Một ngày tuyệt vời nữa lại bắt đầu, và những cơ hội, trải nghiệm, thử thách đang chờ đón bạn ở phía trước. Chào mừng bạn đến với bài viết đầy tâm huyết của tôi. Và tôi tin rằng, chỉ cần làm theo từng bước. Việc dậy sớm sẽ trở thành thói quen, và ngủ nướng chỉ còn trong giấc mơ của bạn. Tôi chắc chắn điều này, bởi vì tôi đã từng tệ hơn bạn rất nhiều. Tôi biết rằng, bạn đã thử nhiều cách, áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để có thể dậy sớm. Nhưng bạn vẫn chưa thành công, nút Snooze được bật liên tục. Cho dù bạn cố gắng bằng cách đặt 10 cái báo thức vẫn thất bại. Thậm chí, những kỹ thuật lên kế hoạch cho ngày hôm sau vẫn đưa bạn vào bế tắc. Tôi biết bạn đã rất cố gắng. Bạn đừng lo lắng, tôi cũng đã từng như bạn. Tôi muốn chắc rằng, việc bạn dậy trễ, ngủ nướng hoàn toàn bình thường. Nếu bạn lo lắng mình sẽ không bao giờ dậy sớm hơn, điều đó không đúng. Bạn chỉ cần một người hướng dẫn đúng đắn. Có thể người khác chỉ cho bạn các mẹo và thủ thuật. Nhưng đó chỉ là phần nổi của tảng băng. Bạn biết đấy, nó chỉ chiếm 10% sự thành công. Còn 90% quyết định nằm ở yếu tố khác. 1 Đấy chính xác là điều mà tôi giúp bạn trong bài viết ngày hôm nay. Và đó chính là lý ở đây. Tôi biết bạn thực sự muốn dậy sớm, sống một cuộc sống trọn vẹn và có tuổi trẻ tuyệt vời, và tôi ở đây để đồng hành, giúp đỡ bạn đạt được mục tiêu đó. Liệu bạn đang tự hỏi, tôi là ai mà có thể giúp bạn điều bạn thấy bại bấy lâu nay. Xin hãy cho tôi kể câu chuyện của chính mình…. Khoảng một năm trước. Đấy là học kỳ 2 đại học. Tôi học ca chiều… Mọi chuyện bắt đầu từ đây. Những ngày không đi học, tôi ngủ đến 10h sáng. Đôi khi đi học, nhưng tôi vẫn bị trễ, bởi vì ngủ quá nhiều. Trễ học ám ảnh tôi mỗi ngày trước khi đi ngủ. Bạn biết đấy, nếu không đủ buổi đi học, tôi sẽ phải học lại. Vài tháng sau, sự việc nghiêm trọng hơn. Tôi ngủ dậy trung bình là 11h trưa và trễ học ngay cả khi mình học buổi chiều. Báo thức ư? Tôi e rằng nó không hoạt động với mình. Bệnh của hầu hết mọi người là nghe được báo thức, sau đó tắt nó hoặc Snooze nhiều lần. Còn bệnh tôi tệ hơn rất nhiều. KHÔNG NGHE ĐƯỢC CHUÔNG BÁO THỨC. Thậm chí, sau vài tháng, 2
CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ 20/8/2018 BÀI TOÁN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tạp chí tư liệu toán học Bài toán tènh gêc hai mặt phẳng toán tương đối khê nằm mức vận dụng vận dụng cao, bæn cạnh nhng phng phỏp truyn thng nh dng hỗnh to gờc chủ đề tuần ta cíng tỗm hiu ti phng phỏp gii quyt cỏc bi toán trắc nghiệm cê thể nêi gần toán tènh gêc mặt phẳng mà ta hay gặp Bản pdf đăng træn blog Chinh phục Olympic tốn bạn chỵ ï đên đọc nhå! I CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ SỬ DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU Đây tènh chất chng trỗnh hỗnh hc 