Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến sự tương giao của đồ thị hàm số

NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO NHĨM TỐN VD – VDC CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Dạng 2: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( m ) , f ( u ( x ) ) = g ( m ) Dạng 3: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) Dạng 4: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng = f ( x )= a ; f ( x ) a= ; f u ( x) a= ; f ( u ( x ) ) a Dạng 5: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng f ( x ) g= = ( m ) ; f ( x ) g ( m= ) ; f u ( x ) g ( m= ) ; f ( u ( x ) ) g ( m ) Dạng 6: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có NHĨM TỐN VD – VDC dạng f ( x ) g= = ( x ) ; f (u ( x )) g ( v ( x )) Dạng 7: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Dạng 8: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) 0; f = f ( x) g ( x); f = ( u ( x ) ) 0;= ( u ( x ) ) g ( v ( x ) ) Dạng 9: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) m ; f= ; f ( x ) g ( m) ; f= ( u ( x ) ) m= ( u ( x ) ) g ( m ) Dạng 10: Biết số nghiệm phương trình f ( x ) = , xét tốn liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Dạng 11: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số Dạng 12: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN Từ dạng đến dạng 4) phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) phương trình f ( sin x ) = −4 B A C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC Chọn C sin x = α ∈ ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4 ⇔  sin x= β ∈ ( 0;1) β ( 0;1) Vậy Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] Suy với x ∈ ( 0; π ) f ( sin x ) = −4 ⇔ sin x =∈ phương trình cho có nghiệm x ∈ ( 0; π ) (thỏa mãn) Vậy chọn Câu C Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao 13 có nghiệm thuộc khoảng A B C Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Phương trình f ( cos x ) =  π π − ; ?  2 D Chọn C  π π Đặt t = cos x , x ∈  − ;  ⇒ t ∈ ( 0;1]  2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 13 có nghiệm t ∈ ( 0;1) Với nghiệm t ∈ ( 0;1) , thay vào phép đặt ta phương trình cosx = t có hai nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( t ) =  π π phân biệt thuộc thuộc khoảng  − ;   2 Vậy phương trình f ( cos x ) =  π π − ;   2 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 13 có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {0} có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f ( x − ) − = A B C Lời giải D Chọn C f ( 3x − 5) − = ⇔ f ( 3x − 5) = t x − , phương trình trở thành f ( t ) = Đặt = t +5 nên số nghiệm t phương trình f ( t ) = số nghiệm phương trình f ( x − ) − = Với nghiệm t có nghiệm x = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( t ) = phân biệt nên phương trình f ( x − ) − = có nghiệm phân biệt NHĨM TỐN VD – VDC Câu có nghiệm Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  thỏa mãn điều kiện lim f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ có x →−∞ x →+∞ đồ thị hình ) ( Với giả thiết, phương trình f − x + x = a có nghiệm Giả sử tham số a thay đổi, phương trình cho có nhiều m nghiệm có n nghiệm Giá trị m + n A B C Lời giải D NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C Dễ thấy điều kiện phương trình cho x ≥ Đặt t = − x3 + x (1) ⇒ t ∈ (−∞;1] Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm ∀t ∈ (−∞;1] = f ( t ) a (2), t ≤ Phương trình cho có dạng: Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) Đồ thị hàm= số y f ( t ) , t ≤ có dạng: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨM TỐN VD – VDC Do đó: (2) vơ nghiệm a > (2) có hai nghiệm −3 ≤ a < (2) có nghiệm a = a < −3 Vậy m = 2, n =1 ⇒ m + n =3 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Gọi m số nghiệm ( ) phương trình f f ( x ) = Khẳng định sau đúng? B m = C m = Lời giải D m = Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC A m = NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao  f ( x ) = x1 (1)  x2 ( ) ⇔  f ( x) = Suy ra: f ( f ( x ) ) = f x =x  ( ) 3( ) +) Xét (1): f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 ) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt NHĨM TỐN VD – VDC  x = x1 ∈ ( −1;0 )   x =x2 ∈ ( 0;1) Ta có: f ( x ) =⇔ =  x x3 > +) Xét ( ) : f ( x= ) x2 ∈ ( 0;1) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình ( ) có nghiệm phân biệt +) Xét ( 3) : f ( x= ) x3 > , ta có đường thẳng y = x3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm nên phương trình ( 3) có nghiệm Do nghiệm không trùng nên tổng số nghiệm là: m = + + = Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau NHĨM TỐN VD – VDC Số nghiệm phương trình f ( 2sin x ) = đoạn [ 0; 2π ] A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = 2sin x , t ∈ [ −2; 2] Xét phương trình f ( t ) = , dựa vào đồ thị ta thấy https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao (l ) ( n )  sin x = −2 sin x = ⇔ ⇔ ( n )  2sin x = −1 sin x =  (l ) − Với sin x = −1 ⇔ x = −1 − NHĨM TỐN VD – VDC t = −3  t = −2 1⇔  f (t ) = t = −1 t =  3π π + k 2π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = 2 π  − + k 2π x = 5π 4π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = , Với sin x = − ⇔ 4π 3 = + k 2π x  Vậy phương trình có nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ A B C Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Phương trình f ( f ( x ) ) = có nghiệm D Chọn D y=c y=b y=a = x a ( a ∈ ( −2; −1) )  Phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt là: =  x b ( b ∈ ( 0;1) )  =  x c ( c ∈(1;2 ) ) f ( x ) a= , f ( x ) b= , f ( x ) c có nghiệm phân biệt Các phương trình= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC y -1 x -1 Số nghiệm phương trình f ( x) − = A B C Lời giải D Chọn B Ta có f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số y NHĨM TỐN VD – VDC y= -1 x -1 ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình ban đầu có nghiệm phân Dựa vào đồ thị hai hàm số y f= = ( x), y biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao A B C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC ⇔ f ( x) = Phương trình f ( x ) − = Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = Từ bảng biến thiên suy số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = Câu 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ bên Phương trình f ( − f ( x )) = có tất nghiệm phân biệt A B D Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B C Theo đồ thị:  x = a ( −2 < a < −1) 2 − f ( x ) = a  f ( x ) = − a (1)    ⇒ f ( − f ( x )) = ⇔ 2 − f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = − b ( 2) f ( x ) = ⇔  x = b ( < b < 1)     x = c (1 < c < ) 2 − f ( x ) = c  f ( x ) = − c ( 3) Nghiệm phương trình (1); (2); (3) giao điểm đường thẳng y= − a ; y= − b ; y= − c với đồ thị hàm số f ( x )  a ∈ ( −2;1) ⇒ − a ∈ ( 3; ) suy phương trình (1) có nghiệm  b ∈ ( 0;1) ⇒ − b ∈ (1; ) suy phương trình (2) có nghiệm  c ∈ (1;2 ) ⇒ − c ∈ ( 0;1) suy phương trình (3) có nghiệm phân biệt Kết luận: Có tất nghiệm phân biệt Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Có số nguyên m để phương trình f ( x ) + m = có nghiệm phân biệt? A B C D Chọn B Ta có: f ( x ) + m = ⇔ f ( x ) = −m ( *) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng ( d ) : y = y = f ( x ) điểm phân biệt ⇔ −2 < −m cắt đồ thị hàm số −m < ⇔ −2 < m < Do m ∈  nên m ∈ { − 1; 0; 1; 2; 3} Chọn NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình B điểm C điểm Lời giải D Vô số ChọnC Dựa vào đồ thị ta thấy x ∈ [ −1;1] y ∈ [ 0;1] Do đặt t = cos x t ∈ [ −1;1] , f ( cos x ) ∈ [ 0;1]  f ( cos x ) =  Dựa vào đồ thị, ta có f  f ( cos x )  = ⇔  f ( cos x ) = a ( a < −1) ( loaïi )  f cos 2= x ) b ( b > 1) ( loaïi )  ( cos x =  Phương trình f ( cos x ) = ⇔ cos x = a ( a < −1) ( loaïi ) cos= x b ( b > 1) ( loaïi )  ⇔ cos x = ⇔ x = π +k π ( k ∈ ) Vậy phương trình cho có điểm biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TOÁN VD – VDC f  f ( cos x )  = ? A điểm ...NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN Từ dạng đến dạng 4) phương trình có dạng f ( x )... TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao B C NHĨM TOÁN VD – VDC A D Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có f ( f ( x ) ) =−3 ⇔ f ( x ) =−1 Cũng từ đồ thị ta thấy ta có đồ thị hàm số y = f ( x... NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao A B C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC ⇔ f ( x) = Phương trình f ( x ) − = Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x )