CÔNG THỨC góc GIỮA HAI mặt PHẲNG (2)

BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tạp chí và tư liệu toán học Bài toán tènh gêc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối khê và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bæn cạnh nhữ

BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Tạp chí và tư liệu toán học

Bài toán tènh gêc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối khê và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bæn cạnh những phương pháp truyền thống như dựng hçnh tạo gêc thì trong chủ đề của tuần này ta sẽ cíng tçm hiểu tới 3 phương pháp giải quyết các bài toán trắc nghiệm cê thể nêi gần như mọi bài toán tènh gêc giữa 2 mặt phẳng mà ta hay

gặp Bản pdf được đăng træn blog Chinh phục Olympic toán các bạn chî ï đên đọc nhå!

I CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ

1 SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU

Đây là một tènh chất khá là cơ bản trong chương trçnh hçnh học 11 mà ta cần nắm rì, cëng thức của nê rất đơn giản như sau

Nội dung Cho hình S thuộc mặt phẳng  P , hình S ' là hçnh chiếu của S læn mặt phẳng

 Q , khi đê ta cê cosin gêc giữa hai mặt phẳng  P và  Q được tènh theo cëng thức

S'

cos

S

  Sau đây là vè dụ minh họa cho cëng thức này

Bài toán : Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB a;AD 2a  AA' 4a Gọi M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA MA' , ND 3ND' ,PB' 3PB , mặt phẳng MNP cắt cạnh CC; tại Q Tènh cosin gêc giữa MNQP ; ABCD  

Hướng dẫn

Đầu tiæn ta cần phải chî ï tới cách dựng được

điểm Q Kẻ đường nối tâm 2 đáy   , ta thấy PN

thuộc mặt phẳng B'D'DB nên   sẽ cắt PN,

đồng thời P, M, N cíng thuộc mặt phẳng næn nối

M vs giao điểm vừa tçm được ta sẽ ra được điểm

Q Vấn đề ở đây là ta cần tènh được tỷ số C'Q

CQ , ta

sẽ sử dụng tới tènh chất sau

Đặt x A'M, y B'P,z C'Q, t D'N

cê 2 cëng thức cần nhớ sau:

Q

M

D' A'

C B

P

N

 A'B'C'D'.MPQN

A'B'C'D'.ABCD

  



 x z y t  

Áp dụng vào bài toán ta suy ra C'Q 1

CC' 2 Để ï ta thấy rằng MN PQ,MP QN nên MNQP là hçnh bçnh hành Dễ dàng tènh được các đoạn thẳng



2 2



2 2

Từ đây díng cëng thức Herong dễ dàng tènh được SMNQP 599

48

 Mặt khác hçnh chữ nhật ABCD chènh là hçnh chiếu của hçnh bçnh hành MNQP læn mặt phẳng ABCD næn áp dụng cëng thức cần ta cê       ABCD

MNQP

cos MNQP ; ABCD

2 SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHỊ DIỆN

Đây là một cëng cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán tènh gêc giữa 2 mặt phẳng, hầu hết các bài toán đơn giản hay đến phức tạp đều cê thể giải bằng phương pháp này, sau đây ta

sẽ cíng tçm hiểu nê Trong phần này mçnh sẽ chỉ hướng dẫn các bước làm cho các bạn!

Các bước thực hiện

Bước 1: Đưa gêc giữa hai mặt phẳng về gêc giữa hai mặt phẳng kề nhau của một tứ diện

Chî ï điều này luën thực hiện được

Bước 2: Sử dụng cëng thức: V2S S sin1 2 

3a Trong đê S , S1 2 lần lượt là diện tèch hai tam giác kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến, cén  là gêc giữa hai mặt phẳng cần tçm

Bài toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a;ASB 60 ;BSC 90 ;CSA 120    o  o  o Tính cosin  SAB ; SBC   

