CÔNG THỨC góc GIỮA HAI mặt PHẲNG

CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tạp chí tư liệu toán học Bài toán tènh gêc hai mặt phẳng toán tương đối khê nằm mức vận dụng vận dụng cao, bæn cnh nhng phng phỏp truyn thng nh dng hỗnh to gêc chủ đề tuần ta cớng tỗm hiu ti phng phỏp gii quyt cỏc toán trắc nghiệm cê thể nêi gần toán tènh gêc mặt phẳng mà ta hay gặp Bản pdf đăng træn blog Chinh phục Olympic tốn bạn chỵ ï đên đọc nhå! I CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU Đây tènh chất bn chng trỗnh hỗnh hc 11 m ta cn nắm rì, cëng thức nê đơn giản sau Nội dung Cho hình S thuộc mặt phẳng  P , hỡnh S ' l hỗnh chiu ca S læn mặt phẳng Q , đê ta cê cosin gêc hai mặt phẳng  P   Q  tènh theo cëng thức cos   S' Sau vè dụ minh họa cho cởng thc ny S Bi toỏn : Cho hỗnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a;AD  2a AA '  4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA  MA ' , ND  3ND ' , PB'  3PB , mặt phẳng  MNP  cắt cạnh CC; Q Tènh cosin gêc  MNQP  ;  ABCD  Hướng dẫn Đầu tiỉn ta cần phải chỵ ï tới cách dựng A' điểm Q Kẻ đường nối tâm đáy    , ta thấy PN thuộc mặt phẳng  B'D'DB  nên    cắt PN, đồng thời P, M, N cíng thuộc mặt phẳng næn nối M vs giao điểm vừa tỗm c ta s c im C'Q Q Vn đề ta cần tènh tỷ số , ta CQ sử dụng tới tènh chất sau A'M B'P C'Q D'N Đặt x  , đê ta ,y  ,z  ,t  AA' B'B C'C D'D D' C' B' M P B N Q D A C cê cëng thức cần nhớ sau: VA'B'C'D'.MPQN x  y  z  t   VA'B'C'D'.ABCD  xz  yt Áp dụng vào toán ta suy C'Q  Để ï ta thấy MN PQ, MP QN nên CC' MNQP l hỗnh bỗnh hnh D dng tốnh c cỏc on thẳng Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG    1  10 MN  PQ        2        1  13 MP  QN        12     Mặt khỏc MQ l ng trung bỗnh ca A'C'CA MQ  Từ díng cëng thức Herong dễ dàng tènh S MNQP  1 AC   22  2 599 48 Mt khỏc hỗnh ch nht ABCD chốnh l hỗnh chiu ca hỗnh bỗnh hnh MNQP lổn mt phng ABCD  næn áp dụng cëng thức cần ta cê cos   MNQP  ;  ABCD    S ABCD 599  S MNQP 96 SỬ DỤNG CƠNG THỨC GĨC NHỊ DIỆN Đây cëng cụ mạnh để giải toán tènh gêc mặt phẳng, hầu hết toán đơn giản hay đến phức tạp cê thể giải phng phỏp ny, sau õy ta s cớng tỗm hiu nờ Trong phn ny mỗnh s ch hng dn cỏc bước làm cho bạn! Các bước thực Bước 1: Đưa gêc hai mặt phẳng gêc hai mặt phẳng kề tứ diện Chỵ ï điều luën thực Bước 2: Sử dụng cëng thức: V  2S S sin  Trong đê S , S diện tèch hai tam 3a giác kề tứ diện, a độ dài giao tuyến, cén l gờc gia hai mt phng cn tỗm Bi toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA  a; SB  2a; SC  3a;ASB  60 o ; BSC  90 o ; CSA  120 o Tính cosin  SAB ;  SBC  Hướng dẫn Yæu cầu đề tènh gêc hai mt phng thỗ S theo nh bc ta phi a v mt t din vi bi ny thỗ nê thuộc tứ diện sẵn  Giờ ta phải tènh thể tèch khối tứ din u tiổn thỗ phi chợ ù n gi thiết, với mà cho độ dài C' cnh bổn vi li gờc ù thỗ ta phi dng chêp tam giác khác cách lấy træn SB,SB điểm B’, C’ cho SB '  a, SC ' a thỗ ta c S.ABC l chêp tam A C B' giác ta tènh thể tèch nê, xong sau đêtìm dùng công thức tỷ số thể tèch tènh VS.ABC | Chinh phục olympic toán B Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 Đê cách làm truyền thng, cộn i vi thi trc nghim thỗ cờ th nhớ cëng thức tènh thể tèch sau: Tứ diện S.ABC cê SA  a, SB  b, SC  c,ASB   , BSC  , CSA   thỗ th tốch ca nờ l: 2 V  abc  cos  cos  cos    cos     cos     cos   Áp dụng vào ta tènh thể tèch VS.ABC  a Đồng thời cê giả thiết gêc thỗ suy tt c cỏc cnh ca nờ ta tènh diện tèch hai tam giác là: S SAB  a2 ; S SBC  3a ; SB    Tương vào cëng thức ta cê sin  SAB  ;  SBC      cos  SAB  ;  SBC   3 Xong nhé!  đơn giản khëng Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC  3, CD  4,ABC  BCD  ADC  90o ,  AD, BC   60 o Tính cos   ABC  ;  ACD   Hướng dẫn Một toán tương đối khê phải khëng nào? Ở toán ta bạn cê nhớ đến định lï ba đường A vng góc khơng??? Theo giả thit thỗ cờ phi l tam giỏc BCD vuởng ti C đỵng khëng? Tiếp theo hai gêc ABC, ADC vuởng iu ny chng t l hỗnh chiu AB lờn BDC s vuởng gờc BC, hỗnh chiu AD læn  BDC  E vuëng với CD, nhỉ? n õy thỗ cn tỗm im E cho E l hỗnh chiu ca A lổn BDC cú phải từ B kẻ vuëng gêc với BC, D k vuởng gờc vi B D CD thỗ ta s c im E cn tỗm ko? Oh khởng nhng C AE cén vuëng gêc với mặt phẳng BCD na n õy quy v bi toỏn quỏ bỗnh thng, chuyển gêc hai mặt phẳng cần tènh tứ diện nhå bạn  Phần cén lại nhường nhå! Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác Gọi M,N,P trung điểm cạnh A’B’, A’C’, BC AB  ;AA '  Tính cosin góc   AB'C ' ;  MNP   Hướng dẫn Câu đề cê vẻ ngắn gọn, câu 47 đề minh họa 2018 vào tháng tức câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng đơn giản tẹo Tuy nhiæn ta bám sát vào phương pháp để làm! Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Đầu tiỉn phải đưa tứ diện nhỉ? Điều đê làm ta E phi tỗm mt mt phng song song vi mặt phẳng ABC’ thëi, cách lấy trung điểm AA’ ta chuyển tènh gêc D   MNQ  ;  MNP   Cëng việc gi thỗ mỗnh s C' hng dn cho cỏc bn nhå, mấu chốt tènh thể N tèch MNPQ ợng khởng, vy thỗ nhỗn hỗnh v nhộ, đưa tènh thể tèch khối Q.PDE, khối A' B' M bạn tènh đơn giản thëi khoảng cách từ Q tới mp DECB khoảng cách từ A’ tới mp DECB, từ A’ kẻ vuëng gêc với B’C’ okie! Têm lại Q thể tèch đê tènh được, xong sau đê sài cëng thức tỷ số C thể tèch ta tènh V MNPQ cén lại việc tính cạnh thëi, phần bạn nhå, kỹ tènh P tốn thơi nha  Nếu cờ nng khiu hỗnh hc thỗ B A cõu ny tương đối dễ làm, cê thể tham khảo cách làm træn mạng nha giải nhiều rồi! SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA Nêi chung phương pháp mạnh, nhiæn nhược điểm nê phải nhớ cëng thức tènh cồng kềnh áp dụng cho trường hợp ta dựng toán cê yếu tố đường vuëng gêc! Đầu tiæn ta cần nhớ ti cởng thc cn thit ca chng hỗnh hc Oxyz sau Gọi  gêc mặt phẳng  P  : ax by  cz  d  0,  Q  : a'x  b'y  c'z  d'     cos   cos n P , n Q  n P n Q nP nQ  AA ' BB' CC ' A B C 2     90  o A '  B'  C ' 2 Cách thực  Bước 1: Xác định đường vuëng gêc chung  Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm đường vuëng gêc chung gốc tọa độ  Bc 3: T gi thit tỗm ta ca cỏc điểm cê liæn quan tới giả thiết  Bước 4: Áp dụng cëng thức cần tènh để suy kết qu Kinh nghim Theo kinh