xác định thang đo từ -10 đến
10
Trong khung trống nằm bên cạnh trục tung (trục y), nhập biểu thức
muốn vẽ
Lưu ý:
Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác,
để chúng có thể dùng chung giá trị độc lập Ngoài ra còn thể hiện được
nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị
b Hiệu chỉnh đồ thị
Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:
Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot
Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh
Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình
trên)
Trang 16Hình 2.
Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:
Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vuông
góc thong thường ,nếu chọn None thì
Nếu chọn equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau
Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)
Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ
Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of Grids- đó là số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn
sửa số 5 nghĩa là trong khoảng 0 10 có 5 đoạn chia
Nhấp Apply-OK
c Đưa các tiêu đề vào đồ thị
Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị
Menu Format / Graph / X-Y Plot
Chọn labels sau đó nhấp vào các cột như hình dưới đây:
hiện Bạn có thể đặt tên ở trên () hoặc ở dưới đồ thị ()
Gán chú giải vào trục x
Trang 17Gán chú giải vào trục y
Hình 3.
d Thay đổi kích thước của miền đồ thị
Nhấp vào đồ thị để chọn miền
Đưa mũi tên chuột vào các ô đen
Rê ra/vào để thay đổi kích thước
e Quan sát các điểm trên đường biểu diễn
Muốn quan sát tọa độ bất kỳ của một điểm nào đó trên trục biểu diễn ta
làm như sau:
Chọn đồ thị
Menu/Format/Graph/Trace
Xuất hiện hộp thoại, chọn X-Y Trace
Trỏ chuột vào đường biểu diễn hoặc rê chuột thì trong hộp sẽ thấy tọa
độ tương ứng với vị trí dấu + ở khung X-value,Y-value
Muốn lấy tọa độ đưa vào mành hình của Mathcad : chon X-copy
(Y-copy) để copy vào clipboard rồi dán vào màn hình x(y)
Trang 18Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ta có thể áp dụng Mathcad để giải bài toán này như sau:
y x( )
x
y x( )
Trang 20khao sat ham sô: y x( ) x3 4 x 2 4 x
y x( )
x
y x( )
Bảng biến thiên:
Trang 21tren khoang (-2;0) và (2;+) ,y < 0 nên ham sô nghich biên.
Trang 22Cuc tri:
h x( )
2x
y x( )
dd
h(-2) = h(2) = -32 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x=-2 và
x = 2 va co gia tri cuc dai bang 15
Bảng biến thiên:
Cac gioi han vô cuc:
x
y x( )
x
y x( )
Trang 23y ' xác dinh khi x = -1 ;y' luôn âm voi moi x # -1
vay ham so nghich bien trong cac khoang tu (-; -1) và (1;+)Cuc tri
hàm sô da cho khong co cuc tri
Trang 24Tiem cân
1x
y x( )lim
1x
y x( )lim
Do do duong thang x = -1 là tiem cân dung
x
y x( )
x
Trang 25y 0( ) factor 0 3
tren khoang (-;0) y'<0 nên hàm sô dong biên
tren khoang (0;+) , y' >0 nên hàm sô nghich biên
Cuc tri
h x( )
2x
y x( )
dd
ham so khong co cuc dai
gioi han tai vo cuc
x
Trang 26Vi y' = 6 x 2 voi moi x nên ham so nghich bien tren R
Do do ham so khong co cuc tri
Trang 27y x( )
x
y x( )
Trang 28h x( )
2x
y x( )
dd
vì h(-1) = h(1)=8 > 0 nên ham sô dat cuc tieu tai x=1 va x=-1
va co gia tri cuc tieu -4
Cac gioi han vô cuc:
x
y x( )
x