11 m ta cn nm rì, cëng thức nê đơn giản sau Nội dung Cho hình S thuộc mặt phẳng P , hỡnh S ' l hỗnh chiu ca S lổn mt phẳng Q , đê ta cê cosin gêc hai mặt phẳng P cos S' S Q tènh theo cëng thức Sau vè dụ minh họa cho cëng thức Bài toán : Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ AB a; AD 2a AA' 4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA MA' , ND 3ND' , PB' 3PB , mặt phẳng MNP cắt cạnh CC; Q Tènh cosin gêc MNQP ; ABCD Hướng dẫn Đầu tiỉn ta cần phải chỵ ï tới cách dựng A' điểm Q Kẻ đường nối tâm đáy , ta thấy PN thuộc mặt phẳng B'D'DB nên B' cắt PN, đồng thời P, M, N cíng thuộc mặt phẳng nỉn nối M vs giao im va tỗm c ta s điểm P C'Q Q Vấn đề ta cần tènh tỷ số B , ta CQ D' C' M N Q D A C sử dụng tới tènh chất sau A'M B'P C'Q D'N Đặt x ,y ,z ,t , đê ta AA' B'B C'C cê cëng thức cần nhớ sau: Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học D'D Chinh phục olympic tốn | BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG VA'B'C'D'.MPQN x y z t VA'B'C'D'.ABCD xz yt Áp dụng vào toán ta suy C'Q Để ï ta thấy PQ, MP QN nên MN CC' MNQP l hỗnh bỗnh hnh D dng tốnh c đoạn thẳng | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học MN PQ MP QN 3 42 22 10 3 1 42 12 Mặt khác MQ l ng trung bỗnh ca A'C'CA MQ AC 2 Từ díng cëng thức Herong dễ dàng tènh MNQP 599 S 48 MNQP Mặt khác hỗnh ch nht ABCD chốnh l hỗnh chiu ca hỗnh bỗnh hnh lổn mt phng ABCD nổn ỏp dng cëng thức cần cosMNQP ; ABCD ta cê SABCD 599 96 SMNQP SỬ DỤNG CƠNG THỨC GĨC NHỊ DIỆN Đây cëng cụ mạnh để giải toán tènh gêc mặt phẳng, hầu hết toán đơn giản hay đến phức tạp cê thể giải phương pháp này, sau õy ta s cớng tỗm hiu nờ Trong phn ny mỗnh s ch hng dn cỏc bc lm cho bạn! Các bước thực Bước 1: Đưa gêc hai mặt phẳng gêc hai mặt phẳng kề tứ diện Chỵ ï điều luën thực Bước 2: Sử dụng cëng thức: V 2S1S2 sin Trong đê 3a S1 , S2 diện tèch hai tam giác kề tứ diện, a độ dài giao tuyến, cén gêc hai mặt phẳng o o Bài toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a; ASB 60 ; BSC 90 ; o CSA 120 Tính cosin SAB ; SBC cn tỗm Hướng dẫn Yæu cầu đề tènh gêc gia hai mt phng thỗ theo nh bc ta phi a v mt t din vi bi ny thỗ khỏi nê thuộc tứ diện sẵn Giờ ta phải tènh thể tèch khối t din u tiổn thỗ phi chợ ù n giả thiết, với mà cho độ dài cnh bổn vi li gờc ù thỗ ta phi dng chêp tam giác khác cách lấy træn SB,SB điểm B’, C’ cho SB' a, SC' a thỗ ta c S.ABC l chờp tam giác ta tènh thể tèch nê, xong sau đêtìm dùng cơng thức tỷ số thể tèch tènh VS.ABC S C' A C B' B Đê cách làm truyền thống, cén đối vi thi trc nghim thỗ cờ th nh cởng thc tènh thể tèch sau: Tứ diện S.ABC cê SA a, SB b, SC c, ASB , BSC , CSA thỗ th tốch nê là: V abc cos cos cos cos cos 2 cos Áp dụng vào ta tènh thể tèch a2 C Đồng thời cê giả thit gờc thỗ suy tt c cỏc cnh ca nê ta tènh diện tèch