Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC TR†N ĐÙC DŨNG V— KIšU ĐA THÙC DÃY VÀ CHŸ SÈ KHƒ QUY CÕA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUŠN ÁN TI˜N SĨ TOÁN HÅC Thái Nguyên - 2019 Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC TR†N ĐÙC DŨNG V— KIšU ĐA THÙC DÃY VÀ CHŸ SÈ KHƒ QUY CếA MễUN TRấN VNH GIAO HON Chuyờn ngnh: Ôi số Lý thuy¸t sè Mã sè: 46 01 04 LUN N TIN S TON HC Têp th hợng dăn: GS.TSKH Nguy¹n Tü Cưíng GS.TS Lê Thà Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2019 i Tóm t-t Cho (R, m) mët vành giao hoán, Noether đàa phương Cho M mởt R-mụun hỳu hÔn sinh chiãu d v A l mët R-mơđun Artin Luªn án tªp trung nghiên cùu hai vĐn ã Thự nhĐt, chỳng tụi giợi thiằu khỏi niằm kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u sp(M), đº đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy cõa M Chúng tơi chùng minh r¬ng sp(M) chi·u cõa q tích khơng Cohen-Macaulay dãy cõa M n¸u R thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương Chúng nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa M qua đ¦y đõ hóa, qua đàa phương hóa tính khơng tăng cõa sp(M/xM) x mët ph¦n tû tham sè Chúng tơi tính tốn sp(M) thơng qua mụun khuyát thiáu cừa M VĐn ã nghiờn cựu thự hai v· ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Noether hoc mụun Artin Trợc hát, chỳng tụi a chn đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa iđêan tham sè tèt kiºu đa thùc dãy cõa môđun Noether M nhä Sau đó, chúng tơi so sánh ch¿ sè kh£ quy cõa môđun cõa M ch¿ số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa mụun thng tương ùng cõa M Luªn án đưđc chia thành ba chng Chng dnh nh-c lÔi mởt số kián thực c s nh mụun ối ỗng iãu a phng, biu diạn thự cĐp cừa mụun Artin, kiu a thực, môđun Cohen-Macaulay, môđun CohenMacaulay suy rëng, môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen- ii Macaulay suy rëng dãy Trong Chương 2, chúng tơi giỵi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u sp(M), thơng qua kiºu đa thùc cõa môđun thương låc chi·u Chúng nghiên cùu kiºu đa thùc dãy dưỵi tác đëng đàa phng húa v Ưy m-adic Tiáp theo, chỳng tụi nghiên cùu mèi quan h» giúa sp(M) sp(M/xM) vỵi x ph¦n tû tham sè cõa M Khi R thương cõa vành Gorenstein đàa phương, chúng tơi tính tốn kiºu đa thùc dãy cõa M thơng qua chi·u kiºu đa thùc cõa mơđun khuy¸t thi¸u cõa M Trong Chương 3, nghiên cùu mët sè vĐn ã vã ch số khÊ quy cừa mụun Trợc h¸t, chúng tơi đưa cơng thùc ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa iđêan tham sè tèt q cừa M vợi sp(M) PhƯn cuối cừa Chương dành đº nghiên cùu ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Artin đưa sü so sánh giúa ch¿ sè kh£ quy cõa mơđun cõa M vỵi ch¿ số khÊ quy cừa ối ngău Matlis cừa mụun thng tương ùng cõa M iii Líi cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cùu cõa tụi Cỏc kát quÊ viát chung vợi cỏc tỏc giÊ khỏc ó ủc sỹ nhĐt trớ cừa cỏc ỗng tỏc giÊ trợc a vo luên ỏn Cỏc kát quÊ đưđc nêu luªn án trung thüc