nghim ca mỗnh thỗ nhng bi toỏn cờ gi thit liổn quan ti hỗnh hp ch nht, hỗnh lp phng thỗ thỗ ta nổn s dụng phương pháp tọa độ hêa, cê yếu tố cạnh chêp vuëng gêc với đáy hay liæn quan tới lăng trụ đứng ta cê thể sử dụng phương pháp tíy vào mà ta cê hướng khác nhau, cê thể sử dụng phương pháp sử dụng phương pháp 1, tíy vào kỹ người làm bi Sau õy ta cớng tỗm hiu vố d minh họa | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CH - 20/8/2018 Bi toỏn: Cho hỗnh lp phng ABCD.A 'B'C 'D ' cê cạnh Gọi I, I’ trọng tâm tam giác ACD v tam giỏc ACD, H l tõm hỗnh vuởng ABCD Træn cạnh II’ lấy điểm G cho I 'G  2IG Tính cosin gêc hai mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B' Hướng dẫn z A' D' I' B' C' G y A B H D I C x Đây toán khê, tất nhiæn phương pháp hay phương pháp khê để cê thể sử dụng được, đê ta nghĩ tới phương pháp – gắn trục tọa độ Với tốn tìm đường vng gêc chung khëng khê, ta coi trục tọa nh hỗnh v v gc ta trớng im A Khi đê ta cê tọa độ điểm sau: 1 1 A'  0; 0;  , B'  1; 0;  ; G  ; ;  , C  1; 1;  3 3 Vậy đê ta tènh vecto pháp tuyến mặt phẳng 1  n  GAC   GA; GC    ;  ;    1; 1;  3   1 n  GA'B'  GA'; GB'   0; ;    0; 2;   3 Đến áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B' cos   1.0  1.2  0.1 12   2  2   10 Đến toán giải hoàn toàn Chú ý Phương pháp gắn tọa độ nhiều tác giả nhiều viết træn mạng nêi đầy đủ chi tit v phng phỏp ny, cui bi vit mỗnh cê link để bạn tham khảo Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Túm li Qua phng phỏp mỗnh cp ti trỉn hẳn phần giỵp bạn khơng sợ dạng tốn này, khëng cê phương pháp ưu việt tuyệt đối cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp với nhau, đồng thời phi nm vng c nhiu mng kin thc thỗ mi cê thể làm tốt Sau tập cho bạn rän luyện II BÀI TẬP TỰ LUYN Bi 1: Cho hỗnh lng tr ng ABC.ABC cờ đáy ABC tam giác vuëng B, BC  a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy gêc  tam giác A’BC cê diện tèch a Biết AA'.S ABC  3a 3 Giá trị P  sin  bao nhiổu? Bi 2: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ đáy tam giác cân A, AB  AC  2a , BC  2a Tam giác SBC thuộc mặt phẳng vuëng gêc với đáy Tènh cosin gêc  SAB  ;  SAC Bi 3: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh vuởng, AC ' a Gọi  P  mặt phẳng qua AC’ cắt BB', D D ' M,N cho tam giác AMN cân   A có MN  a Tính cos  P  ; ABCD Bi 4: Cho hỗnh chờp S.ABC cê đáy ABC tam giác vuëng A, cê AB  a , SA  SB 3a , SA  SA;ACB  30 o Biết khoảng hai đường thẳng SA BC Tính   cos  SAC  ;  SBC  Bi 5: Cho hỗnh chờp S.ABC, SA vuởng gờc với đáy, ABC tam giác vuëng cân đỉnh C Gi s SC a , tỗm gờc gia hai mặt phẳng  SBC  ;  ABC  để thể tèch khối chêp S.ABC đạt giá trị lớn nht Tỗm giỏ tr ln nht y Bi 6: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh thoi cờ BAD 120 o , hỗnh chiu vuởng gờc ca điểm H trỉn mặt phẳng đáy tríng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường cao khối chêp SH  a tam giác SBD vuëng S Tènh gêc mặt phẳng  SAD  ,  SCD  Bài 7: Cho tứ diện ABCD cê AB  CD  a; BC  AD  2a; BD  AC  a Trên AB,AC,AD lấy điểm M,N,P cho MA  