hai tam giác là: SSAB a ; S 3a2 ; SB 2 VS.AB SB Tương vào cëng thức ta cê sin cos SAB ; SBC SAB ; SBC 3 Xong nhé! đơn giản khëng Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC 3, CD 4, ABC BCD ADC 90o , AD, BC 60o Tính cos ABC ; ACD Hướng dẫn Một toán tương đối khê phải khëng nào? Ở toán ta bạn cê nhớ đến định lï ba đường vuông gúc khụng??? Theo gi thit thỗ cờ phi l tam giác BCD vng C đỵng khëng? Tiếp theo hai gêc ABC, ADC vuëng điều chứng tỏ hỗnh chiu AB lờn BDC A s vuởng E gờc BC, hỗnh chiu AD lổn BDC cng vuởng vi CD, nh? n õy thỗ cn tỗm im E cho E l hỗnh chiu ca A lổn BDC B D có phải từ B kẻ vuëng gêc với BC, D k C vuởng gờc vi CD thỗ ta s c im E cn tỗm ko? Oh khởng nhng th AE cén vuëng gêc với mặt phẳng BCD n õy quy v bi toỏn quỏ bỗnh thng, chuyn gêc hai mặt phẳng cần tènh tứ diện nhå bạn Phần cén lại nhường nhå! Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác Gọi M,N,P trung điểm cạnh A’B’, A’C’, BC AB ; AA' Tính cosin góc AB'C' ; MNP Hướng dẫn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | Câu đề cê vẻ ngắn gọn, câu 47 đề minh họa 2018 vào tháng tức câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng đơn giản tẹo Tuy nhiæn ta bám sát vào phương pháp để làm! | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Đầu tiæn phải đưa tứ diện nhỉ? Điều lm ta phi tỗm mt mt phng song song với mặt phẳng ABC’ thëi, cách lấy trung điểm AA ta s chuyn v tốnh gờc gia mỗnh s MNQ ; MNP E D C' Cëng việc thỗ hng dn cho cỏc bn nhồ, mu cht l tènh thể tèch khối MNPQ đỵng khëng, thỗ nhỗn hỗnh v nhộ, mỡnh s a v tốnh thể tèch khối Q.PDE, khối bạn tènh đơn giản thëi khoảng cách từ Q tới mp DECB khoảng cách từ A’ tới mp DECB, từ A’ kẻ vuëng gêc với B’C’ okie! Têm lại thể tèch đê tènh được, xong sau đê sài cëng thức tỷ số thể tèch ta tènh V MNPQ cén lại việc tính cạnh thëi, phần bạn nhå, kỹ tènh tốn thơi nha Nếu cê nng khiu hỗnh hc thỗ cõu ny tng i d làm, cê thể tham khảo cách N B' A' M Q C P B A làm træn mạng nha giải nhiều rồi! SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA Nêi chung phương pháp mạnh, nhiæn nhược điểm nê phải nhớ cëng thức tènh cồng kềnh áp dụng cho trường hợp ta dựng toán cê yếu tố đường vuëng gêc! Đầu tiæn ta cần nhớ tới cëng thức cần thit ca chng hỗnh hc Oxyz sau Gi l gêc mặt phẳng P : ax by cz d 0, Q : a'x b'y c'z d' cos cos n , n P Q nP nQ n P nQ 0 90 AA' BB' CC' 2 A B C 2 o A' B' C' Cách thực Bước 1: Xác định đường vuëng gêc chung Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm đường vuëng gêc chung gốc tọa độ Bước 3: Từ giả thit tỗm ta ca cỏc im cờ liổn quan tới giả thiết Bước 4: Áp dụng cëng thức cần tènh để suy kết Kinh nghiệm Theo kinh nghim ca mỗnh thỗ nhng bi toỏn cờ gi thit liổn quan ti hỗnh hp ch nht, hỗnh lp phng thỗ thỗ ta nổn s dng phng phỏp ta độ hêa, cê yếu