chưa tøng đưđc cơng bè b§t kỳ cơng trình khác Tác gi£ Tr¦n Đùc Dũng iv Líi c£m ơn Tơi xin đưđc bày tä lòng bi¸t ơn đ¸n ThƯy tụi: GS TSKH Nguyạn Tỹ Cớng ThƯy ó dỡu d-t tụi tứ nhỳng bợc chêp chỳng Ưu tiờn trờn ớng nghiờn cựu khoa hồc, hợng dăn tụi tứ tụi lm luên thÔc s v giớ õy l luên ỏn tián s Phng phỏp ồc sỏch, cỏch phỏt hiằn v giÊi quyát vĐn ã, nhỳng ý tng tốn håc mà Th¦y ch¿ b£o giúp tơi trưðng thành nghiên cùu hồn thành luªn án ny Trong cụng viằc, ThƯy luụn nghiờm kh-c vợi hồc trò, cc sèng th¦y ln dành cho håc trò cõa nhúng tình c£m §m áp sü u thng Bờn cÔnh nhỳng kián thực toỏn hồc, ThƯy nh ngới cha dÔy cho tụi biát cỏch lm ngới tỷ tá v sống nhõn hêu Tụi xin by tọ lũng bi¸t ơn đ¸n Cơ tơi: GS.TS Lê Thà Thanh Nhàn Cơ t§m gương v· sü né lüc gian khó ngưíi truy·n c£m hùng cho tụi vã Toỏn hồc núi chung cng nh Ôi số giao hoỏn núi riờng tụi cũn ngỗi trờn giÊng ớng Ôi hồc Cụ ó bọ rĐt nhiãu cụng sực v sỹ kiờn nhăn khụng ch dăn d-t, giÊng dÔy cho tụi vã kián thực, kinh nghiằm v t cừa ngới lm Toỏn, m cũn luụn tÔo đi·u ki»n, giúp đï cho công vi»c, cuởc sống Sỹ tên tõm vợi nghã, vợi hồc trũ cõa s³ đích đº tơi noi theo v phĐn Đu Luên ỏn ủc hon thnh dợi sỹ hợng dăn tên tỡnh cừa hai ngới ThƯy: GS TSKH Nguy¹n Tü Cưíng GS.TS Lê Thà Thanh v Nhàn Mởt lƯn nỳa, tụi xin tọ lũng biát n sõu s-c án ThƯy Cụ v s cố g-ng hn nỳa xựng ỏng vợi cụng lao cừa ThƯy Cụ Tụi xin chân thành c£m ơn Ban Giám hi»u, Ban chõ nhiằm Khoa Toỏn - Tin, Phũng Sau Ôi hồc, trớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó tÔo iãu kiằn thuên lủi nhĐt, phự hủp nhĐt tụi vøa hồn thành vi»c håc tªp, vøa đ£m b£o cơng viằc giÊng dÔy cừa mỡnh tÔi Trớng Tụi xin cÊm n PGS.TS PhÔm Hựng Quý, TS on Trung Cớng, TS Tr¦n Nguyên An, TS Tr¦n Đé Minh Châu dành cho tơi nhúng tình c£m thân thi¸t gi£i đáp nhi·u th-c m-c chuyên môn cho suèt ch°ng đưíng dài tơi làm NCS Xin c£m ơn anh ch nhúm Ôi số giao hoỏn Thỏi Nguyờn vã nhỳng trao đêi q báu q trình làm luªn án Ci cùng, tơi xin đưđc bày tä sü bi¸t ơn vụ hÔn tợi Bố, Mà c biằt l Vủ PhÔm Thựy Linh v cụng chỳa nhọ TrƯn PhÔm Ngõn Khỏnh, nhúng ngưíi ln hy sinh r§t nhi·u, ln lo l-ng, mong mäi tơi ti¸n bë tøng ngày, tøng tháng Luªn án tơi xin đưđc dành t°ng cho nhúng ngưíi mà tơi u thương Tác gi£ Tr¦n Đùc Dũng Mửc lửc M Ưu Chng Kián thực chuân b 1.1 Mụun ối ỗng iãu 1.2 Mụun Cohen-Macaula 1.3 Môđun Cohen-Macaula suy rëng dãy Chương Kiºu đa thùc dãy cõa môđun 2.1 Låc chi·u dãy låc ch 2.2 Kiºu đa thùc dãy qua đà 2.3 Mèi quan h» giúa sp(M tham sè 2.4 Tớnh chĐt ỗng iãu cõa Chương Ch¿ sè kh£ quy cõa môđun 3.1 Ch¿ sè kh£ quy cõa mô 3.2 Ch¿ sè kh£ quy vỵi kiºu 3.3 Ch¿ sè kh£ quy cõa mơ Kát luên Ti liằu tham khÊo 89 M Ưu Cho (R, m) mët vành giao hoán, Noether đàa phng vợi iờan cỹc Ôi nhĐt m v M l mởt R-mụun hỳu hÔn sinh chiãu d Ta luụn có depth M ≤ dim M Khi depth M = dim M mơđun M đưđc gåi mơđun Cohen-Macaulay Lợp mụun Cohen-Macaulay úng vai trũ trung tõm Ôi sè giao hốn xu§t hi»n nhi·u lĩnh vüc nghiên cùu khác cõa Tốn håc