Hướng dẫn

Yæu cầu của đề bài là tènh gêc giữa hai mặt phẳng thç

theo như bước 1 ta phải đưa về một tứ diện với bài này

thç khỏi nhỉ bởi nê đã thuộc 1 tứ diện sẵn rồi  Giờ ta

phải tènh thể tèch của khối tứ diện đê Đầu tiæn thç phải

chî ï đến giả thiết, với những bài mà cho độ dài các

cạnh bæn với lại gêc ï thç ta phải dựng một chêp tam

giác đều khác bằng cách lấy træn SB,SB các điểm B’, C’

sao cho SB' a, SC' a  thç ta được S.AB’C’ là chêp tam

giác đều và ta sẽ tènh được thể tèch của nê, xong sau

đêtìm dùng công thức tỷ số thể tèch sẽ tènh được VS.ABC

B

S

B'

C'

Đê là cách làm truyền thống, cén đối với thi trắc nghiệm thç cê thể nhớ cëng thức tènh thể tèch như sau:

Tứ diện S.ABC cê SA a, SB b, SC c,ASB    ,BSC ,CSA  thç thể tèch của nê là:

V abc 1 2 cos cos cos cos cos cos 6

Áp dụng vào bài ta tènh được thể tèch là VS.ABC a 2

2 Đồng thời cê giả thiết gêc thç suy ra tất cả các cạnh của nê ta sẽ tènh được diện tèch của hai

SAB SBC

a 3

Tương vào cëng thức ta cê sin SAB ; SBC      2 cos SAB ; SBC      3

Xong bài nhé!  đơn giản khëng nào

Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC 3,CD 4,ABC BCD ADC 90 , AD,BC     o  60o Tính cos ABC ; ACD     

Hướng dẫn

Một bài toán tương đối khê phải khëng nào?

Ở bài toán này ta các bạn cê nhớ đến định lï ba đường

vuông góc không??? Theo giả thiết thç cê phải là tam

giác BCD vuëng tại C đîng khëng? Tiếp theo hai gêc

ABC, ADC cũng vuëng điều này chứng tỏ là hçnh chiếu

AB lên BDC sẽ vuëng gêc BC, hçnh chiếu AD læn

BDC cũng vuëng với CD, nhỉ? Đến đây thç cần tçm

điểm E sao cho E là hçnh chiếu của A læn BDC có

phải là từ B kẻ vuëng gêc với BC, D kẻ vuëng gêc với

CD thç ta sẽ được điểm E cần tçm ko? Oh khëng những

thế AE cén vuëng gêc với cả mặt phẳng BCD nữa

C

E A

Đến đây quy về bài toán quá bçnh thường, chuyển gêc giữa hai mặt phẳng cần tènh về một

tứ diện nhå các bạn  Phần cén lại nhường nhå!

Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác đều Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh

A’B’, A’C’, BC AB 2 3;AA' 2  Tính cosin góc  AB'C' ; MNP   

Hướng dẫn

Câu này đề cê vẻ rất ngắn gọn, và là câu 47 trong đề minh họa 2018 vào tháng 1 của bộ tức

là câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng hề đơn giản tẹo nào cả Tuy nhiæn ta vẫn bám sát vào phương pháp để làm!

Đầu tiæn phải đưa về một tứ diện nhỉ? Điều đê làm ta

phải tçm một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC’

thëi, bằng cách lấy trung điểm AA’ ta sẽ chuyển về tènh

gêc giữa  MNQ ; MNP    Cëng việc giờ thç mçnh sẽ

hướng dẫn cho các bạn nhå, mấu chốt là tènh được thể

tèch của khối MNPQ đîng khëng, vậy thç nhçn hçnh vẽ

nhé, mình sẽ đưa về tènh thể tèch của khối Q.PDE, khối

này đối với các bạn tènh đơn giản thëi bởi khoảng cách

từ Q tới mp DECB bằng bởi khoảng cách từ A’ tới mp

DECB, từ A’ kẻ vuëng gêc với B’C’ là okie! Têm lại là

thể tèch đê tènh được, xong sau đê sài cëng thức tỷ số

thể tèch ta sẽ tènh được V của MNPQ cén lại chỉ là việc

tính cạnh thëi, phần các bạn nhå, chỉ là kỹ năng tènh

toán thôi nha  Nếu như cê năng khiếu hçnh học thç

câu này tương đối dễ làm, cê thể tham khảo cách của

làm træn mạng nha bài này giải rất nhiều rồi!

