Trong phần này, trước hết chúng tôi trình bày các bước bấm máy (có giải thích) để giải một phương trình bậc 4 cụ thể và sau đó là ứng dụng phương pháp này để giải vài phương trình trích từ một số đề thi và đề thi thử đại học, cao đẳng.
VÍ DỤ MẪU.
Bài mẫu I.1.Giải phương trình .
GIẢI.
Đặt ( )
CÁCH 1.
+ B1. Nhập biểu thức ( ). Dùng phím SHIFT SOLVE để giải phương trình ( ) Gán nghiệm này vào phím bằng cách bấm SHIFT STO A.
+ B2. Lấy ( ) chia cho và tìm nghiệm của thương này, bằng cách sau: nhập vào máy ( ) ( ), rồi dùng SHIFT SOLVE để giải phương trình này; được thêm một nghiệm nữa, gán là .
+ B3. Lấy ( ) chia cho ( )( ) và tìm nghiệm của thương này, bằng cách sau: nhập vào máy ( ) (( )( )), rồi dùng SHIFT SOLVE để giải phương trình này; được thêm một nghiệm nữa, gán là .
132
+ B4. Lấy ( ) chia cho ( )( )( ) và tìm nghiệm của thương này, bằng cách sau: nhập vào máy ( ) (( )( )( )), rồi dùng SHIFT SOLVE để giải phương trình này; được thêm một nghiệm nữa, gán là .
+ B.5. Cộng và bằng cách bấm ALPHA A + ALPHA B. Nếu tổng này là số nguyên, ta tiếp tục tính . Nếu tích này cũng là số nguyên thì theo định lý Viet, là nghiệm phương trình ( ) , đồng thời ( ) là một nhân tử của ( ). Lấy ( ) chia cho
( ) ta được nhân tử còn lại của ( )
Nếu tổng hoặc tích không nguyên, ta có thể tính
Ở ví dụ này, ta có nên biểu thức ( ) có một nhân tử bậc 2 là . Dùng phép chia đa thức để tìm nhân tử bậc 2 còn lại.
LƯU Ý. Chúng ta có thể chỉ cần làm đến bước 2. Khi đã có được và thì ta tính luôn . Nếu tổng và tích này đều nguyên thì ta đến bước 5.
Đặc biệt, nếu phương trình bậc 4 chỉ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thì tại bước 3, máy sẽ thông báo “Can’t Solve”.
Cách 2.
+ B1. Dùng chức năng TABLE để đoán khoảng chứa nghiệm. Bấm máy như sau:
MODE 7. Màn hình máy tính hiện ( )
Nhập ( ) và ấm phím Máy hỏi: Start? Nhập: -10 =. Máy hỏi: End? Nhập: 10 =. Máy hỏi: Step? Nhập: 1 =.
133
Ý nghĩa của việc nhập như trên: tính giá trị của hàm trên [ ], với bước nhảy 1. Tức là máy sẽ tính ( ) ( ) ( ) ( )
Trên màn hình máy sẽ hiển thị 2 cột và ( ). Trong ví dụ này, từ máy tính, ta thấy rằng ( ) ( ) và ( ) ( ) . Do đó trên mỗi khoảng ( ) ( ) phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm. Bấm MODE 1 để máy trở về trạng thái ban đầu.
+ B2: dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm gần đúng trên các khoảng ( ) ( )
Nhập vào máy hàm ( ). Bấm SHIFT SOLVE.
Máy hỏi: SOLVE FOR X? Nhập: 0, = (đây là giá trị ta chọn bất kì trên ( )). Ta được nghiệm gần đúng . Bấm SHIFT STO và phím (-) để gán giá trị này cho A.
Tiếp tục, nhập vào máy hàm ( ). Bấm SHIFT SOLVE.
Máy hỏi: SOLVE FOR X? Nhập: 1, = (đây là giá trị ta chọn bất kì trên ( )). Ta được nghiệm gần đúng . Bấm SHIFT STO phím ’’’ để gán giá trị này cho B.
+ B3. Bấm AC. Bấm ALPHA A + ALPHA B =. Máy hiển thị 1,7169892. Số này không nguyên nên ta phải lặp lại từ bước 1, để tìm nghiệm gần đúng thứ 3.
Lần này, với chức năng TABLE, ta đoán nghiệm phương trình trên đoạn [ ], bước nhảy 0,125, máy tính cho ta biết rằng ( ) ( ) và ( ) ( ) .
Bấm MODE 1 để máy trở về trạng thái ban đầu.
Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm gần đúng trên khoảng ( )
134
Máy hỏi: SOLVE FOR X?
Nhập: -2,4 = (đây là giá trị ta chọn bất kì trên ( )). Ta được nghiệm gần đúng .
Bấm SHIFT STO và phím hyp để gán giá trị này cho C. Bấm AC. Bấm ALPHA A + ALPHA C =. Máy hiển thị -2. Bấm ALPHA A x ALPHA C =. Máy hiển thị -1.
Như vậy, ( ) có một nhân tử là . Dùng phép chia đa thức hoặc tiếp tục như từ B3. để tìm nhân tử bậc 2 còn lại.
LƯU Ý. Trong B3., ta chọn đoạn đoán nghiệm là [ ] bước nhảy 0,125 vì ở B1. chúng ta đã tìm nghiệm gần đúng trên ( ) và ( ) Đoạn [ ] khá ngắn nên ta chọn bước nhảy ngắn 0,125 thì sẽ tính được nhiều giá trị của trên đoạn này hơn. Nếu đoạn đoán nghiệm là [ ] và bước nhảy là thì máy sẽ không hiển thị kết quả được, do số thao tác tính của máy quá nhiều! Việc chọn đoạn và bước nhảy là phụ thuộc vào kinh nghiệm của người giải.
Thực hiện các thao tác trên, cuối cùng ta được ( ) ( )( )
Giải mỗi phương trình bậc hai ở trên, ta được nghiệm phương trình ban đầu.
Bài mẫu I.2. Giải phương trình 1 2 3 2x4.
x x
GIẢI.
Với điều kiện 32x 4 0,
x bình phương hai vế và thu gọn, ta được
phương trình Dùng máy CASIO ( ) , ta phân tích được
135
Bài mẫu I.3.Giải phương trình 2 x 2 32x26x 3 0.
GIẢI.
Với điều kiện đặt √ ta có phương trình
√
Lập phương hai vế và bằng cách sử dụng máy tính, phương trình trở thành ( )( )
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau:
a. √ . b. 2 1 1 3 2 3 . 2 4 x x x x c. ( )√ . d. ( ) √ e. x 1 x2 x 2. x