Hình håc Ôi số, Lý thuyát Tờ hủp, Lý thuyát bĐt bián Chú ý r¬ng M Cohen-Macaulay ch¿ `(M/xM) = e(x; M) vỵi mët (và vỵi måi) h» tham sè x cõa M Mët nhúng mð rëng quan trång cõa lỵp mơđun Cohen-Macaulay lỵp mơđun Buchs-baum J Stuăckrad v W Vogel [49] giợi thiằu, ú l lợp cỏc mụun M thọa giÊ thuyát đ°t bði D.A Buchsbaum: `(M/xM) − e(x; M) h¬ng sè khơng phư thc h» tham sè x Sau đó, N.T Cưíng, P Schenzel N.V Trung [48] giỵi thi»u lỵp mơđun M thäa mãn supx(`(M/xM) −e(x; M)) < ∞, đưđc gåi mơđun Cohen-Macaulay suy rëng Năm 1991, N.T Cưíng [5] giỵi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc cõa M, kí hi»u p(M), đº o tớnh khụng Cohen-Macaulay cừa M, tứ ú phõn loÔi v nghiờn cựu cĐu trỳc cừa cỏc mụun hỳu hÔn sinh trờn vnh a phng Náu ta quy ợc bêc cõa đa thùc khơng −1, M CohenMacaulay ch¿ p(M) = −1 M Cohen-Macaulay suy rëng ch¿ p(M) ≤ Mët mð rëng quan trång khác cõa lỵp mơđun Cohen-Macaulay lỵp Cohen-Macaulay dãy, đưđc R.P Stanley [41] giỵi thi»u cho trưíng hđp phân bªc P Schenzel [39], N.T Cưíng, L.T Nhàn [11] nghiên cùu cho trưíng hđp đàa phương: M Cohen-Macaulay dãy n¸u méi thương Di/Di+1 Cohen-Macaulay, D0 = M Di+1 mụun lợn nhĐt cừa M cú chiãu nhọ hn dim Di vợi mồi i Tiáp theo, N.T Cưíng L.T Nhàn [11] nghiên cùu lỵp mơđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy b¬ng cách thay đi·u ki»n méi mơđun thương Di/Di+1 Cohen-Macaulay b¬ng đi·u ki»n Di/Di+1 Cohen-Macaulay suy rởng Mửc ớch Ưu tiờn cừa luên ỏn l giỵi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u sp(M), đº đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy cõa M Chúng tơi ch¿ r¬ng sp(M) chi·u cõa q tích khơng CohenMacaulay dãy cõa M R thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương Chúng nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa M qua đàa phương hố, qua đ¦y đõ hóa tính khơng tăng cõa sp(M/xM) x mët ph¦n tû tham sè Chúng tơi tính tốn sp(M) thông qua chi·u kiºu đa thùc cõa môđun khuyát thiáu cừa M Chỳ ý rơng bi bỏo [8], N.T Cưíng, Đ.T Cưíng H.L Trưíng nghiên cựu mởt bĐt bián mợi cừa M thụng qua số bëi, vành sð thương cõa vành Cohen-Macaulay a phng thỡ bĐt bián ny chớnh l kiu đa thùc dãy cõa M G¦n đây, S Goto L.T Nhàn [21] đưa đ°c trưng tham sè cõa kiºu đa thùc dãy Möc tiêu thù hai cõa luªn án nghiên cùu mët sè tốn v· ch số khÊ quy cừa cỏc mụun hỳu hÔn sinh vành đàa phương Mët môđun N cõa M l bĐt khÊ quy náu N 6= M v N khơng thº vi¸t thành giao cõa hai mơđun thüc sü chùa Khi đó, đành lý b£n thù hai cõa E Noether [29] nói r¬ng méi mơđun N cõa M đ·u phân 79 b¬ng ho°c mụun bĐt khÊ tờng Bơng cỏch bọ i tĐt cÊ nhỳng thnh phƯn thứa v ỏnh số lÔi cỏc thnh phƯn cũn lÔi, tỗn tÔi t k t cho A/B = P (Ai + B)/B biu diạn bĐt khÊ tờng khụng thứa cừa i=1 A/B Do vªy, irR(A/B) = t ≤ k = irR(A) Bê đ· sau ch¿ r¬ng ch¿ sè kh£ quy cõa ối ngău Matlis cừa mụun thng M/N khụng phử thuởc vào vành sð Bê đ· 3.3.5 irR DR(M/N) = irRb DR(M/N) = irRb DRb(Md/Nc) Chùng minh Do DR(M/N) E(R/m) R-môđun Artin, theo Chú ∼ ý 3.1.3 