Đề 8 cuối kì giải tích i k59

Đề 8: Đề thi cuối kỳ mơn giải tích I – k59  3s inx  x Câu 1: Tìm giới hạn lim   x 0   sin x    2 x  e x khi:x  Câu 2: Cho hàm số f ( x)   0khi : x  Tính f '(0) Câu 3: Tìm tiệm cận hàm số y  3x  2arctan x ln( x  1) dx Câu 4: Tính tích phân  ( x  2) ln Câu 5: Tính tích phân  e3 x dx 2e x  Câu 6: Sử dụng vi phân toàn phần, tính gần đúng: A  4(1,97)  (3, 02)3  Câu 7: Tìm cực trị hàm số z  x4  x2 y  y  x  Câu 8: Cho hàm số f ( x, y )  x3  y Tính đạo hàm riêng f f 2 f (0;0), (0;0), (0;0) x y y Câu 9: Chứng minh với   ,tích phân suy rộng   cosx dx hội tụ x Câu 10: Cho số xi , yi  (a, b), i  1, , n(n  1) xi  yi ,1  i  n Chứng minh rằng: f khả vi (a,b) tồn số c   a, b  cho Đáp án: n n i 1 i 1   f ( xi )  f ( yi )  f '(c) ( xi  yi ) Câu 1: 2 1 3sin x  4sin x  lim ln 1 lim ln    3sin x  x  ) lim   e x0 x 1sin x  e x0 x  1sin x   x 0   sin x   4sin x  4sin x  ) lim ln 1   lim  8  x 0 x   sin x  x 0 x  sin x Giới hạn e8 Câu 2: ) f '(0)  lim h 0 2h  e h  h ) f '(0)  lim h 0 2h  e h  h 2 Câu 3: +) Hàm số khơng có tiệm cận đứng +) Khi x   : arctan x   , tiệm cận xiên: y  x  3  +) Khi x   : arctan x   , tiệm cận xiên: y   x  3 Câu 4: +) Đặt u  ln( x  1), dv  I  dx 2x 1 Ta có: du  dx, v  ( x  2) x 1 x2 ln( x  1) 2x  dx x2 ( x  1)(x  2) +) 2x 4x  ln( x  1) 2 x   ,I     dx   dx   dx 2 ( x  1)( x  2) 5( x  1) 5( x  2) x2 x 1 x 1 x2 ln( x  1) 2 I   ln( x  1)  arctanx  ln x   C x2 5 Câu 5: Đặt e x  t : I   t2 dt 2t  t2 1 1 1 1 2 ) I   dt   ( t   )dt   t  t  ln(2t  1)    ln  2t  4(2t  1) 8 4 1 1 Câu 6: ) Xét hàm số f ( x, y)  x  y  3, A  f (1,97;3, 02) 2 2 1 f x'  (4 x  y  3)  x, f y'  (4 x  y  3)  (3 y ) : f x' (2;3)  ; f y' (2;3)   3 4 +) f (1,97;3, 02)  f (2;3)  f x' (2;3)  0, 03  f y' (2;3)  0, 02  2   0, 03   0, 02  2, 085 Câu 7: ) zx'  x3  xy   0, z 'y  2 x  y  Từ pt (2): x2  y, x3   Điểm dừng M1 (1;1) +) A  zxx''  24 x  y, B  z xy''  4 x, C  z ''yy  Tại M1 (1;1) : B2  AC  64  ,điểm cực tiểu, zmin  1 Câu 8; ) f f (h;0)  f (0;0) f f (0; h)  f (0;0) (0;0)  lim  2, (0;0)  lim 1 h 0 h 0 x h y h ) f (0; h)  f y (0;0) f y2 2 f 1  , (0;0)  lim y  lim  h 0 h 0 h x (2 x3  y )2 y h Câu 9: A ) Xét A A A cosx cos x A sin x sin A sin x dx  d (cos x )    dx   sin1    dx   1  1 x 1 x   x x A x 1 1 +) Cho A   : sin A  A  sin x  x 1 dx hội tụ , Câu 10: +) Ta chứng minh qui nạp toán học n=1: Định lý Lagrange sinx   1 , hội tụ tuyệt đối  1 x x +) Giả sử mệnh đề với n, tức tồn co   a, b  cho: n   f ( xi )  f ( yi )  i 1 n f '(co ) ( xi  yi ) i 1 Xét xn1  yn1 thuộc khoảng (a,b) Định lý Lagrange c1   a, b  : f ( xn 1 )  f (yn 1 )  f '(c1 )( xn 1  yn 1 ) Nếu co  c1  c có điều phải chứng minh n Nếu co  c1 f '(co ) ( xi  yi )  f '(c1 )( xn 1  yn 1 ) i 1 n 1  (x  y ) i 1 i f '(co ) f '(c1 ) , với  t   (1  t ) f '(co )  tf '(c1 ) số nằm i (x n 1  yn 1 ) n 1  (x  y ) i 1 i  Do hàm số f khả vi  co , c1  nên i theo định lý giá trị trung bình hàm khả vi, tồn c   co , c1  cho f '(c)  (1  t ) f '  co   tf '  c1  Suy điều phải chứng minh Làm tương tự với co  c1 ... 2 1 3sin x  4sin x  lim ln 1 lim ln    3sin x  x  ) lim   e x0 x 1sin x  e x0 x  1sin x   x 0   sin x   4sin x  4sin x  ) lim ln 1   lim  8  x 0 x   sin x ... n=1: Định lý Lagrange sinx   1 , h i tụ tuyệt đ i  1 x x +) Giả sử mệnh đề v i n, tức tồn co   a, b  cho: n   f ( xi )  f ( yi )  i 1 n f '(co ) ( xi  yi ) i 1 Xét xn1  yn1... 0 x  sin x Gi i hạn e8 Câu 2: ) f '(0)  lim h 0 2h  e h  h ) f '(0)  lim h 0 2h  e h  h 2 Câu 3: +) Hàm số khơng có tiệm cận đứng +) Khi x   : arctan x   , tiệm cận xiên: y 