MB; NA  2NC; PA  3PD Tènh cosin gêc hai mặt phẳng  MNP  ;  AMP  Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy tam giác cạnh a, AA '  2a Træn AA’, BB’, CC’ lấy điểm M,N,P cho MA  MA ' ; NB  2NB'; PC  3PC ' Tính cosin gêc hai mặt phẳng | Chinh phục olympic toán  ANP  ;  MNP  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018 Bài 9: Cho chêp S.ABCD cờ SA vuởng gờc vi ỏy, ABCD l hỗnh thang vuëng A,D cho AD  2AB  2BC  2a , SA  2a Gọi M,N trung điểm AB, SC Tènh cosin gêc hai mặt phẳng  MND  ;  CSD Bi 10: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a;AD  2a AA '  4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA  MA ' , ND  3ND ' , PB'  3PB , mặt phẳng  MNP  cắt cạnh CC; Q Tènh cosin gêc hai mặt phẳng  MNQP  ;  AQP  Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC tam giác cân với điều kiện AB  AC  a, BAC  120 , cạnh bên BB '  a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC  ,  AB'I  Bài 12: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy l na lc giỏc u nội tiếp đường trén đường kènh AB  2a , SA vuëng gêc với đáy SA  a Tènh tan gêc  SAD  ,  SBC Bi 13: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ ỏy ABC tam giác vuëng cân B, SA   ABC  , SA  a Gọi E,F trung điểm AB,AC Tènh cosin gêc  SEF  ,  SBC  Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' cê đáy tam giác vuëng A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm A 'B ' , I trung điểm GM Tènh cosin gêc mặt phẳng  IB'C' ,  ICA  Bi 15: Cho hỗnh lp phng ABCD.A 'B'C 'D cú tõm O Gi I l tõm ca hỗnh vuởng A 'B'C 'D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  2MI Tènh cosin gêc mặt phẳng  MC 'D' ,  MAB  III TÀI LIỆU THAM KHẢO Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải nhå! [1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng [2] ng dng phng phỏp ta gii hỗnh học khëng gian – Cao Tuấn [3] Tài liệu chuyæn toỏn chuyổn hỗnh hc khởng gian Trn c Huyæn [4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết đề thi thử Tốn 2018 [5] Ơn luyn bi dng hc sinh gii hỗnh hc khởng gian – Phan Huy Khải [6] Chuyæn đề trọng điểm bồi dng hc sinh gii hỗnh hc khởng gian Nguyn Quang Sơn IV LỜI KẾT Chuyæn mục tuần xin phåp kết thỵc đây, thắc mắc vấn đề ën thi THPT Quốc Gia hay vấn đề bạn thấy khê hiểu bạn cê thể gửi địa fanpage Tạp chè tư liệu toán học , xin chào hẹn gặp lại bạn chuyæn mục tuần sau  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | ... gêc hai mặt phẳng gêc hai mặt phẳng kề tứ diện Chỵ ï điều ln thực Bước 2: Sử dụng cëng thức: V  2S S sin  Trong đê S , S diện tèch hai tam 3a giác kề tứ diện, a độ dài giao tuyến, cén  gêc hai. .. học Chinh phục olympic tốn | BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Đầu tiæn phải đưa tứ din nh? iu lm ta E phi tỗm mt mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC’ thëi, cách lấy trung điểm AA’ ta chuyển... TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG    1  10 MN  PQ        2        1  13 MP  QN        12     Mặt khác MQ đường trung bỗnh ca A'C'CA MQ T õy dớng cëng thức Herong