ta có đ¯ng c§u Rc-mơđun DR(M/N) = Rc ⊗R D(M/N) ∼ E(R/m) = E(R/cmRc) Ngoài ra, ỏnh xÔ R Rc l phng nờn D (M/N) ∼ Rc⊗ D (M/N) ∼ Hom ((M/N)⊗ R,c E⊗ Rc) ∼ D (Md/Nc) R = R R = Rb R R = Rb Do vªy tø Bê đ· 3.3.3 ta có irR DR(M/N) = irRb DR(M/N) = irRb DRb(Md/Nc) Nh-c lÔi rơng mởt hằ sinh cỹc tiu cừa M l mët h» sinh mà khơng thüc sü chùa b§t kỳ mët h» sinh khác cõa M K¸t qu£ sau cho ta mèi quan h» giúa h» sinh cüc tiºu cõa M vỵi sð cõa kkhơng gian vectơ M/mM Bê đ· 3.3.6 S mët h» sinh tèi tiºu cõa M n¸u ch¿ n¸u £nh S cõa S M ∗ ∗ ∗ = M/mM mët sð cõa k-khơng gian vectơ M Ngồi ra, cỏc hằ sinh cỹc tiu cừa mởt mụun hỳu hÔn sinh vành đàa phương có sè ph¦n tû Bê đ· dưỵi cho ta cơng thùc tính ch¿ sè kh£ quy cõa mơđun Artin có đë dài húu hÔn 80 Bờ ã 3.3.7 Cho M l mởt R-mụun hỳu hÔn sinh v A l mởt Rmụun Artin Khi phát biºu sau (i) (ii) dimk Soc(M) = dimk (DR(M)/m DR(M)) N¸u B mơđun cõa A cho `R(A/B) < ∞ B + mA = A B = A (iii) N¸u A cú di hỳu hÔn thỡ irR(A) = dimk(A/mA) ∼ Chùng minh (i) Rõ ràng D (Soc(M)) Hom (Hom (R/m, M), E) = R R R Vì R/m R-mụun hỳu hÔn sinh v E l R-mụun nởi xÔ, áp dưng [40, Bê đ· 2.2] ta có Hom (Hom (R/m, M), E) R = R Do D (Soc(M)) ∼ R/m⊗ Hom (M, E) R R ∼ D (M)/mD (M) = R R D (M)/mD (M) Vì Soc(M) k-không gian = R ∼ R R vectơ, ta thu đưđc đ¯ng c§u k-khơng gian vectơ DR(Soc(M)) = HomR(Soc(M), E(k)) = Homk(Soc(M), k) Do dimk Soc(M) < ∞, ta thu đưñc dimk Soc(M) = dimk(Homk(Soc(M), k)) = dimk DR(Soc(M)) = dimk(DR(M)/mDR(M)) (ii) Gi£ sû A 6= B Cho a ∈ A \ B Tø A/B có đë dài húu hÔn v A B, tỗn tÔi số nguyờn k ≥ cho m k−1 k A B m A ⊆ B Vì A = B + mA, ta có m k−1 A=m k−1 (B + mA) ⊆ m k−1 k B + m A ⊆ B, iãu ny l mõu thuăn (iii) GiÊ sỷ rơng dimk(A/mA) = n Cho {e1, , en} mët sð cõa k-khơng gian vectơ A/mA, ei = ei + mA vỵi i = 1, , n 81 Đ°t Bi = Rei Khi (B1 + + Bn + mA)/mA = A/mA Suy A = (B1 + + Bn) + mA Tø `R(A) < ∞, theo phát biºu (ii) ta có A = B1 + + Bn Biºu di¹n biºu diạn bĐt khÊ tờng khụng thứa cừa A Thêt vêy, `R(A) < ∞, theo Bê đ· 3.3.6 ta suy {e1, , en} h» sinh tèi tiºu cõa A Do méi Bi khơng thøa Cho i ∈ {1, , n} Náu Bi khụng l bĐt khÊ tờng thỡ Bi = C + D, C, D mơđun thüc sü cõa Bi Suy ei = x + y, x ∈ C, y ∈ D LÔi {ei} v {x, y} l hai hằ sinh cõa Bi, áp dưng Bê đ· 3.3.6 ta có {x, y} không h» sinh tèi tiºu cõa Bi Do vªy Bi = Rx or Bi = Ry, tùc Bi = C ho°c Bi = D, đi·u mõu thuăn Bờ ã hon ton ủc chựng minh Hai bê đ· sau k¸t qu£ bê trđ cho vi»c chùng minh k¸t qu£ cõa ti¸t Gi£ sû A R-mơđun Artin N¸u B mơđun cõa A, tồn c§u t-c p : A → A/B c£m sinh đơn c§u D(A/B) → D(A), ú phƯn tỷ f D(A/B) cú th ỗng nhĐt vợi phƯn tỷ f p D(A) Do ú, ta có thº xét D(A/B) mët mơđun cõa D(A) Bê đ· 3.3.8 Cho A mët R-môđun Artin Gi£ sû B, C môđun cõa A Khi phát biºu sau đúng: (i) (ii) N¸u D(A/B) ∩ D(A/C) = A = B + C; N¸u A = B + C D(A/B) ∩ D(A/C) = Chùng minh (i) Gi£ sû A 6= B + C Khi D(A/(B + C)) 6= Do A/ (B + C) thương cõa A/B, ta có thº xét D(A/(B + C)) mët mơđun cõa D(A/B) Tương tü, D(A/(B + C)) mët mơđun cõa D(A/C) Theo nhªn