ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
TÀI LIỆU TỔNG HỢP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số LUYỆN THI THPT QUỐC GIA BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HUẾ, 2015 1 LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn giúp các em học sinh thực hiện tốt quá trình tự học, tự nghiên cứu và chuẩn bị cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia, đồng thời cũng để hỗ trợ bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi tiến hành tổng hợp tập tài liệu “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Luyện thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi”. Tập tài liệu được chia làm hai Phần chính, hai Phụ lục và Hướng dẫn giải – đáp số, trong đó Phần 1 gồm sáu chuyên đề cơ bản: Chuyên đề 1. Sự biến thiên của hàm số. Chuyên đề 2. Cực trị của hàm số. Chuyên đề 3. Giá trị lớn nhất của hàm số. Chuyên đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chuyên đề 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Chuyên đề 6. Một số bài toán liên quan khảo sát hàm số. Phần 2 gồm ba chuyên đề nâng cao: Chuyên đề 1. Sự biến thiên – Cực trị và Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; Chuyên đề 2. Tiệm cận và sự tương giao của hai đồ thị hàm số. Chuyên đề 3. Một số bài toán khác. Hai phụ lục với nội dung tương ứng: Phụ lục 1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan qua các kì thi Đại học – Cao đẳng (từ 2002 đến nay). Phụ lục 2. Sử dụng MTCT giải một số bài toán phương trình và hệ phương trình. Và cuối cùng là Hướng dẫn giải và đáp số. 2 Mỗi chuyên đề bao gồm nhiều vấn đề khác nhau, đều được bắt đầu bằng cách nêu Phương pháp, tiếp theo là một số Ví dụ mẫu và cuối cùng là Bài tập tương tự. Kiến thức trong tập tài liệu hoàn toàn không có gì mới mẻ; chúng tôi chỉ tổng hợp và sắp xếp lại theo ý đồ của mình. Tập tài liệu được hoàn thành nhờ vào quá trình sưu tầm, chế bản từ nguồn tài liệu phong phú, đa dạng như sách, báo, tạp chí,… đặt biệt là từ internet, kết hợp với kinh nghiệm của chúng tôi trong quá trình giảng dạy các lớp ôn thi Đại học – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi. Mọi sai sót người tổng hợp xin nhận trách nhiệm vì lỗi đã không nhận thấy được trong quá trình chế bản. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý bạn bè đồng nghiệp đã đọc và cho ý kiến về tập tài liệu này cũng như cảm ơn sự chia sẻ tài liệu quý báu của quý thầy, cô thông qua mạng internet. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng những thiếu sót là khó tránh khỏi, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý vị để tập tài liệu được hoàn chỉnh hơn. Với xu hướng cải cách giáo dục hiện nay, tập tài liệu này cũng chỉ sử dụng được thêm vài năm nữa! Mùa hạ năm Ất Mùi – 2015 Người tổng hợp: Trần Quang Thạnh 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 PHẦN 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 7 CHUYÊN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 9 VẤN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 11 PHƯƠNG PHÁP. 11 VÍ DỤ MẪU. 11 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 14 VẤN ĐỀ II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CÓ THAM SỐ 15 PHƯƠNG PHÁP. 15 VÍ DỤ MẪU. 15 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 17 VẤN ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 19 PHƯƠNG PHÁP. 19 VÍ DỤ MẪU. 19 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 21 VẤN ĐỀ IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 23 PHƯƠNG PHÁP. 23 VÍ DỤ MẪU. 23 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 28 CHUYÊN ĐỀ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 29 VẤN ĐỀ I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 31 PHƯƠNG PHÁP. 31 VÍ DỤ MẪU. 31 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 34 VẤN ĐỀ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 35 PHƯƠNG PHÁP. 35 VÍ DỤ MẪU. 37 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 41 CHUYÊN ĐỀ III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 43 4 VẤN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN 43 PHƯƠNG PHÁP. 43 VÍ DỤ MẪU. 44 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 47 CHUYÊN ĐỀ IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN 49 PHƯƠNG PHÁP. 49 VÍ DỤ MẪU. 50 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 52 CHUYÊN ĐỀ V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 PHƯƠNG PHÁP. 53 VÍ DỤ MẪU. 54 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 56 CHUYÊN ĐỀ VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ 57 VẤN ĐỀ I. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 57 PHƯƠNG PHÁP. 57 VÍ DỤ MẪU. 57 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 59 VẤN ĐỀ II. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH 61 PHƯƠNG PHÁP. 61 VÍ DỤ MẪU. 62 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 66 VẤN ĐỀ III. BÀI TOÁN TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG 67 PHƯƠNG PHÁP. 67 VÍ DỤ MẪU. 69 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 73 VẤN ĐỀ IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ . 75 PHƯƠNG PHÁP. 75 VÍ DỤ MẪU. 77 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 81 PHẦN 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 83 CHUYÊN ĐỀ I. 85 5 SỰ BIẾN THIÊN - CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 85 VÍ DỤ. 85 BÀI TẬP. 90 CHUYÊN ĐỀ II. 93 TIỆM CẬN VÀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93 VÍ DỤ. 93 BÀI TẬP. 102 CHUYÊN ĐỀ III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 105 VÍ DỤ. 105 BÀI TẬP. 106 PHỤ LỤC 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TOÀN QUỐC 109 PHỤ LỤC 2. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 131 I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 131 VÍ DỤ MẪU. 131 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 135 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 135 VÍ DỤ MẪU. 135 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 137 III. ĐOÁN NGHIỆM VÀ DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 137 VÍ DỤ MẪU. 137 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 141 PHẦN I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 141 PHẦN 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO 163 6 7 PHẦN 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 8 [...]... (cực tiểu) của Cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số c) Nếu là điểm cực trị của thì điểm ( ( )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số có đạo hàm tại và đạt cực trị tại điểm đó thì ( ) CHÚ Ý + Đảo của định lý này không đúng, nghĩa là hàm đã đạt cực trị tại thì chưa chắc Ví dụ: Xét hàm số ( ) + Hàm số ( ) chỉ có thể đạt... Xét hàm số ( ) + Hàm số ( ) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm + Nếu hàm có đạo hàm tại và có cực trị tại điểm đó thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 x0 ; f ( x0 ) song song với trục hoành 29 III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 1 Định lí 1 Giả sử hàm số và có đạo hàm trên ( a) Nếu cực tiểu tại ) chứa điểm ( ) đổi dấu từ âm sang dương khi... hàm số đạt cực đại tại b TXĐ: và hàm số đạt cực tiểu tại ( Ta có )( ) Bảng biến thiên: 3 5 0 108 3125 0 1 0 3 108 Vậy, hàm số đạt cực đại tại x , yCD và hàm số đạt cực tiểu 5 3125 tại c TXĐ: Ta có và [ Ta có ( ) [ và ( ) cực đại tại Ta cũng có 32 nên hàm số đạt ( ) nên hàm số đạt cực tiểu tại x d TXĐ: 2 k2 3 Ta có ( ) ) √( Bảng biến thiên: 1 0 2 Vậy, hàm số đạt cực đại tại e TXĐ: ( ) và. .. là tham số, có tập xác định 0, x D Hàm số đồng biến trên D Hàm số nghịch biến trên D x D Từ đó suy ra điều kiện của m NHẮC LẠI Nếu thì: a b 0 c 0 y ' 0, x R a 0 0 a b 0 c 0 y ' 0, x R a 0 0 VÍ DỤ MẪU Bài mẫu 1.2.1 Cho hàm số ( ) Tìm để a Hàm số đồng biến trên b Hàm số đồng biến trên (0; ) c Hàm số đồng biến... và chỉ khi Vậy, hàm số đồng biến trên ( ) khi và chỉ khi c Hàm số đã cho đồng biến trên ( ( ) hay Hàm Ta có ) khi và chỉ khi , với mọi Đặt ( ) ( liên tục trên ( với mọi ) ) nên liên tục trên ( ) ( ) Bảng biến thiên của : -1 0 + 1 - ( ) trên ( Qua bảng trên ta thấy rằng, Vậy, hàm số đồng biến trên ( d Xét - ) khi và chỉ khi ) khi và chỉ khi có Nếu thì với mọi nên hàm số đã cho đồng biến trên ; trường... 1.2.2 Cho hàm số y x 3 3x 2 mx 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (;0) Bài tập 1.2.3 Cho hàm số y x 3 (1 2m)x 2 (2 m)x m 2 Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0; ) Bài tập 1.2.4 Cho hàm số y x 3 3x 2 mx m (1), (m là tham số) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Bài tập 1.2.5 Cho hàm số y x 4... 0 0 11 Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( nghịch biến trên ( b Txđ ) ( ) hàm số ) Ta có hoặc √ Bảng biến thiên: 0 0 √ 0 Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( biến trên các khoảng ( √ ) (√ ( √ ) ( √ ) và nghịch ) c Txđ Ta có Vì √ hoặc ) ( ) nên ta có bảng biến thiên: 0 Vậy, hàm số đồng biến trên ( d Txđ ) và nghịch biến trên ( Ta có ( ) Bảng biến thiên: 2 0 12 4 ) Vậy, hàm số đồng biến trên... 2mx 2 3m 1 (1) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) Bài tập 1.2.6 Cho hàm số y số mx 4 (1) Tìm tất cả các giá trị của tham x m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) 17 18 VẤN ĐỀ III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC PHƯƠNG PHÁP Trong vấn đề này, chúng tôi chỉ xét đến vài bất đẳng thức một biến đơn giản Việc vận dụng hàm số trong chứng minh các bất đẳng thức... Vậy với mọi x2 b Xét hàm số g( x ) cos x 1 liên tục trên [ 2 có [ ( ) với mọi ) Do đó, với mọi Khi ta có( ( Vậy, cos x 1 ) đồng biến trên ( ) hay và do đó ( x2 , x 0 2 c Xét hàm số ( ) nên hàm ta có ( ) ) ) Theo câu a), ta ) liên tục trên 0; và có đạo hàm 2 ( ) ( 20 ) Do đó hàm số đã cho đồng biến trên 0; và ta có 2 ( ) ( ) ( ) ( d Xét hàm số f ( x ) tan x liên... khoảng ( 2 Định lí 2 Giả sử hàm số ( ) có đạo hàm trên khoảng ( và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm a) Nếu ( ) thì đạt cực đại tại b) Nếu ( ) thì đạt cực tiểu tại 30 ) chứa điểm VẤN ĐỀ I CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP Ta thường sử dụng hai quy tắc sau đây: QUY TẮC 1 Dùng định lí 1 Tìm ( ) Tìm các điểm ( ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm Xét dấu cực trị tại ( . của hàm số. Chuyên đề 2. Cực trị của hàm số. Chuyên đề 3. Giá trị lớn nhất của hàm số. Chuyên đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chuyên đề 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. . liệu Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Luyện thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi”. Tập tài liệu được chia làm hai Phần chính, hai Phụ lục và Hướng dẫn giải – đáp số, . TỰ. 52 CHUYÊN ĐỀ V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 PHƯƠNG PHÁP. 53 VÍ DỤ MẪU. 54 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 56 CHUYÊN ĐỀ VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ 57 VẤN ĐỀ I. SỰ