NHĐ 1 α b a c (Q) (P) d α b a c (Q) (P) B H A α (Q) (P) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Tìm hai đường thẳng a, b: a (P), b (Q). Khi đó: ( ),( ) , P Q a b . Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng ( ), ( ), a P a c b Q b c ( ),( ) , P Q a b Trong thực hành ta thường dùng phương pháp sau : 1. Tìm giao tuyến c của (P) và (Q) 2 .Chọn (T) là mặt phẳng vuông góc c tại O. Nếu ta biết đường thẳng d vuông góc c ( d nằm ngoài (P) và (Q)) thì ta chọn (T) qua d. 3. Xác đònh giao tuyến : a T P b T Q 4. Khi đó ( ),( ) , P Q a b Trường hợp đặc biệt nếu trong (P) có điểm A sao cho : AB Q Trong (P) kẻ AH c .Khi đó ( ),( ) P Q AHB Bài 1. Cho tứ diện ABCD với AB vuông góc mặt phẳng (BCD) và AB = a, đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). HD : Trường hợp đặc biệt kẻ BH vuông góc CD, 30 0 Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy ABCD là a, cạnh bên là 5 2 a . Tính góc giữa các mặt phẳng: a) (SAB) và (ABCD) b) (SAB) và (SCD). HD : a) Kẻ OM vuông góc AB, 60 0 b)60 0 Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng : LƯU Ý NHĐ 2 a) (SBC) và (ABCD) b) (BSC) và (DSC). HD : a) 45 0 b) 120 0 . Chứng minh BD vuông góc SC, qua BD kẻ mặt phẳng vuông góc SC tại I. Chứng minh tam giác IBD cân tại I, từ đó tính được góc cần tìm là góc hợp bởi BI và ID. Bài 4. Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông góc mặt đáy. Đặt SA = x. Tính x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) vuông góc nhau. HD: Xác đònh góc tương tự bài 3, dựa vào điều kiện góc 2 mặt phẳng là 90 0 tính được OI theo a và hai tam giác COI và CSA đồng dạng tính được OI theo a, x. Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD thỏa 0 90 B D , AB = AD = a, 2 CB CD a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Hai mặt bên (SBC) và (SAD) hợp với đáy góc 45 0 . Tính góc của : a) SC và (ABCD) b) (SBD) và (ABCD) HD: a) Chứng minh được SA ABCD , , , SB BC SBC ABCD SBA SD DC SDC ABCD SDA . Đây là trường hợp đặc biệt trong xác đònh góc. b) AC BD tại H. Chứng minnh được SH vuông góc BD.(Trường hợp đặc biệt). Bài 6. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). HD: a) ( ),( ) SAC SBC = 60 0 b) cos 3 (( ),( )) 10 SEF SBC . Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60 0 . HD: SA = a. Bài 8. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA (ABCD) và SA = a 3 . a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). HD: a) tan (( ),( )) 7 SAD SBC b) cos 10 (( ),( )) 5 SBC SCD . NHĐ 3 CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a (Q). Chứng minh 0 ( ),( ) 90 P Q Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Chứng minh d (Q) với (Q) (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) và (R) (P). Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc (ABC). Chứng minh rằng (ABD) vuông góc với (BCD). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) vẽ AH vuông góc BD, chứng minh rằng AH vuông góc (BCD). Bài 10. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc AC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ACD. a) Chứng minh (ADC) vuông góc (ABE), (ADC) vuông góc (DFK) b) Chứng minh OH vuông góc với (ACD) HD :a) Cm AC vuông góc (DFK) b) Dùng hệ quả về giao tuyến của 3 mp vuông góc Bài 11. Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân ở B và AC = 2a, SA vuông góc mặt đáy, SA = a. a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) b) Trong (SAB) vẽ AH vuông góc SB tại H. Chứng minh AH vuông góc (SBC) c) Tính AH d) Từ trung điểm O của AC vẽ OK vuông góc (SBC) cắt (SBC) tại K. Tính OK. Bài 12. Hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Chứng minh : a) (ABCD) vuông góc (SBD) b) Tam giác SBD vuông tại S. Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (A’BD). Tính đường chéo AC’. Bài 14. Cho tứ diện SABC cò SA vuông góc với (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh : a) AH, SK, BC đồng qui b) SC vuông góc với (BHK), (SAC) vuông góc (BHK) c) HK vuông góc (SBC), (SBC) vuông góc (BHK) HD : a) Gọi A’ là giao điểm AH và BC, cm SA’ vuông góc BC b) Cm SC vuông góc (BHK) c) Cm HK vuông góc (SBC) Bài 15. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với mp(ABCD). LƯU Ý NHĐ 4 a) Chứng minh : (SAB) vuông góc (SAD), (SAB) vuông góc (SBC) b) Tính góc giữa (SAD) và (SBC) HD: a) Gọi H là trung điểm AB, cm AD vuông góc (SAB) b) 60 0 Bài 16. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. Bài 17. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD. a) Chứng minh: AB (BCD). b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH (ADC). Bài 18. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD). a) Chứng minh (SAC) (SBD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC). HD: b) 90 0 . . α b a c (Q) (P) d α b a c (Q) (P) B H A α (Q) (P) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Tìm hai đường thẳng a, b: a (P), b . Đặt SA = x. Tính x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) vuông góc nhau. HD: Xác đònh góc tương tự bài 3, dựa vào điều kiện góc 2 mặt phẳng là 90 0 tính được OI theo a và hai tam giác COI và CSA. SABCD có đáy ABCD thỏa 0 90 B D , AB = AD = a, 2 CB CD a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Hai mặt bên (SBC) và (SAD) hợp với đáy góc 45 0 . Tính góc của : a) SC