xét trên, ta xét D(A/B) D(A/C) môđun cõa D(A) Khi D(A/(B + C)) mơđun khác cõa 82 D(A/B) D(A/C), iãu ny l mõu thuăn Do A = B + C, ta có dãy khỵp → A/B ∩ C → A/B ⊕ A/C → Do đó, ta suy (ii) D(A/B) ⊕ D(A/C) ∼ D(A/B ∩ C) = p1 Cho f ∈ D(A/B)∩D(A/C) Khi ta có thº vi¸t f = f1p1 : A/(B ∩ C) → f p2 A/B → E(R/m) f = f2p2 : A/(B ∩ C) → f A/C E(R/m), ú cỏc ỏnh xÔ p1 : A/(B ∩ C) → A/B p2 : A/(B ∩ C) A/C l cỏc ton cĐu tỹ nhiờn Vợi méi a ∈ A, A = B + C, ta có thº biºu di¹n a = b + c vỵi b ∈ B c ∈ C Khi f(a + B ∩ C) = f(b + c + B ∩ C) = f1(c + B) = f2(b + C) Do f1(c+B) = f(c+B∩C) f2(b+C) = f(b+B∩C) nên f(c+B∩C) = f(b + B ∩ C) Suy f(b − c + B ∩ C) = Do f2(b − c + C) = Mà c ∈ C nên f2(b + C) = Do f(a + B ∩ C) = Vªy f = bê đ· đưñc chùng minh Bê đ· 3.3.9 Gi£ sû r¬ng R = Rc Cho A mët R-mơđun Artin Các phát biºu sau (i) N¸u N mët mơđun b§t kh£ quy cõa M D(M/N) l Rmụun bĐt khÊ tờng (ii) Náu A l b§t kh£ têng, mơđun b§t kh£ quy cõa D(A) Chùng minh (i) Khơng m§t tính têng quát, ta có thº gi£ sû N = Ta cƯn chựng minh D(M) l bĐt khÊ tờng GiÊ sỷ phÊn chựng rơng D(M) khụng l bĐt khÊ tờng Khi D(M) = B + C, B, C mơđun thüc sü cõa D(M) Do đó, theo Bê đ· 3.3.8(ii) ta có D(D(M)/B)) ∩ D(D(M)/C)) = 83 Vì D(M)/B mơđun thương cõa D(M), nên D(D(M)/B) môđun cõa D(D(M)) Tương tü D(D(M)/C) môđun cõa D(D(M)) Do R = R, ta có D(D(M)) ∼ M Chú ý r¬ng D(M)/B 6= = c D(M)/C 6= Do D(D(M)/B)) D(D(M)/C)) môđun khác cõa M, đi·u ny l mõu thuăn GiÊ sỷ phÊn chựng khụng mơđun b§t kh£ quy D(A) Khi (ii) = N1 ∩N2, N1, N2 mơđun khác cõa D(A) Chú ý r¬ng A ∼ D(D(A)) Do đó, D(N ) D(N ) môđun thương = cõa A Đ°t D(N1) = A/B D(N2) = A/C, B C mơđun cõa A Vì N1, N2 6= 0, ta có A 6= B A 6= C Do R = R,c ta suy ∼ ∼ r¬ng N D(D(N )) = D(A/B) N D(D(N )) = D(A/C) 1= 2= Do D(A/B) ∩ D(A/C) = Do vªy, theo Bê đ· 3.3.8(i), ta có A = B + C Đi·u mõu thuăn nh lý sau õy l kát quÊ chớnh cõa ti¸t này, đưa sü so sánh giúa ch¿ sè kh£ quy cõa mët môđun N cõa M v ch số khÊ quy cừa ối ngău Matlis D(M/N) Đành lý 3.3.10 Cho R = Rc N mët mơđun cõa M Khi irR(D(M/N)) ≤ irM (N) t Chùng minh Đ°t irM (N) = t Cho N = ∩ Ni mët phân tích b§t kh£ i=1 quy khơng thøa cõa N Khi ta có đơn c§u ϕ : M/N → M/N1 ⊕ ⊕ M/Nt cho bði ϕ(a + N) = (a + N1, , a + Nt) Do ta thu đưđc tồn c§u t-c t ⊕ i=1D(M/Ni) → D(M/N) 84 Do Ni b§t kh£ quy nên D(M/Ni) b§t kh£ têng theo Bê đ· 3.3.9(i) Do vªy theo Bê đ· 3.3.4(ii) ta có t irR(D(M/N)) ≤ ir ⊕ i=1D(M/Ni) = t Đành lý hoàn tồn đưđc chùng minh Nhªn xét sau cho ta đi·u ki»n đº b§t đ¯ng thùc đành lý xÊy dĐu bơng Nhên xột 3.3.11 Náu `R(M/N) < ∞ irM (N) = irMcNc = irRb D(Md/Nc) = irR D(M/N) Chùng minh Do `R(M/N) < ∞ nên irM (N) = dimk Soc(M/N) = dimk(D(M/N)/mD(M/N)) = irR D(M/N) theo Bờ ã 3.3.7(i) Kát luên cừa chng Trong chng chúng tơi thu đưđc k¸t qu£ sau - Đưa công thùc ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa iđêan tham sè tèt cõa M trưíng hđp sp(M) ≤ 1; Chùng minh ch¿ sè kh£ quy cõa mơđun Artin A b£o tồn qua đ¦y đõ m-adic; - - Đưa cơng thùc tính ch¿ sè kh£ quy