42 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên lê hồng phong nam định năm 2014 2015 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: 1 + + = a + b + c = a b c Chứng minh (a-1)(b-1)(c-1)=0 2) Với số nguyên dương n; chứng minh (3 + 5) n + (3 − 5) n số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình ( x + − x − 2)(1 + x + x − 12) =  x + xy = y + y  2) Giải hệ phương trình  = − x3 2 y + + x +1  Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác ABC cắt H Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) K khác A 1) Chứng minh A1 trung điểm HK HA HB HC + + 2) Hãy tính AA1 BB1 CC1 3) Gọi M hình chiếu vng góc O BC Đường thẳng BB1 cắt (O) giao điểm thứ hai E, kéo dài MB1 cắt AE N Chứng minh AN AB = ( )2 NE EB1 Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x + y − 3xy = Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi số nguyên dương có hai chữ số trở lên Người ta thiết lập số cách xóa chữ số hàng đơn vị số cho, sau cộng vào số lại lần số vừa bị xóa Ban đầu bảng ghi số 6100 Hỏi sau số bước thực ta thu 1006 hay không ? Tại ? 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≤ 4 x + yz y + xz z + xy Hết Hướng dẫn giải: Bài 1: (2,0 điểm): 1)Từ GT ta có: 1 1 1 1 + + = => ( + ) − ( − )=0 a b c a+b+c a b c a +b+c a+b a+b => + =0 ab c (a + b + c ) => (a + b) [ (c(a + b + c) + ab ] = => (a + b)(b + c)(a + c) = a + b = => b + c =  c + a = Nếu a + b = => c = => c – = => (a-1)(b-1)(c-1)=0 Nếu c + b = => a = => a – = =>(a-1)(b-1)(c-1)=0 Nếu a + c = => b = => b – = => (a-1)(b-1)(c-1)=0 Vậy ta có đpcm 2)Với số nguyên dương n; chứng minh (3 + 5) n + (3 − 5) n số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình ( x + − x − 2)(1 + x + x − 12) = ĐKXĐ x ≥ , đặt x + = a ≥ 0; x − = b ≥ => a − b = PTTT : (a − b)(1 + ab) = a − b (a − b)(1 + ab − a − b) =  a = b x + = x − 2(VN )   a = x + = 1(VN )  + ab − a − b = ( a − 1)( b − 1) =   b = x − = x = 3(TM )  PT cho có nghiệm x =  x + xy = y + y (1)  2) Giải hệ phương trình  = − x3 (2) 2 y + + x +1  (1) ( x − y ) + xy − y = ( x − y )( x + xy + y + y ) =  x = y2   x = x + xy + y + y = ( x + y ) + y + y =  (TM (2))  y =  Với x=y2 Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK cân C, CA1 đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có: HA HB1 HC1 HA HB1 HC1 HA HB HC + + = (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) = 3−( + + ) AA1 BB1 CC1 AA1 BB1 CC1 AA1 BB1 CC1 a) = 3−( S HBC S HAC S HBA + + ) = −1 = S ABC S ABC S ABC c) Từ GT => M trung điểm BC => => ∆B1MC cân M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B1 N ⊥ AE Áp dụng hệ thức lương tam giác vng ta có:  AB1  AN AE AN = (đpcm)  ÷ = EN EA EN  EB1  Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x + y − 3xy = x + y − 3xy = ( x + y )3 − 3xy ( x + y ) − xy = Đặt x + y = a xy = b (a, b nguyên) ta có: a − 3ab − 3b = (a + 1)(a − a + 1) − 3b(a + 1) = (a + 1)(a − a + − 3b) = Vì a, b ngun nên có TH sau : a = a + =  1)   −1 ( L ) a − a + − 3b = b = a + = a = x + y = 2)   (TM )  => ( x; y ) ∈ {(0;1);(1;0)} b =  xy =  a − a + − 3b = a + = −1  a = −2  x + y = −2 3)   (TM )  => ( x; y ) ∈ ∅ b =  xy = a − a + − 3b = −2  a + = −2  a = −3  x + y = −3 4)   (TM )  => ( x; y ) ∈∅ b =  xy =  a − a + − 3b = −1 Vậy ( x; y ) ∈ {(0;1);(1;0)} Bài 5: (1,5 điểm): 2)Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≤ 4 x + yz y + xz z + xy Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 1 x2 +)2 x yz ≤ x + yz ≥ ≤ (1) x + yz yz x yz x + yz +) 1 1 1 ≤ + ≤ ( + )(2) yz y z yz y z Từ (1) (2) => : x2 1 ≤ ( + ) x + yz y z Tương tự: y2 1 ≤ ( + ) y + xz x z z2 1 ≤ ( + ) z + xy x y 1 1 1 1 1 1 xy + yz + zx => A ≤ ( + + + + + ) = ( + + ) = (3) y z x z x y y z x xyz Mà lại có : xy + yz + zx ≤ x + y + z (4) x + y + z xyz = = đpcm Từ (3) (4) có : A ≤ xyz xyz Dấu “=” xảy x=y=z=1 ... 1) =   b = x − = x = 3(TM )  PT cho có nghiệm x =  x + xy = y + y (1)  2) Giải hệ phương trình  = − x3 (2) 2 y + + x +1  (1) ( x − y ) + xy − y = ( x − y )( x +... ∆B1MC cân M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B1 N ⊥ AE Áp dụng hệ thức lương tam giác vuông ta có:  AB1  AN AE AN = (đpcm)  ÷ = EN EA EN  EB1  Bài 4: (1,0...Hướng dẫn giải: Bài 1: (2,0 điểm): 1)Từ GT ta có: 1 1 1 1 + + = => ( + ) − ( − )=0 a b c a+b+c a b c a +b+c