tố cạnh chêp vuëng gêc với đáy hay liæn quan tới lăng trụ đứng ta cê thể sử dụng phương pháp tíy vào mà ta cê hướng khác nhau, cê thể sử dụng phương pháp sử dụng phương pháp 1, tíy vào kỹ người làm Sau ta cớng tỗm hiu vố d minh Bi toỏn: Cho hỗnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cờ cnh bng Gi I, I’ trọng tâm tam giác ACD v tam giỏc ACD, H l tõm hỗnh vuởng ABCD Træn cạnh II’ lấy điểm G cho I 'G 2IG Tính cosin gêc hai mặt phẳng GAC , GA 'B' Hướng dẫn z A' D' I' B' C' G y A B H D I C x Đây toán khê, tất nhiæn phương pháp hay phương pháp khê để cê thể sử dụng được, đê ta nghĩ tới phương pháp – gắn trục tọa độ Với tốn tìm đường vng gêc chung khëng khê, ta coi trục tọa độ nh hỗnh v v gc ta trớng im A Khi đê ta cê tọa độ điểm sau: 1 1 A' 0; 0; 1 , B'1; 0; 1 ; G ; ; , C 1; 1; 3 3 Vậy đê ta tènh vecto pháp tuyến mặt phẳng GA; GC n ; ; 1; 1; GAC 3 1 GA'; GB' 0; ; 0; 2; 1 n GA'B' 33 Đến áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc mặt phẳng GAC , GA 'B' 1 10 0 1.2 Đến toán giải hoàn toàn 0.1 Chú ý Phương pháp gắn tọa độ nhiều tác giả nhiều 2 1pháp viết træn mạng nêi đầy đủ chi tiết phương này, cui bi vit mỗnh s cờ link để bạn tham khảo cos 12 22 02 Túm li Qua phng phỏp mỗnh đề cập tới træn hẳn phần giỵp bạn khơng cịn sợ dạng tốn này, khëng cê phương pháp ưu việt tuyệt đối cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp với nhau, đồng thời phải nắm vững nhiều mảng kiến thc thỗ mi cờ th lm tt c Sau õy tập cho bạn rän luyện II BI TP T LUYN Bi 1: Cho hỗnh lng tr đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC tam giác vuëng B, BC a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy gêc tam giác A’BC cê diện tèch a Biết AA' ABC 3a Giá trị P sin 2 bng bao nhiổu? S Bi 2: Cho hỗnh chêp S.ABC cê đáy tam giác AB AC 2a BC 2a Tam cân A, , giác SBC thuộc mặt phẳng vuëng gêc với đáy Tènh cosin gêc SAB ; SAC Bi 3: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh vuởng, AC' a Gọi P mặt phẳng qua AC’ cắt BB', D D' M,N cho tam giác AMN cân A có MN a Tớnh cos P ; ABCD Bi 4: Cho hỗnh chêp S.ABC cê đáy ABC tam giác vuëng A, cê AB a , SA SB o , SA SA; ACB 30 Biết khoảng hai đường thẳng SA BC 3a Tính cos SAC ; SBC Bi 5: Cho hỗnh chờp S.ABC, SA vuëng gêc với đáy, ABC tam giác vuëng cõn ti nh C Gi SC a , tỗm gêc hai mặt phẳng SBC ; để thể tèch khối chêp S.ABC sử đạt ABC giá trị lớn nht Tỗm giỏ tr ln nht y o Bi 6: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh thoi cờ BAD 120 , hỗnh chiu vuởng gờc ca điểm H trỉn mặt phẳng đáy tríng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường caoa khối chêp SAD , SCD SH tam giác SBD vuëng S Tènh gêc mặt phẳng Bài 7: Cho tứ diện ABCD cê AB CD a; BC AD 2a; BD AC a Trên AB,AC,AD lấy điểm M,N,P MA MB; NA 2NC; PA 3PD Tènh cosin gêc hai mặt cho phẳng