cõa mơđun Artin A trưíng hđp `R(A) < ∞ - Chùng minh irR(D(M/N)) ≤ irM (N) irM (N) ch¿ sè kh£ quy cõa mơđun N M irR(D(M/N)) ch¿ sè kh£ quy cừa ối ngău Matlis cừa M/N Ch rơng dĐu bơng xÊy `R(M/N) < 85 K˜T LUŠN CÕA LUŠN ÁN Trong luªn án này, chúng tụi ó thu ủc nhỳng kát quÊ sau Giợi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u sp(M) đº đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy cõa M Ch¿ r¬ng sp(M) chi·u cõa q tích khơng Cohen-Macaulay dãy cõa M n¸u R thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương; Mô t£ sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy dưỵi tác đëng đàa phương hóa đ¦y đõ m-adic; Ch¿ mèi quan h» giúa sp(M) sp(M/xM), x ph¦n tû låc quy ch°t; Tính tốn kiºu đa thùc dãy cõa M thông qua chi·u kiºu a thực cừa cỏc mụun khuyát thiáu cừa M vợi gi£ thi¸t R thương vành Gorenstein đàa phương; Đưa công thùc ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa iđêan tham sè tèt q cõa M vỵi sp(M) ≤ 1; 86 Chùng minh mët sè tính ch§t b£n cho ch¿ sè kh£ quy phÔm trự cỏc mụun Artin v ch mối quan h» giúa ch¿ sè kh£ quy cõa môđun cõa M vỵi ch¿ sè kh£ quy cõa Đèi ngău Matlis cừa cỏc mụun thng tng ựng cừa M 87 Danh sách cơng trình cõa tác gi£ liên quan đ¸n đ· tài [1] L.T Nhan, T.D Dung and T.D.M Chau, "A measure of non- sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules", J Alge-bra, 468 (2016), 275-295 [2] T.D Dung and L.T Nhan, "A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, 223 (2019), 3964-3979 [3] Tr¦n Đùc Dũng, "On the invariant of the index of reducibility for parameter ideals of Cohen-Macaulay modules", TÔp Khoa hồc v Cụng nghằ Ôi hồc Thỏi Nguyờn, 147(02) (2015), 199202 [4] N.T Cuong, T.D Dung and L.T Nhan, "Reducibility index of finitely generated modules and Matlis duality", (2019), Preprint 88 Các kát quÊ luên ỏn ó ủc bỏo cỏo v thÊo luên tÔi - Seminar Ôi số v Lý thuyát số, Ôi hồc Thỏi Nguyờn - Hởi ngh Ôi số - Hình håc - Tơpơ, Bn Ma Tht, 10/2016 - Hởi thÊo liờn kát Viằt-Nhêt, Thỏi Nguyờn, 1/2017 - Hởi nghà Tốn håc Tồn qc l¦n thù 9, Nha Trang, 8/2018 - Hởi ngh Ôi số Giao hoỏn Viằt-Nhêt, Huá, 9/2018 89 Tài li»u tham kh£o Ti¸ng Anh [1] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Uni-versity Press, 1998 [2] M Brodmann and L.T Nhan, "A canonical Cohen-Macaulay mod-ules", J Algebra, 371 (2012), 480-491 [3] M Brodmann and C Rotthaus, "Local domains with bad sets of formal prime divisors", J Algebra, 75 (1982), 386-394 [4] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [5] N.T Cuong, "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain sys-tems of parameters in local rings", Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [6] N.T Cuong and D.T Cuong, "On sequentially Cohen-Macaulay modules", Kodai Math J., 30 (2007), 409-428 [7] N.T Cuong and D.T Cuong, "Local cohomology and annihilators and Macaulayfication", Acta Mathematica Vietnamica, 42(1) (2017), 37-60 [8] N.T Cuong, D.T Cuong and H.L