N M

Q

P

A'

C'

B'

C

D

E

3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA

Nêi chung đây cũng là một phương pháp rất mạnh, tuy nhiæn nhược điểm của nê là phải nhớ cëng thức tènh hơi cồng kềnh và chỉ áp dụng cho những trường hợp ta dựng được hoặc trong bài toán cê yếu tố 3 đường vuëng gêc!

Đầu tiæn ta cần nhớ tới cëng thức cần thiết của chương hçnh học Oxyz sau

Gọi  là gêc giữa 2 mặt phẳng  P : ax by cz d 0, Q : a'x b'y c'z d' 0         

P Q

Cách thực hiện

 Bước 1: Xác định 3 đường vuëng gêc chung

 Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm của 3 đường vuëng gêc chung là gốc tọa độ

 Bước 3: Từ giả thiết tçm tọa độ của các điểm cê liæn quan tới giả thiết

 Bước 4: Áp dụng cëng thức cần tènh để suy ra kết quả

Kinh nghiệm

Theo kinh nghiệm của mçnh thç những bài toán cê giả thiết liæn quan tới hçnh hộp chữ nhật, hçnh lập phương thç thç ta næn sử dụng phương pháp tọa độ hêa, ngoài ra các bài cê yếu tố một cạnh của chêp vuëng gêc với đáy hay liæn quan tới lăng trụ đứng ta cũng cê thể sử dụng phương pháp này nhưng tíy vào từng bài mà ta cê hướng đi khác nhau, cê thể là sử dụng phương pháp 2 hoặc sử dụng phương pháp 1, tíy vào kỹ năng của người làm bài Sau đây ta cíng tçm hiểu vè dụ minh họa

Bài toán: Cho hçnh lập phương ABCD.A'B'C'D' cê cạnh bằng 1 Gọi I, I’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác A’C’D’, H là tâm hçnh vuëng ABCD Træn cạnh II’ lấy điểm G sao cho I'G 2IG Tính cosin gêc giữa hai mặt phẳng GAC , GA'B'  

Hướng dẫn

z

y

x B

D A

C' B'

H

I'

I G

C

Đây là một bài toán khê, và tất nhiæn phương pháp 1 hay phương pháp 2 rất là khê để cê thể sử dụng được, khi đê ta nghĩ tới phương pháp 3 – gắn trục tọa độ Với bài toán này tìm

3 đường vuëng gêc chung khëng khê, ta sẽ coi 3 trục tọa độ như hçnh vẽ và gốc tọa độ tríng điểm A Khi đê ta cê tọa độ các điểm như sau:

A' 0;0;1 ,B' 1;0;1 ;G ; ;

3 3 3

 ,C 1;1;0  Vậy khi đê ta tènh được vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng

GA'B' 2 1  

3 3

Đến đây áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc giữa 2 mặt phẳng GAC , GA'B'   là

2 2 2 2 2 2

1.0 1.2 0.1 10 cos

5

Đến đây bài toán đã được giải quyết hoàn toàn

Chú ý. Phương pháp gắn tọa độ đã được rất nhiều tác giả và cũng rất nhiều bài viết træn mạng nêi đầy đủ và chi tiết về phương pháp này, ở cuối bài viết mçnh sẽ cê link để các bạn tham khảo

Tóm lại Qua 3 phương pháp mçnh đề cập tới ở træn chắc hẳn đã phần nào giîp các bạn không còn sợ dạng toán này, khëng cê phương pháp nào là ưu việt tuyệt đối cả cần phải vận dụng linh hoạt các phương pháp với nhau, đồng thời phải nắm vững được nhiều mảng kiến thức thç mới cê thể làm tốt được Sau đây là các bài tập cho các bạn rän luyện

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hçnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là tam giác vuëng tại B, BC a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy gêc  và tam giác A’BC cê diện tèch bằng a 32 Biết rằng