MNP ; AMP Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy tam giác cạnh a, AA' 2a Træn AA’, BB’, CC’ lấy điểm M,N,P MA MA' ; NB 2NB '; PC 3PC ' Tính cho cosin gêc hai mặt phẳng ANP ; MNP Bài A,D ch o 9: Cho chêp S.ABCD cê SA vuởng gờc vi ỏy, ABCD l hỗnh thang vuởng ti AD 2AB 2BC 2a , SA 2a Gọi M,N trung điểm AB, SC Tènh cosin gêc hai mặt phẳng MND ; CSD AB a; AD AA' 4a Gọi M,N,P 2a Bài 10: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ ln lt thuc cỏc cạnh AA’, DD’, BB’ MA MA' ND 3ND' , PB' 3PB , mặt cho , phẳng MNP cắt cạnh CC; Q Tènh cosin gêc hai mặt phẳng MNQP ; AQP Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC tam giác cân với điều kiện AB AC a, BAC 120 , cạnh bên BB' a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vng A Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC , AB'I Bài 12: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy l na lc giác nội tiếp đường trén đường kènh AB 2a , SA vuëng gêc với đáy Tènh tan gêc SAD , SBC SA a Bi 13: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ đáy ABC tam giác vuëng cân B, SA ABC , SA a Gọi E,F trung điểm AB, AC Tènh cosin gêc SEF , SBC Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cê đáy tam giác vuëng A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm A 'B' , I trung điểm GM Tènh cosin gêc mặt phẳng IB'C' , ICA Bi 15: Cho hỗnh lập phương ABCD.A'B'C'D có tâm O Gọi I tâm ca hỗnh vuởng A'B'C'D v M l im thuc on thẳng OI cho MO 2MI Tènh cosin gêc mặt phẳng MC'D' , MAB III TÀI LIỆU THAM KHẢO Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải nhå! [1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng [2] Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải hỗnh hc khởng gian Cao Tun [3] Ti liu chuyổn toỏn chuyổn hỗnh hc khởng gian Trn Đức Huyæn [4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết đề thi thử Toán 2018 [5] ễn luyn bi dng hc sinh gii hỗnh hc khởng gian – Phan Huy Khải [6]Chuyæn đề trọng điểm bồi dng hc sinh gii hỗnh hc khởng gian Nguyn Quang Sơn IV LỜI KẾT Chuyæn mục tuần xin phåp kết thỵc đây, thắc mắc vấn đề ën thi THPT Quốc Gia hay vấn đề bạn thấy khê hiểu bạn cê thể gửi địa fanpage Tạp chè tư liệu toán học , xin chào hẹn gặp lại bạn chuyæn mục tuần sau ... Các bước thực Bước 1: Đưa gêc hai mặt phẳng gêc hai mặt phẳng kề tứ diện Chỵ ï điều ln thực Bước 2: Sử dụng cëng thức: V 2S1S2 sin Trong đê 3a S1 , S2 diện tèch hai tam giác kề tứ diện, a độ... gêc hai mặt phẳng o o Bài toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a; ASB 60 ; BSC 90 ; o CSA 120 Tính cosin SAB ; SBC cn tỗm Hng dn Yổu cu đề tènh gêc hai mặt phẳng. .. pháp tuyến ? ?mặt phẳng GA; GC n ; ; 1; 1; GAC 3 1 GA''; GB'' 0; ; 0; 2; 1 n GA''B'' 33 Đến áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc mặt phẳng GAC ,