Truong, "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, (2010), 959-976 [9] N.T Cuong, T.D Dung and L.T Nhan, "Reducibility index of finitely generated modules and Matlis duality", (2019), Preprint 90 [10] N.T Cuong, M Morales and L.T Nhan, "The finiteness of certain sets of attached prime and the length of generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 189(1-3) (2004), 109-121 [11] N.T Cuong and L.T Nhan, "Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized cohen-Macaulay modules", J Algebra, 267 (2003), 156-177 [12] N.T Cuong, L.T Nhan and N.T.K Nga, "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J Algebra, 323 (2010), 3029-3038 [13] N.T Cuong and P.H Quy, "A splitting theorem for local cohomology and its applications", J Algebra, 331 (2011), 512-522 [14] N.T Cuong, P.H Quy and H.L Truong, "On the index of reducibil-ity in Noetherian modules", J.Pure and Appl Algebra, 219 (2015), 4510-4520 [15] N.T Cuong and H.L Truong, "Asymptotic behavior of parameter ideals in generalized Cohen-Macaulay module", J Algebra, 320 (2008), 158-168 [16] Tr¦n Đùc Dũng, "On the invariant of the index of reducibility for parameter ideals of Cohen-Macaulay modules", TÔp Khoa hồc v Cụng nghằ Ôi hồc Thái Nguyên, 147(02) (2015), 199–202 [17] T.D Dung and L.T Nhan, " A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, 223 (2019), 3964-3979 [18] S Endo and M Narita, "The number of irreducible components of an ideal and the semi-regularity of a local ring", Proc Japan Acad, 40 (1964), 627-630 [19] D Ferrand and M Raynauld, "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian", Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [20] A Grothendieck, "Local homology", Lect Notes in Math., SpringerVerlag Berlin-Heidelberg-New York, 20 (1967), 303-311 [21] S Goto and L.T Nhan, "On the sequential polynomial type of modules", J Math Soc Japan, 70 (2018), 363-383 [22] S Goto and H Sakurai, "The equality I = QI in Buchsbaum rings", Rend Sem Univ Padova., 110 (2003), 25-56 91 [23] S Goto and N Suzuki, "Index of reducibility of parameter ideals in a local ring", J.Algebra, 87 (1984), 53-88 [24] J Herzog and E Sbarra, "Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology", in: Algebra, Arithmetic and Geometry, Parts I, II, Mumbai, (2000), in: Tata Inst Fund Res Stud Math., 16, Tata Inst Fund Res., Bombay (2002), 327-340 [25] I.G Macdonald, "Secondary representation of modules over a com-mutative ring", Symp Math., 11 (1973), 23-43 [26] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 [27] I.G Macdonal and R.Y Sharp, "An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules", Quart J Math Oxford, 2(23) (1972), 197-204 [28] D.G Northcott, "On irreducible ideals in local rings", J London Math Soc, 32 (1957), 82-88 [29] E Noether, "Idealtheorie in Ringbereichen", Math.Ann, 83 (1921), 24-66 [30] M Nagata, Local Rings, Interscience, New York, 1962 [31] L.T