ABC

3a 3

AA'.S

2 Giá trị của P sin 2  bằng bao nhiæu?

Bài 2: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy là tam giác cân tại A, AB AC 2a  , BC 2a 3 Tam giác SBC đều và thuộc mặt phẳng vuëng gêc với đáy Tènh cosin gêc giữa SAB ; SAC  

Bài 3: Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê đáy ABCD là hçnh vuëng, AC' a 2 Gọi  P là mặt phẳng qua AC’ cắt BB',D D' lần lượt tại M,N sao cho tam giác AMN cân tại

A có MN a Tính cos P ; ABCD     

Bài 4: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy ABC là tam giác vuëng tại A, cê AB a , SA SB

, SA SA;ACB 30 Biết khoảng các giữa hai đường thẳng SA và BC là 3a

4 Tính

   

cos SAC ; SBC

Bài 5: Cho hçnh chêp S.ABC, SA vuëng gêc với đáy, ABC là tam giác vuëng cân tại đỉnh C

Giả sử SC a , tçm gêc giữa hai mặt phẳng SBC ; ABC   để thể tèch khối chêp S.ABC đạt giá trị lớn nhất Tçm giá trị lớn nhất ấy

Bài 6: Cho hçnh chêp S.ABCD cê đáy ABCD là hçnh thoi cê BAD 120 o, hçnh chiếu vuëng gêc của điểm H træn mặt phẳng đáy tríng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường cao của khối chêp là SHa 6

3 và tam giác SBD vuëng tại S Tènh gêc giữa 2 mặt phẳng

SAD , SCD  

Bài 7: Cho tứ diện ABCD cê AB CD a;BC AD 2a;BD AC 3a      Trên AB,AC,AD lấy các điểm M,N,P sao cho MA MB;NA 2NC;PA 3PD   Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng MNP ; AMP  

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy là tam giác đều cạnh a, AA' 2a Træn AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MA MA' ;NB 2NB';PC 3PC'  Tính cosin gêc giữa hai mặt phẳng ANP ; MNP  

Bài 9: Cho chêp S.ABCD cê SA vuëng gêc với đáy, ABCD là hçnh thang vuëng tại A,D sao

cho AD 2AB 2BC 2a   , SA 2a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, SC Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng MND ; CSD  

Bài 10: Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB a;AD 2a  AA' 4a Gọi M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA MA' , ND 3ND' ,PB' 3PB , mặt phẳng MNP cắt cạnh CC; tại Q Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng MNQP ; AQP  

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’cê đáy ABC là một tam giác cân với điều kiện

0

AB AC a,BAC 120 ,   cạnh bên BB' a Gọi I là trung điểm CC’ Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC , AB'I  

Bài 12: Cho hçnh chêp S.ABCD cê đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường trén đường kènh

AB 2a , SA vuëng gêc với đáy và SA a 3 Tènh tan gêc giữa SAD , SBC  

Bài 13: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy ABC là tam giác vuëng cân tại B, SAABC,

SA a Gọi E,F lần lượt là trung điểm AB,AC Tènh cosin gêc giữa SEF , SBC  

Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' cê đáy tam giác vuëng tại A Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của A 'B', I là trung điểm của GM Tènh cosin gêc giữa 2 mặt phẳng IB'C' , ICA  

Bài 15: Cho hçnh lập phương ABCD.A'B'C'D có tâm O Gọi I là tâm của hçnh vuëng A'B'C'D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 2MI Tènh cosin gêc giữa 2 mặt phẳng MC'D' , MAB  

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải về nhå!

[1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng

[2] Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải hçnh học khëng gian – Cao Tuấn

[3] Tài liệu chuyæn toán chuyæn đề hçnh học khëng gian – Trần Đức Huyæn

[4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

[5] Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Phan Huy Khải

[6] Chuyæn đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Nguyễn Quang Sơn

IV LỜI KẾT

Chuyæn mục tuần này xin được phåp kết thîc tại đây, mọi thắc mắc về vấn đề ën thi THPT Quốc Gia hay những vấn đề nào các bạn thấy khê hiểu các bạn cê thể gửi về địa chỉ fanpage Tạp chè và tư liệu toán học , xin chào và hẹn gặp lại các bạn trong chuyæn mục tuần sau 