Nhan, "On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules", Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [32] L.T Nhan and T.N An, "On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules", J Algebra, 321 (2009), 303-311 [33] L.T Nhan, T.D Dung and T.D.M Chau, "A measure of nonsequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules", J Algebra, 468 (2016), 275-295 [34] L.T Nhan and P.H Quy, "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420 (2014), 475-485 [35] L.T Nhan, N.T.K Nga and P.H Khanh, "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, 42 (2014), 4412-4425 92 [36] P.H Quy, "Asymptotic behaviour of good systems of parameters of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules", Kodai Math J., 35 (2012), 576-588 [37] P.H Quy, "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one", Arch Math.(Basel), 101 (2013), 469-478 [38] J.D Sally, Numbers of generators of ideals in local rings, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1978 [39] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, in: Proc of the Ferrara Meeting in Honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium (1998), 245-264 [40] R.Y Sharp, "Some results on the vanishing of local cohomology modules", Proc London Math Soc, 30 (1975), 177-195 [41] R.P Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhauser, Boston, 1996 [42] J Stuckrad and W Vogel, Buchsbaum rings and applications, Springer-Verlag, 1986 [43] H.L Truong, "Index of reducibility of distinguished parameter ide-als and sequentially Cohen-Macaulay modules", Proc Amer Math Soc., 141 (2013), 1971-1978 [44] N.V Trung, "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules", Nagoya Math J., 102 (1986), 1-49 [45] M Tousi and S Yassemi (2005), "Sequentially CohenMacaulay modules under base change",Comm Algebra, 33(11) (2005), 3977-3987 [46] Y Yao, Finite F - representation type and primary decomposition, PhD Thesis, 2002 [47] Y Yao, "Primary decomposition: Compatibility, independence and linear growth", Proc Amer Math Soc, 130 (2002), 1629-1637 Ti¸ng Đùc [48] N.T Cuong, P Schenzel and N.V Trung, "Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr, 85 (1978), 57-75 93 [49] J Stuăckrad and W Vogel (1973), "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J Math Kyoto Univ., 13 (1973), 513-528 ... NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC TR†N ĐÙC DŨNG V— KIšU ĐA THÙC DÃY VÀ CHŸ SÈ KHƒ QUY CÕA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Ôi số v Lý thuyát số Mó số: 46 01 04 LUŠN ÁN TI˜N SĨ TỐN HÅC Tªp thº hợng... kiu đa thùc, môđun Cohen-Macaulay, môđun CohenMacaulay suy rëng, môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen- ii Macaulay suy rëng dãy Trong Chương 2, chúng tơi giỵi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy. .. ối ỗng iãu 1.2 Mụun Cohen-Macaula 1.3 Môđun Cohen-Macaula suy rëng dãy Chương Kiºu đa thùc dãy cõa môđun 2.1 Låc chi·u dãy låc ch 2.2 Kiºu đa thùc dãy qua đà 2.3 Mèi quan h» giúa sp(M